(共65张PPT)
第1讲 三角函数的图象与性质
领航高考风向标
通览主干知识
1.同角三角函数的基本关系、诱导公式
2.三角函数图象的变换
由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤
3.三角函数的图象与性质
4.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的三大性质
求单调区间时,必须保证ω>0
微点拨 其他两类函数的三大性质类似,代入公式可解,注意公式的不同之处.对y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数,不能为偶函数.
5.三角恒等变换
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β.
cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β.
sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β(平方正弦公式).
cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.
(2)二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α.
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
1+sin 2α=(sin α+cos α)2.
1-sin 2α=(sin α-cos α)2.
(3)辅助角公式
(4)降幂公式与升幂公式
6.正弦定理、余弦定理、面积公式
(1)正弦定理、余弦定理
(2)三角形面积公式
链高考1.(2023全国甲,理7)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
B
解析 若甲成立,即sin2α+sin2β=1,则sin2α=cos2β,可得sin α-cos β=0,或sin α +cos β=0,故乙不一定成立.若乙成立,sin α+cos β=0,则sin α=-cos β,可得sin2α=cos2β,可得sin2α+sin2β=1,故甲成立.所以甲是乙的必要条件但不是充分条件,故选B.
微点拨 各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
链高考2.(2024北京,12)已知α∈ ,且α与β的终边关于原点对称,则cos β的最大值为 .
微点拨 无论哪种变换,每一个变换总是针对自变量x而言的,即图象变换要看“自变量x”发生多大变化,而不是看“ωx+φ”的变化.
D
链高考4.(2024新高考Ⅰ,7)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin(3x- )的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
C
链高考5.(多选题)(2024新高考Ⅱ,9)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin
下列正确的有( )
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
BC
两函数的最大值均为1,B正确;
两函数的最小正周期都为π,C正确;
A
链高考7.(2024北京,6)已知f(x)=sin ωx(ω>0),f(x1)=-1,f(x2)=1,|x1-x2|min= ,则ω=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
B
链高考9.(2024新高考Ⅰ,4)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=( )
A
解析 ∵tan αtan β=2,∴sin αsin β=2cos αcos β.∵cos(α+β)=m,
即cos αcos β-sin αsin β=cos αcos β-2cos αcos β=m,
∴cos αcos β=-m,sin αsin β=-2m.
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-m-2m=-3m.
链高考10.(2024新高考Ⅱ,13)已知α为第一象限角,β为第三象限角,
tan α+tan β=4,tan αtan β= +1,则sin(α+β)= .
链高考11.(2024全国甲,文13)函数f(x)=sin x- cos x在[0,π]上的最大值是 .
2
链高考12.(2024全国甲,理11)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,b2= ac,则sin A+sin C=( )
C
链高考13.(2023北京,7)在△ABC中,(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),则C=( )
B
解析 因为(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),
所以由正弦定理得(a+c)(a-c)=b(a-b),即a2-c2=ab-b2,
考点一 三角函数图象的变换
例1(1)(多选题)(2024河北石家庄模拟)要得到函数y=sin(2x+ )的图象,可将函数y=sin x的图象( )
A.向左平移 个单位长度,再将所得图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的
2倍
B.向左平移 个单位长度,再将所得图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的
C.纵坐标不变,横坐标变为原来的 ,再将所得图象上各点向左平移 个单位长度
D.纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,再将所得图象上各点向左平移 个单位长度
BC
A.1 B.2 C.3 D.4
C
由图可知,两函数图象有3个交点.故选C.
(3)(2024湖南长沙模拟)设函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),将函数f(x)的图象先向右平移 个单位长度,再横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,所得的图象与y=sin x图象重合,则( )
A
D
A
考点二 三角函数的图象与解析式
D
(2)(2024天津一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,有以下结论:
所有正确结论的序号是( )
A.①② B.①③④
C.③④ D.①④
B
[对点训练2](1)(2024内蒙古呼和浩特一模)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,
-π<φ<π)的部分图象如图所示,把函数f(x)的图象向右平移 个单位长度得到g(x)的图象,则g(x)的解析式为( )
A
C
考点三 三角函数的性质
D
B
[对点训练3](1)(2024北京西城一模)关于函数f(x)=sin x+cos 2x,给出下列三个命题:
①f(x)是周期函数;
②曲线y=f(x)关于直线x= 对称;
③f(x)在区间[0,2π)上恰有3个零点.
其中真命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
D
解析 对于①,因为f(x)=sin x+cos 2x,所以f(x+2π)=sin(x+2π)+cos 2(x+2π) =sin x+cos 2x=f(x),故T=2π,所以①正确;
对于②,因为f(π-x)=sin(π-x)+cos 2(π-x)=sin x+cos 2x=f(x),
ABC(共31张PPT)
第2讲 三角恒等变换与解三角形
考点一 三角恒等变换
B
A
B
A
解析 由sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,得sin α-sin β=-sin γ,cos α-cos β =cos γ,∴(sin α-sin β)2+(cos α-cos β)2=(-sin γ)2+cos2γ=1,
D
考点二 正弦、余弦定理及其应用(多考向探究预测)
考向1正弦、余弦定理与面积公式
例2(1)(2023全国乙,文4)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若
acos B-bcos A=c,且C= ,则B=( )
C
(1)解析 由acos B-bcos A=c及正弦定理,得sin Acos B-sin Bcos A=sin C,即sin(A-B)=sin C.
C
考向2解三角形中的最值与范围问题
例3(1)(2024黑龙江二模)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c-b=2bcos A,则 的取值范围为( )
B
解析 因为c-b=2bcos A,则由正弦定理得sin C-sin B=2sin Bcos A,
又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
所以sin Acos B+cos Asin B-sin B=2sin Bcos A,
则sin B=sin Acos B-sin Bcos A=sin(A-B).
A
(3)(2024河南开封期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
2asin A-bsin B=3csin C,若S表示△ABC的面积,则 的最大值为( )
D
[对点训练2](1)(2024安徽合肥模拟)已知△ABC角A,B,C的对边分别为a,b,c满足 ,则角B的最大值为( )
A
AB
ABC
考点三 解三角形的实际应用
例4 (2024湖南岳阳二模)如图,小明为了测量某高楼的高度AB,他首先在C处,测得楼顶A的仰角为60°,然后沿BC方向行走22.5米至D处,又测得楼顶
A的仰角为30°,则楼高AB为 米.
[对点训练3]
(2024北京海淀模拟)一艘轮船在江中向正东方向航行,在点P处观测到灯塔A,B在一直线上,并与航线成30°角.
轮船沿航线前进1 000米到达C处,此时观测到灯塔A在北偏西45°方向,灯塔B在北偏东15°方向,则此时轮船到灯塔B之间的距离CB为 米. (共31张PPT)
培优拓展(六)三角函数中的“ω”“φ”的取值范围问题
三角函数中ω,φ的取值范围问题是高考的重点和热点,主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω,φ的取值范围,难度中等偏上.其解法主要利用整体代换与数形结合的方法.
角度一 三角函数的最值(值域)与ω,φ的取值范围
例1(1)(2024四川成都模拟)已知函数f(x)= sin ωx+cos ωx(ω>0)在区间[0,1]上恰好有两个最值,则ω的取值范围是( )
C
D
角度二 单调性与ω,φ的取值范围
C
B
角度三 零点与ω,φ的取值范围
例3(1)(2024广东广州一模)已知函数f(x)=2sin2ωx+ sin 2ωx(ω>0)在(0,π)内恰有两个零点,则ω的取值范围是( )
B
角度四 对称性与ω,φ的取值范围
D
C
针对训练
A.11 B.5 C.9 D.7
D
B
BC
C
A
目规律方法
求三角函数的最值（值域）问题，主要是整体代
换ωx士P,利用正、余弦函数的图象求解，要注意
自变量的范围
目规律方法
已知三角函数的零，点、极值点求ω，p的取值范围
问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析
式，直接求函数的零，点、极值点即可，注意三角函数的
极值，点即为三角函数的最大值点、最小值点
目规律方法
已知函数的对称轴或对称中心求ω，9的取值
范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利
用解析式，直接求函数的对称轴的方程或对称中心
的坐标即可，注意整体代换的应用(共34张PPT)
培优拓展(七)三角形中的特殊线段问题
三角形中的特殊线段主要是三角形中一边的中线、角的平分线以及高线,在考查过程中主要涉及长度的计算、范围的计算等.
角度一 三角形中的中线问题
(2)如图,设AM的延长线交BC于点D.因为点M为△ABC的重心,所以点D为BC的中点,
角度二 三角形中的角平分线问题
例2(1)(2023全国甲,理16)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC= ,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD= .
2
(2)(2024湖南娄底一模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=13, A= ,b>c,△ABC的内切圆圆I的面积为3π.
①求b,c的值及cos∠ABC;
②若点D在AC上,且B,I,D三点共线,试讨论在BC边上是否存在点M,使得
若存在,求出点M的位置,并求出△DBM的面积;若不存在,请说明理由.
角度三 三角形中的高线问题
例3(2023新高考Ⅰ,17)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.
(1)求sin A;
(2)设AB=5,求AB边上的高.
角度四 三角形中其他线段的长度问题
针对训练
1.(2024浙江杭州模拟)在①b(sin A+sin B)=(c+a)(sin C-sin A),
② 这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 .
(1)求角C的大小;
(2)已知c=7,D是边AB的中点,且CD⊥CB,求CD的长.
解 (1)选条件①.
由b(sin A+sin B)=(c+a)(sin C-sin A)及正弦定理,
得b(a+b)=(c+a)(c-a),即a2+b2-c2=-ab,
因为∠ADC+∠BDC=π,所以cos∠ADC+cos∠BDC=0.
由余弦定理得a2=BD2+CD2-2BD·CDcos∠BDC,
b2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC,因为D是边AB的中点,
(方法四)以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则C(0,0),B(a,0),设D(0,d),因为D是边AB的中点,所以A(-a,2d).
(2)在△ABC中,由点D在边AB上,CD为∠ACB的平分线,得
S△ABC=S△ACD+S△BCD,(共38张PPT)
专题突破练7 三角函数的图象与性质
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主干知识达标练
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解析 如图,①和②面积相等,故阴影部分的面积即为矩形ABCD的面积,可得AB=3,设函数f(x)的最小正周期为T,则AD=T,由题意得3T=6π,解得T=2π,
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A.①② B.③④ C.①②④ D.①③④
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10.(5分)(2024河南平顶山模拟)写出一个同时满足下列三个条件的函数f(x)的解析式: .
①f(x)=-f(x+2);②f(x+1)=f(1-x);③f(x)的导数为f'(x)且f'(x)=f'(-x).
解析 由①得f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4.
由②得f(x)的图象关于直线x=1对称.由③得f(x)的图象关于点(0,c)对称,c为常数.
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关键能力提升练
11.(2024陕西西安二模)正弦波是频率成分非常单一的信号,其波形是数学上的正弦曲线,任何复杂信号,如光谱信号、声音信号等,都可由多个不同的正弦波复合而成.现已知某复合信号I(x)由三个振幅、频率相同的正弦波f(x),g(x),h(x)叠加而成,即I(x)=f(x)+g(x)+h(x),设f(x)=Asin(ωx+φ),g(x)=Asin(ωx+α), h(x)=Asin(ωx+β)(A>0,ω>0,|φ|< ,α,β∈(0,π)),若图中所示为
f(x)的部分图象,则下列描述正确的是( )
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13.(多选题)(2024河北秦皇岛三模)已知函数f(x)=2|sin x|cos x,则( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是周期为π的周期函数
AD
解析 显然f(x)的定义域是R.因为f(-x)=2|sin(-x)|cos(-x)=2|sin x|cos x=f(x),
所以f(x)是偶函数,故A正确;
易知f(x+π)=2|sin(x+π)|cos(x+π)=2-|sin x|cos x≠f(x),故B错误;
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核心素养创新练
16.(2024海南学业水平诊断)若函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的任意连续三个交点均构成钝角三角形,则正实数ω的取值范围是( )
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解析 如图,作出函数y=2sin ωx和y=2cos ωx的大致图象,
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16(共35张PPT)
专题突破练8 三角恒等变换与解三角形
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主干知识达标练
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3.(2024江苏扬州模拟)在某直角三角形中,一个锐角α的斜边与其邻边的比,叫做该锐角的正割,用sec α表示;锐角α的斜边与其对边的比,叫做该锐角的余割,用csc α表示,则csc 10°- sec 10°=( )
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4.(2024山东青岛一模)△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2asin B, bc=4,则△ABC的面积为( )
A
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6.(多选题)(2024河北石家庄期末)黄金分割率的值可以用2sin 18°表示.下列结果等于黄金分割率的值的是( )
AD
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关键能力提升练
C
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C
解析 因为sin(α-β)=2cos(α+β),
所以sin αcos β-cos αsin β=2(cos αcos β-sin αsin β),
两边同除以cos αcos β,得到tan α-tan β=2-2tan αtan β,
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因为sin2α+cos2α=1,
所以tan α=0,
所以α=kπ,k∈Z,
当k为奇数时,cos α=-1,sin α=0,
当k为偶数时,cos α=1,sin α=0,
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15.(多选题)(2024湖南长沙二模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=b(2cos A+1),则下列结论正确的有( )
A.A=2B
ABD
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解析 对于A,在△ABC中,由正弦定理得sin C=2sin Bcos A+sin B,
由sin C=sin(A+B),
得sin Acos B-cos Asin B=sin B,
即sin(A-B)=sin B,
由0
则sin B>0,故0所以A-B=B或A-B+B=π,
即A=2B或A=π(舍去),即A=2B,A正确;
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16.(5分)(2024四川成都模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其面积为S,若
是 .
直角三角形
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18.(13分)(2024江苏苏锡常镇模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+(b+2c)cos A=0.
(1)求A;
(2)若点D在边BC上,BD=2DC,AD=2,c=2b,求△ABC的面积.
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解 (1)由正弦定理,得sin Acos B+(sin B+2sin C)cos A=0,
整理得sin(A+B)+2sin Ccos A=0.
因为sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,sin C≠0,
所以有2cos A+1=0,
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核心素养创新练
19.(5分)(2024重庆北碚模拟)如图所示,为了测量A,B两座岛之间的距离,小船从初始位置C出发,已知A在C的北偏西45°的方向上,B在C的北偏东15°的方向上,现在小船往东航行200海里到达E处,此时测得B在E的北偏西30°的方向上,小船再返回到C处后,由C向西航行200 海里到达D处,测得A在D的北偏东22.5°的方向上,则A,B两座岛之间的距离为 海里.
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专题突破练9 三角函数与解三角形解答题
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3.(13分)(2024河北衡水一模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,△ABC的面积为S,若D为AC边上一点,满足AB⊥BD,BD=2,
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B
A
C
D(共52张PPT)
专项突破二 三角函数与解三角形解答题
考点一 三角函数的性质与图象的综合应用
[对点训练1](2024北京房山模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)再从条件①、条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知,确定f(x)的解析式.设函数g(x)=f(x)-2sin2x,求g(x)的单调递增区间.
考点二 正弦定理、余弦定理及综合应用(多考向探究预测)
考向1求三角形中的边与角
例2(2023新高考Ⅱ,17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为 ,D为BC的中点,且AD=1.
(1)若∠ADC= ,求tan B;
(2)若b2+c2=8,求b,c.
[对点训练2](2024四川成都模拟)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,(a+b)·(sin B-sin A)=c[sin(A+B)-sin A].
(1)求角B;
解 (1)因为(a+b)(sin B-sin A)=c[sin(A+B)-sin A],
所以(a+b)(sin B-sin A)=c[sin(π-C)-sin A],
即(a+b)(sin B-sin A)=c(sin C-sin A),
由正弦定理可得(a+b)(b-a)=c(c-a),
所以b2-a2=c2-ac,即a2+c2-b2=ac,
考向2与面积有关的解三角形问题
例3(2023全国甲,文17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
[对点训练3](2024广东梅州二模)在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c, acos B-bsin A= c,c=2,
(1)求A的大小;
(2)点D在BC上,
①当AD⊥AB,且AD=1时,求AC的长;
②当BD=2DC,且AD=1时,求△ABC的面积S△ABC.
考向3解三角形中的证明问题
例4(2022全国乙,理17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A).
(1)证明:2a2=b2+c2;
(2)若a=5,cos A= ,求△ABC的周长.
(1)证明 ∵sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),
∴sin Csin Acos B-sin Csin Bcos A=sin Bsin Ccos A-sin Bsin Acos C,
[对点训练4](2024陕西安康模拟)已知锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中
(1)求证:B=2C;
(2)已知点M在线段AC上,且∠ABM=∠CBM,求BM的取值范围.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,整理得c=a-2ccos B.
由正弦定理得sin C=sin A-2sin Ccos B,故sin C=sin(B+C)-2sin Ccos B,
即sin C=sin Bcos C+sin Ccos B-2sin Ccos B,
整理得sin C=sin(B-C),
(2)解 因为点M在线段AC上,且∠ABM=∠CBM,即BM平分∠ABC,
又∠ABC=2C,所以C=∠CBM,则∠BMC=π-C-∠CBM=π-2C.
考向4解三角形中的最值与范围问题
例5已知四边形ABCD内接于圆O,AB=2,∠ADB=30°,∠BAD是钝角.
(1)求AC的最大值;
(2)若BD=2 ,求四边形ABCD周长的最大值.
延伸探究
(变结论)在例5(2)的条件下,求△BCD面积的最大值.
解 设BC=x,CD=y,因为∠BCD=60°,
在△BCD中,由余弦定理得12=x2+y2-xy≥2xy-xy=xy,即xy≤12,当且仅当x=y=6时,等号成立,
考点三 解三角形的实际应用
例6(2024安徽合肥三模)如图,某人开车在山脚下水平公路上自A向B行驶,山脚与公路处于同一水平面上.在A处测得山顶P处的仰角∠PAO=30°,该车以45 km/h的速度匀速行驶4分钟后,到达B处,此时测得山顶P处的仰角
(1)求此山的高OP的值;
(2)求该车从A到B的行驶过程中观测P点的仰角正切值的最大值.
(1)当走私船发现了巡逻艇时,两船相距多少海里
(2)巡逻艇应该沿什么方向去追,才能最快追上走私船