《二次函数》精选压轴题—广东省（人教版）数学九（上）期末复习
一、单选题
1．（2024九上·蓬江期末）已知二次函数的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，
∵该二次函数的开口向上，对称轴为直线，且只经过三个象限，
∴，即，
∴m的取值范围为；
故答案为：A
【分析】先根据二次函数与坐标轴的交点结合一元二次方程根的判别式得到，从而得到，再根据二次函数的图象即可得到该二次函数的图象与y轴交于正半轴或过原点，进而求出，从而即可求解。
2．（2024九上·增城期末）如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点，，点在轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥y轴于点H
∵△AOB为等腰直角三角形
∴BH=AH=OH
设B(m，-m)，则A(0，-2m)
∴
∴am=1，
∴ac=-2
故答案为：C
【分析】过点B作BH⊥y轴于点H，根据等腰直角三角形性质可得BH=AH=OH，设B(m，-m)，则A(0，-2m)，将两点坐标代入抛物线解析式可得am=1，，则ac=-2，即可求出答案.
3．（2024九上·黄埔期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a
④＜a＜
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵函数开口方向向上
∴a>o
∵对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号，即ab<0.
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c<0
∴abc>0
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A(-1，0），对称轴为直线x=1
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0）
∴当x=2时，y<0
∴4a+2b+c<0
故②错误
③∵图象与x轴交于点A（-1，0)
∴当x=-1时，y=(-1)2a+b(-1)+c=0
使用a-b+c=0，即a=b-c，c=b-a
∵对称轴为直线x=1
∴=1，即b=-2a
∴c=b-a=(-2a)-a=-3a.
∴4ac-b2=4a(-3a)-(-2a)2=-16a2< 0.
∵8a>0，
∴4ac-b2<8a
故③正确
④∵图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间
∴-2∴-2<-3a<-1
∴
故④正确
⑤∵a>0
∴b-c>0，即b>c
故⑤正确
故答案为：D
【分析】根据二次函数额图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
4．（2024九上·惠东期末）已知抛物线，且，．判断下列结论：
①抛物线与x轴负半轴必有一个交点；②；③；④；⑤当时，，其中正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①②⑤ C．②③⑤ D．①②③④⑤
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，②正确；
由两式相加得，，
∵，，
∴，
∴，③错误；
当时，，当时，，
∴当时，方程的两个根一个小于，一个大于1，
∴抛物线与x轴负半轴必有一个交点，①正确；
由抛物线对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，有最大值，即为，⑤正确；
由题意得，④错误；
综上所述，①②⑤正确；
故答案为：B
【分析】根据题意将，相减，进而即可判断②；将两式相加得到，从而根据二次函数的图象得到，，进而得到，再结合题意即可判断③；根据二次函数与坐标轴的交点结合一元二次方程的根得到当时，方程的两个根一个小于，一个大于1，抛物线与x轴负半轴必有一个交点，从而判断③；根据二次函数的图象与性质得到由抛物线对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，再求出最值即可判断⑤；根据题意结合整式的运算即可判断④.
5．（2024九上·南沙期末）二次函数图象上部分点的坐标满足下表∶
x … 0 1 2 3 4 …
y … 8 3 0 m 3 …
下列说法中：①该二次函数的对称轴为直线；②；③不等式的解集为；④方程有两个不相等的实数根，正确的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点(0，3)，（4，3)，
∴抛物线的对称轴为直线x =2，顶点坐标为(2，-1)，①正确
∵由表中数据得x=2时，y=-1最小，
∴抛物线开口向上，
∴a >0，②错误
∵抛物线的对称轴为直线=2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，抛物线开口向上，
∴当1<3时，y<0
即不等式ax2+ bx+c< 0的解集为1<3，③正确
∵抛物线的对称轴为直线=2，抛物线经过点(-1，8)
∴抛物线经过点(5，8)，
∴方程ax2+bx+c=8(a≠0)有两个不相等的实数根，④正确
故答案为：C
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
6．（2024九上·天河期末）已知点，都在一次函数（，是常数，）的图象上，（ ）
A．若有最大值4，则的值为 B．若有最小值4，则的值为
C．若有最大值，则的值为4 D．若有最小值，则的值为4
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点，都在一次函数的图象上
∴n=mk+b，3k+b=0，即b=-3k
∴
当k>0时，mn有最小值k
当k<0时，mn有最大值k
A：若有最大值k=4，解得，错误，不符合题意；
B：若有最小值k=4，解得，错误，不符合题意；
C：若有最大值k=，解得k=4，错误，不符合题意；
D：若有最小值k=，解得k=4>0，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】将点P，Q坐标代入一次函数解析式可得，再根据二次函数性质逐项进行判断即可求出答案.
7．（2024九上·花都期末）如图，抛物线与直线交于A、B两点点A在点B的左侧，动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线与直线交于A、B两点
∴
解得：x=1或
当x=1时，y=x-2=-1
当时，
∴点A的坐标为，点B的坐标为（1.-1）
∵抛物线对称轴方程为
作点A关于抛物线的对称轴的对称点A'，作点B关于x轴的对称点B'，连接A'B'
∴直线A'B'与对称轴的交点为E，与x轴的交点为F
∴BF=B'F，AE=A'E
∴点P运动的最短总路径为AE+EF+FB=A'E+EF+FB'=A'B'
延长BB'，AA'相交于C
∴
∴
∴点P运动的总路径的长为
故答案为：A
【分析】联立直线与抛物线解析式，解方程可得点A的坐标为，点B的坐标为（1.-1），求出抛物线对称轴，作点A关于抛物线的对称轴的对称点A'，作点B关于x轴的对称点B'，连接A'B'，根据对称性质可得BF=B'F，AE=A'E，则点P运动的最短总路径为AE+EF+FB=A'E+EF+FB'=A'B'，延长BB'，AA'相交于C，求出A'C，B'C，再根据勾股定理可得A'B'，即可求出答案.
8．（2024九上·金湾期末）二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值，如表格给出了以下结论：
0 1 2 3 4
5 0 0 5
①二次函数有最小值，最小值为；
②当时，；
③二次函数的图象与轴有两个交点，且它们分别在轴的两侧；
④当时，随的增大而减小.则其中正确结论有（ ）.
A．②④ B．③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由表可知， 二次函数有最小值，最小值为-4，①错误
当时，，②正确
二次函数的图象与轴有两个交点，且它们分别在轴的两侧，③正确
当时，随的增大而减小，④正确
故答案为：C
【分析】根据二次函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
9．（2022八上·宜春月考）抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论中：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④若点在该抛物线上，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由图象可得，，
∴， 故①错误；
∵，
∴， 故， 故②正确；
抛物线与轴有两个交点，故方程有两个不相等的实数根，故③正确；
∵当时，该函数取得最大值，此时，
∴点在该抛物线上， 则，即，故④正确．
∴正确的有②③④共三个，
故答案为：C．
【分析】利用一次函数的图象、性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
10．（2024九上·番禺期末）抛物线（a，b，c是常数，）经过，，三点，且．在下列四个结论中：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则；其正确结论的序号是（ ）．
A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵图象经过(1，1)，
∴a+b+c=1>0
故①正确
∵c<0
抛物线与y轴的负半轴有交点，
如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点都在（1，0）的左侧
∵(n，0)中，n≥3
∴抛物线与x轴的一个交点一定在(3，0)或(3，0)的右侧，
∵抛物线的开口一定向下，即a<0
把(1，1)代入y=ax2+bx+c得：a+b+c=1
即b=1-a-c
∵a<0，c<0，
∴b>0
∴
∴方程ax2+bx+c=0的两根之积大于0
即mn >0
∵n≥3，
∴m>0
∴
即抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，
∴抛物线的顶点在点（1，1)的上方或者右上方
∴
∵4a<0，
∴，②正确
∵m>0.
∴当n＝3时，
∴抛物线对称轴在直线x=1.5的右侧，
∴（1，1)到对称轴的距离大于(2，t)到对称轴的距离
∵a<0，抛物线开口向下
∴距离抛物线越近的函数值越大
∴t>1，③错误
方程ax2+bx+c=x可变为ax2+(b-1)x+c=0
∵方程有两个相等的实数解，
∴△=(b-1)2-4ac=0
∵把(1，1)代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即1-b=a+c
∴（a+c)2-4ac=0
即a2+2ac+c2-4ac =0，
∴(a-c)2=0
∴a=c
∵（m，0)，(n，0)在抛物线上，
m，n为方程ax2+bx+c=0的两个根
∴
∴
∵n≥3
∴，解得：，④正确.
综上，正确的结论有：①②④
故答案为：B
【分析】根据二次函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题
11．（2024九上·广州期末）如图，抛物线的开口向上，经过点和且与y轴交于负半轴．则下列结论：①，②；③；④；其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线过，
a＋b＋c＝0，①正确；
∵抛物线开口向上，对称轴，且与y轴交于负半轴，
，，
，②错误，
∵，
，
，
，③错误，
抛物线经过点和，
，，④正确．
故答案为：
【分析】根据题意将代入即可判断①；根据二次函数的图象得到抛物线开口向上，对称轴，且与y轴交于负半轴，进而得到，，，从而判定②；再根据二次函数的对称轴得到，，从而即可判断③；根据二次函数图象上的点的坐标特征代入和得到，，从而判定④.
12．（2024九上·花都期末）如图，是的直径，弦平分圆周角，则下列结论：
①②是等腰直角三角形③④
正确的有 ．
【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：延长CA到点F，使AF=BC，连接DF
∵AB是的直径
∴∠ACB=90°
∵弦CD平分圆周角∠ACB
∴∠ACD=∠BCD=45°
∴∠ABD=∠ACD=45°，∠BAD=∠BCD=45°
∴∠ABD=∠BAD
∴AD=BD
∵AB是的直径
∴∠ADB=90°
∴△ABD是等腰直角三角形，①②正确
∵四边形ADBC是的内接四边形
∴∠FAD=∠DBC
在△FAD和△CBD中
∴△FAD≌△CBD（SAS）
∴FD=CD，∠ADF=∠BDC
∵∠ADC+∠BDC=90°
∴∠ADC+∠ADF=90°
∴∠FDC=90°
∴△CDF是等腰直角三角形
∴
∴
，③错误，④正确
故答案为：①②④
【分析】延长CA到点F，使AF=BC，连接DF，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，∠ACD=∠BCD=45°，则∠ABD=∠ACD=45°，∠BAD=∠BCD=45°，即∠ABD=∠BAD，根据等角对等边可得AD=BD，再根据等腰直角三角形判定定理可得△ABD是等腰直角三角形，则①②正确，根据圆内接四边形性质可得∠FAD=∠DBC，再根据全等三角形判定定理可得△FAD≌△CBD（SAS），则FD=CD，∠ADF=∠BDC，再根据等腰直角三角形判定定理可得△CDF是等腰直角三角形，则，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
三、解答题
13．（2022九上·中山期末）已知抛物线关于轴对称，与轴交于、两点，点坐标为，抛物线还经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点在轴上，在抛物线上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线 关于 轴对称，
∴对称轴 ．
即 ．
∵抛物线 经过点 和点 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为 ，且函数图象关于 轴对称，点 坐标为 ，
∴点 坐标为 ．
∴ ．
①以 为边构造平行四边形时，
∴ ，
即 平行于 轴．
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
∴ ，
∴ ．
解得： ．
即点 的坐标为 或 ．
②以 为对角线构造平行四边形时，
∴ ， ．
又∵点 在 轴上，对角线 在 轴上，
∴点 在 轴上，
即点 的坐标为抛物线的顶点坐标 ．
综上所述，点 的坐标为： 或 或 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）分类讨论： ①以AB为边构造平行四边形时，②以AB为对角线构造平行四边形时，再分别求解即可。
14．（2024九上·蓬江期末）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为，大孔顶点P距水面（即），小孔水面宽度为，小孔顶点Q距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求大孔抛物线的解析式；
（2）现有一艘船高度是，宽度是，这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？并说明理由．
（3）当水位上涨时，求小孔的水面宽度．
【答案】（1）解；设大孔抛物线的解析式为，
由题意得，，
把代入中得：，
解得，
∴大孔抛物线的解析式为；
（2）解：这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔，理由如下：
在中，当时，解得，
∵，
∴这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔；
（3）解：设右边小孔抛物线解析式为，
由题意得，，
把代入中得，
解得，
∴右边小孔抛物线解析式为，
在中，当时，
解得或，
∴，
∴小孔的水面宽度为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）设大孔抛物线的解析式为，先根据题意得到点A的坐标，再将点A的坐标代入函数解析式即可得到a，从而即可求解；
（2）根据题意求出x=9时y的值，进而对比船高即可求解；
（3）设右边小孔抛物线解析式为，进而根据题意得到点B的坐标，再代回得到a'，从而得到函数解析式，再根据题意令y=4，从而求出x，再将x的值相减即可求解。
15．（2024九上·中山期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，其中，，抛物线经过，两点，并与轴交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在线段上以每秒个单位长度的速度从向运动，同时点在线段上以每秒个单位长度的速度从向运动当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动设运动时间为秒，求为何值时，的面积最大？并求出最大值；
（3）是否存在某个时间，使得以为直径的圆与的边或相切？若存在，求出；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：，，
，
，
点的坐标为，点的坐标为，
把，，代入，解得，，
抛物线的解析式为；
（2）解：把代入，解得点的横坐标，舍去，，
点的坐标为，
，
点在线段上以每秒个单位长度的速度从向运动，同时点在线段上以每秒个单位长度的速度从向运动，
，，
，，且当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动，
，
过点作轴，垂足为，
轴，
，
，
，
，
，
当时，取最大值为；
（3）解：设运动秒后，，则轴，
，
，，
，
，
，
，
即当时，以为直径的圆与相切，
当时，则，
，
，
又，，
，
，
，
即当时，以为直径的圆与相切，
综上所述，当或时，以为直径的圆与的边或相切．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据含30°角的直角三角形性质可得BC=2OB=8，再根据勾股定理可得OC，则点的坐标为，点的坐标为，根据待定系数法将点B，C坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入抛物线解析式可得点的坐标为，则AB=5，根据题意可是我AE=t，BF=2t，过点作轴，垂足为，根据直线平行性质可得，则，根据勾股定理可得GF，再根据三角形面积，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）设运动秒后，，则轴，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得，即当时，以为直径的圆与相切；当时，则，根据角之间的关系可得，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
16．（2024九上·汕尾期末）综合应用
如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为上一动点点不与点，重合．
（1）直接写出点，的坐标： ， ；
（2）如图，过点作轴，交线段于点，交抛物线于点，当时，求的面积；
（3）如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，当点在抛物线上时，求点的坐标．
【答案】（1）（-4，0）；（0，2）
（2）解：设直线的解析式为，
则，
，
；
设，则，
，
，
，
解得：舍去或，
，，，
，，
；
（3）解：设，如图，过点作轴垂线交于点，
，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
解得或舍去，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；旋转的性质；二次函数-动态几何问题；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（1）令y=0，则
解得：x=-4或x=2（舍去）
∴点A(-4，0)
令x=0，则y=2
∴点C（0，2）
故答案为：(-4，0)，（0，2）
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征令y=0，可得x值，令x=0，可得y值，即可求出答案.
（2）设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，C坐标代入直线解析式可得，设，则，根据两点间距离可得，根据题意建立方程，解方程可得MN=1，，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）设，过点作轴垂线交于点，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得≌，则，，即，再将点D代入抛物线解析式即可求出答案.
17．（2024九上·惠东期末）综合探究：如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段PQ的长，并求出当m为何值时，PQ有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在动过中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）在（2）的条件下，直PM上有一动点R，连接RO，将线段RO绕点R逆时针旋转90度，使点O的对应点T恰好落在该抛物线上，求出点R的坐标．
【答案】（1）解：依题意得，
（2）解：令，则，
∴，
设直线BC的解析式为，
解得，
∴，
∵轴，
∴设，
∴
∴当时，PQ有最大值；
（3）解：存在，Q点坐标为或
设，
∴，，，
当时，，解得（舍）或，
∴；
当时，，解得或（舍），
∴；
当时，，解得（舍）；
综上所述：Q点坐标为或；
（4）解：如图 1，过点R作轴交于点G，过点T作交于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
∴，，
∴，
∵T点在抛物线上，
∴，
解得或，
∴或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；三角形全等的判定-AAS；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据点A和点B的坐标结合题意即可列出交点式，从而即可求解；
（2）先根据二次函数与坐标轴的交点坐标得到点C的坐标，再运用待定系数法求出直线BC的函数解析式，从而设，，表示出PQ后，根据二次函数的最值即可求解；
（3）设，进而根据坐标系中两点间的距离公式得到，，，根据勾股定理分类讨论：当时，当时，当时，从而根据题意解一元二次方程即可求解；
（4）过点R作轴交于点G，过点T作交于点H，先根据题意等量代换得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，，设，则，，，再根据二次函数图象上的点的坐标特征得到，再解一元二次方程即可求解。
18．（2024九上·东莞期末）如图，抛物线与x轴交于，，交y轴于点C，点P是线段下方抛物线上一动点，过点P作交于点Q，连接，，，。
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求周长的最小值；
（3）假设与的面积分别为，，且，求S的最大值。
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点
∴解得
∴抛物线的函数解析式为
（2）解：如图，作点O关于直线BC的对称点O'，连接AO'，QO'，CO'，BO'
∵抛物线y＝ax2+bx﹣6交y轴于点C
∴C（0，﹣6）
∴OB＝OC＝6，∠BOC＝90°
∴∠BCO＝45°
∵O、O'关于直线BC对称
∴BC与OO'互相垂直平分
∴四边形BOCO'是正方形，
∴O'（6，﹣6）
在Rt△ABO'中，AO'＝＝10
∵QA+QO'≥AO'，QO'＝QO
∴QO+QA＝QA+QO'≥AO'＝10
即点Q位于直线AO'与直线BC交点时，QA+QO的最小值为10
∴△AOQ周长的最小值为AO+QA+QO＝2+10＝12
（3）解：如图，连接PC，过点P作PH⊥BO于点H
∵PQ∥AC
∴△PAQ与△PCQ的面积相等
∴S＝S1+S2＝S△PAQ+S△PBQ＝S△PCQ+S△PBQ＝S△PBC＝S梯形PCOH+S△PBH﹣S△BOC
设P（m，m2﹣2m﹣6）
则S＝（﹣m2+2m+6+6）m+（6﹣m）（﹣m2+2m+6）-×6×6
＝﹣m2+9m
＝﹣（m﹣3）2+
∵0＜m＜6
∴当m＝3吋，S有最大值
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）作点O关于直线BC的对称点O'，连接AO'，QO'，CO'，BO'，根据y轴上点的坐标特征可得C（0，﹣6），根据等腰直角三角形性质可得∠BCO＝45°，再根据对称性质可得BC与OO'互相垂直平分，由正方形判定定理可得四边形BOCO'是正方形，则O'（6，﹣6），在Rt△ABO'中，根据勾股定理可得AO'=10，再根据边之间的关系点Q位于直线AO'与直线BC交点时，QA+QO的最小值为10，即可求出答案.
（3）连接PC，过点P作PH⊥BO于点H，根据直线平行性质可得△PAQ与△PCQ的面积相等，则S＝S1+S2＝S△PAQ+S△PBQ＝S△PCQ+S△PBQ＝S△PBC＝S梯形PCOH+S△PBH﹣S△BOC，设P（m，m2﹣2m﹣6）代入计算，结合二次函数的性质即可求出答案.
19．（2024九上·金平期末）如图1，抛物线与x轴交于、，与y轴交于点C.直线与抛物线交于点B与点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D是第一象限抛物线上一点，设D点横坐标为m.连接OD，将线段OD绕O点逆时针旋转90°，得到线段OE，过点E作轴交直线BC于F，求线段EF的最大值；
（3）如图3，将抛物线在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，与原抛物线在x轴下方部分的图象组成新图象，若直线与新图象有且只有两个交点，请你直接写出n的取值范围.
【答案】（1）解：抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（-1，0）、B（3，0），
∴.解得.
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）解：过D作DG⊥x轴于G，EF交y轴于H，
∴∠EHO=∠DGO=90°.
∵∠EOA+∠EOH=∠HOA=90°，
∠EOA+∠DOG=180°-∠EOD=90°，
∴∠EOH=∠DOG.
∵OE=OD，
∴△EOH≌△DOG.
∴EH=DG，OH=OG.
∵D点横坐标为m，
∴OG=m.
∴OH=OG=m.
∵点D在抛物线y=-x2+2x+3上，
∴DG=-m2+2m+3.
∴EH=DG=-m2+2m+3.
把y=m代入y=-x+3得m=-x+3，
∴x=3-m.
∴FH=3-m.
∴EF=EH+FH=-m2+2m+3+3-m=-m2+m+6=-（m-）2+.
∴线段EF的最大值为；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（3）由翻折可知，x轴下方的抛物线的解析式为y=x2-2x-3 (-1≤x≤3)
当y=5x+n与y=-x2+2x+3只有一个交点时，y=5x+n与新图象只有一个交点，
联立
整理得x2+3x+n-3=0
∵，解得：
∴，解得：
得y=5x+n与y=-x2+2x+3的交点在点A的左侧
将直线向下平移直至y=5x+n经过点B之前时，y=5x+n与新图象有2个交点，
当y=5x+n经过点B时，15+n=0，
解得n=-15.
联立，解得：或（舍去）
∴当y=5x+n经过点B时，直线与新图象仍有2个交点
将直线继续向下平移直至直线与y=x2-2x-3（-1≤x≤3）只有一个交点时，
联立
整理得x2-7x-n-3=0，
∵△=（-7)2-4×1×（-n-3)=0，解得：
∴，解得：
∵交点位于点B的右侧上方部分
∴此时直线与新图象仍有2个交点
继续往下平移，y=5x+n与新图象有2个交点
综上所述，当时，直线y=5x+n与新图象有且只有两个交点
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）过D作DG⊥x轴于G，EF交y轴于H，根据角之间的关系可得∠EOH=∠DOG，再根据全等三角形判定定理可得△EOH≌△DOG，则EH=DG，OH=OG，则OH=OG=m，由点D在抛物线上可得EH=DG=-m2+2m+3，把y=m代入y=-x+3得m=-x+3，则FH=3-m，再根据边之间的关系可得EF=EH+FH=-（m-）2+，结合二次函数的性质即可求出答案.
（3）由翻折可知，x轴下方的抛物线的解析式为y=x2-2x-3 (-1≤x≤3)，当y=5x+n与y=-x2+2x+3只有一个交点时，y=5x+n与新图象只有一个交点，联立直线与抛物线方程可得y=5x+n与y=-x2+2x+3的交点在点A的左侧，将直线向下平移直至y=5x+n经过点B之前时，y=5x+n与新图象有2个交点，当y=5x+n经过点B时，联立直线与抛物线方程可得当y=5x+n经过点B时，直线与新图象仍有2个交点，将直线继续向下平移直至直线与y=x2-2x-3（-1≤x≤3）只有一个交点时，联立直线与抛物线方程可得交点位于点B的右侧上方部分，此时直线与新图象仍有2个交点，继续往下平移，y=5x+n与新图象有2个交点，即当时，直线y=5x+n与新图象有且只有两个交点.
20．（2024九上·天河期末）已知抛物线与轴交于坐标原点和点．
（1）已知该抛物线的顶点的纵坐标与点的横坐标相同，设过点的直线与抛物线的另一个交点为．求点和点的坐标；
（2）将线段绕点逆时针旋转得到线段，若该抛物线与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围；
（3）若直线与该抛物线交于两点（点在点左侧），连接．设直线为，直线为；令，求与的函数关系式．
【答案】（1）解：把代入，
解得，
∴，
∴，
令，
解得，
∴，
∵顶点的纵坐标与点的横坐标相同，
∴，
∴，
∴，
∴点；
把代入，
∴，
∴，
∵
∴，．
故．
（2）或．
（3）解：∵，不妨设，，
∵，直线为，直线为；
∴，，
解得，，
∵，
∴，
∵直线与抛物线交于两点（点在点左侧），
∴m，n是方程即的两个根，
∴，
∴，
故与的函数关系式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（2）解：如图
当时，
∵抛物线与轴交于坐标原点和点，且点且线段绕点逆时针旋转得到线段，∴在第一象限内，点C的横坐标等于纵坐标，为，
∴上的点除原点外，都在抛物线的内部，
满足抛物线与线段只有一个交点；
当时，根据题意，在第一象限内，点C的横坐标等于纵坐标，
故的解析式为，
根据题意，得，
整理得，
∵抛物线与线段只有一个交点，
∴，
解得，
故a的取值范围是或．
【分析】（1）将（0，0）代入抛物线解析式可得，则，，根据x轴上点的坐标特征令，解方程可得，根据顶点的纵坐标与点的横坐标相同，可得，根据二次函数性质可得点，根据待定系数法将点A坐标代入直线解析式可得，联立直线与抛物线解析式，解方程即可求出答案.
（2）分情况讨论：当时，当时，根据二函数的性质即可求出答案.
（3）设，，将点A，M，N坐标代入解析式可得，，则，即m，n是方程即的两个根，结合二次方程根与系数的关系即可求出答案.
21．（2024九上·花都期末）阅读：如图1，点A是外一点，点P是上一动点．若的半径为3，长度为5，则根据：，得到点P到点A的最短距离为：．
解决问题：
（1）如图2，已知正方形的边长为4，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边方向向终点C和D运动，连接和交于点P．
①证明：．
②求点P到点C的最短距离．
（2）如图3，在平面直角坐标系中，等边的边在x轴正半轴上，点，，点D从B点出发，沿运动到O，点E同时从O点以相同的速度出发，沿运动到A，连接，交点为F，M是y轴上一点，求的最小值．
【答案】（1）解：①∵点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边方向向终点C和D运动，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
②如图：取中点O，连接．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点P在以为直径的上运动，
∵，，
又∵，
∴，
∴的最小值为．
（2）解：∵点D从B点出发，沿运动到O，点E同时从O点以相同的速度出发，沿运动到A，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图：作的外接圆，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为定三角形，一定，，，
∴为定三角形，
∴确定不变，
当点M为y轴一定点，则一定，所以当在同一条直线上时，有最小值，
由垂线段最短可知：当轴，最小，
如图：作于K，
∵为等边三角形，，
∴，即，
当轴时，轴，轴，，
∴四边形是矩形，
∴，
连接，
∵，，
∴垂直平分，
∵，
∴，
∴，
∴
∴的最小值为
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；垂径定理；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】（1）①由题意可得BM=CN，再根据正方形性质可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
②取中点O，连接，根据全等三角形性质可得，则，根据垂径定理，勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）由题意可得OE=BD，再根据等边三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，作的外接圆，连接，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，由等边对等角可得，则，再根据三角形三边关系可得，根据三角形性质可得确定不变，当点M为y轴一定点，则一定，所以当在同一条直线上时，有最小值，由垂线段最短可知：当轴，最小，作于K，根据等边三角形性质可得，即，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，连接，根据三角形内角和定理可得，再解含30°角的直角三角形即可求出答案.
22．（2024九上·番禺期末）蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线的一部分构成（以下简记为“抛物线”），其中，，现取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图①所示平面直角坐标系．请结合图形解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图②，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，其中L，R在抛物线上，若，求两个正方形装置的间距的长；
（3）如图③，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，大棚截面的阴影为，此刻，过点K的太阳光线所在的直线与抛物线交于点P，求线段的长．
【答案】（1）解：由题意可知四边形为矩形，为的中垂线，
∴，则，
∵，，
∴，，，
设抛物线的解析式为：，
代入，，，得，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵四边形，四边形均为正方形，，
∴，
延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，
∴，，
∴，
∵，当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：∵，垂直平分，
∴
∴，，
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴，
∵太阳光为平行光，
设过点 平行于的光线的解析式为，
由题意，得：与抛物线相切，
联立，整理得：，
则：，解得：；
∴，，
解得：，即：
当时，，即：，
当时，，即：，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，即，，根据边之间关系可得HL=4.75，将y=4.75代入函数关系式可得，，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据垂直平分线性质可得，则，，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得，设过点 平行于的光线的解析式为，由题意，得：与抛物线相切，联立方程组，解方程可得，当时，，即：，当时，，即：，再根据两点间距离公式即可求出答案.
23．（2024九上·金湾期末）综合运用
已知：抛物线与轴交于，，与轴交于点，顶点为.
图1 图2 备用图
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1：抛物线的对称轴交轴于点，在抛物线对称轴上找点，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标；（不需要证明）
（3）如图2：点在对称轴上，以点为圆心过、两点的圆与直线相切，求点的坐标.
【答案】（1）解：抛物线与轴交于，
，解得，
∴抛物线解析式为
（2）、、
（3）解：抛物线解析式为顶点
设直线的解析式为，、
，解得，
直线的解析式为
直线与轴、轴分别交于点，
，
，
.
，
，
，
在中，，
设，则，
，
，解得
或
综上所述，满足条件的点或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（2）令x=0，代入，可得y=3
∴C（0，3）
∵
∴对称轴为x=1
∴D（1，0）
∴OD=1，OC=3
∴
当CP=CD时，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则PQ=OD=1
∴Rt△CPQ≌Rt△CDO(HL)
∴CQ=OC=3
∴OQ=OC+CQ=6
∴P1(1，6)
当时
∵
∴
综上所述，点P的坐标为、、
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征令x=0，代入函数解析式可得C（0，3），求出对称轴，则OD=1，OC=3，根据勾股定理可得CD，分情况讨论：当CP=CD时，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则PQ=OD=1，根据全等三角形判定定理可得Rt△CPQ≌Rt△CDO(HL)，则CQ=OC=3，OQ=6，即P1(1，6)；当时，根据题意即可求出答案.
（3）求出抛物线顶点，设直线的解析式为，根据待定系数法将点C，E的坐标代入解析式可得直线的解析式为，根据点的坐标可得，则∠CEF=45°，再根据边之间的关系可得GF=FA=FE，设，则，，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1《二次函数》精选压轴题—广东省（人教版）数学九（上）期末复习
一、单选题
1．（2024九上·蓬江期末）已知二次函数的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·增城期末）如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点，，点在轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·黄埔期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a
④＜a＜
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
4．（2024九上·惠东期末）已知抛物线，且，．判断下列结论：
①抛物线与x轴负半轴必有一个交点；②；③；④；⑤当时，，其中正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①②⑤ C．②③⑤ D．①②③④⑤
5．（2024九上·南沙期末）二次函数图象上部分点的坐标满足下表∶
x … 0 1 2 3 4 …
y … 8 3 0 m 3 …
下列说法中：①该二次函数的对称轴为直线；②；③不等式的解集为；④方程有两个不相等的实数根，正确的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024九上·天河期末）已知点，都在一次函数（，是常数，）的图象上，（ ）
A．若有最大值4，则的值为 B．若有最小值4，则的值为
C．若有最大值，则的值为4 D．若有最小值，则的值为4
7．（2024九上·花都期末）如图，抛物线与直线交于A、B两点点A在点B的左侧，动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为
A． B． C． D．
8．（2024九上·金湾期末）二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值，如表格给出了以下结论：
0 1 2 3 4
5 0 0 5
①二次函数有最小值，最小值为；
②当时，；
③二次函数的图象与轴有两个交点，且它们分别在轴的两侧；
④当时，随的增大而减小.则其中正确结论有（ ）.
A．②④ B．③④ C．②③④ D．①②③④
9．（2022八上·宜春月考）抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论中：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④若点在该抛物线上，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024九上·番禺期末）抛物线（a，b，c是常数，）经过，，三点，且．在下列四个结论中：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则；其正确结论的序号是（ ）．
A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
二、填空题
11．（2024九上·广州期末）如图，抛物线的开口向上，经过点和且与y轴交于负半轴．则下列结论：①，②；③；④；其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
12．（2024九上·花都期末）如图，是的直径，弦平分圆周角，则下列结论：
①②是等腰直角三角形③④
正确的有 ．
三、解答题
13．（2022九上·中山期末）已知抛物线关于轴对称，与轴交于、两点，点坐标为，抛物线还经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点在轴上，在抛物线上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2024九上·蓬江期末）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为，大孔顶点P距水面（即），小孔水面宽度为，小孔顶点Q距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求大孔抛物线的解析式；
（2）现有一艘船高度是，宽度是，这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？并说明理由．
（3）当水位上涨时，求小孔的水面宽度．
15．（2024九上·中山期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，其中，，抛物线经过，两点，并与轴交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在线段上以每秒个单位长度的速度从向运动，同时点在线段上以每秒个单位长度的速度从向运动当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动设运动时间为秒，求为何值时，的面积最大？并求出最大值；
（3）是否存在某个时间，使得以为直径的圆与的边或相切？若存在，求出；若不存在，请说明理由．
16．（2024九上·汕尾期末）综合应用
如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为上一动点点不与点，重合．
（1）直接写出点，的坐标： ， ；
（2）如图，过点作轴，交线段于点，交抛物线于点，当时，求的面积；
（3）如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，当点在抛物线上时，求点的坐标．
17．（2024九上·惠东期末）综合探究：如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段PQ的长，并求出当m为何值时，PQ有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在动过中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）在（2）的条件下，直PM上有一动点R，连接RO，将线段RO绕点R逆时针旋转90度，使点O的对应点T恰好落在该抛物线上，求出点R的坐标．
18．（2024九上·东莞期末）如图，抛物线与x轴交于，，交y轴于点C，点P是线段下方抛物线上一动点，过点P作交于点Q，连接，，，。
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求周长的最小值；
（3）假设与的面积分别为，，且，求S的最大值。
19．（2024九上·金平期末）如图1，抛物线与x轴交于、，与y轴交于点C.直线与抛物线交于点B与点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D是第一象限抛物线上一点，设D点横坐标为m.连接OD，将线段OD绕O点逆时针旋转90°，得到线段OE，过点E作轴交直线BC于F，求线段EF的最大值；
（3）如图3，将抛物线在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，与原抛物线在x轴下方部分的图象组成新图象，若直线与新图象有且只有两个交点，请你直接写出n的取值范围.
20．（2024九上·天河期末）已知抛物线与轴交于坐标原点和点．
（1）已知该抛物线的顶点的纵坐标与点的横坐标相同，设过点的直线与抛物线的另一个交点为．求点和点的坐标；
（2）将线段绕点逆时针旋转得到线段，若该抛物线与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围；
（3）若直线与该抛物线交于两点（点在点左侧），连接．设直线为，直线为；令，求与的函数关系式．
21．（2024九上·花都期末）阅读：如图1，点A是外一点，点P是上一动点．若的半径为3，长度为5，则根据：，得到点P到点A的最短距离为：．
解决问题：
（1）如图2，已知正方形的边长为4，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边方向向终点C和D运动，连接和交于点P．
①证明：．
②求点P到点C的最短距离．
（2）如图3，在平面直角坐标系中，等边的边在x轴正半轴上，点，，点D从B点出发，沿运动到O，点E同时从O点以相同的速度出发，沿运动到A，连接，交点为F，M是y轴上一点，求的最小值．
22．（2024九上·番禺期末）蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线的一部分构成（以下简记为“抛物线”），其中，，现取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图①所示平面直角坐标系．请结合图形解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图②，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，其中L，R在抛物线上，若，求两个正方形装置的间距的长；
（3）如图③，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，大棚截面的阴影为，此刻，过点K的太阳光线所在的直线与抛物线交于点P，求线段的长．
23．（2024九上·金湾期末）综合运用
已知：抛物线与轴交于，，与轴交于点，顶点为.
图1 图2 备用图
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1：抛物线的对称轴交轴于点，在抛物线对称轴上找点，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标；（不需要证明）
（3）如图2：点在对称轴上，以点为圆心过、两点的圆与直线相切，求点的坐标.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，
∵该二次函数的开口向上，对称轴为直线，且只经过三个象限，
∴，即，
∴m的取值范围为；
故答案为：A
【分析】先根据二次函数与坐标轴的交点结合一元二次方程根的判别式得到，从而得到，再根据二次函数的图象即可得到该二次函数的图象与y轴交于正半轴或过原点，进而求出，从而即可求解。
2．【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥y轴于点H
∵△AOB为等腰直角三角形
∴BH=AH=OH
设B(m，-m)，则A(0，-2m)
∴
∴am=1，
∴ac=-2
故答案为：C
【分析】过点B作BH⊥y轴于点H，根据等腰直角三角形性质可得BH=AH=OH，设B(m，-m)，则A(0，-2m)，将两点坐标代入抛物线解析式可得am=1，，则ac=-2，即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵函数开口方向向上
∴a>o
∵对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号，即ab<0.
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c<0
∴abc>0
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A(-1，0），对称轴为直线x=1
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0）
∴当x=2时，y<0
∴4a+2b+c<0
故②错误
③∵图象与x轴交于点A（-1，0)
∴当x=-1时，y=(-1)2a+b(-1)+c=0
使用a-b+c=0，即a=b-c，c=b-a
∵对称轴为直线x=1
∴=1，即b=-2a
∴c=b-a=(-2a)-a=-3a.
∴4ac-b2=4a(-3a)-(-2a)2=-16a2< 0.
∵8a>0，
∴4ac-b2<8a
故③正确
④∵图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间
∴-2∴-2<-3a<-1
∴
故④正确
⑤∵a>0
∴b-c>0，即b>c
故⑤正确
故答案为：D
【分析】根据二次函数额图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，②正确；
由两式相加得，，
∵，，
∴，
∴，③错误；
当时，，当时，，
∴当时，方程的两个根一个小于，一个大于1，
∴抛物线与x轴负半轴必有一个交点，①正确；
由抛物线对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，有最大值，即为，⑤正确；
由题意得，④错误；
综上所述，①②⑤正确；
故答案为：B
【分析】根据题意将，相减，进而即可判断②；将两式相加得到，从而根据二次函数的图象得到，，进而得到，再结合题意即可判断③；根据二次函数与坐标轴的交点结合一元二次方程的根得到当时，方程的两个根一个小于，一个大于1，抛物线与x轴负半轴必有一个交点，从而判断③；根据二次函数的图象与性质得到由抛物线对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，再求出最值即可判断⑤；根据题意结合整式的运算即可判断④.
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点(0，3)，（4，3)，
∴抛物线的对称轴为直线x =2，顶点坐标为(2，-1)，①正确
∵由表中数据得x=2时，y=-1最小，
∴抛物线开口向上，
∴a >0，②错误
∵抛物线的对称轴为直线=2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，抛物线开口向上，
∴当1<3时，y<0
即不等式ax2+ bx+c< 0的解集为1<3，③正确
∵抛物线的对称轴为直线=2，抛物线经过点(-1，8)
∴抛物线经过点(5，8)，
∴方程ax2+bx+c=8(a≠0)有两个不相等的实数根，④正确
故答案为：C
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点，都在一次函数的图象上
∴n=mk+b，3k+b=0，即b=-3k
∴
当k>0时，mn有最小值k
当k<0时，mn有最大值k
A：若有最大值k=4，解得，错误，不符合题意；
B：若有最小值k=4，解得，错误，不符合题意；
C：若有最大值k=，解得k=4，错误，不符合题意；
D：若有最小值k=，解得k=4>0，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】将点P，Q坐标代入一次函数解析式可得，再根据二次函数性质逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线与直线交于A、B两点
∴
解得：x=1或
当x=1时，y=x-2=-1
当时，
∴点A的坐标为，点B的坐标为（1.-1）
∵抛物线对称轴方程为
作点A关于抛物线的对称轴的对称点A'，作点B关于x轴的对称点B'，连接A'B'
∴直线A'B'与对称轴的交点为E，与x轴的交点为F
∴BF=B'F，AE=A'E
∴点P运动的最短总路径为AE+EF+FB=A'E+EF+FB'=A'B'
延长BB'，AA'相交于C
∴
∴
∴点P运动的总路径的长为
故答案为：A
【分析】联立直线与抛物线解析式，解方程可得点A的坐标为，点B的坐标为（1.-1），求出抛物线对称轴，作点A关于抛物线的对称轴的对称点A'，作点B关于x轴的对称点B'，连接A'B'，根据对称性质可得BF=B'F，AE=A'E，则点P运动的最短总路径为AE+EF+FB=A'E+EF+FB'=A'B'，延长BB'，AA'相交于C，求出A'C，B'C，再根据勾股定理可得A'B'，即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由表可知， 二次函数有最小值，最小值为-4，①错误
当时，，②正确
二次函数的图象与轴有两个交点，且它们分别在轴的两侧，③正确
当时，随的增大而减小，④正确
故答案为：C
【分析】根据二次函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由图象可得，，
∴， 故①错误；
∵，
∴， 故， 故②正确；
抛物线与轴有两个交点，故方程有两个不相等的实数根，故③正确；
∵当时，该函数取得最大值，此时，
∴点在该抛物线上， 则，即，故④正确．
∴正确的有②③④共三个，
故答案为：C．
【分析】利用一次函数的图象、性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵图象经过(1，1)，
∴a+b+c=1>0
故①正确
∵c<0
抛物线与y轴的负半轴有交点，
如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点都在（1，0）的左侧
∵(n，0)中，n≥3
∴抛物线与x轴的一个交点一定在(3，0)或(3，0)的右侧，
∵抛物线的开口一定向下，即a<0
把(1，1)代入y=ax2+bx+c得：a+b+c=1
即b=1-a-c
∵a<0，c<0，
∴b>0
∴
∴方程ax2+bx+c=0的两根之积大于0
即mn >0
∵n≥3，
∴m>0
∴
即抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，
∴抛物线的顶点在点（1，1)的上方或者右上方
∴
∵4a<0，
∴，②正确
∵m>0.
∴当n＝3时，
∴抛物线对称轴在直线x=1.5的右侧，
∴（1，1)到对称轴的距离大于(2，t)到对称轴的距离
∵a<0，抛物线开口向下
∴距离抛物线越近的函数值越大
∴t>1，③错误
方程ax2+bx+c=x可变为ax2+(b-1)x+c=0
∵方程有两个相等的实数解，
∴△=(b-1)2-4ac=0
∵把(1，1)代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即1-b=a+c
∴（a+c)2-4ac=0
即a2+2ac+c2-4ac =0，
∴(a-c)2=0
∴a=c
∵（m，0)，(n，0)在抛物线上，
m，n为方程ax2+bx+c=0的两个根
∴
∴
∵n≥3
∴，解得：，④正确.
综上，正确的结论有：①②④
故答案为：B
【分析】根据二次函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线过，
a＋b＋c＝0，①正确；
∵抛物线开口向上，对称轴，且与y轴交于负半轴，
，，
，②错误，
∵，
，
，
，③错误，
抛物线经过点和，
，，④正确．
故答案为：
【分析】根据题意将代入即可判断①；根据二次函数的图象得到抛物线开口向上，对称轴，且与y轴交于负半轴，进而得到，，，从而判定②；再根据二次函数的对称轴得到，，从而即可判断③；根据二次函数图象上的点的坐标特征代入和得到，，从而判定④.
12．【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：延长CA到点F，使AF=BC，连接DF
∵AB是的直径
∴∠ACB=90°
∵弦CD平分圆周角∠ACB
∴∠ACD=∠BCD=45°
∴∠ABD=∠ACD=45°，∠BAD=∠BCD=45°
∴∠ABD=∠BAD
∴AD=BD
∵AB是的直径
∴∠ADB=90°
∴△ABD是等腰直角三角形，①②正确
∵四边形ADBC是的内接四边形
∴∠FAD=∠DBC
在△FAD和△CBD中
∴△FAD≌△CBD（SAS）
∴FD=CD，∠ADF=∠BDC
∵∠ADC+∠BDC=90°
∴∠ADC+∠ADF=90°
∴∠FDC=90°
∴△CDF是等腰直角三角形
∴
∴
，③错误，④正确
故答案为：①②④
【分析】延长CA到点F，使AF=BC，连接DF，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，∠ACD=∠BCD=45°，则∠ABD=∠ACD=45°，∠BAD=∠BCD=45°，即∠ABD=∠BAD，根据等角对等边可得AD=BD，再根据等腰直角三角形判定定理可得△ABD是等腰直角三角形，则①②正确，根据圆内接四边形性质可得∠FAD=∠DBC，再根据全等三角形判定定理可得△FAD≌△CBD（SAS），则FD=CD，∠ADF=∠BDC，再根据等腰直角三角形判定定理可得△CDF是等腰直角三角形，则，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
13．【答案】（1）解：∵抛物线 关于 轴对称，
∴对称轴 ．
即 ．
∵抛物线 经过点 和点 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为 ，且函数图象关于 轴对称，点 坐标为 ，
∴点 坐标为 ．
∴ ．
①以 为边构造平行四边形时，
∴ ，
即 平行于 轴．
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
∴ ，
∴ ．
解得： ．
即点 的坐标为 或 ．
②以 为对角线构造平行四边形时，
∴ ， ．
又∵点 在 轴上，对角线 在 轴上，
∴点 在 轴上，
即点 的坐标为抛物线的顶点坐标 ．
综上所述，点 的坐标为： 或 或 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）分类讨论： ①以AB为边构造平行四边形时，②以AB为对角线构造平行四边形时，再分别求解即可。
14．【答案】（1）解；设大孔抛物线的解析式为，
由题意得，，
把代入中得：，
解得，
∴大孔抛物线的解析式为；
（2）解：这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔，理由如下：
在中，当时，解得，
∵，
∴这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔；
（3）解：设右边小孔抛物线解析式为，
由题意得，，
把代入中得，
解得，
∴右边小孔抛物线解析式为，
在中，当时，
解得或，
∴，
∴小孔的水面宽度为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）设大孔抛物线的解析式为，先根据题意得到点A的坐标，再将点A的坐标代入函数解析式即可得到a，从而即可求解；
（2）根据题意求出x=9时y的值，进而对比船高即可求解；
（3）设右边小孔抛物线解析式为，进而根据题意得到点B的坐标，再代回得到a'，从而得到函数解析式，再根据题意令y=4，从而求出x，再将x的值相减即可求解。
15．【答案】（1）解：，，
，
，
点的坐标为，点的坐标为，
把，，代入，解得，，
抛物线的解析式为；
（2）解：把代入，解得点的横坐标，舍去，，
点的坐标为，
，
点在线段上以每秒个单位长度的速度从向运动，同时点在线段上以每秒个单位长度的速度从向运动，
，，
，，且当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动，
，
过点作轴，垂足为，
轴，
，
，
，
，
，
当时，取最大值为；
（3）解：设运动秒后，，则轴，
，
，，
，
，
，
，
即当时，以为直径的圆与相切，
当时，则，
，
，
又，，
，
，
，
即当时，以为直径的圆与相切，
综上所述，当或时，以为直径的圆与的边或相切．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据含30°角的直角三角形性质可得BC=2OB=8，再根据勾股定理可得OC，则点的坐标为，点的坐标为，根据待定系数法将点B，C坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入抛物线解析式可得点的坐标为，则AB=5，根据题意可是我AE=t，BF=2t，过点作轴，垂足为，根据直线平行性质可得，则，根据勾股定理可得GF，再根据三角形面积，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）设运动秒后，，则轴，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得，即当时，以为直径的圆与相切；当时，则，根据角之间的关系可得，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】（1）（-4，0）；（0，2）
（2）解：设直线的解析式为，
则，
，
；
设，则，
，
，
，
解得：舍去或，
，，，
，，
；
（3）解：设，如图，过点作轴垂线交于点，
，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
解得或舍去，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；旋转的性质；二次函数-动态几何问题；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（1）令y=0，则
解得：x=-4或x=2（舍去）
∴点A(-4，0)
令x=0，则y=2
∴点C（0，2）
故答案为：(-4，0)，（0，2）
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征令y=0，可得x值，令x=0，可得y值，即可求出答案.
（2）设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，C坐标代入直线解析式可得，设，则，根据两点间距离可得，根据题意建立方程，解方程可得MN=1，，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）设，过点作轴垂线交于点，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得≌，则，，即，再将点D代入抛物线解析式即可求出答案.
17．【答案】（1）解：依题意得，
（2）解：令，则，
∴，
设直线BC的解析式为，
解得，
∴，
∵轴，
∴设，
∴
∴当时，PQ有最大值；
（3）解：存在，Q点坐标为或
设，
∴，，，
当时，，解得（舍）或，
∴；
当时，，解得或（舍），
∴；
当时，，解得（舍）；
综上所述：Q点坐标为或；
（4）解：如图 1，过点R作轴交于点G，过点T作交于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
∴，，
∴，
∵T点在抛物线上，
∴，
解得或，
∴或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；三角形全等的判定-AAS；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据点A和点B的坐标结合题意即可列出交点式，从而即可求解；
（2）先根据二次函数与坐标轴的交点坐标得到点C的坐标，再运用待定系数法求出直线BC的函数解析式，从而设，，表示出PQ后，根据二次函数的最值即可求解；
（3）设，进而根据坐标系中两点间的距离公式得到，，，根据勾股定理分类讨论：当时，当时，当时，从而根据题意解一元二次方程即可求解；
（4）过点R作轴交于点G，过点T作交于点H，先根据题意等量代换得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，，设，则，，，再根据二次函数图象上的点的坐标特征得到，再解一元二次方程即可求解。
18．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点
∴解得
∴抛物线的函数解析式为
（2）解：如图，作点O关于直线BC的对称点O'，连接AO'，QO'，CO'，BO'
∵抛物线y＝ax2+bx﹣6交y轴于点C
∴C（0，﹣6）
∴OB＝OC＝6，∠BOC＝90°
∴∠BCO＝45°
∵O、O'关于直线BC对称
∴BC与OO'互相垂直平分
∴四边形BOCO'是正方形，
∴O'（6，﹣6）
在Rt△ABO'中，AO'＝＝10
∵QA+QO'≥AO'，QO'＝QO
∴QO+QA＝QA+QO'≥AO'＝10
即点Q位于直线AO'与直线BC交点时，QA+QO的最小值为10
∴△AOQ周长的最小值为AO+QA+QO＝2+10＝12
（3）解：如图，连接PC，过点P作PH⊥BO于点H
∵PQ∥AC
∴△PAQ与△PCQ的面积相等
∴S＝S1+S2＝S△PAQ+S△PBQ＝S△PCQ+S△PBQ＝S△PBC＝S梯形PCOH+S△PBH﹣S△BOC
设P（m，m2﹣2m﹣6）
则S＝（﹣m2+2m+6+6）m+（6﹣m）（﹣m2+2m+6）-×6×6
＝﹣m2+9m
＝﹣（m﹣3）2+
∵0＜m＜6
∴当m＝3吋，S有最大值
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）作点O关于直线BC的对称点O'，连接AO'，QO'，CO'，BO'，根据y轴上点的坐标特征可得C（0，﹣6），根据等腰直角三角形性质可得∠BCO＝45°，再根据对称性质可得BC与OO'互相垂直平分，由正方形判定定理可得四边形BOCO'是正方形，则O'（6，﹣6），在Rt△ABO'中，根据勾股定理可得AO'=10，再根据边之间的关系点Q位于直线AO'与直线BC交点时，QA+QO的最小值为10，即可求出答案.
（3）连接PC，过点P作PH⊥BO于点H，根据直线平行性质可得△PAQ与△PCQ的面积相等，则S＝S1+S2＝S△PAQ+S△PBQ＝S△PCQ+S△PBQ＝S△PBC＝S梯形PCOH+S△PBH﹣S△BOC，设P（m，m2﹣2m﹣6）代入计算，结合二次函数的性质即可求出答案.
19．【答案】（1）解：抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（-1，0）、B（3，0），
∴.解得.
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）解：过D作DG⊥x轴于G，EF交y轴于H，
∴∠EHO=∠DGO=90°.
∵∠EOA+∠EOH=∠HOA=90°，
∠EOA+∠DOG=180°-∠EOD=90°，
∴∠EOH=∠DOG.
∵OE=OD，
∴△EOH≌△DOG.
∴EH=DG，OH=OG.
∵D点横坐标为m，
∴OG=m.
∴OH=OG=m.
∵点D在抛物线y=-x2+2x+3上，
∴DG=-m2+2m+3.
∴EH=DG=-m2+2m+3.
把y=m代入y=-x+3得m=-x+3，
∴x=3-m.
∴FH=3-m.
∴EF=EH+FH=-m2+2m+3+3-m=-m2+m+6=-（m-）2+.
∴线段EF的最大值为；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（3）由翻折可知，x轴下方的抛物线的解析式为y=x2-2x-3 (-1≤x≤3)
当y=5x+n与y=-x2+2x+3只有一个交点时，y=5x+n与新图象只有一个交点，
联立
整理得x2+3x+n-3=0
∵，解得：
∴，解得：
得y=5x+n与y=-x2+2x+3的交点在点A的左侧
将直线向下平移直至y=5x+n经过点B之前时，y=5x+n与新图象有2个交点，
当y=5x+n经过点B时，15+n=0，
解得n=-15.
联立，解得：或（舍去）
∴当y=5x+n经过点B时，直线与新图象仍有2个交点
将直线继续向下平移直至直线与y=x2-2x-3（-1≤x≤3）只有一个交点时，
联立
整理得x2-7x-n-3=0，
∵△=（-7)2-4×1×（-n-3)=0，解得：
∴，解得：
∵交点位于点B的右侧上方部分
∴此时直线与新图象仍有2个交点
继续往下平移，y=5x+n与新图象有2个交点
综上所述，当时，直线y=5x+n与新图象有且只有两个交点
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）过D作DG⊥x轴于G，EF交y轴于H，根据角之间的关系可得∠EOH=∠DOG，再根据全等三角形判定定理可得△EOH≌△DOG，则EH=DG，OH=OG，则OH=OG=m，由点D在抛物线上可得EH=DG=-m2+2m+3，把y=m代入y=-x+3得m=-x+3，则FH=3-m，再根据边之间的关系可得EF=EH+FH=-（m-）2+，结合二次函数的性质即可求出答案.
（3）由翻折可知，x轴下方的抛物线的解析式为y=x2-2x-3 (-1≤x≤3)，当y=5x+n与y=-x2+2x+3只有一个交点时，y=5x+n与新图象只有一个交点，联立直线与抛物线方程可得y=5x+n与y=-x2+2x+3的交点在点A的左侧，将直线向下平移直至y=5x+n经过点B之前时，y=5x+n与新图象有2个交点，当y=5x+n经过点B时，联立直线与抛物线方程可得当y=5x+n经过点B时，直线与新图象仍有2个交点，将直线继续向下平移直至直线与y=x2-2x-3（-1≤x≤3）只有一个交点时，联立直线与抛物线方程可得交点位于点B的右侧上方部分，此时直线与新图象仍有2个交点，继续往下平移，y=5x+n与新图象有2个交点，即当时，直线y=5x+n与新图象有且只有两个交点.
20．【答案】（1）解：把代入，
解得，
∴，
∴，
令，
解得，
∴，
∵顶点的纵坐标与点的横坐标相同，
∴，
∴，
∴，
∴点；
把代入，
∴，
∴，
∵
∴，．
故．
（2）或．
（3）解：∵，不妨设，，
∵，直线为，直线为；
∴，，
解得，，
∵，
∴，
∵直线与抛物线交于两点（点在点左侧），
∴m，n是方程即的两个根，
∴，
∴，
故与的函数关系式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（2）解：如图
当时，
∵抛物线与轴交于坐标原点和点，且点且线段绕点逆时针旋转得到线段，∴在第一象限内，点C的横坐标等于纵坐标，为，
∴上的点除原点外，都在抛物线的内部，
满足抛物线与线段只有一个交点；
当时，根据题意，在第一象限内，点C的横坐标等于纵坐标，
故的解析式为，
根据题意，得，
整理得，
∵抛物线与线段只有一个交点，
∴，
解得，
故a的取值范围是或．
【分析】（1）将（0，0）代入抛物线解析式可得，则，，根据x轴上点的坐标特征令，解方程可得，根据顶点的纵坐标与点的横坐标相同，可得，根据二次函数性质可得点，根据待定系数法将点A坐标代入直线解析式可得，联立直线与抛物线解析式，解方程即可求出答案.
（2）分情况讨论：当时，当时，根据二函数的性质即可求出答案.
（3）设，，将点A，M，N坐标代入解析式可得，，则，即m，n是方程即的两个根，结合二次方程根与系数的关系即可求出答案.
21．【答案】（1）解：①∵点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边方向向终点C和D运动，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
②如图：取中点O，连接．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点P在以为直径的上运动，
∵，，
又∵，
∴，
∴的最小值为．
（2）解：∵点D从B点出发，沿运动到O，点E同时从O点以相同的速度出发，沿运动到A，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图：作的外接圆，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为定三角形，一定，，，
∴为定三角形，
∴确定不变，
当点M为y轴一定点，则一定，所以当在同一条直线上时，有最小值，
由垂线段最短可知：当轴，最小，
如图：作于K，
∵为等边三角形，，
∴，即，
当轴时，轴，轴，，
∴四边形是矩形，
∴，
连接，
∵，，
∴垂直平分，
∵，
∴，
∴，
∴
∴的最小值为
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；垂径定理；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】（1）①由题意可得BM=CN，再根据正方形性质可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
②取中点O，连接，根据全等三角形性质可得，则，根据垂径定理，勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）由题意可得OE=BD，再根据等边三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，作的外接圆，连接，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，由等边对等角可得，则，再根据三角形三边关系可得，根据三角形性质可得确定不变，当点M为y轴一定点，则一定，所以当在同一条直线上时，有最小值，由垂线段最短可知：当轴，最小，作于K，根据等边三角形性质可得，即，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，连接，根据三角形内角和定理可得，再解含30°角的直角三角形即可求出答案.
22．【答案】（1）解：由题意可知四边形为矩形，为的中垂线，
∴，则，
∵，，
∴，，，
设抛物线的解析式为：，
代入，，，得，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵四边形，四边形均为正方形，，
∴，
延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，
∴，，
∴，
∵，当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：∵，垂直平分，
∴
∴，，
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴，
∵太阳光为平行光，
设过点 平行于的光线的解析式为，
由题意，得：与抛物线相切，
联立，整理得：，
则：，解得：；
∴，，
解得：，即：
当时，，即：，
当时，，即：，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，即，，根据边之间关系可得HL=4.75，将y=4.75代入函数关系式可得，，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据垂直平分线性质可得，则，，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得，设过点 平行于的光线的解析式为，由题意，得：与抛物线相切，联立方程组，解方程可得，当时，，即：，当时，，即：，再根据两点间距离公式即可求出答案.
23．【答案】（1）解：抛物线与轴交于，
，解得，
∴抛物线解析式为
（2）、、
（3）解：抛物线解析式为顶点
设直线的解析式为，、
，解得，
直线的解析式为
直线与轴、轴分别交于点，
，
，
.
，
，
，
在中，，
设，则，
，
，解得
或
综上所述，满足条件的点或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（2）令x=0，代入，可得y=3
∴C（0，3）
∵
∴对称轴为x=1
∴D（1，0）
∴OD=1，OC=3
∴
当CP=CD时，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则PQ=OD=1
∴Rt△CPQ≌Rt△CDO(HL)
∴CQ=OC=3
∴OQ=OC+CQ=6
∴P1(1，6)
当时
∵
∴
综上所述，点P的坐标为、、
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征令x=0，代入函数解析式可得C（0，3），求出对称轴，则OD=1，OC=3，根据勾股定理可得CD，分情况讨论：当CP=CD时，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则PQ=OD=1，根据全等三角形判定定理可得Rt△CPQ≌Rt△CDO(HL)，则CQ=OC=3，OQ=6，即P1(1，6)；当时，根据题意即可求出答案.
（3）求出抛物线顶点，设直线的解析式为，根据待定系数法将点C，E的坐标代入解析式可得直线的解析式为，根据点的坐标可得，则∠CEF=45°，再根据边之间的关系可得GF=FA=FE，设，则，，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
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