新定义型—广东省（人教版）数学九（上）期末复习
一、选择题
1．（2024九上·中山期末）对于实数，，定义运算“”：，例如：若，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（2024九上·阳山期末）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美丽”方程，已知是“美丽”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九上·五华期中）对于实数a，b定义运算“”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
4．（2024九上·潮南月考）对于实数，，，，我们定义运算，例如：，上述记号就叫做二阶行列式．若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
5．（2024九上·蓬江期中）定义：表示取a，b中最小的数，即：①当时，②当时，如，则的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
6．（2023九上·蓬江月考）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，，．函数在的图象如图所示，则在该范围内方程的解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023九上·惠州月考）定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
二、填空题
8．（2024九上·南山开学考）对于实数，定义运算“※”：※=．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若是关于的一元二次方程的两个实数根，则※= ．
9．（2024九上·珠海月考）如果我们定义 为二次函数的“有序数集”，如函数的“有序数集”为．若一个二次函数的“有序数集”是 ，则将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的图象对应的函数的“有序数集”是
10．（2023九上·新会期末）对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中较大的数，如：．
（1）方程的解为 ；
（2）方程的解为 ．
11．（2024九上·深圳月考）关于x的一元二次方程a1（x﹣m）2+k＝0与a2（x﹣m）2+k＝0称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ab的值为 ．
12．（2023九上·雷州月考）对于实数，，我们用符号表示，两数中较小的数，如，，若，则 ．
13．（2024九上·海珠月考）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是 ．
14．（2024九上·中山期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ．
15．（2024九上·广州期中）我们定义：形如的函数叫做“鹊桥”函数．“鹊桥”函数 的图象如图所示．则下列结论：①； ②；③；④若直线与 的图象有2个公共点，则或．正确的有 （填序号）
三、解答题
16．（2024九上·深圳开学考）材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：；
材料2：如果实数m、n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
（1）①已知一元二次方程的两根分别为，则______，______．
②已知实数a，b满足：，则______．
（2）已知实数m、n、t满足：，且，求的取值范围．
（3）设实数a，b分别满足，且，求的值．
17．（2021九上·禅城月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．将形如ax2+ cx+b＝0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”．
（1）以下方程为“直系一元二次方程”的是 ；（填序号）
①3x2+4 x+5＝0；②5x2+13 x+12＝0．
（2）若x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0的一个根，且△ABC的周长为2 +2，求c的值．
（3）求证：关于x的“直系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0必有实数根．
18．（2024九上·潮南月考）如图，直线： 与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过B、C两点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若 M 是直线上方抛物线上的一动点，当 面积最大时，请求出点 M的坐标．
（3）新定义：若 E 是抛物线对称轴上一动点，把绕点 E 旋转 点O 的对应点为G，若点 G 恰好落在抛物线上，则称这样的点 E 为“好点”，请直接写出所有“好点”E 的坐标．
19．（2024九上·惠州期中）某学校数学兴趣小组的成员在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：
新定义：把长方形绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”如图1，在长方形中，，是对角线，
（1）如图1，把长方形绕点A逆时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，此时点B的对应点为点，点C的对应点为点，点D的对应点为点，连接，如果度数为，请直接写出“对角旋转角”的度数；（用含有的代数式表示）
（2）在（1）的条件下，如，那么把长方形绕点A顺时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，点B的对应点为点，点C的对应点为点，点D的对应点为点，连接，请直接写出的度数；
（3）在长方形中，，在（1）（2）的基础上经“对角旋转”后，点C的对应点分别为点和点，连接、、、，面积为312，面积为130，请直接写出此时长方形的面积．
20．（2023九上·东莞期中）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．
（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2024九上·广州开学考）给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）以下四边形中，是勾股四边形的为________（填序号即可）；
①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意四边形；④有一个角为60°的菱形．
（2）如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到．
①连接，当，时，求证：四边形是勾股四边形．
②如图2，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，与交于点．连接．若，，，求的长度．
22．（2024九上·广州开学考）给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）以下四边形中，是勾股四边形的为 （填序号即可）；
①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为的菱形．
（2）如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到．
①连接AD，当，时，求证：四边形ABCD是勾股四边形．
②如图2，将DE绕点顺时针方向旋转得到EF，连接BF，BF与AE交于点，连接CP，若，，，求AC的长度．
23．（2024九上·四会期末）定义：平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．
（1）如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，，中，是矩形“梦之点”的是 ；
（2）如图，已知点、是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点．
①求出，，三条线段的长度；
②判断的形状，并说明理由．
四、阅读理解题
24．（2024九上·阳江月考）【阅读理解】在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
例 解方程：．
解：原方程变形，得．
由平方差公式，得．
移项，得，即．
直接开平方并整理，得．
我们称这种解法为“平均数法”。
（1）下面是小明用“平均数法”解方程的过程．
解：原方程变形，得．
由平方差公式，得。
移项，得。
直接开平方并整理，得．
上述过程中的表示的数分别为 ， ， ， ；
（2）请用“平均数法”解方程：．
25．（2023九上·汕头月考）阅读材料：配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方公式的和的方法。这种方法被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题。
我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”
例如5是“完美数”，理由是5=22+12.
（1）[解决问题]数53 “完美数”（填是或不是）
（2）问题探究：已知x2+y2－4x+2y+5=0，则x+y=
（3）已知S=2x2+y2+2xy+12x+k（x，y，k都是整数）要使得S为“完美数”试求出符合条件的k值。
五、实践探究题
26．（2023九上·茶山期中）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“完美方程”．
（1）下面方程是“完美方程”的是 ．（填序号）①x2-4x+3＝0；②2x2+x+3＝0；③2x2-x-3＝0．
（2）已知3x2+mx+n＝0是关于x的“完美方程”，若m是此“完美方程”的一个根，求m的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：x=1
故答案为：A
【分析】根据新定义建立方程，解方程即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：根据题意得：，且，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】已知是“美丽”方程，则有，方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】∵实数a，b定义运算“”为，
∴可化为，
整理得：，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A．
【分析】根据题干中的定义及计算方法列出方程，再利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
4．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
5．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数的最值
6．【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；通过函数图象获取信息
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x2≥0，∴2[x]≥0，即x≥0，
当0 ≤ x＜1时，[x]=0，∴x=0；
当1 ≤ x＜2时，[x]=1，∴x=或 x=-(舍)；
当2 ≤ x＜3时，[x]=2，∴x=2 或 x=-2(舍)；
当 x≥3时，无解.
故答案为：D.
【分析】根据x2≥0得x≥0，再分情况讨论即可.
8．【答案】20
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：20．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=，x1x2=求出x1+x2及x1x2的值，然后根据新定义运算法则得，从而整体代入计算可得答案.
9．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
10．【答案】（1），
（2）
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵x2+2x=max{0，-1}=0，
∴x2+2x=0，
解得：x1=0，x2=-2，
∴方程x2+2x=max{0，-1}的解为：x1=0，x2=-2
故答案为：x1=0，x2=-2.
（2）当2x-1＞x时，即x＞1时，
2x-1=x2，
解得：x1=x2=1，不符合题意；
当2x-1＜x时，即x＜1时，
max{2x-1，x}=x=x2，
解得：x1=1，x2=0，
∵x＜1，
∴x=0.
故答案为：x=0.
【分析】（1）由题意可得方程x2+2x=0，解这个方程可求解；
（2）由题意分两种情况：①当2x-1＞x时，即x＞1时，②当2x-1＜x时，即x＜1时，可得关于x的方程，解方程即可求解.
11．【答案】-50
【知识点】解二元一次方程组；配方法的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，
∴
即
∴b－4=－(2a+4)，8=a+3.
解得：a=5，b=﹣10.
∴ab=5×(－10)=－50.
故答案为：－50.
【分析】根据x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，可得 ，于是可得b－4=－(2a+4)，8=a+3.求出a，b的值，再代入ab求值即可.
12．【答案】1或-2
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：当（x+1）2＜x2，即时，方程为（x+1）2=1，
故x+1=1或x+1=-1，
解得：x=0（舍去）或x=-2；
当（x+1）2＞x2，即时，方程为x2=1，
解得：x=1或x=-1（舍去），
综上，x=1或-2，
故答案为：1或-2.
【分析】根据题中的新定义分两种情况化简已知等式，根据直接开方法解一元二次方程求出x的解即可.
13．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的定义
14．【答案】2024
【知识点】配方法的应用；二元一次方程组的应用-数字问题
15．【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
16．【答案】（1）①，；②
（2）
（3）1
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
17．【答案】（1）②
（2）解： x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0的一个根，
代入x＝﹣1，得： ，
又 △ABC的周长为2 +2，
，
（3）证明：ax2+ cx+b＝0，
该方程必有实数根．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①3x2+4 x+5＝0，
根据题意得：
三边构成直角三角形的三边且b为直角边，
3x2+4 x+5＝0不是“直系一元二次方程”；
②5x2+13 x+12＝0，
根据题意得：
三边构成直角三角形的三边且c为直角边，
3x2+4 x+5＝0是“直系一元二次方程”，
故答案为：②；
【分析】（1）根据a、b、c是Rt△ABC的三边长，选取一组合适的数即可；
（2）由x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0的一个根，代入x＝﹣1，得： ，因为△ABC的周长为2 +2，得出a+b+c的值，由此得出c的值；
（3）因为，得出即可得出该方程必有实数根．
18．【答案】（1）
（2）
（3）或 或 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；二次函数-面积问题
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】矩形的性质；旋转的性质
20．【答案】（1）y＝x2+x﹣1，G（0，﹣3）
（2）
（3）存在，（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的概念
21．【答案】（1）②③
（2）解：①连接，如图：
由旋转的性质可得：，，，
∴为等边三角形，
∴
由四边形的内角和定理可得：
而∠BAD=30°，
∴
∴
∴∠ADE=360°-270°=90°，
∴，
∴，
∴四边形是勾股四边形
②如图，延长交的延长线于点，
由题意可得：，
∵将绕顶点按顺时针方向旋转得到，
∴∠BCD=n°，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∵
∴
∴，
∴，
在△APB和△EPF中，
∴
∴，
∵
∴
∴，
在Rt△ACP中，AP=4，PC=2，
∴.
答：AC的长为.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；四边形的综合
【解析】【解答】
（1）解：①平行四边形，
∵，，
∴平行四边形不满足勾股四边形的定义，不是勾股四边形；
②矩形，
由矩形的性质可得：，
∴，
∴矩形满足勾股四边形的定义，是勾股四边形；
③有一个角为直角的任意四边形，如图，
则：
∴满足勾股四边形的定义，是勾股四边形；
④有一个角为60°的菱形，
∵，
∴菱形不满足勾股四边形的定义，不是勾股四边形；
故答案为：②③.
【分析】（1）根据勾股四边形的定义，对每一个结论逐个判断即可求解；
（2）①连接，由旋转的性质可得，由勾股定理得：，结合勾股四边形的定义即可判断求解；
②延长交延长线于点，由题意，用角角边可证△APB≌△EPF，由全等三角形的对应边相等可得，然后根据等腰三角形的三线合一可得，在Rt△ACP中，用勾股定理即可求解．
（1）解：①平行四边形，
∵，
不满足勾股四边形的定义，不是勾股四边形；
②矩形，由矩形的性质可得：，所以
满足勾股四边形的定义，是勾股四边形；
③有一个角为直角的任意四边形，如图，
则：
满足勾股四边形的定义，是勾股四边形；
④有一个角为60°的菱形，
∵，
不满足勾股四边形的定义，不是勾股四边形；
故答案为：②③
（2）①连接，如图：
由旋转的性质可得：，，，
∴为等边三角形，即
由四边形的内角和性质可得：
∴
∴
∴
∴，即
∴四边形是勾股四边形
②延长交延长线于点，如图：
由题意可得：，
∵，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴，
∴
22．【答案】（1）②③
（2）解： ①证明：如图1中，连接AE．
∵△ABC绕点C顺时针旋转了60°到△DCE，
∴AC=BC，∠ACE=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE=AC，∠ACE=60°，
∵∠DCB=60°，∠BAD=30°，
∴∠ABC+∠ADC=270°，
∴∠ADC+∠CDE=170°，
∴∠ADE=90°，
在Rt△DAE 中，AD2+DE2=AE2，
∵DE=AB，AC=AE，
∴AD2+AB2=AC2，
∴四边形ABCD是勾股四边形；
②如图2中，延长BC交FE的延长线于H．
∵∠DCH=180°-n°=（180-n）°∠DEF=（180-n）°，
∴∠DEF=∠DCH，
∵∠DEF+∠DEH=180°，
∴∠DEH+∠DCH=180°，
∴∠CDE+∠H=180°，
∵∠ABC=∠CDE，
∴∠ABC+∠H=180°，
∴AB∥FH，
∴∠F=∠ABP，
∵DE=EF=AB，∠EPF=∠APB，
∴△FPE≌△BPA（AAS），
∴PE=PA，
∵AE=PE+PA=8，
∴PE=PA=4，
∵CA=CE，
∴CP⊥AE，
∴∠APC=90°，
∴AC=.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；解直角三角形；旋转的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】（1）∵一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方
∴此四边形的内角中至少有一个角为直角
①：平行四边形的内角不一定有直角
∴平行四边形不一定是勾股四边形
②∵矩形的四个角都为直角
∴矩形是勾股四边形
③：有一个角为直角的任意凸四边形
∴此四边形为勾股四边形
④：有一个角为60°的菱形
∴菱形的四个内角分别为60°120°，60°，120°
∴有一个角为60°的菱形不是勾股四边形
故答案为：②③.
【分析】（1）解题关键在于对勾股四边形定义的理解，能够判断出矩形符合相邻两边平方和等于对角线平方，根据这一条件逐一判断即可。
（2）①只要证明ADAE是直角三角形，再利用勾股定理，旋转的性质即可解决问题；当旋转n=60°时，通过旋转性质得到△BCD是等边三角形，进而得到相关角度，通过计算四边形内角和验证其为勾股四边形。
②如图2中，延长BC交FE的延长线于H.由推出PE=PA=5，由CA=CE，推出CP⊥AE，推出∠APC=90°，根据计算即可.
23．【答案】（1），，
（2）解：①点，是抛物线的“梦之点”，
，
解得：，，
当时，；
当时，，
，，
由抛物线的表达式知，顶点，
由点、、的坐标得，，
同理可得：，；
②是直角三角形，理由：
由①知，，
是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（1）∵矩形的顶点坐标分别是，，，，
∴矩形的“梦之点”满足，
∴点，，是矩形的“梦之点”，不是矩形的“梦之点”．
故答案为：，，
【分析】（1）根据矩形顶点的坐标结合“梦之点”的定义得到满足，进而即可判断；
（2）①根据梦之点的定义得到，进而即可求出，，再根据二次函数的定义结合勾股定理得到AC，同理可得：，；
②根据①中的边长运用勾股定理的逆定理即可求解。
24．【答案】（1）5；2；-2；-8
（2）解：由题意可得：
原方程变形，得
由平方差公式，得
移项，得
直接开平方并整理，得
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）结合题意解法即可求出答案.
（2）结合题意解法即可求出答案.
25．【答案】（1）是
（2）1
（3）解：由题意，，
∵S为“完美数”，
∴是完全平方式，
∴
【知识点】定义新运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴数53是“完美数”；
（2）∵
∴，，
∴，，
∴
【分析】（1）根据“完美数”的定义，，可判定53为完美数；
（2）将转化为求出x、y后即可求解；
（3）将转化为，根据题意可知是完全平方式，即可求解.
26．【答案】（1）③
（2）解：∵3x2+mx+n＝0是关于x的“完美方程”，
∴m＝3+n，
∴n＝m-3，
∴原方程为3x2+mx+m-3＝0．
∵m是此“完美方程”的一个根，
∴3m2+m2+m-3＝0，即4m2+m-3＝0，
解得：m＝-1或．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①∵b=-4，a+c=4，∴方程①不是“完美方程”，
②∵b=1，a+c=5，∴方程②不是“完美方程”，
③∵b=-1，a+c=-1，∴方程③是“完美方程”，
故答案为：③；
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）根据定义得出n＝m-3，得出原方程为3x2+mx+m-3＝0，把x=m代入得出4m2+m-3＝0，解方程求出m的值即可.
1 / 1新定义型—广东省（人教版）数学九（上）期末复习
一、选择题
1．（2024九上·中山期末）对于实数，，定义运算“”：，例如：若，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：x=1
故答案为：A
【分析】根据新定义建立方程，解方程即可求出答案.
2．（2024九上·阳山期末）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美丽”方程，已知是“美丽”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：根据题意得：，且，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】已知是“美丽”方程，则有，方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案.
3．（2022九上·五华期中）对于实数a，b定义运算“”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】∵实数a，b定义运算“”为，
∴可化为，
整理得：，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A．
【分析】根据题干中的定义及计算方法列出方程，再利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
4．（2024九上·潮南月考）对于实数，，，，我们定义运算，例如：，上述记号就叫做二阶行列式．若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
5．（2024九上·蓬江期中）定义：表示取a，b中最小的数，即：①当时，②当时，如，则的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数的最值
6．（2023九上·蓬江月考）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，，．函数在的图象如图所示，则在该范围内方程的解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；通过函数图象获取信息
7．（2023九上·惠州月考）定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x2≥0，∴2[x]≥0，即x≥0，
当0 ≤ x＜1时，[x]=0，∴x=0；
当1 ≤ x＜2时，[x]=1，∴x=或 x=-(舍)；
当2 ≤ x＜3时，[x]=2，∴x=2 或 x=-2(舍)；
当 x≥3时，无解.
故答案为：D.
【分析】根据x2≥0得x≥0，再分情况讨论即可.
二、填空题
8．（2024九上·南山开学考）对于实数，定义运算“※”：※=．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若是关于的一元二次方程的两个实数根，则※= ．
【答案】20
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：20．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=，x1x2=求出x1+x2及x1x2的值，然后根据新定义运算法则得，从而整体代入计算可得答案.
9．（2024九上·珠海月考）如果我们定义 为二次函数的“有序数集”，如函数的“有序数集”为．若一个二次函数的“有序数集”是 ，则将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的图象对应的函数的“有序数集”是
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
10．（2023九上·新会期末）对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中较大的数，如：．
（1）方程的解为 ；
（2）方程的解为 ．
【答案】（1），
（2）
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵x2+2x=max{0，-1}=0，
∴x2+2x=0，
解得：x1=0，x2=-2，
∴方程x2+2x=max{0，-1}的解为：x1=0，x2=-2
故答案为：x1=0，x2=-2.
（2）当2x-1＞x时，即x＞1时，
2x-1=x2，
解得：x1=x2=1，不符合题意；
当2x-1＜x时，即x＜1时，
max{2x-1，x}=x=x2，
解得：x1=1，x2=0，
∵x＜1，
∴x=0.
故答案为：x=0.
【分析】（1）由题意可得方程x2+2x=0，解这个方程可求解；
（2）由题意分两种情况：①当2x-1＞x时，即x＞1时，②当2x-1＜x时，即x＜1时，可得关于x的方程，解方程即可求解.
11．（2024九上·深圳月考）关于x的一元二次方程a1（x﹣m）2+k＝0与a2（x﹣m）2+k＝0称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ab的值为 ．
【答案】-50
【知识点】解二元一次方程组；配方法的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，
∴
即
∴b－4=－(2a+4)，8=a+3.
解得：a=5，b=﹣10.
∴ab=5×(－10)=－50.
故答案为：－50.
【分析】根据x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，可得 ，于是可得b－4=－(2a+4)，8=a+3.求出a，b的值，再代入ab求值即可.
12．（2023九上·雷州月考）对于实数，，我们用符号表示，两数中较小的数，如，，若，则 ．
【答案】1或-2
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：当（x+1）2＜x2，即时，方程为（x+1）2=1，
故x+1=1或x+1=-1，
解得：x=0（舍去）或x=-2；
当（x+1）2＞x2，即时，方程为x2=1，
解得：x=1或x=-1（舍去），
综上，x=1或-2，
故答案为：1或-2.
【分析】根据题中的新定义分两种情况化简已知等式，根据直接开方法解一元二次方程求出x的解即可.
13．（2024九上·海珠月考）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的定义
14．（2024九上·中山期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ．
【答案】2024
【知识点】配方法的应用；二元一次方程组的应用-数字问题
15．（2024九上·广州期中）我们定义：形如的函数叫做“鹊桥”函数．“鹊桥”函数 的图象如图所示．则下列结论：①； ②；③；④若直线与 的图象有2个公共点，则或．正确的有 （填序号）
【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
三、解答题
16．（2024九上·深圳开学考）材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：；
材料2：如果实数m、n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
（1）①已知一元二次方程的两根分别为，则______，______．
②已知实数a，b满足：，则______．
（2）已知实数m、n、t满足：，且，求的取值范围．
（3）设实数a，b分别满足，且，求的值．
【答案】（1）①，；②
（2）
（3）1
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
17．（2021九上·禅城月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．将形如ax2+ cx+b＝0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”．
（1）以下方程为“直系一元二次方程”的是 ；（填序号）
①3x2+4 x+5＝0；②5x2+13 x+12＝0．
（2）若x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0的一个根，且△ABC的周长为2 +2，求c的值．
（3）求证：关于x的“直系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0必有实数根．
【答案】（1）②
（2）解： x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0的一个根，
代入x＝﹣1，得： ，
又 △ABC的周长为2 +2，
，
（3）证明：ax2+ cx+b＝0，
该方程必有实数根．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①3x2+4 x+5＝0，
根据题意得：
三边构成直角三角形的三边且b为直角边，
3x2+4 x+5＝0不是“直系一元二次方程”；
②5x2+13 x+12＝0，
根据题意得：
三边构成直角三角形的三边且c为直角边，
3x2+4 x+5＝0是“直系一元二次方程”，
故答案为：②；
【分析】（1）根据a、b、c是Rt△ABC的三边长，选取一组合适的数即可；
（2）由x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0的一个根，代入x＝﹣1，得： ，因为△ABC的周长为2 +2，得出a+b+c的值，由此得出c的值；
（3）因为，得出即可得出该方程必有实数根．
18．（2024九上·潮南月考）如图，直线： 与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过B、C两点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若 M 是直线上方抛物线上的一动点，当 面积最大时，请求出点 M的坐标．
（3）新定义：若 E 是抛物线对称轴上一动点，把绕点 E 旋转 点O 的对应点为G，若点 G 恰好落在抛物线上，则称这样的点 E 为“好点”，请直接写出所有“好点”E 的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或 或 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；二次函数-面积问题
19．（2024九上·惠州期中）某学校数学兴趣小组的成员在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：
新定义：把长方形绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”如图1，在长方形中，，是对角线，
（1）如图1，把长方形绕点A逆时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，此时点B的对应点为点，点C的对应点为点，点D的对应点为点，连接，如果度数为，请直接写出“对角旋转角”的度数；（用含有的代数式表示）
（2）在（1）的条件下，如，那么把长方形绕点A顺时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，点B的对应点为点，点C的对应点为点，点D的对应点为点，连接，请直接写出的度数；
（3）在长方形中，，在（1）（2）的基础上经“对角旋转”后，点C的对应点分别为点和点，连接、、、，面积为312，面积为130，请直接写出此时长方形的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】矩形的性质；旋转的性质
20．（2023九上·东莞期中）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．
（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2+x﹣1，G（0，﹣3）
（2）
（3）存在，（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的概念
21．（2024九上·广州开学考）给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）以下四边形中，是勾股四边形的为________（填序号即可）；
①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意四边形；④有一个角为60°的菱形．
（2）如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到．
①连接，当，时，求证：四边形是勾股四边形．
②如图2，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，与交于点．连接．若，，，求的长度．
【答案】（1）②③
（2）解：①连接，如图：
由旋转的性质可得：，，，
∴为等边三角形，
∴
由四边形的内角和定理可得：
而∠BAD=30°，
∴
∴
∴∠ADE=360°-270°=90°，
∴，
∴，
∴四边形是勾股四边形
②如图，延长交的延长线于点，
由题意可得：，
∵将绕顶点按顺时针方向旋转得到，
∴∠BCD=n°，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∵
∴
∴，
∴，
在△APB和△EPF中，
∴
∴，
∵
∴
∴，
在Rt△ACP中，AP=4，PC=2，
∴.
答：AC的长为.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；四边形的综合
【解析】【解答】
（1）解：①平行四边形，
∵，，
∴平行四边形不满足勾股四边形的定义，不是勾股四边形；
②矩形，
由矩形的性质可得：，
∴，
∴矩形满足勾股四边形的定义，是勾股四边形；
③有一个角为直角的任意四边形，如图，
则：
∴满足勾股四边形的定义，是勾股四边形；
④有一个角为60°的菱形，
∵，
∴菱形不满足勾股四边形的定义，不是勾股四边形；
故答案为：②③.
【分析】（1）根据勾股四边形的定义，对每一个结论逐个判断即可求解；
（2）①连接，由旋转的性质可得，由勾股定理得：，结合勾股四边形的定义即可判断求解；
②延长交延长线于点，由题意，用角角边可证△APB≌△EPF，由全等三角形的对应边相等可得，然后根据等腰三角形的三线合一可得，在Rt△ACP中，用勾股定理即可求解．
（1）解：①平行四边形，
∵，
不满足勾股四边形的定义，不是勾股四边形；
②矩形，由矩形的性质可得：，所以
满足勾股四边形的定义，是勾股四边形；
③有一个角为直角的任意四边形，如图，
则：
满足勾股四边形的定义，是勾股四边形；
④有一个角为60°的菱形，
∵，
不满足勾股四边形的定义，不是勾股四边形；
故答案为：②③
（2）①连接，如图：
由旋转的性质可得：，，，
∴为等边三角形，即
由四边形的内角和性质可得：
∴
∴
∴
∴，即
∴四边形是勾股四边形
②延长交延长线于点，如图：
由题意可得：，
∵，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴，
∴
22．（2024九上·广州开学考）给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）以下四边形中，是勾股四边形的为 （填序号即可）；
①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为的菱形．
（2）如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到．
①连接AD，当，时，求证：四边形ABCD是勾股四边形．
②如图2，将DE绕点顺时针方向旋转得到EF，连接BF，BF与AE交于点，连接CP，若，，，求AC的长度．
【答案】（1）②③
（2）解： ①证明：如图1中，连接AE．
∵△ABC绕点C顺时针旋转了60°到△DCE，
∴AC=BC，∠ACE=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE=AC，∠ACE=60°，
∵∠DCB=60°，∠BAD=30°，
∴∠ABC+∠ADC=270°，
∴∠ADC+∠CDE=170°，
∴∠ADE=90°，
在Rt△DAE 中，AD2+DE2=AE2，
∵DE=AB，AC=AE，
∴AD2+AB2=AC2，
∴四边形ABCD是勾股四边形；
②如图2中，延长BC交FE的延长线于H．
∵∠DCH=180°-n°=（180-n）°∠DEF=（180-n）°，
∴∠DEF=∠DCH，
∵∠DEF+∠DEH=180°，
∴∠DEH+∠DCH=180°，
∴∠CDE+∠H=180°，
∵∠ABC=∠CDE，
∴∠ABC+∠H=180°，
∴AB∥FH，
∴∠F=∠ABP，
∵DE=EF=AB，∠EPF=∠APB，
∴△FPE≌△BPA（AAS），
∴PE=PA，
∵AE=PE+PA=8，
∴PE=PA=4，
∵CA=CE，
∴CP⊥AE，
∴∠APC=90°，
∴AC=.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；解直角三角形；旋转的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】（1）∵一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方
∴此四边形的内角中至少有一个角为直角
①：平行四边形的内角不一定有直角
∴平行四边形不一定是勾股四边形
②∵矩形的四个角都为直角
∴矩形是勾股四边形
③：有一个角为直角的任意凸四边形
∴此四边形为勾股四边形
④：有一个角为60°的菱形
∴菱形的四个内角分别为60°120°，60°，120°
∴有一个角为60°的菱形不是勾股四边形
故答案为：②③.
【分析】（1）解题关键在于对勾股四边形定义的理解，能够判断出矩形符合相邻两边平方和等于对角线平方，根据这一条件逐一判断即可。
（2）①只要证明ADAE是直角三角形，再利用勾股定理，旋转的性质即可解决问题；当旋转n=60°时，通过旋转性质得到△BCD是等边三角形，进而得到相关角度，通过计算四边形内角和验证其为勾股四边形。
②如图2中，延长BC交FE的延长线于H.由推出PE=PA=5，由CA=CE，推出CP⊥AE，推出∠APC=90°，根据计算即可.
23．（2024九上·四会期末）定义：平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．
（1）如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，，中，是矩形“梦之点”的是 ；
（2）如图，已知点、是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点．
①求出，，三条线段的长度；
②判断的形状，并说明理由．
【答案】（1），，
（2）解：①点，是抛物线的“梦之点”，
，
解得：，，
当时，；
当时，，
，，
由抛物线的表达式知，顶点，
由点、、的坐标得，，
同理可得：，；
②是直角三角形，理由：
由①知，，
是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（1）∵矩形的顶点坐标分别是，，，，
∴矩形的“梦之点”满足，
∴点，，是矩形的“梦之点”，不是矩形的“梦之点”．
故答案为：，，
【分析】（1）根据矩形顶点的坐标结合“梦之点”的定义得到满足，进而即可判断；
（2）①根据梦之点的定义得到，进而即可求出，，再根据二次函数的定义结合勾股定理得到AC，同理可得：，；
②根据①中的边长运用勾股定理的逆定理即可求解。
四、阅读理解题
24．（2024九上·阳江月考）【阅读理解】在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
例 解方程：．
解：原方程变形，得．
由平方差公式，得．
移项，得，即．
直接开平方并整理，得．
我们称这种解法为“平均数法”。
（1）下面是小明用“平均数法”解方程的过程．
解：原方程变形，得．
由平方差公式，得。
移项，得。
直接开平方并整理，得．
上述过程中的表示的数分别为 ， ， ， ；
（2）请用“平均数法”解方程：．
【答案】（1）5；2；-2；-8
（2）解：由题意可得：
原方程变形，得
由平方差公式，得
移项，得
直接开平方并整理，得
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）结合题意解法即可求出答案.
（2）结合题意解法即可求出答案.
25．（2023九上·汕头月考）阅读材料：配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方公式的和的方法。这种方法被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题。
我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”
例如5是“完美数”，理由是5=22+12.
（1）[解决问题]数53 “完美数”（填是或不是）
（2）问题探究：已知x2+y2－4x+2y+5=0，则x+y=
（3）已知S=2x2+y2+2xy+12x+k（x，y，k都是整数）要使得S为“完美数”试求出符合条件的k值。
【答案】（1）是
（2）1
（3）解：由题意，，
∵S为“完美数”，
∴是完全平方式，
∴
【知识点】定义新运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴数53是“完美数”；
（2）∵
∴，，
∴，，
∴
【分析】（1）根据“完美数”的定义，，可判定53为完美数；
（2）将转化为求出x、y后即可求解；
（3）将转化为，根据题意可知是完全平方式，即可求解.
五、实践探究题
26．（2023九上·茶山期中）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“完美方程”．
（1）下面方程是“完美方程”的是 ．（填序号）①x2-4x+3＝0；②2x2+x+3＝0；③2x2-x-3＝0．
（2）已知3x2+mx+n＝0是关于x的“完美方程”，若m是此“完美方程”的一个根，求m的值．
【答案】（1）③
（2）解：∵3x2+mx+n＝0是关于x的“完美方程”，
∴m＝3+n，
∴n＝m-3，
∴原方程为3x2+mx+m-3＝0．
∵m是此“完美方程”的一个根，
∴3m2+m2+m-3＝0，即4m2+m-3＝0，
解得：m＝-1或．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①∵b=-4，a+c=4，∴方程①不是“完美方程”，
②∵b=1，a+c=5，∴方程②不是“完美方程”，
③∵b=-1，a+c=-1，∴方程③是“完美方程”，
故答案为：③；
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）根据定义得出n＝m-3，得出原方程为3x2+mx+m-3＝0，把x=m代入得出4m2+m-3＝0，解方程求出m的值即可.
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