精选情境型—广东省（人教版）数学九（上）期末复习
阅卷人 一、一元二次方程
得分
1．（2024九上·东莞期末）为积极响应国家“双减”政策，某市推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次。设平均每批受益学生人次的增长率为x，根据题意可列方程为（ ）。
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每批受益学生人次的增长率为x
由题意可得
故答案为：D
【分析】设平均每批受益学生人次的增长率为x，根据题意建立方程即可求出答案.
2．（2024九上·南沙期末）印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设这群猴子的总数是只
∴一队猴子数是
根据题意可得：
故答案为：D
【分析】设这群猴子的总数是只，则一队猴子数是，根据题意建立方程即可求出答案.
3．（2024九上·增城期末）某商店将进货价格为元的商品按单价元售出时，能卖出个已知该商品单价每上涨元，其销售量就减少个设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解： 设这种商品的售价上涨元
∴单件利润为x+16，总销售量为200-5x
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设这种商品的售价上涨元，根据题意建立方程即可求出答案.
4．（2024九上·禅城期末） 国家通过药品集中带量采购，很多常用药的价格显著下降.某种药品经两次降价后，价格160元调整为40元，假设平均每次降价率为x， 则可列方程为 .
【答案】160（1-x）2=40
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设均每次降价率为x
由题意可得：160（1-x）2=40
故答案为：160（1-x）2=40
【分析】根据经过两次降价后的价格=原价×(1-平均每次降价的百分率)2，列出方程即可.
5．（2023九上·宝安月考）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得，100（1+x）2＝144，
解得x＝20%或x＝﹣2.2（舍去），
∴该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元，
由题意得（m﹣30）[600﹣10（m﹣40）]＝10000，
整理得m2﹣130m+4000＝0，
解得m＝50或m＝80，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴m＝50，
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得：初始销售量×（1+月增长率）×（1+月增长率）=最终的销售量，设月增长率为x，代入即可得到方程，求解即可，注意月增长率为正数；
（2）根据题意：上涨的价格=实际售价－40；故减少的销售量=10×上涨的价格，可得等量关系：（实际售价－进价）×（原销售量－减少的销售量）=10000.设实际售价为m元，代入得关于m的方程求解即可.注意m的选取.
阅卷人 二、二次函数
得分
6．（2020九上·龙华期末）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开。已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长。小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2。则：（ ）
A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确 D．两人均错误
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设垂直于墙的一边的长为xm，隔离区的面积为ym2，
∴y=x（12-x）=-3（x-2）2+12，
∵12-3x≤5，
∴x≥，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，开口向下，
∴当x=时，y有最大值为，
故小明错误，
当x=3时，y=9，
故小亮正确.
故答案为：B.
【分析】设垂直于墙的一边的长为xm，隔离区的面积为ym2，根据题意得出y=-3（x-2）2+12，x≥，根据二次函数的性质得出当x=时，y有最大值为，即可判断小明错误，当x=3时，y=9，即可判断小亮正确.
7．（2024九上·四会期末）烟花厂为庆祝元旦晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为
【答案】4
【知识点】二次函数的最值；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵
∴当时，函数有最大值，
∴这种礼炮点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为秒．
故答案为：
【分析】根据题意求出二次函数的最值，进而即可求解。
8．（2024九上·潮州期末）有一个直径为的圆形喷水池，如图1，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，在水池中心O处立着圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M处汇合，如图2，水柱在距水池中心处到达最高，高度为．
（1）如图2，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，求石柱右侧抛物线的函数解析式；
（2）求出石柱的高度．
【答案】（1）解：选择图中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式，
由题意，得抛物线的顶点坐标为，
设抛物线对应的函数关系式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线对应的函数关系式为，
（2）解：当时，
，
即石柱的高度为．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）用待定系数法求出图中第一象限抛物线的解析式。
（2）根据解析式，令x=0，求出Y值即可。
9．（2024九上·潮南期末）鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验.如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线.水平距离与离地高度的鹰眼数据如表：
0 9 12 15 18 21 …
图1 图2 0 4.2 4.8 5 4.8 4.2 …
（1）根据表中数据可得，当 时，达到最大值 ；
（2）求关于的函数解析式；
（3）当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明.
【答案】（1）15；5
（2）解：由（1）知，抛物线顶点坐标，设，
把代入解析式，，
解得，
（3）解：当，
，
守门员不能成功防守.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：（1）当时，h达到最大值：
故答案为：15，5.
【分析】（1）根据表格中数据即可求解；
（2）由（1）知，抛物线顶点坐标，设，把代入即可求出函数解析式；
（3）令，求出h的值与2.6比较大小即可.
10．（2024九上·顺德期末）问题情境：小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
售价（元/盆） 日销售量（盆）
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
数据整理：（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆） ____ ____ ____ ____ ____
日销售量（盆） ____ ____ ____ ____ ____
（1）模型建立：分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．
（2）拓广应用：根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
【答案】（1）解：观察表格可知销售量是售价的一次函数；
设销售量为盆，售价为元，，
把代入得：，解得
（2）解：①每天获得400元的利润，
，
解得或，
要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元；
②设每天获得的利润为元，
根据题意得：，
∴当时，取最大值450，
售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设销售量为盆，售价为元，，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
（2）①根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②设每天获得的利润为元，根据题意建立函数关系式，结合二次函数的性质即可求出答案.
11．（2024九上·番禺期末）蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线的一部分构成（以下简记为“抛物线”），其中，，现取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图①所示平面直角坐标系．请结合图形解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图②，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，其中L，R在抛物线上，若，求两个正方形装置的间距的长；
（3）如图③，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，大棚截面的阴影为，此刻，过点K的太阳光线所在的直线与抛物线交于点P，求线段的长．
【答案】（1）解：由题意可知四边形为矩形，为的中垂线，
∴，则，
∵，，
∴，，，
设抛物线的解析式为：，
代入，，，得，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵四边形，四边形均为正方形，，
∴，
延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，
∴，，
∴，
∵，当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：∵，垂直平分，
∴
∴，，
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴，
∵太阳光为平行光，
设过点 平行于的光线的解析式为，
由题意，得：与抛物线相切，
联立，整理得：，
则：，解得：；
∴，，
解得：，即：
当时，，即：，
当时，，即：，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，即，，根据边之间关系可得HL=4.75，将y=4.75代入函数关系式可得，，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据垂直平分线性质可得，则，，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得，设过点 平行于的光线的解析式为，由题意，得：与抛物线相切，联立方程组，解方程可得，当时，，即：，当时，，即：，再根据两点间距离公式即可求出答案.
12．（2024九上·蓬江期末）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为，大孔顶点P距水面（即），小孔水面宽度为，小孔顶点Q距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求大孔抛物线的解析式；
（2）现有一艘船高度是，宽度是，这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？并说明理由．
（3）当水位上涨时，求小孔的水面宽度．
【答案】（1）解；设大孔抛物线的解析式为，
由题意得，，
把代入中得：，
解得，
∴大孔抛物线的解析式为；
（2）解：这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔，理由如下：
在中，当时，解得，
∵，
∴这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔；
（3）解：设右边小孔抛物线解析式为，
由题意得，，
把代入中得，
解得，
∴右边小孔抛物线解析式为，
在中，当时，
解得或，
∴，
∴小孔的水面宽度为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）设大孔抛物线的解析式为，先根据题意得到点A的坐标，再将点A的坐标代入函数解析式即可得到a，从而即可求解；
（2）根据题意求出x=9时y的值，进而对比船高即可求解；
（3）设右边小孔抛物线解析式为，进而根据题意得到点B的坐标，再代回得到a'，从而得到函数解析式，再根据题意令y=4，从而求出x，再将x的值相减即可求解。
阅卷人 三、旋转
得分
13．（2024九上·汕尾期末）在北京冬奥会举办之前，北京冬奥会组委曾面向全球征集年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
C 既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.
故答案为：C
【分析】轴对称图形：将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；中心对称图形：将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
14．（2024九上·惠东期末）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A顺时针方向转，旋转角度为，得到．
（1）【数学思考】老师问：当为多少度时，？（请写出证明过程）；
（2）【深入探究】老师继续旋转，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：当旋转到图③所示位置时，为_▲_度．直接写出结果；
②“智慧小组”提出问题：连接BD，当时，探求值的大小变化情况，并给出你的证明．请你解答此问题．
【答案】（1）如图②，
∵，
∴
∴
所以当时，；
（2）①45
②当时，
值的大小不变．
证明：连接，，设CD与BC，相交于点O．
在和中，
，
∴，
∴
∴当时，值的大小不变．
【知识点】角的运算；平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（2）①当旋转到图③所示位置时，，
故答案为：45；
【分析】（1）先根据平行线的性质得到，进而即可得到从而即可求解；
（2）①根据旋转的性质结合三角板即可求解；
②连接，，设CD与BC，相交于点O，根据旋转的性质得到，从而得到，再根据题意进行角的运算得到，即当时，值的大小不变．
阅卷人 四、圆
得分
15．（2024九上·花都期末）如图所示是一个单心圆曲隧道的截面，若隧道单心圆的半径的长是，净高为，则此路面宽为（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
CO=AO=5
∴OD=CD-CO=3
∴
∴AB=2AD=8
故答案为：B
【分析】根据边之间的关系可得OD=3，再根据勾股定理可得AD，再根据垂径定理即可求出答案.
16．（2024九上·蓬江期末）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点P与点C重合，射线从处出发绕点B沿逆时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第13秒时，点E在量角器上对应的读数是 度．
【答案】52
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，
∴点B在以为直径的圆上，
由题意得，
∴，
∵量角器0刻度线的端点P与点C重合，
∴点E在量角器上对应的读数是52度；
故答案为：52．
【分析】连接，先根据圆周角定理得到点B在以为直径的圆上，再根据题意得到，从而得到∠COE的度数，进而结合题意即可求解。
17．（2024九上·天河期末）人们根据实际需要，发明了“三分角器”，图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与垂直于点足够长．
使用方法如图2所示，要将三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切时，切点为，则有．
若，半圆的半径为2，与半圆交于点，求的长．
【答案】解：∵，，
∴，
∵是半圆的切线，
∴，
∴，
∴，
∵半圆的半径为2，
∴的长为．
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【分析】根据角之间的关系可得，再根据切线性质可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据弧长公式即可求出答案.
18．（2024九上·中山期末）如图是一款利用曲边三角形制造的扫地机如图是一个曲边三角形，它可按照如下方法作出：作等边三角形，分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，，三段弧所围成的图形就是曲边三角形若这个曲边三角形的周长为，求它的面积结果保留．
【答案】解：设等边三角形的边长为，
，解得，
即正三角形的边长为，
这个曲边三角形的面积．
【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】设等边三角形的边长为，根据题意建立方程，解方程可得正三角形的边长为，再根据扇形面积即可求出答案.
阅卷人 五、概率初步
得分
19．（2024九上·深圳期末）如图是小鹏自己制作的正方形飞镖盘，并在盘内画了两个小正方形，则小鹏在投掷飞镖时，飞镖扎在阴影部分的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何概率
20．（2024九上·深圳期末）小鄂在数学书中看到了斐波那契曲线，于是将曲线画在了纸上小明看到后想计算阴影部分面积于是他们决定在纸上随机戳点，并记录数据于下表
总点数 10 20 40 100
阴影部分点数 4 11 23 47
若正方形的边长为4，则阴影部分面积约为（ ）
A．4.7 B．7.52 C．7.98 D．8
【答案】B
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
21．（2024九上·连山期末）物理某一实验的电路图如图所示，其中K1，K2，K3为电路开关，L1，L2为能正常发光的灯泡．任意闭合开关K1，K2，K3中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两盏灯泡同时发光的概率为：P==．
故答案为：A
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果， 再求出能让两盏灯泡同时发光的结果，再根据概率公式即可求出答案.
22．（2024九上·龙湖期末）有一个摊位游戏，先旋转一个转盘的指针，如果指针箭头停在奇数的位置，玩的人可以从袋子里抽出一个弹珠，当摸到黑色的弹珠就能得到奖品，转盘和弹珠如图所示，小明玩了一次这个游戏，则小明得奖的可能性为（ ）
A．不可能 B．不太可能 C．非常有可能 D．一定可以
【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由图可得：
小明转到奇数的概率为：
摸到黑色的弹珠的概率为：
∴小明得奖的概率为：，可能性不大
故答案为：B
【分析】根据简单事件的概率公式即可求出答案.
23．（2024九上·天河期末）某班的一个数学兴趣小组为了考察某条斑马线前驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员在这条斑马线前能主动给行人让路的概率约是 （结果保留小数点后一位）．
排查车辆数 20 40 100 200 400 1000
能礼让的车辆数 15 32 82 158 324 800
能礼让的频率
【答案】0.8
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察表格可得：能礼让的频率在0.8左右
∴ 驾驶员在这条斑马线前能主动给行人让路的概率约是 0.8
故答案为：0.8
【分析】根据频率估算概率即可求出答案.
24．（2024九上·龙湖期末）在定西这块深沉的土地上，处处彰显着文化的韵味.如石器时代的马家窑文化、齐家文化，青铜时代的辛店文化，寺洼文化，现有四张不透明的卡片，它们的背面完全一样，正面分别写有马家窑文化、齐家文化、辛店文化、寺洼文化，将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌子上.
（1）从中随机抽取一张，抽到“辛店文化”的概率为 ；
（2）从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张，请通过画树状图或列表法，求抽到的两张卡片所写的都属于石器时代文化的概率。
【答案】（1）
（2）解：画树状图如图所示：
由图可得共有12种等可能的结果，数为2，
所以抽到的两张卡片所写的都属于石器时代文化的概率为=
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
共有四张卡片，抽到“辛店文化”的概率为
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率根式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能结果，再求出抽到的两张卡片所写的都属于石器时代文化的结果，结合简单事件概率公式即可求出答案.
25．（2024九上·惠东期末）嫦娥、神舟、北斗、天问被称为中国航天的“四大天王”.2020年“北斗”组网、“天问”问天、“嫦五”探月，一个个好消息从太空传来，照亮了中国航天界的未来！小玲对航空航天非常感兴趣，她收集到了嫦娥五号、神舟十一号、北斗三号、天问一号的模型图，依次制成编号为A、B、C、D四张卡片（背面完全同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小玲从中随机抽取一张卡片是“北斗三号”的概率是 ；
（2）小玲从四张卡片中随机抽取一张卡片（不放回）．再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为A（嫦娥五号）和D（天问一号）的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12个等可能的结果，
其中抽到的两张卡片恰好是编号为A和D的有2种结果，记为事件A
所以
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵小玲收集到了嫦娥五号、神舟十一号、北斗三号、天问一号的模型图，依次制成编号为A、B、C、D四张卡片（背面完全同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，
∴小玲从中随机抽取一张卡片是“北斗三号”的概率是，
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率结合题意即可求解；
（2）先根据题意画出树状图，进而得到共有12个等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是编号为A和D的有2种结果，再根据等可能事件的概率即可求解。
26．（2023九上·高州期末）生物学上通常用“标记重捕法”来估算特定区域内某种群的数量．如在固定区域内用捕虫网捕捉了40只田鼠，将它们标记后放回直到充分混合后，用同一个捕虫网捕捉了80只田鼠，其中有16只是被标记的，于是估算该区域田鼠的数量为：
（只）．
某研究小组考察了一湖泊中的某鱼种群的年龄组成，结果如下表，请回答问题：
年龄 A B C D ……
个体数量 92 187 x y ……
注：表中“”表示鱼的年龄年，表示年龄年，表示年龄年，表示年龄为年．
（1）年龄为，，的个体数量的平均数为125，年龄在，，，的个体数量的中位数是95，则 ， （其中）．
（2）若将年龄为的鱼全部标记后并放回湖泊，充分混合后，捕捉120条鱼，其中被标记鱼有12条，那么该湖泊里一共约有多少条鱼？
（3）现捕获A，B，C，D年龄段的鱼各一条，从中任抓两条，请用列表或画树状图求抓到的是和年龄的鱼的概率．
【答案】（1）96；94
（2）解：（条），
答：湖泊里一共约有940条鱼
（3）解：根据题意可画树状图如下：
由图知总共有种可能，其中抓到的是和年龄的鱼的情况有种，
抓到的是和年龄的鱼的概率为
【知识点】用样本估计总体；用列表法或树状图法求概率；概率公式；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（1）∵年龄为，，的个体数量的平均数为125，
∴，
解得：x=96；
∵年龄在，，，的个体数量的中位数是95，且92＜y＜96，
∴，
解得：y=94.
故答案为：第一空：96；第二空：94.
【分析】（1）根据平均数的计算公式可得关于x的方程，解方程可求解；根据中位数的定义可得关于y的方程，解方程即可求解；
（2）用样本估计总体可求解；
（3）由题意画出树状图，由图知总共有种可能，其中抓到的是和年龄的鱼的情况有种，然后根据概率公式计算即可求解.
1 / 1精选情境型—广东省（人教版）数学九（上）期末复习
阅卷人 一、一元二次方程
得分
1．（2024九上·东莞期末）为积极响应国家“双减”政策，某市推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次。设平均每批受益学生人次的增长率为x，根据题意可列方程为（ ）。
A． B．
C． D．
2．（2024九上·南沙期末）印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·增城期末）某商店将进货价格为元的商品按单价元售出时，能卖出个已知该商品单价每上涨元，其销售量就减少个设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·禅城期末） 国家通过药品集中带量采购，很多常用药的价格显著下降.某种药品经两次降价后，价格160元调整为40元，假设平均每次降价率为x， 则可列方程为 .
5．（2023九上·宝安月考）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
阅卷人 二、二次函数
得分
6．（2020九上·龙华期末）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开。已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长。小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2。则：（ ）
A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确 D．两人均错误
7．（2024九上·四会期末）烟花厂为庆祝元旦晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为
8．（2024九上·潮州期末）有一个直径为的圆形喷水池，如图1，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，在水池中心O处立着圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M处汇合，如图2，水柱在距水池中心处到达最高，高度为．
（1）如图2，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，求石柱右侧抛物线的函数解析式；
（2）求出石柱的高度．
9．（2024九上·潮南期末）鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验.如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线.水平距离与离地高度的鹰眼数据如表：
0 9 12 15 18 21 …
图1 图2 0 4.2 4.8 5 4.8 4.2 …
（1）根据表中数据可得，当 时，达到最大值 ；
（2）求关于的函数解析式；
（3）当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明.
10．（2024九上·顺德期末）问题情境：小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
售价（元/盆） 日销售量（盆）
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
数据整理：（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆） ____ ____ ____ ____ ____
日销售量（盆） ____ ____ ____ ____ ____
（1）模型建立：分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．
（2）拓广应用：根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
11．（2024九上·番禺期末）蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线的一部分构成（以下简记为“抛物线”），其中，，现取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图①所示平面直角坐标系．请结合图形解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图②，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，其中L，R在抛物线上，若，求两个正方形装置的间距的长；
（3）如图③，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，大棚截面的阴影为，此刻，过点K的太阳光线所在的直线与抛物线交于点P，求线段的长．
12．（2024九上·蓬江期末）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为，大孔顶点P距水面（即），小孔水面宽度为，小孔顶点Q距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求大孔抛物线的解析式；
（2）现有一艘船高度是，宽度是，这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？并说明理由．
（3）当水位上涨时，求小孔的水面宽度．
阅卷人 三、旋转
得分
13．（2024九上·汕尾期末）在北京冬奥会举办之前，北京冬奥会组委曾面向全球征集年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2024九上·惠东期末）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A顺时针方向转，旋转角度为，得到．
（1）【数学思考】老师问：当为多少度时，？（请写出证明过程）；
（2）【深入探究】老师继续旋转，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：当旋转到图③所示位置时，为_▲_度．直接写出结果；
②“智慧小组”提出问题：连接BD，当时，探求值的大小变化情况，并给出你的证明．请你解答此问题．
阅卷人 四、圆
得分
15．（2024九上·花都期末）如图所示是一个单心圆曲隧道的截面，若隧道单心圆的半径的长是，净高为，则此路面宽为（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．10
16．（2024九上·蓬江期末）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点P与点C重合，射线从处出发绕点B沿逆时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第13秒时，点E在量角器上对应的读数是 度．
17．（2024九上·天河期末）人们根据实际需要，发明了“三分角器”，图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与垂直于点足够长．
使用方法如图2所示，要将三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切时，切点为，则有．
若，半圆的半径为2，与半圆交于点，求的长．
18．（2024九上·中山期末）如图是一款利用曲边三角形制造的扫地机如图是一个曲边三角形，它可按照如下方法作出：作等边三角形，分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，，三段弧所围成的图形就是曲边三角形若这个曲边三角形的周长为，求它的面积结果保留．
阅卷人 五、概率初步
得分
19．（2024九上·深圳期末）如图是小鹏自己制作的正方形飞镖盘，并在盘内画了两个小正方形，则小鹏在投掷飞镖时，飞镖扎在阴影部分的概率为( )
A． B． C． D．
20．（2024九上·深圳期末）小鄂在数学书中看到了斐波那契曲线，于是将曲线画在了纸上小明看到后想计算阴影部分面积于是他们决定在纸上随机戳点，并记录数据于下表
总点数 10 20 40 100
阴影部分点数 4 11 23 47
若正方形的边长为4，则阴影部分面积约为（ ）
A．4.7 B．7.52 C．7.98 D．8
21．（2024九上·连山期末）物理某一实验的电路图如图所示，其中K1，K2，K3为电路开关，L1，L2为能正常发光的灯泡．任意闭合开关K1，K2，K3中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
22．（2024九上·龙湖期末）有一个摊位游戏，先旋转一个转盘的指针，如果指针箭头停在奇数的位置，玩的人可以从袋子里抽出一个弹珠，当摸到黑色的弹珠就能得到奖品，转盘和弹珠如图所示，小明玩了一次这个游戏，则小明得奖的可能性为（ ）
A．不可能 B．不太可能 C．非常有可能 D．一定可以
23．（2024九上·天河期末）某班的一个数学兴趣小组为了考察某条斑马线前驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员在这条斑马线前能主动给行人让路的概率约是 （结果保留小数点后一位）．
排查车辆数 20 40 100 200 400 1000
能礼让的车辆数 15 32 82 158 324 800
能礼让的频率
24．（2024九上·龙湖期末）在定西这块深沉的土地上，处处彰显着文化的韵味.如石器时代的马家窑文化、齐家文化，青铜时代的辛店文化，寺洼文化，现有四张不透明的卡片，它们的背面完全一样，正面分别写有马家窑文化、齐家文化、辛店文化、寺洼文化，将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌子上.
（1）从中随机抽取一张，抽到“辛店文化”的概率为 ；
（2）从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张，请通过画树状图或列表法，求抽到的两张卡片所写的都属于石器时代文化的概率。
25．（2024九上·惠东期末）嫦娥、神舟、北斗、天问被称为中国航天的“四大天王”.2020年“北斗”组网、“天问”问天、“嫦五”探月，一个个好消息从太空传来，照亮了中国航天界的未来！小玲对航空航天非常感兴趣，她收集到了嫦娥五号、神舟十一号、北斗三号、天问一号的模型图，依次制成编号为A、B、C、D四张卡片（背面完全同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小玲从中随机抽取一张卡片是“北斗三号”的概率是 ；
（2）小玲从四张卡片中随机抽取一张卡片（不放回）．再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为A（嫦娥五号）和D（天问一号）的概率．
26．（2023九上·高州期末）生物学上通常用“标记重捕法”来估算特定区域内某种群的数量．如在固定区域内用捕虫网捕捉了40只田鼠，将它们标记后放回直到充分混合后，用同一个捕虫网捕捉了80只田鼠，其中有16只是被标记的，于是估算该区域田鼠的数量为：
（只）．
某研究小组考察了一湖泊中的某鱼种群的年龄组成，结果如下表，请回答问题：
年龄 A B C D ……
个体数量 92 187 x y ……
注：表中“”表示鱼的年龄年，表示年龄年，表示年龄年，表示年龄为年．
（1）年龄为，，的个体数量的平均数为125，年龄在，，，的个体数量的中位数是95，则 ， （其中）．
（2）若将年龄为的鱼全部标记后并放回湖泊，充分混合后，捕捉120条鱼，其中被标记鱼有12条，那么该湖泊里一共约有多少条鱼？
（3）现捕获A，B，C，D年龄段的鱼各一条，从中任抓两条，请用列表或画树状图求抓到的是和年龄的鱼的概率．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每批受益学生人次的增长率为x
由题意可得
故答案为：D
【分析】设平均每批受益学生人次的增长率为x，根据题意建立方程即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设这群猴子的总数是只
∴一队猴子数是
根据题意可得：
故答案为：D
【分析】设这群猴子的总数是只，则一队猴子数是，根据题意建立方程即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解： 设这种商品的售价上涨元
∴单件利润为x+16，总销售量为200-5x
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设这种商品的售价上涨元，根据题意建立方程即可求出答案.
4．【答案】160（1-x）2=40
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设均每次降价率为x
由题意可得：160（1-x）2=40
故答案为：160（1-x）2=40
【分析】根据经过两次降价后的价格=原价×(1-平均每次降价的百分率)2，列出方程即可.
5．【答案】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得，100（1+x）2＝144，
解得x＝20%或x＝﹣2.2（舍去），
∴该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元，
由题意得（m﹣30）[600﹣10（m﹣40）]＝10000，
整理得m2﹣130m+4000＝0，
解得m＝50或m＝80，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴m＝50，
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得：初始销售量×（1+月增长率）×（1+月增长率）=最终的销售量，设月增长率为x，代入即可得到方程，求解即可，注意月增长率为正数；
（2）根据题意：上涨的价格=实际售价－40；故减少的销售量=10×上涨的价格，可得等量关系：（实际售价－进价）×（原销售量－减少的销售量）=10000.设实际售价为m元，代入得关于m的方程求解即可.注意m的选取.
6．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设垂直于墙的一边的长为xm，隔离区的面积为ym2，
∴y=x（12-x）=-3（x-2）2+12，
∵12-3x≤5，
∴x≥，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，开口向下，
∴当x=时，y有最大值为，
故小明错误，
当x=3时，y=9，
故小亮正确.
故答案为：B.
【分析】设垂直于墙的一边的长为xm，隔离区的面积为ym2，根据题意得出y=-3（x-2）2+12，x≥，根据二次函数的性质得出当x=时，y有最大值为，即可判断小明错误，当x=3时，y=9，即可判断小亮正确.
7．【答案】4
【知识点】二次函数的最值；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵
∴当时，函数有最大值，
∴这种礼炮点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为秒．
故答案为：
【分析】根据题意求出二次函数的最值，进而即可求解。
8．【答案】（1）解：选择图中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式，
由题意，得抛物线的顶点坐标为，
设抛物线对应的函数关系式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线对应的函数关系式为，
（2）解：当时，
，
即石柱的高度为．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）用待定系数法求出图中第一象限抛物线的解析式。
（2）根据解析式，令x=0，求出Y值即可。
9．【答案】（1）15；5
（2）解：由（1）知，抛物线顶点坐标，设，
把代入解析式，，
解得，
（3）解：当，
，
守门员不能成功防守.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：（1）当时，h达到最大值：
故答案为：15，5.
【分析】（1）根据表格中数据即可求解；
（2）由（1）知，抛物线顶点坐标，设，把代入即可求出函数解析式；
（3）令，求出h的值与2.6比较大小即可.
10．【答案】（1）解：观察表格可知销售量是售价的一次函数；
设销售量为盆，售价为元，，
把代入得：，解得
（2）解：①每天获得400元的利润，
，
解得或，
要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元；
②设每天获得的利润为元，
根据题意得：，
∴当时，取最大值450，
售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设销售量为盆，售价为元，，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
（2）①根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②设每天获得的利润为元，根据题意建立函数关系式，结合二次函数的性质即可求出答案.
11．【答案】（1）解：由题意可知四边形为矩形，为的中垂线，
∴，则，
∵，，
∴，，，
设抛物线的解析式为：，
代入，，，得，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵四边形，四边形均为正方形，，
∴，
延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，
∴，，
∴，
∵，当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：∵，垂直平分，
∴
∴，，
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴，
∵太阳光为平行光，
设过点 平行于的光线的解析式为，
由题意，得：与抛物线相切，
联立，整理得：，
则：，解得：；
∴，，
解得：，即：
当时，，即：，
当时，，即：，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，即，，根据边之间关系可得HL=4.75，将y=4.75代入函数关系式可得，，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据垂直平分线性质可得，则，，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得，设过点 平行于的光线的解析式为，由题意，得：与抛物线相切，联立方程组，解方程可得，当时，，即：，当时，，即：，再根据两点间距离公式即可求出答案.
12．【答案】（1）解；设大孔抛物线的解析式为，
由题意得，，
把代入中得：，
解得，
∴大孔抛物线的解析式为；
（2）解：这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔，理由如下：
在中，当时，解得，
∵，
∴这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔；
（3）解：设右边小孔抛物线解析式为，
由题意得，，
把代入中得，
解得，
∴右边小孔抛物线解析式为，
在中，当时，
解得或，
∴，
∴小孔的水面宽度为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）设大孔抛物线的解析式为，先根据题意得到点A的坐标，再将点A的坐标代入函数解析式即可得到a，从而即可求解；
（2）根据题意求出x=9时y的值，进而对比船高即可求解；
（3）设右边小孔抛物线解析式为，进而根据题意得到点B的坐标，再代回得到a'，从而得到函数解析式，再根据题意令y=4，从而求出x，再将x的值相减即可求解。
13．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
C 既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.
故答案为：C
【分析】轴对称图形：将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；中心对称图形：将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
14．【答案】（1）如图②，
∵，
∴
∴
所以当时，；
（2）①45
②当时，
值的大小不变．
证明：连接，，设CD与BC，相交于点O．
在和中，
，
∴，
∴
∴当时，值的大小不变．
【知识点】角的运算；平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（2）①当旋转到图③所示位置时，，
故答案为：45；
【分析】（1）先根据平行线的性质得到，进而即可得到从而即可求解；
（2）①根据旋转的性质结合三角板即可求解；
②连接，，设CD与BC，相交于点O，根据旋转的性质得到，从而得到，再根据题意进行角的运算得到，即当时，值的大小不变．
15．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
CO=AO=5
∴OD=CD-CO=3
∴
∴AB=2AD=8
故答案为：B
【分析】根据边之间的关系可得OD=3，再根据勾股定理可得AD，再根据垂径定理即可求出答案.
16．【答案】52
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，
∴点B在以为直径的圆上，
由题意得，
∴，
∵量角器0刻度线的端点P与点C重合，
∴点E在量角器上对应的读数是52度；
故答案为：52．
【分析】连接，先根据圆周角定理得到点B在以为直径的圆上，再根据题意得到，从而得到∠COE的度数，进而结合题意即可求解。
17．【答案】解：∵，，
∴，
∵是半圆的切线，
∴，
∴，
∴，
∵半圆的半径为2，
∴的长为．
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【分析】根据角之间的关系可得，再根据切线性质可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据弧长公式即可求出答案.
18．【答案】解：设等边三角形的边长为，
，解得，
即正三角形的边长为，
这个曲边三角形的面积．
【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】设等边三角形的边长为，根据题意建立方程，解方程可得正三角形的边长为，再根据扇形面积即可求出答案.
19．【答案】A
【知识点】几何概率
20．【答案】B
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
21．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两盏灯泡同时发光的概率为：P==．
故答案为：A
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果， 再求出能让两盏灯泡同时发光的结果，再根据概率公式即可求出答案.
22．【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由图可得：
小明转到奇数的概率为：
摸到黑色的弹珠的概率为：
∴小明得奖的概率为：，可能性不大
故答案为：B
【分析】根据简单事件的概率公式即可求出答案.
23．【答案】0.8
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察表格可得：能礼让的频率在0.8左右
∴ 驾驶员在这条斑马线前能主动给行人让路的概率约是 0.8
故答案为：0.8
【分析】根据频率估算概率即可求出答案.
24．【答案】（1）
（2）解：画树状图如图所示：
由图可得共有12种等可能的结果，数为2，
所以抽到的两张卡片所写的都属于石器时代文化的概率为=
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
共有四张卡片，抽到“辛店文化”的概率为
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率根式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能结果，再求出抽到的两张卡片所写的都属于石器时代文化的结果，结合简单事件概率公式即可求出答案.
25．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12个等可能的结果，
其中抽到的两张卡片恰好是编号为A和D的有2种结果，记为事件A
所以
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵小玲收集到了嫦娥五号、神舟十一号、北斗三号、天问一号的模型图，依次制成编号为A、B、C、D四张卡片（背面完全同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，
∴小玲从中随机抽取一张卡片是“北斗三号”的概率是，
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率结合题意即可求解；
（2）先根据题意画出树状图，进而得到共有12个等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是编号为A和D的有2种结果，再根据等可能事件的概率即可求解。
26．【答案】（1）96；94
（2）解：（条），
答：湖泊里一共约有940条鱼
（3）解：根据题意可画树状图如下：
由图知总共有种可能，其中抓到的是和年龄的鱼的情况有种，
抓到的是和年龄的鱼的概率为
【知识点】用样本估计总体；用列表法或树状图法求概率；概率公式；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（1）∵年龄为，，的个体数量的平均数为125，
∴，
解得：x=96；
∵年龄在，，，的个体数量的中位数是95，且92＜y＜96，
∴，
解得：y=94.
故答案为：第一空：96；第二空：94.
【分析】（1）根据平均数的计算公式可得关于x的方程，解方程可求解；根据中位数的定义可得关于y的方程，解方程即可求解；
（2）用样本估计总体可求解；
（3）由题意画出树状图，由图知总共有种可能，其中抓到的是和年龄的鱼的情况有种，然后根据概率公式计算即可求解.
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