最新情境型（1）—广东省（人教版）数学九（上）期末复习
一、一元二次方程
1．（2024九上·香洲期中）2023年春节期间（1月20日至1月25日），圆通速递实行“春节不打烊”．某快递员在一线提供正常揽派服务，第一天揽件400件，第三天揽件442件，设该快递员揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·南沙期末）印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·龙岗开学考）实验室的一个容器内盛有克食盐水，其中含盐克如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的倍晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义是（ ）
A．增加的水量
B．蒸发掉的水量
C．加入的食盐量
D．减少的食盐量
4．（2024九上·深圳开学考）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
5．（2024九上·广州期中）有支球队要进行篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共比赛了10场，则 ．
6．（2024九上·蓬江月考）如图，在一个长为，宽为的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为，那么道路的宽为 ．
7．（2024九上·深圳期中）2024年奥运会在巴黎顺利召开，奥运会吉祥物“弗里热”爆红.
（1）据统计某“弗里热”玩偶在某电商平台7月份的销售量是5万件，9月份的销售量是7.2万件，问月平均增长率是多少
（2）市场调查发现，某实体店“弗里热”玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售“弗里热”玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元
8．（2024九上·珠海期中）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下．请根据素材帮助他完成相应任务：
关于最值问题的探究
素材1 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，方程可以看作关于x的一元二次方程．但若把a看成“主元”，x看作常数，则原方程可化为：．这就是一个关于a的一元一次方程了．
素材2 对于一个关于x的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令．然后移项可得：再利用根的判别式来确定y的取值范围，这一方法称为判别式法．
问题解决
任务1 感受新知：用判别式法求的最小值；
任务2 探索新知：若实数x、y满足．求的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令，则，将代入原式得________．若将新得到的等式看作关于字母x的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为__________；
任务3 应用新知：如图，在平行四边形中，，．记，，当最大时，求此时b的值．
9．（2024九上·恩平月考）综合与实践．实践主题：黄金分割数．
（1）材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．
若设线段，的长为x，则可表示为，
∵， ∴，
…，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）．
（2）实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）．
10．（2024九上·南海月考）如图，是一个用总长的木板制作的矩形置物架和它的简化图．已知：矩形置物架是由一个正方形，四个全等的矩形、矩形、矩形、矩形，两个全等的矩形、矩形组成的，设正方形的边长．
（1）则 ___________，___________ (用含x的代数式表示)；
（2）当时，则矩形的面积为 _____________；
（3）为了便于置放物品，的高度不得超过，若矩形的面积为，求x的值．
11．（2024九上·深圳开学考）阅读材料，并解决问题．
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：
首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择）
【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为，即；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______；
【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．
已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的正根为______．
二、二次函数
12．（2024九上·东莞期中）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（ ）m．
A．6 B．45 C．35 D．25
13．（2023九上·海珠期中）某航模组设计的火箭模型的升空高度与点火后飞行时间满足函数表达式．则点火后该火箭模型的升空高度为（ ）
A．53 B．47 C．45 D．44
14．（2024九上·广州期中）如图，花坛水池中央有一喷泉，水管，水从喷头喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面，距抛物线对称轴，则为使水不落到池外，水池半径最小为 ．
15．（2024九上·广东期中）如图所示的坐标系，一位篮球运动员身高，在离篮圈水平距离处跳起投篮，这次跳投时，球在他头顶上方处出手，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈内．已知篮圈中心离地面距离为．球出手时，他跳离地面的高度为 ．
16．（2023九上·惠阳期中）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．
（1）求小球飞行3s时的高度；
（2）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．
17．（2024九上·广州期中）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱和组成，立柱高为，顶棚最高点距离地面是，的长为．
素材2 为提高灌溉效率，学校在的中点处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器，从喷水口喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同，，此时水流刚好喷到立柱的端点处．
问题解决
任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式．
任务2 探索喷水的高度 问处喷出的水流在距离点水平距离为多少米时达到最高．
18．（2024九上·南山期中）根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于CD对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式．
（1）问题解决：确定桥洞的形状．
建立平面直角坐标系如图3所示，CD落在第一象限的角平分线上．设点C为，
①点A的坐标为 ▲ ．（用m的代数式表示）；
②求出经过点A的双曲线的函数表达式．
（2）探索应用：
这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗
若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物 （已知，．）
19．（2024九上·珠海期中）课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．
初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：
（1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图1)．
若，设厘米，该水槽的横截面面积为厘米，请你写出关于的函数关系式(不必写出的取值范围)，并求出当取何值时，的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图2)．
若，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的的最大值比较大小．
（2）假如你是该兴趣小组中的成员，通过两个方案的研究，你能得出什么结论？
20．（2024九上·顺德期末）问题情境：小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
售价（元/盆） 日销售量（盆）
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
数据整理：（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆） ____ ____ ____ ____ ____
日销售量（盆） ____ ____ ____ ____ ____
（1）模型建立：分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．
（2）拓广应用：根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
21．（2024九上·蓬江期中）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习：
【设计方案求碗里水面的宽度】
素材一： 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度．
素材二： 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜．
问题解决
问题1 如右图，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式；
问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度为，求此时水面宽度的长；
问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该快递员揽件日平均增长率为x，
根据题意得，，
故答案为：A
【分析】设该快递员揽件日平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设这群猴子的总数是只
∴一队猴子数是
根据题意可得：
故答案为：D
【分析】设这群猴子的总数是只，则一队猴子数是，根据题意建立方程即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：A、若增加水量xg，根据题意可列方程：，故选项A不符合题意；故选项A不符合题意；
B、若蒸发掉水量xg，根据题意可列方程：，故选项B符合题意；
C、若加入食盐xg，根据题意可列方程：，故选项C不符合题意；
D、若减少食盐xg，根据题意可列方程：，故选项C不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据各个选项设未知量，根据题意列方程，对比即可得到结论.
4．【答案】A
【知识点】黄金分割；列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，设他至少走x米，则较长线段长为，
则，
故答案为：A．
【分析】黄金分割点的定义：如果线段上一点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，那么这个点就是线段的黄金分割点，根据定义列式即可作答．
5．【答案】5
【知识点】一元二次方程的其他应用
6．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
7．【答案】（1）解： 设月平均增长率为 ， 根据题意得：
解得： (舍去)，
答：月平均增长率为 。
（2）解：设售价降低y元，
，
解得：，
当时，，
当时，，
∵，
∴为了尽量减少库存，售价应降低20元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设月平均增长率为 ，根据“7月份的销售量是5万件，9月份的销售量是7.2万件”即可列出一元二次方程，进而即可求解；
（2）设售价降低 元，进而结合题意即可列出一元二次方程，从而即可求出y，再结合题意判断即可求解。
8．【答案】任务1：；任务2：，；任务3：．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理；解直角三角形
9．【答案】（1）
（2）
【知识点】公式法解一元二次方程；黄金分割
10．【答案】（1）；；
（2）111
（3）
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；求代数式的值-直接代入求值
11．【答案】【理解应用】②；
【类比迁移】；；；
【拓展应用】，3，1或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：[理解应用]变形为，
如图所示，
图①一个长方形的面积为：；图②一个场方程的面积为；图③一个长方形的面积为：；
∴当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，
故选：②；
[类比迁移]第一步：将原方程变形为，即；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程，解得原方程的一个根为；
故答案为：；；；
[拓展应用]∵
∴，
∴四个小矩形的面积各位，大正方形的的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，
∵图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，
∴，，
解得，，，
当时，，
∴，
解得，，即方程的一个正根为1；
当时，，
∴，
解得，，即方程的一个正根为；
综上所述，方程的一个正根为或，
故答案为：，，或．
【分析】[理解应用]：根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可求出答案.
[类比迁移]：根据材料提示，进行计算即可求出答案.
[拓展应用]：先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，，分类讨论，由此即可求出答案.
12．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：根据二次函数解析式
可知，汽车的刹车时间为，
当时，
故答案为：B
【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，则汽车的刹车时间为，将x=3代入解析式即可求出答案.
13．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
14．【答案】米
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
15．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
16．【答案】解：（1）当t＝3时，即h＝20×3﹣5×9＝15m．
答：小球飞行3s时的高度是15m；
（2）小球的飞行高度不能达到22m，
理由：当h＝22时，即22＝20t﹣5t2．
∵△＝（﹣20）2﹣4×5×22＜0，
∴方程22＝20t﹣5t2无实根，
∴小球的飞行高度不能达到22m．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）将t=3代入h＝20t﹣5t2，求出h的值即可；
（2）将h=22代入h＝20t﹣5t2，再利用一元二次方程根的判别式分析求解即可.
17．【答案】解：任务1：以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，
可设抛物线为．
又由题意，，
．
，
顶棚部分抛物线的表达式；
任务2：如图，
∵从喷水口喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同，
∴从喷水口喷出的水流看成的抛物线为，
由题意，点，
把，代入，得
，解得：，
∴，
∴该抛物线的对称轴为直线，
∵
∴当时，抛物线有最大值为3.05米，
即处喷出的水流在距离点水平距离为4.5米时达到最高．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）先建立平面直角坐标系，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先建立平面直角坐标系，再设解析式为，再将，代入，求出b、c的值可得函数解析式，再求解即可.
18．【答案】（1）①
解：②由题意可得：
∴
解得：，
∴A
设经过点A的双曲线的函数表达式为
∴，解得：k=18
∴ 经过点A的双曲线的函数表达式
（2）解：由（1）可求：
，，，，
∵四边形EFGH是矩形，
∴，，，
设OD和EH交于点，若能刚好通过，则点
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴此船最高载货2.8米
∵，
∴此船不能通过，
∴，
∵，
∴，
故要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞．
答：此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞．
【知识点】反比例函数的性质；等腰直角三角形；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解（1）①∵CD落在第一象限的角平分线上，
∴A、B关于CD对称，即A、B关于第一象限角平分线对称，
∴点D是AB的中点，，
过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F，如图，
则、是等腰直角三角形，
∵，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：
【分析】（1）根据角平分线定理可得A、B关于第一象限角平分线对称，则点D是AB的中点，，过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F，则则、是等腰直角三角形，则，，即，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）由（1）可得，，，，根据矩形性质可得，，，设OD和EH交于点，若能刚好通过，则点，建立方程可得，再根据边之间的关系可得，比较大小即可求出答案.
19．【答案】（1）解：方案①将二次函数的解析式由一般式化为顶点式可得：，
当时，取得最大值，最大值为；
②如图所示，过点作于，于，则，
设，梯形的面积为，则，
又∵，
∴，，，
；
当，
∵，
；
（2）解：由（1）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰梯形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）①然后根据直角三角形的面积公式即可得出的函数关系式，根据将解析式化为顶点式，即可求出最值；
②过点作于，于，可设为那么也为可用正方形的边长求得．通过构建的直角三角形，用表示出和的长，求出的长，根据梯形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求出函数的最大值；
（）由（）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大．
（1）解：方案①，
当时，取得最大值，最大值为；
②如图所示，过点作于，于，则，
设，梯形的面积为，则，
又∵，
∴，，，
；
当，
∵，
；
（2）由（1）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大．
20．【答案】（1）解：观察表格可知销售量是售价的一次函数；
设销售量为盆，售价为元，，
把代入得：，解得
（2）解：①每天获得400元的利润，
，
解得或，
要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元；
②设每天获得的利润为元，
根据题意得：，
∴当时，取最大值450，
售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设销售量为盆，售价为元，，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
（2）①根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②设每天获得的利润为元，根据题意建立函数关系式，结合二次函数的性质即可求出答案.
21．【答案】问题1∶ ；问题2：；问题3：
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；二次函数的实际应用-几何问题
1 / 1最新情境型（1）—广东省（人教版）数学九（上）期末复习
一、一元二次方程
1．（2024九上·香洲期中）2023年春节期间（1月20日至1月25日），圆通速递实行“春节不打烊”．某快递员在一线提供正常揽派服务，第一天揽件400件，第三天揽件442件，设该快递员揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该快递员揽件日平均增长率为x，
根据题意得，，
故答案为：A
【分析】设该快递员揽件日平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求出答案.
2．（2024九上·南沙期末）印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设这群猴子的总数是只
∴一队猴子数是
根据题意可得：
故答案为：D
【分析】设这群猴子的总数是只，则一队猴子数是，根据题意建立方程即可求出答案.
3．（2024九上·龙岗开学考）实验室的一个容器内盛有克食盐水，其中含盐克如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的倍晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义是（ ）
A．增加的水量
B．蒸发掉的水量
C．加入的食盐量
D．减少的食盐量
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：A、若增加水量xg，根据题意可列方程：，故选项A不符合题意；故选项A不符合题意；
B、若蒸发掉水量xg，根据题意可列方程：，故选项B符合题意；
C、若加入食盐xg，根据题意可列方程：，故选项C不符合题意；
D、若减少食盐xg，根据题意可列方程：，故选项C不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据各个选项设未知量，根据题意列方程，对比即可得到结论.
4．（2024九上·深圳开学考）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】A
【知识点】黄金分割；列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，设他至少走x米，则较长线段长为，
则，
故答案为：A．
【分析】黄金分割点的定义：如果线段上一点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，那么这个点就是线段的黄金分割点，根据定义列式即可作答．
5．（2024九上·广州期中）有支球队要进行篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共比赛了10场，则 ．
【答案】5
【知识点】一元二次方程的其他应用
6．（2024九上·蓬江月考）如图，在一个长为，宽为的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为，那么道路的宽为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
7．（2024九上·深圳期中）2024年奥运会在巴黎顺利召开，奥运会吉祥物“弗里热”爆红.
（1）据统计某“弗里热”玩偶在某电商平台7月份的销售量是5万件，9月份的销售量是7.2万件，问月平均增长率是多少
（2）市场调查发现，某实体店“弗里热”玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售“弗里热”玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元
【答案】（1）解： 设月平均增长率为 ， 根据题意得：
解得： (舍去)，
答：月平均增长率为 。
（2）解：设售价降低y元，
，
解得：，
当时，，
当时，，
∵，
∴为了尽量减少库存，售价应降低20元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设月平均增长率为 ，根据“7月份的销售量是5万件，9月份的销售量是7.2万件”即可列出一元二次方程，进而即可求解；
（2）设售价降低 元，进而结合题意即可列出一元二次方程，从而即可求出y，再结合题意判断即可求解。
8．（2024九上·珠海期中）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下．请根据素材帮助他完成相应任务：
关于最值问题的探究
素材1 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，方程可以看作关于x的一元二次方程．但若把a看成“主元”，x看作常数，则原方程可化为：．这就是一个关于a的一元一次方程了．
素材2 对于一个关于x的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令．然后移项可得：再利用根的判别式来确定y的取值范围，这一方法称为判别式法．
问题解决
任务1 感受新知：用判别式法求的最小值；
任务2 探索新知：若实数x、y满足．求的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令，则，将代入原式得________．若将新得到的等式看作关于字母x的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为__________；
任务3 应用新知：如图，在平行四边形中，，．记，，当最大时，求此时b的值．
【答案】任务1：；任务2：，；任务3：．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理；解直角三角形
9．（2024九上·恩平月考）综合与实践．实践主题：黄金分割数．
（1）材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．
若设线段，的长为x，则可表示为，
∵， ∴，
…，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）．
（2）实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）．
【答案】（1）
（2）
【知识点】公式法解一元二次方程；黄金分割
10．（2024九上·南海月考）如图，是一个用总长的木板制作的矩形置物架和它的简化图．已知：矩形置物架是由一个正方形，四个全等的矩形、矩形、矩形、矩形，两个全等的矩形、矩形组成的，设正方形的边长．
（1）则 ___________，___________ (用含x的代数式表示)；
（2）当时，则矩形的面积为 _____________；
（3）为了便于置放物品，的高度不得超过，若矩形的面积为，求x的值．
【答案】（1）；；
（2）111
（3）
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；求代数式的值-直接代入求值
11．（2024九上·深圳开学考）阅读材料，并解决问题．
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：
首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择）
【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为，即；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______；
【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．
已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的正根为______．
【答案】【理解应用】②；
【类比迁移】；；；
【拓展应用】，3，1或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：[理解应用]变形为，
如图所示，
图①一个长方形的面积为：；图②一个场方程的面积为；图③一个长方形的面积为：；
∴当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，
故选：②；
[类比迁移]第一步：将原方程变形为，即；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程，解得原方程的一个根为；
故答案为：；；；
[拓展应用]∵
∴，
∴四个小矩形的面积各位，大正方形的的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，
∵图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，
∴，，
解得，，，
当时，，
∴，
解得，，即方程的一个正根为1；
当时，，
∴，
解得，，即方程的一个正根为；
综上所述，方程的一个正根为或，
故答案为：，，或．
【分析】[理解应用]：根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可求出答案.
[类比迁移]：根据材料提示，进行计算即可求出答案.
[拓展应用]：先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，，分类讨论，由此即可求出答案.
二、二次函数
12．（2024九上·东莞期中）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（ ）m．
A．6 B．45 C．35 D．25
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：根据二次函数解析式
可知，汽车的刹车时间为，
当时，
故答案为：B
【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，则汽车的刹车时间为，将x=3代入解析式即可求出答案.
13．（2023九上·海珠期中）某航模组设计的火箭模型的升空高度与点火后飞行时间满足函数表达式．则点火后该火箭模型的升空高度为（ ）
A．53 B．47 C．45 D．44
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
14．（2024九上·广州期中）如图，花坛水池中央有一喷泉，水管，水从喷头喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面，距抛物线对称轴，则为使水不落到池外，水池半径最小为 ．
【答案】米
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
15．（2024九上·广东期中）如图所示的坐标系，一位篮球运动员身高，在离篮圈水平距离处跳起投篮，这次跳投时，球在他头顶上方处出手，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈内．已知篮圈中心离地面距离为．球出手时，他跳离地面的高度为 ．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
16．（2023九上·惠阳期中）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．
（1）求小球飞行3s时的高度；
（2）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．
【答案】解：（1）当t＝3时，即h＝20×3﹣5×9＝15m．
答：小球飞行3s时的高度是15m；
（2）小球的飞行高度不能达到22m，
理由：当h＝22时，即22＝20t﹣5t2．
∵△＝（﹣20）2﹣4×5×22＜0，
∴方程22＝20t﹣5t2无实根，
∴小球的飞行高度不能达到22m．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）将t=3代入h＝20t﹣5t2，求出h的值即可；
（2）将h=22代入h＝20t﹣5t2，再利用一元二次方程根的判别式分析求解即可.
17．（2024九上·广州期中）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱和组成，立柱高为，顶棚最高点距离地面是，的长为．
素材2 为提高灌溉效率，学校在的中点处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器，从喷水口喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同，，此时水流刚好喷到立柱的端点处．
问题解决
任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式．
任务2 探索喷水的高度 问处喷出的水流在距离点水平距离为多少米时达到最高．
【答案】解：任务1：以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，
可设抛物线为．
又由题意，，
．
，
顶棚部分抛物线的表达式；
任务2：如图，
∵从喷水口喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同，
∴从喷水口喷出的水流看成的抛物线为，
由题意，点，
把，代入，得
，解得：，
∴，
∴该抛物线的对称轴为直线，
∵
∴当时，抛物线有最大值为3.05米，
即处喷出的水流在距离点水平距离为4.5米时达到最高．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）先建立平面直角坐标系，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先建立平面直角坐标系，再设解析式为，再将，代入，求出b、c的值可得函数解析式，再求解即可.
18．（2024九上·南山期中）根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于CD对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式．
（1）问题解决：确定桥洞的形状．
建立平面直角坐标系如图3所示，CD落在第一象限的角平分线上．设点C为，
①点A的坐标为 ▲ ．（用m的代数式表示）；
②求出经过点A的双曲线的函数表达式．
（2）探索应用：
这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗
若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物 （已知，．）
【答案】（1）①
解：②由题意可得：
∴
解得：，
∴A
设经过点A的双曲线的函数表达式为
∴，解得：k=18
∴ 经过点A的双曲线的函数表达式
（2）解：由（1）可求：
，，，，
∵四边形EFGH是矩形，
∴，，，
设OD和EH交于点，若能刚好通过，则点
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴此船最高载货2.8米
∵，
∴此船不能通过，
∴，
∵，
∴，
故要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞．
答：此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞．
【知识点】反比例函数的性质；等腰直角三角形；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解（1）①∵CD落在第一象限的角平分线上，
∴A、B关于CD对称，即A、B关于第一象限角平分线对称，
∴点D是AB的中点，，
过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F，如图，
则、是等腰直角三角形，
∵，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：
【分析】（1）根据角平分线定理可得A、B关于第一象限角平分线对称，则点D是AB的中点，，过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F，则则、是等腰直角三角形，则，，即，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）由（1）可得，，，，根据矩形性质可得，，，设OD和EH交于点，若能刚好通过，则点，建立方程可得，再根据边之间的关系可得，比较大小即可求出答案.
19．（2024九上·珠海期中）课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．
初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：
（1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图1)．
若，设厘米，该水槽的横截面面积为厘米，请你写出关于的函数关系式(不必写出的取值范围)，并求出当取何值时，的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图2)．
若，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的的最大值比较大小．
（2）假如你是该兴趣小组中的成员，通过两个方案的研究，你能得出什么结论？
【答案】（1）解：方案①将二次函数的解析式由一般式化为顶点式可得：，
当时，取得最大值，最大值为；
②如图所示，过点作于，于，则，
设，梯形的面积为，则，
又∵，
∴，，，
；
当，
∵，
；
（2）解：由（1）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰梯形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）①然后根据直角三角形的面积公式即可得出的函数关系式，根据将解析式化为顶点式，即可求出最值；
②过点作于，于，可设为那么也为可用正方形的边长求得．通过构建的直角三角形，用表示出和的长，求出的长，根据梯形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求出函数的最大值；
（）由（）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大．
（1）解：方案①，
当时，取得最大值，最大值为；
②如图所示，过点作于，于，则，
设，梯形的面积为，则，
又∵，
∴，，，
；
当，
∵，
；
（2）由（1）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大．
20．（2024九上·顺德期末）问题情境：小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
售价（元/盆） 日销售量（盆）
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
数据整理：（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆） ____ ____ ____ ____ ____
日销售量（盆） ____ ____ ____ ____ ____
（1）模型建立：分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．
（2）拓广应用：根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
【答案】（1）解：观察表格可知销售量是售价的一次函数；
设销售量为盆，售价为元，，
把代入得：，解得
（2）解：①每天获得400元的利润，
，
解得或，
要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元；
②设每天获得的利润为元，
根据题意得：，
∴当时，取最大值450，
售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设销售量为盆，售价为元，，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
（2）①根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②设每天获得的利润为元，根据题意建立函数关系式，结合二次函数的性质即可求出答案.
21．（2024九上·蓬江期中）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习：
【设计方案求碗里水面的宽度】
素材一： 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度．
素材二： 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜．
问题解决
问题1 如右图，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式；
问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度为，求此时水面宽度的长；
问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度．
【答案】问题1∶ ；问题2：；问题3：
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；二次函数的实际应用-几何问题
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