2024-2025学年北京市西城区北京师范大学附属实验中学高二上学期期末模拟考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年北京市西城区北京师范大学附属实验中学高二上学期期末模拟考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 310.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-06 16:44:25 | ||
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文档简介
2024-2025学年北京市西城区北京师范大学附属实验中学高二上学期期末模拟考试数学试题
一、单选题：本大题共10小题，共50分。
1.在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.抛物线的焦点为，点在此抛物线上，，则点的横坐标为( )
A. B. C. D.
4.圆与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含
5.在的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
6.某学校名同学到个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去个小区，且每个小区至少安排名同学，则不同的安排方法种数为( )
A. B. C. D.
7.已知正四棱锥的高为，棱的长为，点为侧棱上的一动点，则面积的取小值为( )
A. B. C. D.
8.已知直线，圆，若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.一个平面区域内，两点间距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点，该椭圆的离心率为 ．
12.圆的圆心到直线的距离为，则的值为
13.设，则 ．
14.双曲线的渐近线方程为 ；若与圆交于四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 ．
15.如图，在棱长为的正方体中，点为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面平面，给出下列四个结论：
的面积的最大值为；
满足的面积为的点有且仅有个；
点可能为的中点；
线段的最大值为．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.某小组共有名学生，其中女生名，男生名．
将名学生排成一排，且女生不相邻的排法有多少种？
从名中选出人参加某公益活动．
共有多少种不同的选择方法？
如果至少有位女生入选，共有多少种不同的选择方法？
17.已知为坐标原点，圆为的外接圆．
求圆的标准方程；
过原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
18.如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．
求证：；
求二面角的余弦值．
19.已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线过点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为．
求椭圆的方程；
延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率．
20.如图，正方体的棱长为，为的中点点在上再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点唯一确定，并解答问题．
条件：
条件：；
条件：平面．
求证：为的中点；
求直线与平面所成角的大小，及点到平面的距离．
21.已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
求椭圆的标准方程；
设为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆交于两点在第三象限，是椭圆上的动点不与顶点重合，直线分别交直线于点，记，求证：为定值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.男生先排有种，女生插空有种，
所以共有种不同排法．
名中选出人共有种方法；
名中选出名男生有种方法，
所以至少有位女生入选，共有种不同的选择方法．
17.解：Ⅰ设的外接圆的方程为，
，，均在圆上，
解得
所以圆的方程为，
所以圆的标准方程为；
Ⅱ由Ⅰ知圆心，半径为，
因为直线被圆截得的弦长为，
所以点到直线的距离为，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，两边同时平方得，解得或，
当直线的斜率不存在时，不满足条件，
所以直线的方程为或．
18.由于，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，
故，
故，因此
由于平面，故平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，
故，令，则，
设二面角的平面角为，由图可知为钝角，
故
19.由题意可知，，，
，
，，
椭圆的方程为．
设直线的方程为，，，
联立，消去得，，
则，
若四边形为平行四边形，则，设
，，
点在椭圆上，
，
解得，即，
当四边形为平行四边形时，直线的斜率为．
20.选条件：由，
根据正方体的对称性，此时点为上的任意一点，所以不成立；
选条件：，
连接，在正方体中，由平面，
因为平面，所以，
又因为，，所以，
因为平面，所以，
又因为为的中点，所以为的中点．
选择条件：平面，
连接，因为平面，平面，
且平面平面，所以，
因为为的中点，所以为的中点．
在正方体中，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
所以，，，
设平面的法向量为，则
令，则于是，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的大小为，
点到平面的距离为．
21.由椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为，得，则，
由的离心率为，得，则，解得，
所以椭圆的标准方程为．
由知，，
由，解得或，则，，
设，有，直线的方程为，
由，解得点的横坐标，
直线的方程为，由，解得点的横坐标，
由，得，同理，
所以，
而，
所以为定值．
第1页，共1页
一、单选题：本大题共10小题，共50分。
1.在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.抛物线的焦点为，点在此抛物线上，，则点的横坐标为( )
A. B. C. D.
4.圆与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含
5.在的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
6.某学校名同学到个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去个小区，且每个小区至少安排名同学，则不同的安排方法种数为( )
A. B. C. D.
7.已知正四棱锥的高为，棱的长为，点为侧棱上的一动点，则面积的取小值为( )
A. B. C. D.
8.已知直线，圆，若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.一个平面区域内，两点间距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点，该椭圆的离心率为 ．
12.圆的圆心到直线的距离为，则的值为
13.设，则 ．
14.双曲线的渐近线方程为 ；若与圆交于四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 ．
15.如图，在棱长为的正方体中，点为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面平面，给出下列四个结论：
的面积的最大值为；
满足的面积为的点有且仅有个；
点可能为的中点；
线段的最大值为．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.某小组共有名学生，其中女生名，男生名．
将名学生排成一排，且女生不相邻的排法有多少种？
从名中选出人参加某公益活动．
共有多少种不同的选择方法？
如果至少有位女生入选，共有多少种不同的选择方法？
17.已知为坐标原点，圆为的外接圆．
求圆的标准方程；
过原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
18.如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．
求证：；
求二面角的余弦值．
19.已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线过点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为．
求椭圆的方程；
延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率．
20.如图，正方体的棱长为，为的中点点在上再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点唯一确定，并解答问题．
条件：
条件：；
条件：平面．
求证：为的中点；
求直线与平面所成角的大小，及点到平面的距离．
21.已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
求椭圆的标准方程；
设为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆交于两点在第三象限，是椭圆上的动点不与顶点重合，直线分别交直线于点，记，求证：为定值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.男生先排有种，女生插空有种，
所以共有种不同排法．
名中选出人共有种方法；
名中选出名男生有种方法，
所以至少有位女生入选，共有种不同的选择方法．
17.解：Ⅰ设的外接圆的方程为，
，，均在圆上，
解得
所以圆的方程为，
所以圆的标准方程为；
Ⅱ由Ⅰ知圆心，半径为，
因为直线被圆截得的弦长为，
所以点到直线的距离为，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，两边同时平方得，解得或，
当直线的斜率不存在时，不满足条件，
所以直线的方程为或．
18.由于，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，
故，
故，因此
由于平面，故平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，
故，令，则，
设二面角的平面角为，由图可知为钝角，
故
19.由题意可知，，，
，
，，
椭圆的方程为．
设直线的方程为，，，
联立，消去得，，
则，
若四边形为平行四边形，则，设
，，
点在椭圆上，
，
解得，即，
当四边形为平行四边形时，直线的斜率为．
20.选条件：由，
根据正方体的对称性，此时点为上的任意一点，所以不成立；
选条件：，
连接，在正方体中，由平面，
因为平面，所以，
又因为，，所以，
因为平面，所以，
又因为为的中点，所以为的中点．
选择条件：平面，
连接，因为平面，平面，
且平面平面，所以，
因为为的中点，所以为的中点．
在正方体中，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
所以，，，
设平面的法向量为，则
令，则于是，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的大小为，
点到平面的距离为．
21.由椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为，得，则，
由的离心率为，得，则，解得，
所以椭圆的标准方程为．
由知，，
由，解得或，则，，
设，有，直线的方程为，
由，解得点的横坐标，
直线的方程为，由，解得点的横坐标，
由，得，同理，
所以，
而，
所以为定值．
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