河南省天一大联考2024-2025学年高二（上 ）12月阶段性测试（二）数学试题（PDF版，含答案）

河南省天一大联考 2024-2025 学年高二（上） 12 月阶段性测试（二）
数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列√ 3，√ 5，3，√ 17， ，则该数列的一个通项公式为 =( )
A. √ 2 1 B. √ 2 + 1 C. √ 2 +1 D. √ 2 + 1
2.已知三个向量 = (1,1,0)， = ( 1,0,2)， = ( , 2,5)共面，则 =( )
9 9 1 1
A. B. C. D.
2 2 2 2
3.在某种药物的临床试验中，每天对患者的某项生理指标进行一次测量.第一天该项指标的值为12，第五天
该项指标的值为32，且每天的值依次构成等差数列，则该等差数列的公差为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
1
4.已知在四面体 中， 是棱 的中点，点 满足 = 2 ，点 满足 = .记 = ， = ，
3
= ，则 =( )
1 1 2 1 1 2
A. + + B. + +
3 9 9 6 9 9
1 7 7 1 1 3
C. + + D. + +
8 8 8 8 8 8
2 2
5.已知 1， 2分别为双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点， 为 上的一点，且 ⊥ ，| 1 1 2 1
| = 4，

| 1 2| = 4√ 3，则 的渐近线方程为( )
√ 3 √ 2
A. = ±√ 3 B. = ± C. = ±√ 2 D. = ±
3 2
6.已知点 在圆 2 + 2 = 4上运动，点 (6,8)， 是 的中点，记点 的轨迹为曲线 .若直线 过定点(4,0)，
且与曲线 有且仅有一个公共点，则直线 的方程为( )
A. 3 + 12 = 0 B. 15 + 8 60 = 0
C. 3 + 12 = 0或 = 4 D. 15 + 8 60 = 0或 = 4

7.过抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点 作倾斜角为 的直线 交抛物线于 ， 两点，过 的中点 作另一条直
3 1
线 2交 轴于点 ，若| | = | |，且 = 3，则 =( )
3 5
A. 1 B. C. 2 D.
2 2
8.已知直线 : ( + 1) + ( 1) 2 = 0过定点 ，圆 的方程为( + 2)2 + 2 = 25，若 是直线 与圆
的一个交点，则 的最大值为( )
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A. 16 4√ 10 B. 16 + 4√ 10 C. 25 + 5√ 10 D. 25 5√ 10
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆 : 2 + 2 2 + 2 + = 0，则下列结论正确的是( )
A. 的取值范围为( ∞, 1]
B. 圆 关于直线 + = 0对称
C. 若直线 + + 1 = 0被圆 截得的弦长为√ 2，则 = 1
D. 若 = 1，过点 (0,1)作圆 的一条切线，切点为 ，则| | = 2
10.设正项等比数列{ }的前 项和为 ，前 项积为 ，已知 1 > 1，则下列结论正确的是( )
A. 若 2025 = 2020，则 2023 = 1
B. 若( 2024 1)( 2025 1) < 0，则 2024 + 1 < 2025
C. 若( 2024 1)( 2025 1) < 0，则 2024是 的最大值
D. 对任意 ∈ ， <
2

2 2
11.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，过 2的直线 与 交于 ， 两点，若
| 2 |: | 2 |: | 1 | = 3: 5: 7，则( )
3√ 3
A. 1 ⊥ 2 B. △ 1 2的面积等于
2
20
√ 3
C. 的斜率为±√ 3 D. 的离心率为
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在等比数列{ }中，已知 3 = 4， 7 = 64，则 5 = ．
13.如图，将两个相同的四棱锥 与 对称摆放组成一个多面体，已知 ⊥平面 ，四

边形 是边长为2的正方形，若平面 与平面 的夹角为 ，则该多面体的体积为 ．
3
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14.把正奇数按下表排列，则2025在表中是第 行第 列.
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记等差数列{ }的前 项和为 ，已知 3 = 1， 7 = 21．
(Ⅰ)求{ }的通项公式;
(Ⅱ)求满足 < 的最小正整数 ．
16.(本小题12分)
2 2
已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的焦距为2√ 6，且 经过点(2,2)．
(Ⅰ)求 的方程;
(Ⅱ)已知斜率为 且不经过坐标原点的直线 与 交于 ， 两点，若 的中点在直线 = 4 上，求 的值．
17.(本小题12分)
如图，在三棱锥 中， ⊥底面 ，且 ⊥ ， = = = 3， 为棱 的中点．
(Ⅰ)证明： ⊥平面 ;
(Ⅱ)若点 在棱 上，且 ⊥ ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
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2 2 1
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，上、下顶点 1， 2和左、右焦点 1， 2形成的四边形的面 2
积为2√ 3．
(Ⅰ)求 的方程;
| | | |
(Ⅱ)设 是 上任意一点，线段 1 2上一点 ( , 0)满足
1 2
0 = ，求 的取值范围; | 01| | 2|
(Ⅲ)经过 2的直线 与 交于 ， 两点，△ 1 2与△ 1 2的内切圆半径分别为 1， 2，当 1 = 2 2时，求 的
方程．
19.(本小题12分)
11 1 1
已知数列{ }和{ }满足 +1 = + 2， 1 = ， = ． 7 2 3
(Ⅰ)证明：{ }是等比数列;
1
(Ⅱ)设 = ，求数列{ log | | log | |
}的前 项和 ;
4 4 +1
(Ⅲ)证明：( 1) 1 + ( 1)
2 2 + ( 1)
3 3 + + ( 1)
< 1．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】16
16
13.【答案】
3
14.【答案】12；32
15.【答案】解析( )设{ }的公差为 .因为 3 = 1， 7 = 21，
3 = + 2 = 1,所以{ 1
7 = 7 1 + 21 = 21,
= 3,
解得{ 1
= 2,
所以 = 1 + ( 1) = 3 2( 1) = 2 + 5．
( 1) ( 1)
(Ⅱ)由( )可知 = 1 + = 3 + × ( 2) =
2 + 4 ．
2 2
由 < ，得
2 + 4 < 2 + 5，
即 2 6 + 5 = ( 1)( 5) > 0，
解得 < 1或 > 5，
又 为正整数，所以满足条件的最小正整数 = 6．
16.【答案】解：(Ⅰ)设 的半焦距为 ( > 0)．
由题意知，2 = 2√ 6，故 = √ 6．
4 4
将(2,2)代入 中，得 2 2 = 1， ①，
又 2 + 2 = 2 = 6， ②，
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联立 ① ②，解得 2 = 2， 2 = 4．
2 2
所以 的方程为 = 1．
2 4
(Ⅱ)设 的方程为 = + ( ≠ 0)， ( 1, 1)， ( 2, 2)， 中点的坐标为( 0, 0).
= + ,
联立{ 2 2 得(2 2) 2 2 2 4 = 0，
= 1,
2 4
由题意得2 2 ≠ 0， = ( 2 )2 4(2 2)( 2 4) = 8( 2 2 2 + 4) > 0，
2
且 1 + 2 = 2．
2
1+ 所以 = 2
2
0 = 2， 0 = 0 + =2 2
．
2 2
2 4
由题意知 0 = 4 0，即 2 = 2，
2 2
1
又 ≠ 0，所以 = ．
2
17.【答案】解：(Ⅰ)因为 ⊥底面 ，且 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 .又 平面 ，所以 ⊥ ．
因为 = ，且 为棱 的中点，所以 ⊥ ，又 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ．
(Ⅱ)由已知可得 = 3√ 2， = 3√ 3，由三角形相似可得
√ 6，所以 √ 6= = = = √ 3，所以 =
3 3
1
．
3
以 为原点，以过点 且平行于 的直线为 轴， ， 所在的直线分别为 轴、 轴，建立如图所示的空间
3 3
直角坐标系，则 (0,0,0)， (3,3,0)， (0,3,0)， (0,0,3)， (0, , )， (1,1,2)．
2 2
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3 3所以 = (0, , )， = (1,1,2)，
2 2
设平面 的法向量为 = ( , , )，
3 3
= + = 0,
则{ 2 2 令 = 1，可得 = (1,1, 1)．
= + + 2 = 0,
易知平面 的一个法向量为 = (3,0,0)，
设平面 与平面 的夹角为 ，
| | |1×3+1×0+( 1)×0| √ 3
可得cos = = = ，
| |·| | √ 3×3 3
故平面 与平面
√ 3
夹角的余弦值为 ．
3
18.【答案】解：(Ⅰ)设 的半焦距为 ( > 0)，
1 1
因为 的离心率为 ，所以 = ，即 = 2 ，
2 2
由 2 = 2 2，得 = √ 3 ，
1
又 四边形 = | 1 2| × | 1 2| = 2 = 2√ 3， 1 1 2 2 2
所以 = √ 3， = 1， = 2．
2
所以 的方程为
2
+ = 1．
4 3
(Ⅱ)如图(1)，由题意知| 1| = 1 + 0，| 2| = 1 0．
| 1| | 2|设 = = ，即| 1| = | 1|，| 2| = | 2|， | 1| | 2|
所以| 1| + | 2| = (| 1| + | 2|)，可得 = 2．
所以| 2| = 2| 2| = 2(1 0).
又因为 ≤ | 2| ≤ + ，即1 ≤ 2(1 0) ≤ 3，
1 1 1 1
所以 ≤ 0 ≤ ，即 0的取值范围是[ , ]. 2 2 2 2
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(Ⅲ)如图(2)，由(Ⅰ)可知 2(1,0)，显然 的斜率不为0，
设 : = + 1， ( 1, 1)， ( 2, 2).
= + 1,
由{ 2 2
3 2
整理得(3 + 4) + 6 9 = 0，
+ 4 2 = 12,
6 9
所以 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ． 3 +4 3 +4
1 1 1
依题意有 △ = (| 1| + | 2| + | 1 2|) 1 = × | 1 2| × | 1|，得 1 = | |. 1 2 2 2 3 1
1
同理可得 2 = | 2|. 3
因为 1 = 2 2，所以| 1| = 2| 2|，
又 1 2 < 0，所以 1 = 2 2，
6
所以 1 + 2 = 2 2 + 2 = ， 3 2+4
6 12
解得 2 = 2 ， = ， 3 +4 1 3 2+4
9
代入 1 2 = 中， 3 2+4
72 2 9
得 =
(3 2
2 2 ，
+4) 3 +4
4 2
解得 2 = ，即 = ± ，
5 √ 5
所以 的方程为√ 5 + 2 √ 5 = 0或√ 5 2 √ 5 = 0．
+2 1 1
19.【答案】解：(Ⅰ)由题意知 +1 =
，

= + ，
2 3
1 1 1 1 1 2 1 1 1
所以 + =
2 3 +2
+ = + = 1 + = 2( + )，
+1 2 3 2 3 2 3 2 3

1 1
即 +1 = 2 ，又 1 = + = 2，所以{ }是首项为 2，公比为 2的等比数列． 1 2 3
1 4 1 1(Ⅱ)由( )知 = ( 2) ，所以 =
log +1
= = 4( )，
( +1) +1
42 log42
1 1 1 1 1
所以 = 1 + 2 + + = 4(1 ) + 4( ) + + 4( ) 2 2 3 +1
1 1 1 1 1
= 4(1 + + + )
2 2 3 + 1
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1 4
= 4(1 ) = ．
+1 +1
1 1 1
(Ⅲ)由( )知 = + = ( 2)
，所以 = 2 + 1
．
2 3 ( 2)
3
1 1
当 为偶数时，( 1) 1 1 + ( 1) = 2 + 1 1 + 2 + 1 2 + 2
3 3
1 1 2 +2 1 2 +2 1 1 1
= 1 1 + 1 = 1 <2 1 2 2 1
= 1 + ．
2 + 2 2
3 3 2 2
1+ 2
3 9
1 1 1 1
所以( 1) 1 + ( 1)
2 2 + ( 1)
3 3 + + ( 1)
< +2 22
+ + = 1 < 1 2 2
当 为奇数时，( 1) 1 + ( 1)
2 3 2 + ( 1) 3 + + ( 1) < 1 + ( 1) = 1 ，
1 1
而 = 2 + 1 = 2 1 > 0，所以1 < 1．
( 2) 2 +
3 3
综上可知原命题成立．
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