有理数综合与实践题—广东省（人教版）数学七（上）期末复习
一、综合与实践
1．（2024七上·潮阳期末）综合运用
【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（）．
备用图
【综合运用】
（1）A，B两点间的距离 ，线段的中点表示的数为 ；
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，；
（4）若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长．
2．（2024七上·惠东期末）综合与实践：
用“”定义新运算：对于任意有理数、，当时，都有；
当时，都有．
（1）求的值；
（2）定义一种运算，就要研究它的运算律：
①求和的值；
②这个计算结果说明了这个运算满足__________律．（填运算律）
3．（2024七上·濠江期末）【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把记作，读作“的4次商”．
【概念归纳】一般地，我们把个（）相除记作，读作“的次商”
（1）【概念理解】直接写出结果： ．
（2）关于除方，下列说法正确的是： （填序号）
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，；③；
④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数
（3）【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：
； ．
（4）计算：．
4．（2024七上·广州期末）定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题．
，，．
请你想一想：
（1） ， ；
（2）已知，求m的值；
（3）判断与的大小关系，并说明理由．
5．（2024七上·金平期末）观察下列三个等式：，，，我们称使等式成立的一对有理数为“友好数对”，记为，例如数对，，都是“友好数对”，请回答下列问题：
（1）数对是“友好数对”吗？试说明理由，
（2）若数对是“友好数对”，求的值，
（3）若数对是“友好数对”，求的值．
6．（2024七上·顺德期末）综合运用
如图，数轴上两点、对应的数分别是和8．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设的运动时间为秒．
（1）、两点的距离为 ；
（2）当运动到的中点时，求的值；
（3）若一动点同时从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向匀速运动，当点到达点时，、两点都停止运动．在此过程中，当时，求的值．
7．（2024七上·韶关期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离．线段的中点表示的数为．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（）．
（1）填空：
①A、B两点之间的距离 ，线段的中点表示的数为 ．
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ．
（2）求当t为何值时，；
（3）在P、Q两点运动过程中是否存在P、Q、B三点中其中一点正好是另外两点连成的线段的中点？若存在，请求出满足条件的t值；若不存在，请说明理由．
8．（2024七上·龙湖期末）【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为．例如点表示的数分别为，则两点间的距离，线段的中点表示的数为．
【问题情境】
如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒．
【综合运用】
（1）填空：①两点间的距离 ，线段的中点表示的数为 ．
②秒后，用含的代数式表示：点表示的数为 ；点表示的数为 ．
（2）求当为何值时，两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
（3）在上述的运动过程中，是否存在某一时刻，使得三点中的任意一点为连接另外两点之间线段的中点．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
9．（2024七上·怀集期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点A表示的数为，点表示的数为8，点从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒．
（1）填空：
①两点之间的距离 ，线段的中点表示的数为 ．
②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为 ；点表示的数为 ．
③当 时，两点相遇，相遇点所表示的数为 ．
（2）当为何值时，．
10．（2024七上·花都期末）【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，研究数轴我们发现了许多重要规律．
例如：①若数轴上点A，B表示的数分别为a，b． 则A，B两点之间的距离为，线段的中点表示的数为．
②若在数轴上一个点表示的数为a，则向左运动个单位后表示的数为，向右运动个单位后所表示的数为．
【综合应用】
如图，点A表示的数为，点B所表示的数为5．
（1）填空：
①的中点所表示的数为 ；
②若，则点C表示的数为 ．
（2）点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． 同时，点Q从点B出发，以每秒v个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．
①P、Q运动过程中，当点B正好是的中点时，，求点Q的速度v．
②若点Q保持①中的速度继续运动，当点P运动到的三等分点时，求P的运动时间t．
11．（2024七上·石碣期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点M，N表示的数分别为m，n，则M，N两点之间的距离表示为．如：点M表示的数为2，点N表示的数为3，则．
（1）【问题提出】
填空：如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为13，A，B两点之间的距离AB＝ ，线段AB的中点表示的数为 ．
（2）【拓展探究】
在（1）的条件下，若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t＞0）.
①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为 ▲ ，点Q表示的数为 ▲ ；
②求当t为何值时，P，Q两点相遇？写出相遇点所表示的数．
（3）【类比延伸】
在（2）的条件下，如果P，Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P，Q两点第二次相遇，请求出所需要的时间和相遇点所表示的数．
答案解析部分
1．【答案】（1）10；3
（2）解：根据题意可知：t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为，
∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相同，
∴，
解得：，
∴，
∴当秒时，P、Q两点相遇，相遇点表示的数为4；
（3）解：根据题意可知：
∵，
∴，
∴或
解得：或，
∴当秒或3秒时，；
（4）解：不变．
根据题意可知：
中点M表示的数为，
中点N表示的数为，
∴
∴线段的长度不变．
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）根据数轴可得：点A表示的数为-2，点B表示的数为8，
∴A、B两点之间的距离AB=8-（-2）=10，线段AB中点表示的数为=3，
故答案为：10；3.
【分析】（1）参照题干中的定义，利用两点之间的距离公式及中点表示方法列出算式求解即可；
（2）先分别求出点P表示的数为，点Q表示的数为，再结合“当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相同”列出方程，再求解即可；
（3）先求出，再结合PQ=5，列出方程，求解即可；
（4）先利用中点表示方法分别求出点M、N表示的数，再求出即可.
2．【答案】（1）解：，
（2）解：①，
；
，
；
交换律
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）根据新运算计算即可求出答案.
（2）根据新运算计算即可求出答案.
3．【答案】（1）-1
（2）①④
（3）；
（4）解：
=
=
=
=
=
=．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
4．【答案】（1）23；
（2）解：，
，
∴，
解得：；
（3）解：，，
∴，
当时，，，
当时，，，
当时，，．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解一元一次方程；整式的大小比较
【解析】【解答】解：（1）5×3+8=23；；
故答案为：23； .
【分析】（1）利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可；
（2）利用题干中的定义及计算方法可得，再求出m的值即可；
（3）利用作差法可得，再分类讨论即可.
5．【答案】（1）解：数对是“友好数对”，理由如下：
∵，
∴，
∴数对是“友好数对”；
（2）解：∵数对是“友好数对”，
∴，
解得；
（3）解：∵数对是“友好数对”，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】解一元一次方程；有理数的乘法法则；有理数的加法法则；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）利用“友好数对”的定义分析求解即可；
（2）利用“友好数对”的定义可得，再求出a的值即可；
（3）利用“友好数对”的定义可得，求出，再将其代入计算即可.
6．【答案】（1）12
（2）解：由题意得：，
解得：，
答：当运动到的中点时，的值为3；
（3）解：点表示的点为：，点表示的数为：，
则：，
解得：或（不合题意，舍去），
答：当时，的值为．
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）AB==12.
故答案为：12.
【分析】（1）根据数轴两点之间的距离等于两坐标差的绝对值，即可求得；
（2）根据路程=时间×速度列出一元一次方程，解方程，即可求得；
（3）先用t分别表示出点P和点Q表示的数，再根据 列出一元一次方程，求解，即可求得.
7．【答案】（1）10；3；；
（2）解：根据题意得：|（-2＋3t）-（8-2t）|＝×10，
∴5t-10＝5或5t-10＝-5，
解得t＝3或t＝1，
∴t为3秒或1秒时，.
（3）解：存在P、Q、B三点中，其中一点正好是另外两点连成的线段的中点，理由如下：
若P为QB中点，则-2＋3t＝，
解得t＝2.5；
若Q为PB中点，则8-2t＝，
解得t＝；
当B为PQ中点，则8＝，
解得t＝10；
综上所述，t为2.5秒或秒或10秒时，P、Q、B三点中，其中一点正好是另外两点连成的线段的中点．
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】（1）解：①∵ |-2-8|＝10，
，
∴AB＝10，线段AB的中点表示的数为3，
故答案为：10，3.
② t秒后，点P表示的数为-2＋3t，点Q表示的数为8-2t，
故答案为：-2＋3t，8-2t.
【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离公式及中点表示的数的计算方法分析求解即可；
（2）利用“”列出方程|（-2＋3t）-（8-2t）|＝×10，再求出t的值即可；
（3）分类讨论：①若P为QB中点，②若Q为PB中点，③当B为PQ中点，再分别列出方程求解即可.
8．【答案】（1）10；3；；
（2）解：∵t秒后，
∴点P表示的数是，点Q表示的数是，
∵两点相遇，
∴，
解得：，
即相遇点所表示的数．
（3）值为或或．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）①根据题意得：AB＝| 2 8|＝10，线段AB的中点为，
故答案为：10，3；
②∵点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，
∴t秒后，点P表示的数为 2＋3t；点Q表示的数为8 2t；
故答案为： 2＋3t，8 2t；
（3）解：秒后，点表示的数为，点表示的数为，点B表示的数为8，
①当点Q是线段的中点时，
，
解得：；
②当点P是线段的中点时，
，
解得：；
③当点B是线段的中点时，
解得：；
综上所述，满足条件的值为或或．
【分析】（1）①利用两点之间的距离公式及线段中点的定义求解即可；
②利用“路程=速度×时间”求出点P、Q的路程，再求出点P、Q表示的数即可；
（2）先求出点P表示的数是，点Q表示的数是，再根据“两点相遇”可得，再求出t的值即可；
（3）分类讨论：①当点Q是线段的中点时，②当点P是线段的中点时，③当点B是线段的中点时，再分别列出方程求解即可.
9．【答案】（1）10；3；；；2；4
（2）解：∵t秒后，点P表示的数是，点Q表示的数是，
∴，
又∵，
∴，
∴或
解得：或1，
∴当或3时，．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；有理数在数轴上的表示；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：（1）①∵点A表示的数为-2，点B表示的数为8，∴AB=
∵点A表示的数为-2，点B表示的数为8，∴AB的中点表示的数为：故答案为：10；3.
②∵点A表示的数为， 点从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，∴秒后，点表示的数为：-2+3t；
∵点表示的数为8， 点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，∴秒后，点Q表示的数为：8-2t；故答案为：；
③由题意可得：-2+3t=8-2t；解得：t=2；∵此时P、Q两点相遇，∴相遇点所表示的数为：-2+6=4；故答案为：2；4
【分析】(1)①根据A、B在数轴上的位置并结合数轴上两点间的距离可求解；根据线段的中点表示的数的求法AB=可求解；
②根据A、B在数轴上的位置并结合题意可求解；
③根据P、Q两点相遇即为P、Q两点所表示的数相等可得关于t的方程，解方程可求解；
（2）根据PQ=AB可得关于t的含绝对值的方程，解方程可求解.
10．【答案】（1）2；7或3
（2）解：①∵
∴
∴点运动的时间为，
∴
∵点B是的中点，
∴，
∴，
解得，；
②设点运动的时间为，则
∵点P运动到的三等分点
∴或者，
解得，或，
综上，当点P运动到的三等分点时，P的运动时间是秒或9秒
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的的中点与n等分点模型
【解析】【解答】解：（1）AB的中点所表示的数为：，故答案为：2
（2）若BC=2，则点C表示的数为：5+2=7或5-2=3，故答案为：7或3
【分析】（1）①由题意，把已知条件代入题中的公式计算即可求解；
②由题意，把已知条件代入题中的公式计算即可求解；
（2）①根据点B正好是PQ的中点可得AP=AB可列关于t的方程，解方程接口求解；
②根据点P运动到BQ的三等分点可列关于t的方程，解方程即可求解.
11．【答案】（1）15；
（2）解：①﹣2+3t；13﹣2t；②根据题意得：﹣2+3t＝13﹣2t，
解得t＝3，
相遇点所表示的数为﹣2+3×3＝7，
答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7.
（3）解：根据题意得：3t +2t＝3×15
解得t＝9，
P运动路程为3×9＝27.
第二次相遇点所表示的数为：-2+15 -（27﹣15）＝1.
答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；数轴的动点往返运动模型
【解析】【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为，点B表示的数为13，
∴线段AB的中点表示的数为：
故答案为：15，.
（2）①∵点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，
∴t秒后，
∴点P表示的数为：点Q表示的数为：
故答案为：3t-2，13-2t.
【分析】（1）根据两点间的距离计算公式计算即可，再根据线段中点的性质即可求出线段AB的中点表示的数；
（2）①根据路程=速度×时间，据此求出AP和BQ的长度，再根据两点间的距离计算公式即可得到点P和点Q所表示的数；
②根据点P和点Q相遇时，点P和点Q所表示的数相等，即可列方程，据此可得到t的值，进而即可求解；
（3）根据P，Q两点第二次相遇，即点P和点Q所走过的路程之和为，即可得到方程此可得到t的值，进而即可求解.
1 / 1有理数综合与实践题—广东省（人教版）数学七（上）期末复习
一、综合与实践
1．（2024七上·潮阳期末）综合运用
【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（）．
备用图
【综合运用】
（1）A，B两点间的距离 ，线段的中点表示的数为 ；
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，；
（4）若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长．
【答案】（1）10；3
（2）解：根据题意可知：t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为，
∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相同，
∴，
解得：，
∴，
∴当秒时，P、Q两点相遇，相遇点表示的数为4；
（3）解：根据题意可知：
∵，
∴，
∴或
解得：或，
∴当秒或3秒时，；
（4）解：不变．
根据题意可知：
中点M表示的数为，
中点N表示的数为，
∴
∴线段的长度不变．
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）根据数轴可得：点A表示的数为-2，点B表示的数为8，
∴A、B两点之间的距离AB=8-（-2）=10，线段AB中点表示的数为=3，
故答案为：10；3.
【分析】（1）参照题干中的定义，利用两点之间的距离公式及中点表示方法列出算式求解即可；
（2）先分别求出点P表示的数为，点Q表示的数为，再结合“当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相同”列出方程，再求解即可；
（3）先求出，再结合PQ=5，列出方程，求解即可；
（4）先利用中点表示方法分别求出点M、N表示的数，再求出即可.
2．（2024七上·惠东期末）综合与实践：
用“”定义新运算：对于任意有理数、，当时，都有；
当时，都有．
（1）求的值；
（2）定义一种运算，就要研究它的运算律：
①求和的值；
②这个计算结果说明了这个运算满足__________律．（填运算律）
【答案】（1）解：，
（2）解：①，
；
，
；
交换律
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）根据新运算计算即可求出答案.
（2）根据新运算计算即可求出答案.
3．（2024七上·濠江期末）【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把记作，读作“的4次商”．
【概念归纳】一般地，我们把个（）相除记作，读作“的次商”
（1）【概念理解】直接写出结果： ．
（2）关于除方，下列说法正确的是： （填序号）
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，；③；
④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数
（3）【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：
； ．
（4）计算：．
【答案】（1）-1
（2）①④
（3）；
（4）解：
=
=
=
=
=
=．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
4．（2024七上·广州期末）定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题．
，，．
请你想一想：
（1） ， ；
（2）已知，求m的值；
（3）判断与的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）23；
（2）解：，
，
∴，
解得：；
（3）解：，，
∴，
当时，，，
当时，，，
当时，，．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解一元一次方程；整式的大小比较
【解析】【解答】解：（1）5×3+8=23；；
故答案为：23； .
【分析】（1）利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可；
（2）利用题干中的定义及计算方法可得，再求出m的值即可；
（3）利用作差法可得，再分类讨论即可.
5．（2024七上·金平期末）观察下列三个等式：，，，我们称使等式成立的一对有理数为“友好数对”，记为，例如数对，，都是“友好数对”，请回答下列问题：
（1）数对是“友好数对”吗？试说明理由，
（2）若数对是“友好数对”，求的值，
（3）若数对是“友好数对”，求的值．
【答案】（1）解：数对是“友好数对”，理由如下：
∵，
∴，
∴数对是“友好数对”；
（2）解：∵数对是“友好数对”，
∴，
解得；
（3）解：∵数对是“友好数对”，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】解一元一次方程；有理数的乘法法则；有理数的加法法则；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）利用“友好数对”的定义分析求解即可；
（2）利用“友好数对”的定义可得，再求出a的值即可；
（3）利用“友好数对”的定义可得，求出，再将其代入计算即可.
6．（2024七上·顺德期末）综合运用
如图，数轴上两点、对应的数分别是和8．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设的运动时间为秒．
（1）、两点的距离为 ；
（2）当运动到的中点时，求的值；
（3）若一动点同时从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向匀速运动，当点到达点时，、两点都停止运动．在此过程中，当时，求的值．
【答案】（1）12
（2）解：由题意得：，
解得：，
答：当运动到的中点时，的值为3；
（3）解：点表示的点为：，点表示的数为：，
则：，
解得：或（不合题意，舍去），
答：当时，的值为．
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）AB==12.
故答案为：12.
【分析】（1）根据数轴两点之间的距离等于两坐标差的绝对值，即可求得；
（2）根据路程=时间×速度列出一元一次方程，解方程，即可求得；
（3）先用t分别表示出点P和点Q表示的数，再根据 列出一元一次方程，求解，即可求得.
7．（2024七上·韶关期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离．线段的中点表示的数为．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（）．
（1）填空：
①A、B两点之间的距离 ，线段的中点表示的数为 ．
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ．
（2）求当t为何值时，；
（3）在P、Q两点运动过程中是否存在P、Q、B三点中其中一点正好是另外两点连成的线段的中点？若存在，请求出满足条件的t值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）10；3；；
（2）解：根据题意得：|（-2＋3t）-（8-2t）|＝×10，
∴5t-10＝5或5t-10＝-5，
解得t＝3或t＝1，
∴t为3秒或1秒时，.
（3）解：存在P、Q、B三点中，其中一点正好是另外两点连成的线段的中点，理由如下：
若P为QB中点，则-2＋3t＝，
解得t＝2.5；
若Q为PB中点，则8-2t＝，
解得t＝；
当B为PQ中点，则8＝，
解得t＝10；
综上所述，t为2.5秒或秒或10秒时，P、Q、B三点中，其中一点正好是另外两点连成的线段的中点．
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】（1）解：①∵ |-2-8|＝10，
，
∴AB＝10，线段AB的中点表示的数为3，
故答案为：10，3.
② t秒后，点P表示的数为-2＋3t，点Q表示的数为8-2t，
故答案为：-2＋3t，8-2t.
【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离公式及中点表示的数的计算方法分析求解即可；
（2）利用“”列出方程|（-2＋3t）-（8-2t）|＝×10，再求出t的值即可；
（3）分类讨论：①若P为QB中点，②若Q为PB中点，③当B为PQ中点，再分别列出方程求解即可.
8．（2024七上·龙湖期末）【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为．例如点表示的数分别为，则两点间的距离，线段的中点表示的数为．
【问题情境】
如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒．
【综合运用】
（1）填空：①两点间的距离 ，线段的中点表示的数为 ．
②秒后，用含的代数式表示：点表示的数为 ；点表示的数为 ．
（2）求当为何值时，两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
（3）在上述的运动过程中，是否存在某一时刻，使得三点中的任意一点为连接另外两点之间线段的中点．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）10；3；；
（2）解：∵t秒后，
∴点P表示的数是，点Q表示的数是，
∵两点相遇，
∴，
解得：，
即相遇点所表示的数．
（3）值为或或．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）①根据题意得：AB＝| 2 8|＝10，线段AB的中点为，
故答案为：10，3；
②∵点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，
∴t秒后，点P表示的数为 2＋3t；点Q表示的数为8 2t；
故答案为： 2＋3t，8 2t；
（3）解：秒后，点表示的数为，点表示的数为，点B表示的数为8，
①当点Q是线段的中点时，
，
解得：；
②当点P是线段的中点时，
，
解得：；
③当点B是线段的中点时，
解得：；
综上所述，满足条件的值为或或．
【分析】（1）①利用两点之间的距离公式及线段中点的定义求解即可；
②利用“路程=速度×时间”求出点P、Q的路程，再求出点P、Q表示的数即可；
（2）先求出点P表示的数是，点Q表示的数是，再根据“两点相遇”可得，再求出t的值即可；
（3）分类讨论：①当点Q是线段的中点时，②当点P是线段的中点时，③当点B是线段的中点时，再分别列出方程求解即可.
9．（2024七上·怀集期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点A表示的数为，点表示的数为8，点从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒．
（1）填空：
①两点之间的距离 ，线段的中点表示的数为 ．
②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为 ；点表示的数为 ．
③当 时，两点相遇，相遇点所表示的数为 ．
（2）当为何值时，．
【答案】（1）10；3；；；2；4
（2）解：∵t秒后，点P表示的数是，点Q表示的数是，
∴，
又∵，
∴，
∴或
解得：或1，
∴当或3时，．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；有理数在数轴上的表示；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：（1）①∵点A表示的数为-2，点B表示的数为8，∴AB=
∵点A表示的数为-2，点B表示的数为8，∴AB的中点表示的数为：故答案为：10；3.
②∵点A表示的数为， 点从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，∴秒后，点表示的数为：-2+3t；
∵点表示的数为8， 点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，∴秒后，点Q表示的数为：8-2t；故答案为：；
③由题意可得：-2+3t=8-2t；解得：t=2；∵此时P、Q两点相遇，∴相遇点所表示的数为：-2+6=4；故答案为：2；4
【分析】(1)①根据A、B在数轴上的位置并结合数轴上两点间的距离可求解；根据线段的中点表示的数的求法AB=可求解；
②根据A、B在数轴上的位置并结合题意可求解；
③根据P、Q两点相遇即为P、Q两点所表示的数相等可得关于t的方程，解方程可求解；
（2）根据PQ=AB可得关于t的含绝对值的方程，解方程可求解.
10．（2024七上·花都期末）【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，研究数轴我们发现了许多重要规律．
例如：①若数轴上点A，B表示的数分别为a，b． 则A，B两点之间的距离为，线段的中点表示的数为．
②若在数轴上一个点表示的数为a，则向左运动个单位后表示的数为，向右运动个单位后所表示的数为．
【综合应用】
如图，点A表示的数为，点B所表示的数为5．
（1）填空：
①的中点所表示的数为 ；
②若，则点C表示的数为 ．
（2）点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． 同时，点Q从点B出发，以每秒v个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．
①P、Q运动过程中，当点B正好是的中点时，，求点Q的速度v．
②若点Q保持①中的速度继续运动，当点P运动到的三等分点时，求P的运动时间t．
【答案】（1）2；7或3
（2）解：①∵
∴
∴点运动的时间为，
∴
∵点B是的中点，
∴，
∴，
解得，；
②设点运动的时间为，则
∵点P运动到的三等分点
∴或者，
解得，或，
综上，当点P运动到的三等分点时，P的运动时间是秒或9秒
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的的中点与n等分点模型
【解析】【解答】解：（1）AB的中点所表示的数为：，故答案为：2
（2）若BC=2，则点C表示的数为：5+2=7或5-2=3，故答案为：7或3
【分析】（1）①由题意，把已知条件代入题中的公式计算即可求解；
②由题意，把已知条件代入题中的公式计算即可求解；
（2）①根据点B正好是PQ的中点可得AP=AB可列关于t的方程，解方程接口求解；
②根据点P运动到BQ的三等分点可列关于t的方程，解方程即可求解.
11．（2024七上·石碣期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点M，N表示的数分别为m，n，则M，N两点之间的距离表示为．如：点M表示的数为2，点N表示的数为3，则．
（1）【问题提出】
填空：如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为13，A，B两点之间的距离AB＝ ，线段AB的中点表示的数为 ．
（2）【拓展探究】
在（1）的条件下，若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t＞0）.
①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为 ▲ ，点Q表示的数为 ▲ ；
②求当t为何值时，P，Q两点相遇？写出相遇点所表示的数．
（3）【类比延伸】
在（2）的条件下，如果P，Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P，Q两点第二次相遇，请求出所需要的时间和相遇点所表示的数．
【答案】（1）15；
（2）解：①﹣2+3t；13﹣2t；②根据题意得：﹣2+3t＝13﹣2t，
解得t＝3，
相遇点所表示的数为﹣2+3×3＝7，
答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7.
（3）解：根据题意得：3t +2t＝3×15
解得t＝9，
P运动路程为3×9＝27.
第二次相遇点所表示的数为：-2+15 -（27﹣15）＝1.
答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；数轴的动点往返运动模型
【解析】【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为，点B表示的数为13，
∴线段AB的中点表示的数为：
故答案为：15，.
（2）①∵点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，
∴t秒后，
∴点P表示的数为：点Q表示的数为：
故答案为：3t-2，13-2t.
【分析】（1）根据两点间的距离计算公式计算即可，再根据线段中点的性质即可求出线段AB的中点表示的数；
（2）①根据路程=速度×时间，据此求出AP和BQ的长度，再根据两点间的距离计算公式即可得到点P和点Q所表示的数；
②根据点P和点Q相遇时，点P和点Q所表示的数相等，即可列方程，据此可得到t的值，进而即可求解；
（3）根据P，Q两点第二次相遇，即点P和点Q所走过的路程之和为，即可得到方程此可得到t的值，进而即可求解.
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