几何初步综合与实践题—广东省（人教版）数学七（上）期末复习
一、几何初步
1．（2024七上·阳春期末）综合应用：
三角尺是我们学习数学常见的工具，同时也因它的应用广泛性，常常作为命题的素材．
【数学来源于生活】
动手实践：将一副三角尺按甲、乙、丙、丁四种不同方式摆放．
（1）在 的摆放方式中与互余；在 的摆放方式中与互补
（2）在哪种摆放方式中与相等？请说明理由．
（3）【抽象数学问题】如图1所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若，则 ；若，则 ．
（4）如图2所示，若两个同样的三角板，将锐角的顶点A叠放在一起，则与有何数量关系，请说明理由．
【答案】（1）甲；丁
（2）解：在乙、丙摆放方式中两角相等，理由如下：
在乙中：
∵∠α＝90° ∠1，∠β＝90° ∠1，
∴∠α＝∠β，
在丙中：
∵∠α＝180° 45°＝135°，
∠β＝180° 45°＝135°，
∴∠α＝∠β.
（3）155；50
（4）解：∠DAB＋∠CAE＝120°，
理由如下：
∵∠DAB＝∠DAE＋∠CAE＋∠CAB，
∴∠DAB＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE＋∠CAB＋∠CAE＝∠DAC＋∠BAE＝120°．
【知识点】角的运算；余角；补角
【解析】【解答】解：（1）甲图中，α＋β＝90°，丁图中，α＋β＝180°，
故答案为：甲，丁；
（3）∵∠BCE＝90°，∠DCE＝25°，
∴∠BCD＝∠BCE ∠DCE＝65°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝90°＋65°＝155°，
∵∠ACB＝130°，∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB ∠ACD＝130° 90°＝40°，
∵∠BCE＝90°，
∴∠DCE＝∠BCE ∠BCD＝90° 40°＝50°，
故答案为：155，50.
【分析】（1）利用余角和补角的定义及计算方法分析求解即可；
（2）利用等角的余角相等分析求解即可；
（3）利用角的运算求出∠ACB的度数，再利用角的运算求出∠DCE＝∠BCE ∠BCD＝90° 40°＝50°即可；
（4）利用角的运算可得∠DAB＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE＋∠CAB＋∠CAE＝∠DAC＋∠BAE＝120°．
2．（2024七上·金湾期末）综合探究
如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线上，两个直角三角板分别在直线的两侧，且，，.
图1 图2
（1）如图1， ；
（2）如图2，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上.此时，是否平分？请说明理由；
（3）如图2，把三角板绕点旋转，使得落在内部，
当时，则_▲_；
当时，则_▲_；
设，，试猜想与的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）135
（2）解：CD是∠ACF 的平分线，
∵CE落在∠ACB 的平分线上，
∴∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝×45°＝22.5°，
∠ACD＝∠DCE ∠ACE＝90° 22.5°＝67.5°，
∴∠DCF＝180° ∠ACB ∠ACD＝180° 45° 67.5°＝67.5°，
∴∠ACD＝∠DCF，
∴CD平分∠ACF；
（3）解：①125；
②25；
③结论：α＋β＝135°，
理由：∵∠BCD＝∠BCE＋∠ECD，∠ACE＋∠BCE＝∠ACB＝45°
∴α＋β＝∠ACE＋∠BCD
＝∠ACE＋∠BCE＋∠ECD
＝∠ACB＋∠ECD
＝45°＋90°
＝135°
【知识点】角的运算；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝135°，
故答案为：135；
（3）当∠ACE＝10°时，
∴∠BCE＝∠ACB ∠ACE＝35°，
∴∠BCD＝∠BCE＋∠ECD＝125°，
当∠BCD＝110°时，
∴∠BCE＝∠BCD ∠ECD＝20°，
∴∠ACE＝∠ACB ∠BCE＝25°，
故答案为：125，25．
【分析】（1）利用角的运算求出∠ACD的度数即可；
（2）先利用角平分线的定义求出∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝×45°＝22.5°，再利用角的运算求出∠DCF的度数，可得∠ACD＝∠DCF，从而可证出CD平分∠ACF；
（3）利用角的运算求出∠BCD和∠ACE的度数，再利用等量代换可得α＋β＝∠ACE＋∠BCD＝135°.
3．（2024七上·潮阳期末）综合与实践
（1）【问题情境】下面左图是一个三角形，已知，那么的余角是哪个角呢？
答： ；
（2）【实践探究】小明用三角尺在这个三角形中画了一条高（点D是垂足），得到右图．
【问题解决】在右图中，小明通过仔细观察、认真思考，找出了三对余角，请你帮小明把它们写出来：① ；② ；③ ；
（3）在右图中，，，都是直角，所以，小明还发现了另外两对相等的锐角，请你也仔细地观察、认真地思考分析，把它们写出来，并请说明理由．
【答案】（1）
（2）与；与；与；
（3）解：结论：，，
理由如下：
∵
∴，，
∴，．
【知识点】角的运算；直角三角形的性质；余角
【解析】【解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=180°-90°=90°，
∴∠B是∠A的余角，
故答案为：∠B；
（2）方法同（1），可得：∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠DCB=90°，
∴∠ACD与∠BCD是余角；∠ACD与∠A是余角；∠B与∠BCD是余角，
故答案为：∠ACD与∠BCD；∠ACD与∠A；∠B与∠BCD。
【分析】（1）利用三角形的内角和及余角的定义分析求解即可；
（2）利用三角形的内角和及余角的定义分析求解即可；
（3）利用等角的余角相等的性质分析求解即可.
4．（2024七上·紫金期末）【问题情境】
李老师给同学们布置了一项综合实践任务：利用所学知识为班级制作一些纸盒，用来收纳讲台上的粉笔等物品．
【操作探究】
（1）同学们就如何制作纸盒展开激烈的讨论，其中小华、小君、小霞分别给出了三种设计方案．你觉得图案 （填序号）经过折叠能围成正方体纸盒．
小华 图案① 小君 图案② 小霞 图案③
（2）小李刚好有一张边长为的正方形硬纸板，他打算在硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒．设底面边长为，则这个纸盒的底面积是 ，高是 （用含的代数式表示）．
（3）小红所在的综合实践小组把折叠成6个棱长都为的无盖正方体纸盒摆成如图所示的几何体．
①求这个几何体的体积；
②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加_▲_个正方体纸盒．
【答案】（1）②③
（2）；
（3）解：①由题意可得：
该几何体；
②3
【知识点】正方体的几种展开图的识别；小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：（1）根据正方体的展开图性质
则②③ 经过折叠能围成正方体纸盒
故答案为：②③
（2）设底面边长为x，
则这个纸盒的底面积为，高是
故答案为：；
（3）②如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从上面看和从左面看的形状图不变，最多可以再添加3块小正方体，分别在第二排的第一，第三，第四个位置各添加1块．
故答案为：3．
【分析】（1）根据正方体的展开图性质即可求出答案.
（2）设底面边长为x，根据题意即可求出答案.
（3）①根据题意即可求出答案.
②根据简单组合体的三视图特征即可求出答案.
5．（2024七上·惠阳期末）已知O是直线上一点，是直角，平分．
（1）【初步尝试】如图（1），若，则的度数＝ ；
（2）【类比探究】在图（1）中，若，求度数；
（3）【拓展运用】如图（2）的位置关系，探究与之间的数量关系，直接写出你的结论．
【答案】（1）
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵是直角，即，
∴；
（3）
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOC＝30°，∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝180° ∠AOC＝150°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOC＝75°，
∵∠COD是直角，
即∠COD＝90°＝∠DOE＋∠COE，
∴∠DOE＝∠COD ∠COE＝90° 75°＝15°，
故答案为：15°；
（3）解：∵是直角，平分，∴，，
∴，
∵，
∴．
【分析】（1）先利用角的运算求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得∠COE=∠BOC＝75°，最后利用角的运算求出∠DOE＝∠COD ∠COE＝90° 75°＝15°即可；
（2）先利用角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可；
（3）先利用角的运算求出，，再结合，求出即可．
6．（2024七上·罗定期末）【综合与实践：】我们在“几何初步”这一章课题学习中探究了“如何制作长方体纸盒”，小明和小亮在课后对“如何制作正方体纸盒”又进行了探究：
【动手操作：】小明用一张正方形的纸板按如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒．
小亮用一张长方形的纸板按如图2所示的方式先在纸板四角剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形，剩余部分折合起来可以制作一个有盖的正方体纸盒．（纸板厚度及接缝处忽略不计）
【问题解决：】现有一块长为、宽为的长方形纸板，请探究；
（1）若，按图1的方式剪去的小正方形边长为，做成一个无盖的正方体纸盒，此时，你发现c与b之间存在的数量关系为____________．
（2）若，按如图2方式裁剪，做成一个有盖的正方体纸盒，发现a与b之间存在的数量关系是________．
（3）在（2）的条件下，若，求有盖正方体纸盒的表面积．
【答案】（1）
（2）
（3）解：∵，∴做成的有盖的正方体纸盒棱长为，
∴有盖正方体纸盒的表面积为．
【知识点】已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【解答】解：（1）：由图可得：，
故答案为：；
解：（2）设做成的有盖的正方体纸盒棱长为，
由图可知：，
则，
∴，
整理得：，
故答案为：；
【分析】
本题考查了列代数式，正方体的展开图，正确找出图形中边长之间的数量关系是解题的关键．
（1）根据题设中的图形，得到，即可得出结论；
（2）设做成的有盖的正方体纸盒棱长为，由图知，求得，进而得到，即可得出结论；
（3）由，先求出有盖正方体的棱长，结合正方体表面积公式，即可求得有盖正方体纸盒的表面积，得到答案.
7．（2024七上·广东期末）综合与实践
某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计）
动手操作一：
根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．
方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．
问题解决：
（1）若，则该长方体纸盒的底面边长为________；该长方体纸盒的体积为________；
动手操作二：
根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．
方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．
拓展延伸：
（2）若，该长方体纸盒的表面积为多少？
【答案】（1）12，864；（2）486
【知识点】已知展开图进行几何体的相关的计算
8．（2024七上·南沙期末）综合与实践课上，老师让同学们以“利用角平分线的概念，解决有关问题”为主题开展数学活动．已知一张条形彩带，点在边上，点在边上，如图所示．
（1）如图1，将彩带沿翻折，点落在处，若，则 ；
（2）若将彩带沿同时向中间翻折，点落在处，点落在处；
①当点共线时，如图2，求的度数；
②当点不共线时：
如图3，若，求的度数；
如图4，设，直接写出满足的关系式．
【答案】（1）30
（2）解：①由翻折可得，，
∴，
②，
，
由①可得：，
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴∠A'CA=180°-∠A'CB=180°-120°=60°，
∵将彩带沿翻折，点落在处，
∴∠A'CM=∠ACM=∠A'CA=30°，
故答案为：30.
（2） ②由①可得：，，
，，
’
’
’
即．
【分析】（1）先利用邻补角的定义及角的运算求出∠A'CA的度数，再利用折叠的性质求出∠A'CM=∠ACM=∠A'CA=30°即可；
（2）①先利用折叠的性质可得，，再利用角的运算和等量代换求出∠NCM的度数即可；
②先利用折叠的性质可得，，再利用角的运算和等量代换求出∠A’CB‘的度数即可；
先利用折叠的性质可得，，再利用角的运算和等量代换求出，即可得到．
9．（2024七上·榕城期末）【综合探究】：如图1，一副三角板如图所示放置在直线MN上，∠ABO=90°，∠AOB=60°，三角板的顶点与另一个三角板∠COD的顶点重合在点O处，三角板的边OC，OB与直线MN重合，三角板其它的边都在直线MN的上方.
（1）【实践探究】：
如图2，若三角板AOB不动，将三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，经过t秒时，三角板COD的边OC恰好分.
①此时t= 秒：
②此时= °= ；
（2）【解决问题】：
如图2，在(1)的条件下，边OC恰好平分.时，同一时刻三角板AOB开始也绕点O以每秒的速度按相同方向旋转，那么再经过多长时间边OA与边OD第一次重合 (如图3)请说明理由；
（3）【拓展研究】：
如图3，在(2)的条件下，当边OA与边OD第一次重合时，两个三角板同时按顺时针方向再次转动一周后停止，请问两个三角板再次转动后，经过多少秒，边OB恰好平分请说明理由.
【答案】（1）5；60；3600
（2）解：∵三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，三角板AOB开始也绕点O以每秒10°的速度按相同方向旋转，
∴两个三角板的速度差为每秒4°，
∵∠AOD＝60°，当∠AOD＝0°时，边OA与边OD第一次重合，
∴60÷4＝15（秒），
∴再经过15秒边OA与边OD第一次重合.
（3）解：两个三角板同时按顺时针方向再次转动一周后停止，
∴0°＜旋转角度＜360°，
边OA与边OD重合，两个三角板再次转动15°，边OB恰好平分∠COD，∠COB＝∠BOD＝45°，
此时经过15÷4=秒，边OB恰好平分∠COD，
∵三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，三角板AOB开始也绕点O以每秒10°的速度按相同方向旋转，
∴三角板AOB旋转速度快，旋转一周后停下，三角板COD还在旋转，
∵边OB恰好平分∠COD，
∴∠COB＝∠BOD＝45°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠AOD＝15°，
∴三角板AOB经过360°÷10°＝36（秒）停下，三角板COD经过36秒旋转了36×6°＝216°，还需要旋转360° 216°＝144°停止，
此时经过36＋（144° 15°）÷6＝57.5秒，边OB恰好平分∠COD，
∴经过或57.5秒，边OB恰好平分∠COD．
【知识点】角的运算；图形的旋转；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）据题意得∠BOC为旋转角，
∵三角板COD的边OC恰好分∠AOB，∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝30°，∠COA＝30°，
∵三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，经过t秒，
∴t＝30÷6＝5（秒），
∵∠COD＝90°，
∴∠AOD＝∠COD ∠COA＝90° 30°＝60°＝3600'，
故答案为：5，60，3600.
【分析】（1）根据三角板COD的边OC恰好分∠AOB，可得∠AOB＝60°，再结合三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，求出t，最后求出∠AOD的度数即可；
（2）先求速度差，再利用旋转角除以速度差，即可求出时间；
（3）先分析两个三角板旋转多少度，才能使边OB恰好平分∠COD，再根据两个三角板的旋转速度，求出时间即可.
10．（2024七上·南海期末）综合探究
如图，在直角中，，点A在直线上，点D、E在直线上运动（点D不与点A重合），且始终满足平分．
（1）当点D在点A左侧时，请直接写出与之间的数量关系．
（2）若，在点D、E运动的过程中，当是直角三角形时，求的度数．
（3）请你在以点C为顶点的角中任选一个（、、除外），在点D、E运动的过程中，探究所选角与的数量关系，并写出具体过程．
【答案】（1）
（2）解：∵点D、E在直线上运动，平分，，∴点E在点A的右侧，
∵是直角三角形，
∴或，
①若，如图，
则，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
②若，如图，
∵
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
综上所述，或；
（3）解：探究与的数量关系，∵点D、E在直线上运动，平分，，
∴点E在点A的右侧，
①点D在点A左侧时，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
即；
②点D在点A右侧时，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
则，
即．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：∵点D、E在直线上运动，平分，，∴点E在点A的右侧
∵点D在点A左侧，
∴；
【分析】（1）根据点D、E在直线上运动，平分且，得到点E在点A的右侧，得出，得到答案；
（2）由是直角三角形得或，①当时，求得和，根据平分，结合，即可求得；②当时，得到和，根据平分，结合，求得，即可求解；
（3）探究与的数量关系，分两种情况：①点D在点A左侧时，根据角平分线的概念得，结合；②点D在点A右侧时，根据角平分线的性质得，由，得到，即可求解．
11．（2024七上·阳春期末）综合探究：
整体思想是一种重要的数学思想方法，其思维方式是根据问题的结构特征，把一组数，一个代数式或几个图形视为一个整体，去观察，分析，解决问题的一种方法．这样做，不仅简化解题过程，提高思维能力，还往往可以解决按常方法解决不了的一些问题．
如：代数式的化简问题．若把看成一个整体，
则：．
这就是数学解题中的“整体思想”．
请运用上面的“整体思想”解决下列问题：
（1）尝试应用：化简
（2）拓展运用：如图1，点O是线段上一点，C、D分别是线段的中点，当时，求线段的长度．
（3）迁移运用：如图2，长方形纸片，点E，F分别是边上任意一点，连接．将对折，点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕，的度数会随着折痕的变化而变化吗？说明你的理由．
【答案】（1）解：
；
（2）解：因为分别是线段的中点，
所以．
所以．
因为，所以；
（3）解：由折叠的性质可知平分平分
故不会发生变化．
【知识点】整式的加减运算；角的运算；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念；整体思想
【解析】【分析】（1）将（x+y）当作整体，再利用合并同类项的计算方法分析求解即可；
（2）先利用线段中点的性质，再利用线段的和差及等量代换可得；
（3）先利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得.
12．（2024七上·电白期末）如图1，已知点，在数轴上表示的数分别为和10，若有一动点从数轴上点出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒。
图1 图2
（1）解决问题：
若点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由；
（2）探索问题：
当点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动。
①在运动过程中，点表示的数为_▲_，点表示的数为_▲_.
②求运动多少秒时，点与点相距3个单位长度？
（3）知识迁移：
如图2，若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，经过 分钟后，的度数第一次等于。
【答案】（1）解：如图，点在线段上运动时，线段的长度不发生变化，
理由如下：
点为线段的中点，点为线段的中点，
，，
点在线段上运动时，线段的长度不发生变化；
（2）解：①，；
②点与点相距3个单位长度，分两种情况：
如图，当点在点左侧时，，解得，
如图，当点在点右侧时，，解得，
综上所述，运动6或秒时，点与点相距3个单位长度；
（3）12
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；钟面角
【解析】【解答】解：（2）①点，在数轴上表示的数分别为和10，则在运动过程中，点表示的数为，点表示的数为，
故答案为：，；
（3）时针每小时转＝30°，分针每分转＝6°，
设经过x分钟后，∠AOB 的度数第一次等于126°，
根据题意得：6x＋60 0.5x＝126，
解得：x＝12，
∴经过12分钟后，∠AOB 的度数第一次等于126°．
故答案为：12．
【分析】（1）先利用线段中点的性质可得，，再利用线段的和差及等量代换可得，从而得解；
（2）①利用数轴上两点之间的距离公式求出点P、Q表示的数即可；
②分类讨论：第一种情况：当点在点左侧时；第二种情况：当点在点右侧时，再分别画出图形并列出方程求解即可；
（3）设经过x分钟后，∠AOB 的度数第一次等于126°，根据“∠AOB 的度数第一次等于126°”列出方程6x＋60 0.5x＝126，再求解即可.
1 / 1几何初步综合与实践题—广东省（人教版）数学七（上）期末复习
一、几何初步
1．（2024七上·阳春期末）综合应用：
三角尺是我们学习数学常见的工具，同时也因它的应用广泛性，常常作为命题的素材．
【数学来源于生活】
动手实践：将一副三角尺按甲、乙、丙、丁四种不同方式摆放．
（1）在 的摆放方式中与互余；在 的摆放方式中与互补
（2）在哪种摆放方式中与相等？请说明理由．
（3）【抽象数学问题】如图1所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若，则 ；若，则 ．
（4）如图2所示，若两个同样的三角板，将锐角的顶点A叠放在一起，则与有何数量关系，请说明理由．
2．（2024七上·金湾期末）综合探究
如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线上，两个直角三角板分别在直线的两侧，且，，.
图1 图2
（1）如图1， ；
（2）如图2，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上.此时，是否平分？请说明理由；
（3）如图2，把三角板绕点旋转，使得落在内部，
当时，则_▲_；
当时，则_▲_；
设，，试猜想与的数量关系，并说明理由.
3．（2024七上·潮阳期末）综合与实践
（1）【问题情境】下面左图是一个三角形，已知，那么的余角是哪个角呢？
答： ；
（2）【实践探究】小明用三角尺在这个三角形中画了一条高（点D是垂足），得到右图．
【问题解决】在右图中，小明通过仔细观察、认真思考，找出了三对余角，请你帮小明把它们写出来：① ；② ；③ ；
（3）在右图中，，，都是直角，所以，小明还发现了另外两对相等的锐角，请你也仔细地观察、认真地思考分析，把它们写出来，并请说明理由．
4．（2024七上·紫金期末）【问题情境】
李老师给同学们布置了一项综合实践任务：利用所学知识为班级制作一些纸盒，用来收纳讲台上的粉笔等物品．
【操作探究】
（1）同学们就如何制作纸盒展开激烈的讨论，其中小华、小君、小霞分别给出了三种设计方案．你觉得图案 （填序号）经过折叠能围成正方体纸盒．
小华 图案① 小君 图案② 小霞 图案③
（2）小李刚好有一张边长为的正方形硬纸板，他打算在硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒．设底面边长为，则这个纸盒的底面积是 ，高是 （用含的代数式表示）．
（3）小红所在的综合实践小组把折叠成6个棱长都为的无盖正方体纸盒摆成如图所示的几何体．
①求这个几何体的体积；
②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加_▲_个正方体纸盒．
5．（2024七上·惠阳期末）已知O是直线上一点，是直角，平分．
（1）【初步尝试】如图（1），若，则的度数＝ ；
（2）【类比探究】在图（1）中，若，求度数；
（3）【拓展运用】如图（2）的位置关系，探究与之间的数量关系，直接写出你的结论．
6．（2024七上·罗定期末）【综合与实践：】我们在“几何初步”这一章课题学习中探究了“如何制作长方体纸盒”，小明和小亮在课后对“如何制作正方体纸盒”又进行了探究：
【动手操作：】小明用一张正方形的纸板按如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒．
小亮用一张长方形的纸板按如图2所示的方式先在纸板四角剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形，剩余部分折合起来可以制作一个有盖的正方体纸盒．（纸板厚度及接缝处忽略不计）
【问题解决：】现有一块长为、宽为的长方形纸板，请探究；
（1）若，按图1的方式剪去的小正方形边长为，做成一个无盖的正方体纸盒，此时，你发现c与b之间存在的数量关系为____________．
（2）若，按如图2方式裁剪，做成一个有盖的正方体纸盒，发现a与b之间存在的数量关系是________．
（3）在（2）的条件下，若，求有盖正方体纸盒的表面积．
7．（2024七上·广东期末）综合与实践
某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计）
动手操作一：
根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．
方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．
问题解决：
（1）若，则该长方体纸盒的底面边长为________；该长方体纸盒的体积为________；
动手操作二：
根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．
方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．
拓展延伸：
（2）若，该长方体纸盒的表面积为多少？
8．（2024七上·南沙期末）综合与实践课上，老师让同学们以“利用角平分线的概念，解决有关问题”为主题开展数学活动．已知一张条形彩带，点在边上，点在边上，如图所示．
（1）如图1，将彩带沿翻折，点落在处，若，则 ；
（2）若将彩带沿同时向中间翻折，点落在处，点落在处；
①当点共线时，如图2，求的度数；
②当点不共线时：
如图3，若，求的度数；
如图4，设，直接写出满足的关系式．
9．（2024七上·榕城期末）【综合探究】：如图1，一副三角板如图所示放置在直线MN上，∠ABO=90°，∠AOB=60°，三角板的顶点与另一个三角板∠COD的顶点重合在点O处，三角板的边OC，OB与直线MN重合，三角板其它的边都在直线MN的上方.
（1）【实践探究】：
如图2，若三角板AOB不动，将三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，经过t秒时，三角板COD的边OC恰好分.
①此时t= 秒：
②此时= °= ；
（2）【解决问题】：
如图2，在(1)的条件下，边OC恰好平分.时，同一时刻三角板AOB开始也绕点O以每秒的速度按相同方向旋转，那么再经过多长时间边OA与边OD第一次重合 (如图3)请说明理由；
（3）【拓展研究】：
如图3，在(2)的条件下，当边OA与边OD第一次重合时，两个三角板同时按顺时针方向再次转动一周后停止，请问两个三角板再次转动后，经过多少秒，边OB恰好平分请说明理由.
10．（2024七上·南海期末）综合探究
如图，在直角中，，点A在直线上，点D、E在直线上运动（点D不与点A重合），且始终满足平分．
（1）当点D在点A左侧时，请直接写出与之间的数量关系．
（2）若，在点D、E运动的过程中，当是直角三角形时，求的度数．
（3）请你在以点C为顶点的角中任选一个（、、除外），在点D、E运动的过程中，探究所选角与的数量关系，并写出具体过程．
11．（2024七上·阳春期末）综合探究：
整体思想是一种重要的数学思想方法，其思维方式是根据问题的结构特征，把一组数，一个代数式或几个图形视为一个整体，去观察，分析，解决问题的一种方法．这样做，不仅简化解题过程，提高思维能力，还往往可以解决按常方法解决不了的一些问题．
如：代数式的化简问题．若把看成一个整体，
则：．
这就是数学解题中的“整体思想”．
请运用上面的“整体思想”解决下列问题：
（1）尝试应用：化简
（2）拓展运用：如图1，点O是线段上一点，C、D分别是线段的中点，当时，求线段的长度．
（3）迁移运用：如图2，长方形纸片，点E，F分别是边上任意一点，连接．将对折，点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕，的度数会随着折痕的变化而变化吗？说明你的理由．
12．（2024七上·电白期末）如图1，已知点，在数轴上表示的数分别为和10，若有一动点从数轴上点出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒。
图1 图2
（1）解决问题：
若点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由；
（2）探索问题：
当点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动。
①在运动过程中，点表示的数为_▲_，点表示的数为_▲_.
②求运动多少秒时，点与点相距3个单位长度？
（3）知识迁移：
如图2，若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，经过 分钟后，的度数第一次等于。
答案解析部分
1．【答案】（1）甲；丁
（2）解：在乙、丙摆放方式中两角相等，理由如下：
在乙中：
∵∠α＝90° ∠1，∠β＝90° ∠1，
∴∠α＝∠β，
在丙中：
∵∠α＝180° 45°＝135°，
∠β＝180° 45°＝135°，
∴∠α＝∠β.
（3）155；50
（4）解：∠DAB＋∠CAE＝120°，
理由如下：
∵∠DAB＝∠DAE＋∠CAE＋∠CAB，
∴∠DAB＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE＋∠CAB＋∠CAE＝∠DAC＋∠BAE＝120°．
【知识点】角的运算；余角；补角
【解析】【解答】解：（1）甲图中，α＋β＝90°，丁图中，α＋β＝180°，
故答案为：甲，丁；
（3）∵∠BCE＝90°，∠DCE＝25°，
∴∠BCD＝∠BCE ∠DCE＝65°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝90°＋65°＝155°，
∵∠ACB＝130°，∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB ∠ACD＝130° 90°＝40°，
∵∠BCE＝90°，
∴∠DCE＝∠BCE ∠BCD＝90° 40°＝50°，
故答案为：155，50.
【分析】（1）利用余角和补角的定义及计算方法分析求解即可；
（2）利用等角的余角相等分析求解即可；
（3）利用角的运算求出∠ACB的度数，再利用角的运算求出∠DCE＝∠BCE ∠BCD＝90° 40°＝50°即可；
（4）利用角的运算可得∠DAB＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE＋∠CAB＋∠CAE＝∠DAC＋∠BAE＝120°．
2．【答案】（1）135
（2）解：CD是∠ACF 的平分线，
∵CE落在∠ACB 的平分线上，
∴∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝×45°＝22.5°，
∠ACD＝∠DCE ∠ACE＝90° 22.5°＝67.5°，
∴∠DCF＝180° ∠ACB ∠ACD＝180° 45° 67.5°＝67.5°，
∴∠ACD＝∠DCF，
∴CD平分∠ACF；
（3）解：①125；
②25；
③结论：α＋β＝135°，
理由：∵∠BCD＝∠BCE＋∠ECD，∠ACE＋∠BCE＝∠ACB＝45°
∴α＋β＝∠ACE＋∠BCD
＝∠ACE＋∠BCE＋∠ECD
＝∠ACB＋∠ECD
＝45°＋90°
＝135°
【知识点】角的运算；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝135°，
故答案为：135；
（3）当∠ACE＝10°时，
∴∠BCE＝∠ACB ∠ACE＝35°，
∴∠BCD＝∠BCE＋∠ECD＝125°，
当∠BCD＝110°时，
∴∠BCE＝∠BCD ∠ECD＝20°，
∴∠ACE＝∠ACB ∠BCE＝25°，
故答案为：125，25．
【分析】（1）利用角的运算求出∠ACD的度数即可；
（2）先利用角平分线的定义求出∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝×45°＝22.5°，再利用角的运算求出∠DCF的度数，可得∠ACD＝∠DCF，从而可证出CD平分∠ACF；
（3）利用角的运算求出∠BCD和∠ACE的度数，再利用等量代换可得α＋β＝∠ACE＋∠BCD＝135°.
3．【答案】（1）
（2）与；与；与；
（3）解：结论：，，
理由如下：
∵
∴，，
∴，．
【知识点】角的运算；直角三角形的性质；余角
【解析】【解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=180°-90°=90°，
∴∠B是∠A的余角，
故答案为：∠B；
（2）方法同（1），可得：∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠DCB=90°，
∴∠ACD与∠BCD是余角；∠ACD与∠A是余角；∠B与∠BCD是余角，
故答案为：∠ACD与∠BCD；∠ACD与∠A；∠B与∠BCD。
【分析】（1）利用三角形的内角和及余角的定义分析求解即可；
（2）利用三角形的内角和及余角的定义分析求解即可；
（3）利用等角的余角相等的性质分析求解即可.
4．【答案】（1）②③
（2）；
（3）解：①由题意可得：
该几何体；
②3
【知识点】正方体的几种展开图的识别；小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：（1）根据正方体的展开图性质
则②③ 经过折叠能围成正方体纸盒
故答案为：②③
（2）设底面边长为x，
则这个纸盒的底面积为，高是
故答案为：；
（3）②如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从上面看和从左面看的形状图不变，最多可以再添加3块小正方体，分别在第二排的第一，第三，第四个位置各添加1块．
故答案为：3．
【分析】（1）根据正方体的展开图性质即可求出答案.
（2）设底面边长为x，根据题意即可求出答案.
（3）①根据题意即可求出答案.
②根据简单组合体的三视图特征即可求出答案.
5．【答案】（1）
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵是直角，即，
∴；
（3）
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOC＝30°，∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝180° ∠AOC＝150°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOC＝75°，
∵∠COD是直角，
即∠COD＝90°＝∠DOE＋∠COE，
∴∠DOE＝∠COD ∠COE＝90° 75°＝15°，
故答案为：15°；
（3）解：∵是直角，平分，∴，，
∴，
∵，
∴．
【分析】（1）先利用角的运算求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得∠COE=∠BOC＝75°，最后利用角的运算求出∠DOE＝∠COD ∠COE＝90° 75°＝15°即可；
（2）先利用角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可；
（3）先利用角的运算求出，，再结合，求出即可．
6．【答案】（1）
（2）
（3）解：∵，∴做成的有盖的正方体纸盒棱长为，
∴有盖正方体纸盒的表面积为．
【知识点】已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【解答】解：（1）：由图可得：，
故答案为：；
解：（2）设做成的有盖的正方体纸盒棱长为，
由图可知：，
则，
∴，
整理得：，
故答案为：；
【分析】
本题考查了列代数式，正方体的展开图，正确找出图形中边长之间的数量关系是解题的关键．
（1）根据题设中的图形，得到，即可得出结论；
（2）设做成的有盖的正方体纸盒棱长为，由图知，求得，进而得到，即可得出结论；
（3）由，先求出有盖正方体的棱长，结合正方体表面积公式，即可求得有盖正方体纸盒的表面积，得到答案.
7．【答案】（1）12，864；（2）486
【知识点】已知展开图进行几何体的相关的计算
8．【答案】（1）30
（2）解：①由翻折可得，，
∴，
②，
，
由①可得：，
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴∠A'CA=180°-∠A'CB=180°-120°=60°，
∵将彩带沿翻折，点落在处，
∴∠A'CM=∠ACM=∠A'CA=30°，
故答案为：30.
（2） ②由①可得：，，
，，
’
’
’
即．
【分析】（1）先利用邻补角的定义及角的运算求出∠A'CA的度数，再利用折叠的性质求出∠A'CM=∠ACM=∠A'CA=30°即可；
（2）①先利用折叠的性质可得，，再利用角的运算和等量代换求出∠NCM的度数即可；
②先利用折叠的性质可得，，再利用角的运算和等量代换求出∠A’CB‘的度数即可；
先利用折叠的性质可得，，再利用角的运算和等量代换求出，即可得到．
9．【答案】（1）5；60；3600
（2）解：∵三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，三角板AOB开始也绕点O以每秒10°的速度按相同方向旋转，
∴两个三角板的速度差为每秒4°，
∵∠AOD＝60°，当∠AOD＝0°时，边OA与边OD第一次重合，
∴60÷4＝15（秒），
∴再经过15秒边OA与边OD第一次重合.
（3）解：两个三角板同时按顺时针方向再次转动一周后停止，
∴0°＜旋转角度＜360°，
边OA与边OD重合，两个三角板再次转动15°，边OB恰好平分∠COD，∠COB＝∠BOD＝45°，
此时经过15÷4=秒，边OB恰好平分∠COD，
∵三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，三角板AOB开始也绕点O以每秒10°的速度按相同方向旋转，
∴三角板AOB旋转速度快，旋转一周后停下，三角板COD还在旋转，
∵边OB恰好平分∠COD，
∴∠COB＝∠BOD＝45°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠AOD＝15°，
∴三角板AOB经过360°÷10°＝36（秒）停下，三角板COD经过36秒旋转了36×6°＝216°，还需要旋转360° 216°＝144°停止，
此时经过36＋（144° 15°）÷6＝57.5秒，边OB恰好平分∠COD，
∴经过或57.5秒，边OB恰好平分∠COD．
【知识点】角的运算；图形的旋转；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）据题意得∠BOC为旋转角，
∵三角板COD的边OC恰好分∠AOB，∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝30°，∠COA＝30°，
∵三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，经过t秒，
∴t＝30÷6＝5（秒），
∵∠COD＝90°，
∴∠AOD＝∠COD ∠COA＝90° 30°＝60°＝3600'，
故答案为：5，60，3600.
【分析】（1）根据三角板COD的边OC恰好分∠AOB，可得∠AOB＝60°，再结合三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，求出t，最后求出∠AOD的度数即可；
（2）先求速度差，再利用旋转角除以速度差，即可求出时间；
（3）先分析两个三角板旋转多少度，才能使边OB恰好平分∠COD，再根据两个三角板的旋转速度，求出时间即可.
10．【答案】（1）
（2）解：∵点D、E在直线上运动，平分，，∴点E在点A的右侧，
∵是直角三角形，
∴或，
①若，如图，
则，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
②若，如图，
∵
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
综上所述，或；
（3）解：探究与的数量关系，∵点D、E在直线上运动，平分，，
∴点E在点A的右侧，
①点D在点A左侧时，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
即；
②点D在点A右侧时，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
则，
即．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：∵点D、E在直线上运动，平分，，∴点E在点A的右侧
∵点D在点A左侧，
∴；
【分析】（1）根据点D、E在直线上运动，平分且，得到点E在点A的右侧，得出，得到答案；
（2）由是直角三角形得或，①当时，求得和，根据平分，结合，即可求得；②当时，得到和，根据平分，结合，求得，即可求解；
（3）探究与的数量关系，分两种情况：①点D在点A左侧时，根据角平分线的概念得，结合；②点D在点A右侧时，根据角平分线的性质得，由，得到，即可求解．
11．【答案】（1）解：
；
（2）解：因为分别是线段的中点，
所以．
所以．
因为，所以；
（3）解：由折叠的性质可知平分平分
故不会发生变化．
【知识点】整式的加减运算；角的运算；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念；整体思想
【解析】【分析】（1）将（x+y）当作整体，再利用合并同类项的计算方法分析求解即可；
（2）先利用线段中点的性质，再利用线段的和差及等量代换可得；
（3）先利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得.
12．【答案】（1）解：如图，点在线段上运动时，线段的长度不发生变化，
理由如下：
点为线段的中点，点为线段的中点，
，，
点在线段上运动时，线段的长度不发生变化；
（2）解：①，；
②点与点相距3个单位长度，分两种情况：
如图，当点在点左侧时，，解得，
如图，当点在点右侧时，，解得，
综上所述，运动6或秒时，点与点相距3个单位长度；
（3）12
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；钟面角
【解析】【解答】解：（2）①点，在数轴上表示的数分别为和10，则在运动过程中，点表示的数为，点表示的数为，
故答案为：，；
（3）时针每小时转＝30°，分针每分转＝6°，
设经过x分钟后，∠AOB 的度数第一次等于126°，
根据题意得：6x＋60 0.5x＝126，
解得：x＝12，
∴经过12分钟后，∠AOB 的度数第一次等于126°．
故答案为：12．
【分析】（1）先利用线段中点的性质可得，，再利用线段的和差及等量代换可得，从而得解；
（2）①利用数轴上两点之间的距离公式求出点P、Q表示的数即可；
②分类讨论：第一种情况：当点在点左侧时；第二种情况：当点在点右侧时，再分别画出图形并列出方程求解即可；
（3）设经过x分钟后，∠AOB 的度数第一次等于126°，根据“∠AOB 的度数第一次等于126°”列出方程6x＋60 0.5x＝126，再求解即可.
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