最新综合与实践题（1）—广东省（人教版）数学七（上）期末复习
一、实践探究题
1．（2024七上·新会月考）根据背景素材，探索解决问题．
周末小明打算去露营基地野餐
素材1 路线图：家→炸鸡店→面包店→水果店→奶茶店→露营基地；
素材2 这条路线近似看成东西走向.如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：km）如下：-3，+5，+2，-4，-1；
素材3 滴滴车价目表：起步价（不超过3km时）车费8元，超过3km时，每千米车费加价2元，消费满10元赠送一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能使用一次）．
问题解决
任务1 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离；
任务2 计算炸鸡店到面包店所用的车费；
任务3 该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，求最低总车费．
2．（2024七上·蓬江月考）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题
【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值．
【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①a，b，c都是正数，即，，时，则；
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则．
综上所述，值为3或．
【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）已知a，b是不为0的有理数，当时，则的值是__________；
（2）已知a，b，c是有理数，当时，求的值；
（3）已知a，b，c是有理数，，，求的值．
3．（2024七上·香洲期中）在一张纸条上有一数轴（如图所示）．
【操作与尝试】（1）操作一：折叠纸条，使数轴上表示数1的点与表示数的点重合，则此时数轴上表示数4的点与数轴上表示数___________的点重合；
【探究与应用】（2）操作二：现打开这张条后，再次折叠纸条，使数轴上表示数6的点与表示数的点重合．回答下列问题：
①数轴上表示数9的点与数轴上表示数_______的点重合；
②若这样折叠纸条后，数轴上的点A和点B重合，且A、B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求点A、点B所表示的数分别是多少？
③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为．当点P到点A、点B的距离之和为12时，直接写出的值．
4．（2024七上·恩平期中）操作探究：
（1）折叠纸面，使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数_______表示的点熏合；
②若数轴上A、B两点之间距离为11（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是_____，点B表示的数是______．
（2）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动2022个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值．
5．（2024七上·南山期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等． 类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方．
【初步探究】（1）直接写出计算结果：_____，______．
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算．
【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式：
______，=_______，=______（其中，n为正整数）．
（3）请利用（2）中结论计算：
．
6．（2024七上·深圳期中）【概念学习】
现规定：求若干个相同且都不等于0的有理数的商的运算叫做除方，例如：，类比有理数的乘方，我们把，写作：，读作“2的圈4次方”， ，写作：，读作“的圈3次方”，一般地把，写作：，读作“的圈次方”．
（1）【初步探究】
直接写出计算结果： ； ．
（2）【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：
① ；
② ；
（3）算一算：．
7．（2024七上·香洲期中）综合与探究
【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘法，
我们把写作，读作“2的圈3次方”，
写作，读作“的圈4次方”，
一般地，把写作，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：_______，_______．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算．那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
除方乘方（幂的形式）；
（2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算化成幂的形式：
；；
（3）总结：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式，即_______．
（4）算一算：．
8．（2024七上·南山期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点O的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．
【问题解决】
（1）在数轴上，A点表示的数是2，B点表示的数是，则点A 与点B 之间的距离____．
（2）如果点A 在数轴上表示的数为x，点B在数轴上表示的数为，点A 与点 B之间的距离AB为5，那么____．
（3）若，则d的最小值为____，此时正整数x的值为____．
【关联运用】
（4）点A、B、C是数轴上的三点，A点表示数是，B点表示数是1，C点表示数是7，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点 C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A 与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．
请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．
9．（2024七上·金平期中）【问题背景】
我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点到原点O的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．在数轴上，点 A，B的位置如图1所示，．
【问题解决】
（1）已知，则x的值为________．
（2）代数式的最小值为________．
（3）代数式的最大值为________．
（4）运用四：如图2所示，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是6，点E，F，G开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为，若的值是一个定值，试确定m的值．
10．（2024七上·珠海期中）用一根绳子留成一个长，宽的长方形：
【基础设问】
（1）下列说法可以用表示的是_______．
A．a的2倍与b的和 B．a与b的2倍的和 C．a与b的和的2倍 D.2与a的乘积与b的和
（2）在围成的长方形中，分别以它的两个顶点为圆心，b为半径作两个不重叠的四分之一圆，如图1①用代数式表示阴影部分的面积S；
②当时，求阴影部分的面积．（结果保留π）
【能力设问】
（3）若有理数a，b在数轴上的位置如图2所示，且c为最大的负整数．化简：_______．
（4）若，则用绳子围成的是正方形，图3图形都是由同样大小的正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个正方形，第②个图形中一共有12个正方形，第③个图形中一共有21个正方形…按此规律排列，则第⑧个图形中正方形的个数为_______．
【拓展设问】
（5）若a，b，m组成一个三位数，阅读下列材料，判断三位数能否被7整除．
割尾法：三位数割掉末位数字m得两位数，再用减去m的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除．
举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除．
【类比解决】尝试用“割尾法”判断455能否被7整除．
【推理验证】已知三位数．
②请用含a，b，m的代数式表示“割尾法”后所得的差；
③现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证，下面是思路分析．分析：要说明能被7整除，需把表示成7的倍数．已知（i）．因为是7的倍数，可设①中的代数式（k为整数）（ii）．只需把（ii）式变形代入（i）式即可．请根据上述分析写出推理过程．
11．（2024七上·潮州期中）国庆期间，某超市各个区域都有促销活动，晓琳一家去逛该超市，准备购买纸巾，根据以下素材，探索完成任务．
揭秘超市促销：送券和打折哪个更优惠
素材1 纸巾区域推出两种活动： 活动一：购物满100元送30元券，满200元送60元券，…，上不封顶，送的券当天有效，一次性用完． 活动二：所有商品打8折． 注：两种活动不能同时参加．
素材2 晓琳家用的两种纸巾信息（超市标价）．
素材3 晓琳家平均三天用1包清风牌纸巾，平均五天用1包4D溶纸巾；晓琳家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚．
问题解决
任务1 半年（按180天计算），试求出需要消耗清风牌纸巾多少袋？消耗4D溶纸巾多少箱？
任务2 按存半年的量计算，还需要购买2种纸巾，其中4D溶纸巾x箱，若选择活动二，则所需的总费用为______元（用含x的代数式表示）．
任务3 晓琳突然想起4D溶纸巾没有存货，按半年所需量，请探索送券和打折哪个更优惠？并写出探索过程．
12．（2024七上·惠来期中）【阅读中思考】设是不为0和1的有理数，我们把1与的倒数的差，即称为的倒数差，如：2的倒数差是，的倒数差是．
【探索中理解】
若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推．
（1）先写出计算，，的算式，在求出它们的值．
（2）求的值为____________．（直接写出答案）
【应用拓展】
设，，都是不为0和1的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次变换后得到数组，第2次变换后得数组，…，第次变换后得到数组．
（3）若数组确定为．
则的值为_____________．（直接写出答案）
13．（2024七上·香洲期中）【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作读作“的圈次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：______，______．
（2）关于除方，下列说法错误的是______．
A. 任何非零数的圈3次方都等于它的倒数；
B. ；
C. 对于任何正整数，；
D. 负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：
______；______．
（4）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是______．
（5）算一算：．
答案解析部分
1．【答案】解：任务：，
答：露营基地在家的西边处；
任务：（元），
答：炸鸡店到面包店所需费用元；
任务三：，
（元） ，
答：面包店到水果店用8折券，奶茶店到露营基地用折券，共用车费元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用
【解析】【分析】（）根据素材2中的数据，结合正负数的意义，以及有理数的加减运算法则，列出算式计算，即可求解；
（）根据素材3中 滴滴车价目表的规定，结合，炸鸡店到面包店的路程为5，累成算式，即可求得炸鸡店到面包店所用的车费，得到答案；
（）根据题意，得到面包店到水果店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，此时总车费最省，列出算式计算，即可求解；
2．【答案】（1）0；
（2）解：∵，∴a、b、c为两正一负，或a、b、c均为负，
当a、b、c中两正一负时，不妨设，，，
则；
当a、b、c均为负数时：；
综上：的值为1或；
（3）解：∵，且，∴，，不同号，且都不为0，，，，
∴，，为两正一负，
不妨设，，，则，
，
∴的值为．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，则a、b异号，不妨设，，
∴；
故答案为：0；
【分析】
本题主要考查了绝对值的意义，乘除运算的符号确定，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
（1）根据绝对值的性质，由，得出，结合代数式 ，即可求解；
（2）由，得到a、b、c为两正一负或a、b、c均为负，分两种情况讨论，分别代入代数式，进行计算，即可求解；
（3）由且，可得，，不同号，且都不为0，进而得到，，为两正一负，不妨设，，，代入代数式 ，进行计算，即可求解.
（1）解：∵，
∴，则a、b异号，不妨设，，
∴；
故答案为：0；
（2）解：∵，
∴a、b、c为两正一负，或a、b、c均为负，
当a、b、c中两正一负时，不妨设，，，
则；
当a、b、c均为负数时：；
综上：的值为1或；
（3）解：∵，且，
∴，，不同号，且都不为0，，，，
∴，，为两正一负，
不妨设，，，则，
，
∴的值为．
3．【答案】解：（1）
（2）①
②∵折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），
∴A、B两点距离中心点的距离为，
∵中心点是表示2的点，
∴A、B两点表示的数分别是，7；
③x的值为或8．
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的折叠（翻折）模型
【解析】【解答】解：（1）∵折叠纸面，使数字1表示的点与-1表示的点重合，可确定中心点是表示0的点，
∴4表示的点与-4表示的点重合，
故答案为：-4；
（2）①∵折叠纸面，使表示数6的点与表示数-2的点重合，可确定中心点是表示2的点，
∴表示数9的点与表示数-5的点重合；
故答案为：-5；
③当点P在点A的左侧时，
∵，
∴，
解得；
当点P在点A、B之间时，此时不成立，故不存在点P在点A、B之间的情形；
当点P在点A的右侧时，
∵，
∴，
解得，
综上，x的值为或8．
【分析】（1）根据折叠的性质对应点到中心点的距离相等，据此求出中心点，再求出对应的数即可；
（2）①根据折叠的性质对应点到中心点的距离相等，求出中心点是表示2的点，再根据对称求出即可；
②根据折叠的性质对应点到中心点的距离相等，求出中心点是表示2的点，求出A、B到表示2的点的距离是5，即可求出答案；
③根据点P在数轴上的位置，分类讨论：当点P在点A的左侧时，当点P在点A、B之间时，当点P在点A的右侧时，分别根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数差的绝对值表示出PA、PB，进而根据PA+PB=12列出方程，求解即可.
4．【答案】（1）①；②，．
（2）解：∵点A表示的数是a，点A移动2022个单位，
∴当点A向右移动时，A表示的数为a+2022；当点A向左移动时，A表示的数为a-2022，
∵此时点A表示的数和a互为相反数，
∴a+2022+a=0或a-2022+a=0，
解得：a=±1011.
答：a的值为±1011.
故答案为：±1011.
【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；数轴的折叠（翻折）模型
5．【答案】解：（1），
（2），，
（3）原式，
，
，
．
【知识点】乘方的相关概念；有理数的乘方法则；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】（1）解：（1），
，
，
，
故答案为：，；
（2）
，
，
，
，
，
故答案为：，，；
【分析】（1）根据新定义运算以及有理数的混合运算运算法则，用除法运算，直接计算求解，即可得出结果；
（2）根据新定义运算以及有理数的混合运算运算法则，用除法运算直接得出结果；
（3）根据的运算规定，按照有理数的运算法则、以及运算顺序，进行计算，即可得出结果．
6．【答案】（1）4；
（2）；
（3）解：原式
．
【知识点】有理数的乘方法则；有理数的除法法则；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
，．
故答案为：4，；
（2）①；
②．
故答案为：，；
【分析】（1）根据除方的定义逐项进行计算即可求出答案.
（2）根据除方的定义逐项进行计算即可求出答案.
（3）根据除方的定义及（2）中总结的规律化简，再根据有理数的运算法则即可求出答案.
7．【答案】（1）
（2），
（3）
（4）
原式
．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】（1）解：，同理，
故答案为：；
（2）解：，
同理；
（3）解：由（2）的规律可知，，
故答案为：；
【分析】（1）根据材料计算方法进行计算即可；
（2）仿照材料进行计算即可；
（3）根据（2）的规律写出一般式即可；
（4）结合（3）的规律进行计算即可．
8．【答案】解：（1）5；
（2）或1；
（3）3，1或2．
（4）不变，理由如下：
由题意知，秒钟时，运动后的点、、表示的数分别为，，，
∴，；
由题意知，，
∴的值不会随着时间的变化而改变，其值为4．
【知识点】整式的加减运算；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）由题意知，，故答案为：5；
（2）由题意知，或，
故答案为：或1；
（3），表示数轴上表示的点到数轴上表示和2的点之间的距离和，
∵，
∴当表示和2之间的点时，有最小值3，
∴此时正整数的值为1或2；
故答案为：3，1或2．
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离，得到，结合绝对值的定义，进行计算，即可求解；
（2）由题意知，得到或，计算求解即可；
（3）根据近距离的计算公式，得到数轴上表示的点到数轴上表示和2的点之间的距离和，结合，即可求解；
（4）由题意知，秒钟时，运动后的点、、表示的数分别为，，，得到；，由题意知，，然后作答，即可得到答案．
9．【答案】解：（1）当时，不符合题意；
当时，则，
解得：，
当时，，
解得：，
故答案为：或；
（2）代数式表示点与的距离与点与点距离的和，
故当在和之间时，最小，最小值为：；
故答案为：3；
（3）表示点与的距离与点与点距离的差，
当时，；
当时，
此时；
当时，；
综上所述：当时，代数式取最大值为；
故答案为：；
（4）点表示数是，点表示数是，点表示数是，
根据题意可得：
时，点表示数是，点表示数是，点表示数是，
由已知可知点始终在点右侧，故
而，
当的值是一个定值时，
则为定值，
当时，即时，
，
，解得，
此时定值为；
当时，即时，
，
，解得：，
此时定值为；
综上所述：的值是一个定值时，的值为．
【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；两个绝对值的和的最值；两个绝对值的差的最值；数轴的点常规运动模型
【解析】【分析】（1）根据绝对值的定义，分、和，分3种情况进行讨论求解，即可的得到答案；
（2）根据表示数轴上数到数之间的距离之和，得到当在和之间时，最小，为数轴上数到数的距离，即可求解；
（3）由表示点与的距离与点与点距离的差，然后分两种情况讨论，得到答案；
（4）由点表示数是，点表示数是，点表示数是，得到点表示数是，点表示数是，点表示数是，则，，根据已知条件分情况讨论，得到答案．
10．【答案】解：（1）C；
（2）①阴影部分的面积为；
②当，时，；
（3）；
（4）96；
（5）①对于三位数455，割掉末位数字5得45，，
因为35是7的倍数，
所以455能被7整除；
②三位数 可表示为：，割掉末位数字m得，
∴；
③（i）．
∵是7的倍数，设（k为整数）
∴（ii）．
把（ii）式变形代入（i）式，
得，
∴能被7整除．
【知识点】整式的加减运算；有理数的概念
【解析】【解答】解：基础设问：
（1）表示的是a与b的和的2倍，
故答案：C；
（3）∵c为最大的负整数，
∴，
由数轴知：，，
∴，，
∴
，
故答案为：；
（4）观察得：
第①个图形中一共有个正方形，
第②个图形中一共有个正方形，
第③个图形中一共有个正方形，
……
可以猜测：第n个图形中一共有个正方形，
当时，第⑧个图形中正方形的个数为个正方形，
故答案为：96；
【分析】（1）根据代数式的意义，2（a+b）为积的形式，即可得到答案；
（2）①用长方形的面积减去两个四分之一圆的面积求解即可；
②把a，b的值代入计算即可；
（3）先根据题意和数轴判断出c=﹣1，，，然后化简绝对值，最后根据整式的加减计算即可；
（4）观察图形可得规律，每个图形中可以分为3部分，第n个图形中上面部分为n2个小正方形，中间最长一排有（2n+1）个正方形，最下面一排有（2n－1）个正方形，相加即可得到图形的总和，据此求解；
（5）①根据“割尾法”的定义判断即可；
②根据题意即可得出，即可求解；
③设（k为整数），把表示为，即可证明．
11．【答案】任务1解：（包）（袋）
（包） （箱）
答：需要消耗清风牌纸巾5袋，消耗4D溶纸巾3箱．
任务2．
任务3
∵清风牌纸巾已有存货1袋，
∴半年所需量要再购进4袋清风牌纸巾和3箱4D溶纸巾．
参加活动一：返券情况
①满200元送60元券 （元）
还需支付（元）
实付（元）．
②满300元送90元券 （元）
，无需再支付， 实付300（元）．
参加活动二：当时，（元）．
所以，选择活动二更加优惠．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】任务2
清风纸巾，
4D纸巾，
元，
故答案为：．
【分析】（1）根据晓琳家每三天用一包清风纸巾，180天用60包，每包12袋，即可得出答案，同理即可求出4D溶纸多少箱．
（2）根据题意，需要清风纸巾，4D纸巾需要，然后根据活动二，计算得到 需要消耗清风牌纸和消耗4D溶纸巾的数量，即可得出答案．
（3）根据晓琳家的存货情况半年所需量要再购进4袋清风牌纸巾和3箱4D溶纸巾，再根据两种活动分别计算，然后比较，即可得出答案．
12．【答案】解：（1）；；．
（2）
（3）
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
【解析】 【解】（2）；；；
所以．
故答案为：．
（3）∵数组确定为，
∴第1次变换后，，，即第1次变换后得到数组，
第2次变换后，，，即第1次变换后得到数组；
第3次变换后，，，即第1次变换后得到数组；
同理可得：，，……
∴，
；
；
∴
．
【分析】（1）根据“倒数差”的定义，列式计算，得到的值，得到答案；
（2）先根据“倒数差”的定义，列式计算，，的值，然后利用有理数加法和减法的运算法则，计算求和，即可求解；
（3）先根据“倒数差”的定义，结合 数组确定为，利用有理数的混合运算法则，列式计算发现规律，然后运规律解答，即可得到答案．
13．【答案】(1)，9
(2) B
(3)，
(4)
（5）解：
．
【知识点】有理数的乘方法则；有理数的除法法则；有理数的乘除混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】（1）解：，．
故答案为：，9；
（2）解：A、，任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，所以选项A是正确，不符合题意；
B、由，则，即B选项错误，符合题意；
C、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，，所以选项B正确，不符合题意；
D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，其结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，其结果是正数，所以选项D正确，不符合题意．
故答案为：B．
（3）解：；．
故答案为：，；
（4）解：．
故答案为：；
【分析】（1）根据除方的计算方法先改写成除法算式，再根据有理数的除法法则将除法转化为乘法，最后根据有理数的乘法法则计算即可；
（2）根据除方的计算方法逐个判断即可；
（3）根据除方的计算方法先改写成除法算式，再根据除以一个不等于的数等于乘以这个数的倒数将除法转化为乘法，最后乘方的意义计算即可；
（4）按照除方的运算方法展开，再根据除以一个不等于的数等于乘以这个数的倒数将除法转化为乘法，最后乘方的意义计算即可；
（5）先利用（4）的结论进行除方变形，然后进行乘方运算，再算乘除，最后算加减即可解答．
1 / 1最新综合与实践题（1）—广东省（人教版）数学七（上）期末复习
一、实践探究题
1．（2024七上·新会月考）根据背景素材，探索解决问题．
周末小明打算去露营基地野餐
素材1 路线图：家→炸鸡店→面包店→水果店→奶茶店→露营基地；
素材2 这条路线近似看成东西走向.如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：km）如下：-3，+5，+2，-4，-1；
素材3 滴滴车价目表：起步价（不超过3km时）车费8元，超过3km时，每千米车费加价2元，消费满10元赠送一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能使用一次）．
问题解决
任务1 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离；
任务2 计算炸鸡店到面包店所用的车费；
任务3 该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，求最低总车费．
【答案】解：任务：，
答：露营基地在家的西边处；
任务：（元），
答：炸鸡店到面包店所需费用元；
任务三：，
（元） ，
答：面包店到水果店用8折券，奶茶店到露营基地用折券，共用车费元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用
【解析】【分析】（）根据素材2中的数据，结合正负数的意义，以及有理数的加减运算法则，列出算式计算，即可求解；
（）根据素材3中 滴滴车价目表的规定，结合，炸鸡店到面包店的路程为5，累成算式，即可求得炸鸡店到面包店所用的车费，得到答案；
（）根据题意，得到面包店到水果店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，此时总车费最省，列出算式计算，即可求解；
2．（2024七上·蓬江月考）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题
【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值．
【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①a，b，c都是正数，即，，时，则；
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则．
综上所述，值为3或．
【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）已知a，b是不为0的有理数，当时，则的值是__________；
（2）已知a，b，c是有理数，当时，求的值；
（3）已知a，b，c是有理数，，，求的值．
【答案】（1）0；
（2）解：∵，∴a、b、c为两正一负，或a、b、c均为负，
当a、b、c中两正一负时，不妨设，，，
则；
当a、b、c均为负数时：；
综上：的值为1或；
（3）解：∵，且，∴，，不同号，且都不为0，，，，
∴，，为两正一负，
不妨设，，，则，
，
∴的值为．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，则a、b异号，不妨设，，
∴；
故答案为：0；
【分析】
本题主要考查了绝对值的意义，乘除运算的符号确定，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
（1）根据绝对值的性质，由，得出，结合代数式 ，即可求解；
（2）由，得到a、b、c为两正一负或a、b、c均为负，分两种情况讨论，分别代入代数式，进行计算，即可求解；
（3）由且，可得，，不同号，且都不为0，进而得到，，为两正一负，不妨设，，，代入代数式 ，进行计算，即可求解.
（1）解：∵，
∴，则a、b异号，不妨设，，
∴；
故答案为：0；
（2）解：∵，
∴a、b、c为两正一负，或a、b、c均为负，
当a、b、c中两正一负时，不妨设，，，
则；
当a、b、c均为负数时：；
综上：的值为1或；
（3）解：∵，且，
∴，，不同号，且都不为0，，，，
∴，，为两正一负，
不妨设，，，则，
，
∴的值为．
3．（2024七上·香洲期中）在一张纸条上有一数轴（如图所示）．
【操作与尝试】（1）操作一：折叠纸条，使数轴上表示数1的点与表示数的点重合，则此时数轴上表示数4的点与数轴上表示数___________的点重合；
【探究与应用】（2）操作二：现打开这张条后，再次折叠纸条，使数轴上表示数6的点与表示数的点重合．回答下列问题：
①数轴上表示数9的点与数轴上表示数_______的点重合；
②若这样折叠纸条后，数轴上的点A和点B重合，且A、B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求点A、点B所表示的数分别是多少？
③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为．当点P到点A、点B的距离之和为12时，直接写出的值．
【答案】解：（1）
（2）①
②∵折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），
∴A、B两点距离中心点的距离为，
∵中心点是表示2的点，
∴A、B两点表示的数分别是，7；
③x的值为或8．
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的折叠（翻折）模型
【解析】【解答】解：（1）∵折叠纸面，使数字1表示的点与-1表示的点重合，可确定中心点是表示0的点，
∴4表示的点与-4表示的点重合，
故答案为：-4；
（2）①∵折叠纸面，使表示数6的点与表示数-2的点重合，可确定中心点是表示2的点，
∴表示数9的点与表示数-5的点重合；
故答案为：-5；
③当点P在点A的左侧时，
∵，
∴，
解得；
当点P在点A、B之间时，此时不成立，故不存在点P在点A、B之间的情形；
当点P在点A的右侧时，
∵，
∴，
解得，
综上，x的值为或8．
【分析】（1）根据折叠的性质对应点到中心点的距离相等，据此求出中心点，再求出对应的数即可；
（2）①根据折叠的性质对应点到中心点的距离相等，求出中心点是表示2的点，再根据对称求出即可；
②根据折叠的性质对应点到中心点的距离相等，求出中心点是表示2的点，求出A、B到表示2的点的距离是5，即可求出答案；
③根据点P在数轴上的位置，分类讨论：当点P在点A的左侧时，当点P在点A、B之间时，当点P在点A的右侧时，分别根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数差的绝对值表示出PA、PB，进而根据PA+PB=12列出方程，求解即可.
4．（2024七上·恩平期中）操作探究：
（1）折叠纸面，使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数_______表示的点熏合；
②若数轴上A、B两点之间距离为11（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是_____，点B表示的数是______．
（2）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动2022个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值．
【答案】（1）①；②，．
（2）解：∵点A表示的数是a，点A移动2022个单位，
∴当点A向右移动时，A表示的数为a+2022；当点A向左移动时，A表示的数为a-2022，
∵此时点A表示的数和a互为相反数，
∴a+2022+a=0或a-2022+a=0，
解得：a=±1011.
答：a的值为±1011.
故答案为：±1011.
【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；数轴的折叠（翻折）模型
5．（2024七上·南山期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等． 类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方．
【初步探究】（1）直接写出计算结果：_____，______．
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算．
【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式：
______，=_______，=______（其中，n为正整数）．
（3）请利用（2）中结论计算：
．
【答案】解：（1），
（2），，
（3）原式，
，
，
．
【知识点】乘方的相关概念；有理数的乘方法则；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】（1）解：（1），
，
，
，
故答案为：，；
（2）
，
，
，
，
，
故答案为：，，；
【分析】（1）根据新定义运算以及有理数的混合运算运算法则，用除法运算，直接计算求解，即可得出结果；
（2）根据新定义运算以及有理数的混合运算运算法则，用除法运算直接得出结果；
（3）根据的运算规定，按照有理数的运算法则、以及运算顺序，进行计算，即可得出结果．
6．（2024七上·深圳期中）【概念学习】
现规定：求若干个相同且都不等于0的有理数的商的运算叫做除方，例如：，类比有理数的乘方，我们把，写作：，读作“2的圈4次方”， ，写作：，读作“的圈3次方”，一般地把，写作：，读作“的圈次方”．
（1）【初步探究】
直接写出计算结果： ； ．
（2）【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：
① ；
② ；
（3）算一算：．
【答案】（1）4；
（2）；
（3）解：原式
．
【知识点】有理数的乘方法则；有理数的除法法则；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
，．
故答案为：4，；
（2）①；
②．
故答案为：，；
【分析】（1）根据除方的定义逐项进行计算即可求出答案.
（2）根据除方的定义逐项进行计算即可求出答案.
（3）根据除方的定义及（2）中总结的规律化简，再根据有理数的运算法则即可求出答案.
7．（2024七上·香洲期中）综合与探究
【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘法，
我们把写作，读作“2的圈3次方”，
写作，读作“的圈4次方”，
一般地，把写作，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：_______，_______．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算．那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
除方乘方（幂的形式）；
（2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算化成幂的形式：
；；
（3）总结：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式，即_______．
（4）算一算：．
【答案】（1）
（2），
（3）
（4）
原式
．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】（1）解：，同理，
故答案为：；
（2）解：，
同理；
（3）解：由（2）的规律可知，，
故答案为：；
【分析】（1）根据材料计算方法进行计算即可；
（2）仿照材料进行计算即可；
（3）根据（2）的规律写出一般式即可；
（4）结合（3）的规律进行计算即可．
8．（2024七上·南山期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点O的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．
【问题解决】
（1）在数轴上，A点表示的数是2，B点表示的数是，则点A 与点B 之间的距离____．
（2）如果点A 在数轴上表示的数为x，点B在数轴上表示的数为，点A 与点 B之间的距离AB为5，那么____．
（3）若，则d的最小值为____，此时正整数x的值为____．
【关联运用】
（4）点A、B、C是数轴上的三点，A点表示数是，B点表示数是1，C点表示数是7，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点 C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A 与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．
请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．
【答案】解：（1）5；
（2）或1；
（3）3，1或2．
（4）不变，理由如下：
由题意知，秒钟时，运动后的点、、表示的数分别为，，，
∴，；
由题意知，，
∴的值不会随着时间的变化而改变，其值为4．
【知识点】整式的加减运算；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）由题意知，，故答案为：5；
（2）由题意知，或，
故答案为：或1；
（3），表示数轴上表示的点到数轴上表示和2的点之间的距离和，
∵，
∴当表示和2之间的点时，有最小值3，
∴此时正整数的值为1或2；
故答案为：3，1或2．
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离，得到，结合绝对值的定义，进行计算，即可求解；
（2）由题意知，得到或，计算求解即可；
（3）根据近距离的计算公式，得到数轴上表示的点到数轴上表示和2的点之间的距离和，结合，即可求解；
（4）由题意知，秒钟时，运动后的点、、表示的数分别为，，，得到；，由题意知，，然后作答，即可得到答案．
9．（2024七上·金平期中）【问题背景】
我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点到原点O的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．在数轴上，点 A，B的位置如图1所示，．
【问题解决】
（1）已知，则x的值为________．
（2）代数式的最小值为________．
（3）代数式的最大值为________．
（4）运用四：如图2所示，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是6，点E，F，G开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为，若的值是一个定值，试确定m的值．
【答案】解：（1）当时，不符合题意；
当时，则，
解得：，
当时，，
解得：，
故答案为：或；
（2）代数式表示点与的距离与点与点距离的和，
故当在和之间时，最小，最小值为：；
故答案为：3；
（3）表示点与的距离与点与点距离的差，
当时，；
当时，
此时；
当时，；
综上所述：当时，代数式取最大值为；
故答案为：；
（4）点表示数是，点表示数是，点表示数是，
根据题意可得：
时，点表示数是，点表示数是，点表示数是，
由已知可知点始终在点右侧，故
而，
当的值是一个定值时，
则为定值，
当时，即时，
，
，解得，
此时定值为；
当时，即时，
，
，解得：，
此时定值为；
综上所述：的值是一个定值时，的值为．
【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；两个绝对值的和的最值；两个绝对值的差的最值；数轴的点常规运动模型
【解析】【分析】（1）根据绝对值的定义，分、和，分3种情况进行讨论求解，即可的得到答案；
（2）根据表示数轴上数到数之间的距离之和，得到当在和之间时，最小，为数轴上数到数的距离，即可求解；
（3）由表示点与的距离与点与点距离的差，然后分两种情况讨论，得到答案；
（4）由点表示数是，点表示数是，点表示数是，得到点表示数是，点表示数是，点表示数是，则，，根据已知条件分情况讨论，得到答案．
10．（2024七上·珠海期中）用一根绳子留成一个长，宽的长方形：
【基础设问】
（1）下列说法可以用表示的是_______．
A．a的2倍与b的和 B．a与b的2倍的和 C．a与b的和的2倍 D.2与a的乘积与b的和
（2）在围成的长方形中，分别以它的两个顶点为圆心，b为半径作两个不重叠的四分之一圆，如图1①用代数式表示阴影部分的面积S；
②当时，求阴影部分的面积．（结果保留π）
【能力设问】
（3）若有理数a，b在数轴上的位置如图2所示，且c为最大的负整数．化简：_______．
（4）若，则用绳子围成的是正方形，图3图形都是由同样大小的正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个正方形，第②个图形中一共有12个正方形，第③个图形中一共有21个正方形…按此规律排列，则第⑧个图形中正方形的个数为_______．
【拓展设问】
（5）若a，b，m组成一个三位数，阅读下列材料，判断三位数能否被7整除．
割尾法：三位数割掉末位数字m得两位数，再用减去m的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除．
举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除．
【类比解决】尝试用“割尾法”判断455能否被7整除．
【推理验证】已知三位数．
②请用含a，b，m的代数式表示“割尾法”后所得的差；
③现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证，下面是思路分析．分析：要说明能被7整除，需把表示成7的倍数．已知（i）．因为是7的倍数，可设①中的代数式（k为整数）（ii）．只需把（ii）式变形代入（i）式即可．请根据上述分析写出推理过程．
【答案】解：（1）C；
（2）①阴影部分的面积为；
②当，时，；
（3）；
（4）96；
（5）①对于三位数455，割掉末位数字5得45，，
因为35是7的倍数，
所以455能被7整除；
②三位数 可表示为：，割掉末位数字m得，
∴；
③（i）．
∵是7的倍数，设（k为整数）
∴（ii）．
把（ii）式变形代入（i）式，
得，
∴能被7整除．
【知识点】整式的加减运算；有理数的概念
【解析】【解答】解：基础设问：
（1）表示的是a与b的和的2倍，
故答案：C；
（3）∵c为最大的负整数，
∴，
由数轴知：，，
∴，，
∴
，
故答案为：；
（4）观察得：
第①个图形中一共有个正方形，
第②个图形中一共有个正方形，
第③个图形中一共有个正方形，
……
可以猜测：第n个图形中一共有个正方形，
当时，第⑧个图形中正方形的个数为个正方形，
故答案为：96；
【分析】（1）根据代数式的意义，2（a+b）为积的形式，即可得到答案；
（2）①用长方形的面积减去两个四分之一圆的面积求解即可；
②把a，b的值代入计算即可；
（3）先根据题意和数轴判断出c=﹣1，，，然后化简绝对值，最后根据整式的加减计算即可；
（4）观察图形可得规律，每个图形中可以分为3部分，第n个图形中上面部分为n2个小正方形，中间最长一排有（2n+1）个正方形，最下面一排有（2n－1）个正方形，相加即可得到图形的总和，据此求解；
（5）①根据“割尾法”的定义判断即可；
②根据题意即可得出，即可求解；
③设（k为整数），把表示为，即可证明．
11．（2024七上·潮州期中）国庆期间，某超市各个区域都有促销活动，晓琳一家去逛该超市，准备购买纸巾，根据以下素材，探索完成任务．
揭秘超市促销：送券和打折哪个更优惠
素材1 纸巾区域推出两种活动： 活动一：购物满100元送30元券，满200元送60元券，…，上不封顶，送的券当天有效，一次性用完． 活动二：所有商品打8折． 注：两种活动不能同时参加．
素材2 晓琳家用的两种纸巾信息（超市标价）．
素材3 晓琳家平均三天用1包清风牌纸巾，平均五天用1包4D溶纸巾；晓琳家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚．
问题解决
任务1 半年（按180天计算），试求出需要消耗清风牌纸巾多少袋？消耗4D溶纸巾多少箱？
任务2 按存半年的量计算，还需要购买2种纸巾，其中4D溶纸巾x箱，若选择活动二，则所需的总费用为______元（用含x的代数式表示）．
任务3 晓琳突然想起4D溶纸巾没有存货，按半年所需量，请探索送券和打折哪个更优惠？并写出探索过程．
【答案】任务1解：（包）（袋）
（包） （箱）
答：需要消耗清风牌纸巾5袋，消耗4D溶纸巾3箱．
任务2．
任务3
∵清风牌纸巾已有存货1袋，
∴半年所需量要再购进4袋清风牌纸巾和3箱4D溶纸巾．
参加活动一：返券情况
①满200元送60元券 （元）
还需支付（元）
实付（元）．
②满300元送90元券 （元）
，无需再支付， 实付300（元）．
参加活动二：当时，（元）．
所以，选择活动二更加优惠．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】任务2
清风纸巾，
4D纸巾，
元，
故答案为：．
【分析】（1）根据晓琳家每三天用一包清风纸巾，180天用60包，每包12袋，即可得出答案，同理即可求出4D溶纸多少箱．
（2）根据题意，需要清风纸巾，4D纸巾需要，然后根据活动二，计算得到 需要消耗清风牌纸和消耗4D溶纸巾的数量，即可得出答案．
（3）根据晓琳家的存货情况半年所需量要再购进4袋清风牌纸巾和3箱4D溶纸巾，再根据两种活动分别计算，然后比较，即可得出答案．
12．（2024七上·惠来期中）【阅读中思考】设是不为0和1的有理数，我们把1与的倒数的差，即称为的倒数差，如：2的倒数差是，的倒数差是．
【探索中理解】
若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推．
（1）先写出计算，，的算式，在求出它们的值．
（2）求的值为____________．（直接写出答案）
【应用拓展】
设，，都是不为0和1的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次变换后得到数组，第2次变换后得数组，…，第次变换后得到数组．
（3）若数组确定为．
则的值为_____________．（直接写出答案）
【答案】解：（1）；；．
（2）
（3）
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
【解析】 【解】（2）；；；
所以．
故答案为：．
（3）∵数组确定为，
∴第1次变换后，，，即第1次变换后得到数组，
第2次变换后，，，即第1次变换后得到数组；
第3次变换后，，，即第1次变换后得到数组；
同理可得：，，……
∴，
；
；
∴
．
【分析】（1）根据“倒数差”的定义，列式计算，得到的值，得到答案；
（2）先根据“倒数差”的定义，列式计算，，的值，然后利用有理数加法和减法的运算法则，计算求和，即可求解；
（3）先根据“倒数差”的定义，结合 数组确定为，利用有理数的混合运算法则，列式计算发现规律，然后运规律解答，即可得到答案．
13．（2024七上·香洲期中）【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作读作“的圈次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：______，______．
（2）关于除方，下列说法错误的是______．
A. 任何非零数的圈3次方都等于它的倒数；
B. ；
C. 对于任何正整数，；
D. 负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：
______；______．
（4）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是______．
（5）算一算：．
【答案】(1)，9
(2) B
(3)，
(4)
（5）解：
．
【知识点】有理数的乘方法则；有理数的除法法则；有理数的乘除混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】（1）解：，．
故答案为：，9；
（2）解：A、，任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，所以选项A是正确，不符合题意；
B、由，则，即B选项错误，符合题意；
C、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，，所以选项B正确，不符合题意；
D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，其结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，其结果是正数，所以选项D正确，不符合题意．
故答案为：B．
（3）解：；．
故答案为：，；
（4）解：．
故答案为：；
【分析】（1）根据除方的计算方法先改写成除法算式，再根据有理数的除法法则将除法转化为乘法，最后根据有理数的乘法法则计算即可；
（2）根据除方的计算方法逐个判断即可；
（3）根据除方的计算方法先改写成除法算式，再根据除以一个不等于的数等于乘以这个数的倒数将除法转化为乘法，最后乘方的意义计算即可；
（4）按照除方的运算方法展开，再根据除以一个不等于的数等于乘以这个数的倒数将除法转化为乘法，最后乘方的意义计算即可；
（5）先利用（4）的结论进行除方变形，然后进行乘方运算，再算乘除，最后算加减即可解答．
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