最新综合与实践题（2）—广东省（人教版）数学七（上）期末复习
阅卷人 一、代数式
得分
1．（2024七上·白云期中）小颖同学在学习整式的加减时遇到这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”这个问题中，和的值不能单独求出来，于是联明的小颖同学想到了把作为一个整体求解，得到如下的解题过程：原式．
整体思想是中学数学解题的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
【简单应用】
（1）已知，则的值为
【联系推广】
（2）已知，求的值；
【拓展提高】
（3）已知，，求的值．
【答案】解：（1），
；
（2），
；
（3），，
．
【知识点】整式的加减运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）将， 整体代入原式计算，即可得到答案；
（2）根据整式的运算法则，将原式整理并变形为，将，整体代入，进行计算，即可得到答案；
（3）根据整式的运算法则，将原式变形为，将已知条件整体代入计算，即可得到答案
2．（2024七上·深圳期中）七（1）班数学项目小组为解决小琴奶奶家储物问题，计划将闲置纸板箱制作成储物盒．
素材1 如图1，图中是小琴奶奶家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示．
素材2 如图是利用闲置纸板箱侧面拆解出的①，②两种宽均为cm（cm）长方形纸板，纸板的厚度忽略不计．
长方形纸板① 长方形纸板②
分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
目标1 熟悉材料 按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，则长方形纸板宽为 ▲ cm．
目标2 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究．
初步应用 ⑴按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出1cm宽度，求储物盒的容积．
储物收纳 ⑵按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，如图，是小琴奶奶家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请设计一个各个面均不大于600cm2的储物盒收纳这只玩具狗．
【答案】解：目标1： 40
目标2：
（1）因为四周留出1cm宽，
所以储物盒的长为：（cm），宽为：（cm），
高为：（cm）
所以储物盒的容积为：（cm3）
（2）设裁出的小长方形的宽为cm，长为cm，
则，所以
所以储物盒的长为：（cm），
宽为： cm，高为：cm
当时，储物盒的长为：，宽为
，不符合题意，舍去
当时，储物盒的长为：，宽为
，
当时，储物盒的长为：，宽为
答：可以利用纸板②裁去4个长为31.5cm，宽为13cm的小长方形，制作成长为37cm，宽为14cm，高为13cm的储物盒：或裁去4个长为32cm，宽为14cm的小长方形，制作成长为36cm，宽为12cm，高为14cm的储物盒，收纳这只玩具狗．
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式值的实际应用
【解析】【解答】目标1：储物区域的长为40，由于收纳盒可以完全放入储物区域，
则图1中的四角裁去小正方形的边长为（cm），
则收纳盒的宽2小正方形的边长（cm），
【分析】目标1：结合图形中的数据，列出算式求解即可；
目标2：（1）先求出储物盒的长和宽，再利用长方体容积的计算方法列出算式求解即可；
（2）设裁出的小长方形的宽为cm，长为cm，再求出储物盒的长为：cm，再将x=12，x=13和x=14分别代入50-x求解，再比较大小即可.
3．（2024七上·金平期中）综合与实践
如何设计装饰布，优化透光面积
素材1 小亮家进行装修，窗户的装饰布由两片不透光的四分之一圆组成（半径相同），如图1所示．已知长方形窗户的长为，宽为．
素材2 小亮想改变窗户的透光面积，他购买了4片形状为四分之一圆的装饰布，半径均为．
问题解决
任务1 分析数量关系 结合素材1，用含，的代数式表示窗户的透光面积为________（结果保留）
任务2 确定透光面积 结合素材1，当，时，求窗户的透光面积．（取14）
任务3 设计悬挂方案 结合素材2，请你帮小亮设计一种悬挂装饰布的方案，要求：①四片装饰布都要使用，且保持形状不变；②每片装饰布必须全部挂在窗户顶部；③装饰布不可以出现重叠；④设计图要呈现对称美．画出示意图，并算出设计方案中窗户透光的面积．（取）
【答案】解：任务1，∵长方形窗户的长为，宽为，两个四分之圆的半径为，窗户透光面积；
故答案为：；
任务2：当，时，，窗户透光面积；
任务3：设计示意图如下图所示：
此时窗户透光面积.
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减，以及求代数式的求值问题，由任务1：根据窗户透光面积为“长方形的面积两个四分之一圆的面积”列出代数式；由任务2：当，代入任务一中的代数式进行计算；由任务3：根据设计的示意图，可得“窗户透光面积长方形的面积四个四分之一圆的面积”列出代数式，即可求解．
4．（2024七上·潮州期中）国庆期间，某超市各个区域都有促销活动，晓琳一家去逛该超市，准备购买纸巾，根据以下素材，探索完成任务．
揭秘超市促销：送券和打折哪个更优惠
素材1 纸巾区域推出两种活动： 活动一：购物满100元送30元券，满200元送60元券，…，上不封顶，送的券当天有效，一次性用完． 活动二：所有商品打8折． 注：两种活动不能同时参加．
素材2 晓琳家用的两种纸巾信息（超市标价）．
素材3 晓琳家平均三天用1包清风牌纸巾，平均五天用1包4D溶纸巾；晓琳家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚．
问题解决
任务1 半年（按180天计算），试求出需要消耗清风牌纸巾多少袋？消耗4D溶纸巾多少箱？
任务2 按存半年的量计算，还需要购买2种纸巾，其中4D溶纸巾x箱，若选择活动二，则所需的总费用为______元（用含x的代数式表示）．
任务3 晓琳突然想起4D溶纸巾没有存货，按半年所需量，请探索送券和打折哪个更优惠？并写出探索过程．
【答案】任务1解：（包）（袋）
（包） （箱）
答：需要消耗清风牌纸巾5袋，消耗4D溶纸巾3箱．
任务2．
任务3
∵清风牌纸巾已有存货1袋，
∴半年所需量要再购进4袋清风牌纸巾和3箱4D溶纸巾．
参加活动一：返券情况
①满200元送60元券 （元）
还需支付（元）
实付（元）．
②满300元送90元券 （元）
，无需再支付， 实付300（元）．
参加活动二：当时，（元）．
所以，选择活动二更加优惠．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】任务2
清风纸巾，
4D纸巾，
元，
故答案为：．
【分析】（1）根据晓琳家每三天用一包清风纸巾，180天用60包，每包12袋，即可得出答案，同理即可求出4D溶纸多少箱．
（2）根据题意，需要清风纸巾，4D纸巾需要，然后根据活动二，计算得到 需要消耗清风牌纸和消耗4D溶纸巾的数量，即可得出答案．
（3）根据晓琳家的存货情况半年所需量要再购进4袋清风牌纸巾和3箱4D溶纸巾，再根据两种活动分别计算，然后比较，即可得出答案．
5．（2024七上·福田期中）【实际问题】
某商场在双十一期间为了鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
【问题建模】
从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？
【模型探究】
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法．从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
所取的2个整数 1，2 1，3 2，3
2个整数之和 3 4 5
如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
（1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果．
（3）归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有 种不同的结果．
【问题解决】
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有 种不同的优惠金额．
【问题拓展】
从3，4，5，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，使得取出的这些整数之和共有121种不同的结果，求n的值．（写出解答过程）
【答案】解： 【模型探究】 （1）7
（2）
（3）
【问题解决】 476
【问题拓展】 从3，4，5，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，
则这5个整数之和的最小值为：，
最大值为，
则这5个整数之和共有不同结果的种数为：种，
∴，
解得：．
【知识点】探索数与式的规律；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解： 【模型探究】
（1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，
则这2个整数之和最小值为：，最大值为：，
则这2个整数之和共有种不同情况，
故答案为：7；
（2）从1，2，3，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，
则这3个整数之和最小值为：，最大值为：，
则这3个整数之和共有不同结果的种数为：种，
故答案为：；
（3）归纳总结：从1，2，3，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，
则这5个整数之和的最小值为：，
最大值为，
则这5个整数之和共有不同结果的种数为：种，
故答案为：.
【问题解决】 从100张面值分别为1元、2元、3元、……、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，
则这5张奖券的和的最小值为：（元），
最大值为：（元），
则这5张奖券的和共有不同优惠金额的种数为：（种）.
【分析】 【模型探究】 （1）用2个数和的最大值减去2个数和的最小值再加1即可；
（2）用3个数和的最大值减去3个数和的最小值再加1即可；
（3）用5个数和的最大值减去5个数和的最小值再加1即可；
【问题解决】用5张奖券和的最大值减去5张奖券和的最小值再加1即可；
【问题拓展】 用5个数和的最大值减去5个数和的最小值再加1即可.
6．（2024七上·珠海期中）用一根绳子留成一个长，宽的长方形：
【基础设问】
（1）下列说法可以用表示的是_______．
A．a的2倍与b的和 B．a与b的2倍的和 C．a与b的和的2倍 D.2与a的乘积与b的和
（2）在围成的长方形中，分别以它的两个顶点为圆心，b为半径作两个不重叠的四分之一圆，如图1①用代数式表示阴影部分的面积S；
②当时，求阴影部分的面积．（结果保留π）
【能力设问】
（3）若有理数a，b在数轴上的位置如图2所示，且c为最大的负整数．化简：_______．
（4）若，则用绳子围成的是正方形，图3图形都是由同样大小的正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个正方形，第②个图形中一共有12个正方形，第③个图形中一共有21个正方形…按此规律排列，则第⑧个图形中正方形的个数为_______．
【拓展设问】
（5）若a，b，m组成一个三位数，阅读下列材料，判断三位数能否被7整除．
割尾法：三位数割掉末位数字m得两位数，再用减去m的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除．
举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除．
【类比解决】尝试用“割尾法”判断455能否被7整除．
【推理验证】已知三位数．
②请用含a，b，m的代数式表示“割尾法”后所得的差；
③现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证，下面是思路分析．分析：要说明能被7整除，需把表示成7的倍数．已知（i）．因为是7的倍数，可设①中的代数式（k为整数）（ii）．只需把（ii）式变形代入（i）式即可．请根据上述分析写出推理过程．
【答案】解：（1）C；
（2）①阴影部分的面积为；
②当，时，；
（3）；
（4）96；
（5）①对于三位数455，割掉末位数字5得45，，
因为35是7的倍数，
所以455能被7整除；
②三位数 可表示为：，割掉末位数字m得，
∴；
③（i）．
∵是7的倍数，设（k为整数）
∴（ii）．
把（ii）式变形代入（i）式，
得，
∴能被7整除．
【知识点】整式的加减运算；有理数的概念
【解析】【解答】解：基础设问：
（1）表示的是a与b的和的2倍，
故答案：C；
（3）∵c为最大的负整数，
∴，
由数轴知：，，
∴，，
∴
，
故答案为：；
（4）观察得：
第①个图形中一共有个正方形，
第②个图形中一共有个正方形，
第③个图形中一共有个正方形，
……
可以猜测：第n个图形中一共有个正方形，
当时，第⑧个图形中正方形的个数为个正方形，
故答案为：96；
【分析】（1）根据代数式的意义，2（a+b）为积的形式，即可得到答案；
（2）①用长方形的面积减去两个四分之一圆的面积求解即可；
②把a，b的值代入计算即可；
（3）先根据题意和数轴判断出c=﹣1，，，然后化简绝对值，最后根据整式的加减计算即可；
（4）观察图形可得规律，每个图形中可以分为3部分，第n个图形中上面部分为n2个小正方形，中间最长一排有（2n+1）个正方形，最下面一排有（2n－1）个正方形，相加即可得到图形的总和，据此求解；
（5）①根据“割尾法”的定义判断即可；
②根据题意即可得出，即可求解；
③设（k为整数），把表示为，即可证明．
阅卷人 二、几何初步
得分
7．（2024七上·深圳期中）【项目式学习】：根据素材，探索完成任务．
材料一：简单多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形，如下图的几何体都是简单多面体. 简单多面体顶点数(V)面数(F)棱数(E)四面体446长方体8612正八面体6812正十二面体201230
材料二：18世纪瑞士数学家欧拉发现简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式：V+F-2=E，这一关系式被称为欧拉公式.
任务一：一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是 ▲ ；
任务二：某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和六边形两种多边形拼接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体表面三角形的个数为m个，六边形的个数为n个，求m+n的值；
任务三：在任务二的条件下，已知m+2q=17，求代数式的值.
【答案】解：任务一： 12；
任务二：根据题意得，顶点数为18，面数为m＋n，棱数为，
∴18＋m＋n 2＝，
整理得：m＋n＝20；
任务三：∵m＋n＝20，
∴m＝20 n，
∵m＋2q＝17，
∴20 n＋2q＝17，
∴n 2q＝3，
原式＝[2（n 2q）]2
＝（2×3）2
＝36 1
＝35．
【知识点】立体图形的初步认识；棱柱及其特点；长方体的顶点、棱、面的特点
【解析】【解答】解：任务一：根据题意得：V＋V＋8 2＝30，
解得：V＝12，
∴这多面体的顶点数是12，
故答案为：12；
【分析】任务一：根据题干中的定义及公式直接列出算式求解即可；
任务二：根据题干中的定义及公式列出等式18＋m＋n 2＝，再求出m＋n＝20即可；
任务三：先求出n 2q＝3，再将其代入计算即可.
8．（2024七上·高明期中）小红在学习了《从立体图形到平面图形》后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．她在家用剪刀剪开了一个如图3的长方体纸盒，可是她一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了如图1、图2所示两部分．请你根据所学的知识，回答以下问题：
【观察判断】（1）小红共剪开了________条棱；
【动手操作】（2）现在小红想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小红在图1中补全图形；
【解决问题】（3）小花的生日即将到来，小红给小花准备了两份礼物，分别放进了2个图3这样的长方体纸盒．现在小红打算用一张包装纸把两个长方体纸盒包装在一起作为一个大礼物送给小花，请你帮小红计算出所用的包装纸材料最小是多少？
【答案】[观察判断]：8；
[动手操作]：如图，有四种情况：
[解决问题]：因为长方体的高为，宽为，长为，
所以装个这样的长方体纸盒，应该尽量使得的面重叠在一起，包装纸所用材料就尽可能少，侧面积分别为：
（），
（）
（）
纸箱的表面积为：（）．
【知识点】已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【解答】解：[观察判断]： 小明总共剪开了条棱；
故答案为：；
【分析】[观察判断]：根据平面图形得出剪开棱的条数；
[动手操作]：根据长方体的展开图可知有四种不同情况；
[解决问题]：根据 图3 这样的长方体纸盒可知尽量使得的面重叠在一起放置所用材料最少解题解即可．
9．（2024七上·深圳期中） 某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动.
（1） 【知识准备】
如图①~⑥图形中，是正方体的表面展开图的有 (只填写序号).
（2）【制作纸盒】
综合实践小组利用边长为20cm的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子. 如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为3cm的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子.如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为3cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子. 则制作成的有盖盒子的体积是无盖盒子体积的 .
（3）【拓展探究】
若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为2.5，2，1.5，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形.
①请直接写出你剪开 条棱；
②当该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小时，求此时该长方体形盒子表面展开图的外围的最小周长 .
【答案】（1）①⑤⑥
（2）
（3）4；26
【知识点】几何体的展开图；正方体的几种展开图的识别；已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【解答】解：（1）①符合正方体表面展开图的“2 3 1型”特征，因此①是正方体的表面展开图；
②正方体有6个面，但图中却有7个正方形，因此②不是正方体的表面展开图；
③正方体的表面展开图缺失上底面或下底面，侧面有一个面重合，因此③不是正方体的表面展开图；
④正方体有6个面，但图中却有7个正方形，因此④不是正方体的表面展开图；
⑤符合正方体表面展开图的“3 3型”特征，因此⑤是正方体的表面展开图；
⑥符合正方体表面展开图的“2 2 2型”特征，因此⑥是正方体的表面展开图；
综上所述，是正方体表面展开图的是①⑤⑥，
故答案为：①⑤⑥；
（2）根据题意可知，无盖盒子的底面长为20 3×2＝14（cm），宽为20 3×2＝14（cm），高为3cm，
所以无盖盒子的体积为：（20 3×2）×（20 3×2）×3＝588（cm3），
有盖盒子的长：20 3×2＝14（cm），宽为：20÷2 3＝7（cm），高为：3cm，
因此有盖盒子的体积为：14×7×3＝294（cm3），
∴制作成的有盖盒子的体积是无盖盒子体积的，
故答案为：；
（3）①要沿表面某些棱剪开，展成一个平面图形，只需要剪一条侧棱和下底的三条棱即可展开，
即1＋3＝4（条）
故答案为：4；
②设长方体长为a，宽为b，高为c，则长方体形盒子展开图的周长C＝（2a＋2c＋b＋2c）×2＝4a＋8c＋2b，
想要周长最大，只需要c最大，b最小，此时a＝2.5，b＝2，c＝1.5，
则C＝4a＋8c＋2b＝4×2.5＋8×1.5＋2×2＝26，
∴该长方体形盒子表面展开图的外围的最大周长26．
故答案为：4；26.
【分析】（1）利用正方体展开图的特征分析求解即可；
（2）先分别求出有盖和无盖的长方体的体积，再计算即可；
（3）①根据实际情况和正方体展开的特征分析求解即可；
②利用长方体周长公式的计算方法列出算式求解即可.
10．（2024七上·南山期中）【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．
【知识准备】
（1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号）
【实践探索】
（2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）
①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______（用含a，b的式子表示）；
②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为_____．
【实践分析】
（3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为，（它缺一个长为，宽为的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值．
【答案】解：（1）②不能折成一个无盖正方体纸盒，①③④能折成一个无盖正方体纸盒，故答案为：②；
解：（2）①由题意可知，长方体纸盒的底面为正方形，其边长为，
∴长方体纸盒的底面周长为，
故答案为：；
②由题意可知，该长方体纸盒的长为，高为，宽为，
∴该长方体纸盒的体积为，
故答案为：1000；
解：（3）由题意知：边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，如图，
所以该长方体表面展开图的最大外围周长为．
【知识点】几何体的展开图；正方体的几种展开图的识别；已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【分析】（1）根据无盖正方体纸盒展开图的面数和构成，结合题设中的数据，进行计算，即可求解；
（2）①根据正方形周长公式，结合无盖正方体纸盒展开图，即可得解；
②根据题意，结合长方体的体积公式，进行计算，即可得解；
（3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边画图，再据此求解即可．
1 / 1最新综合与实践题（2）—广东省（人教版）数学七（上）期末复习
阅卷人 一、代数式
得分
1．（2024七上·白云期中）小颖同学在学习整式的加减时遇到这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”这个问题中，和的值不能单独求出来，于是联明的小颖同学想到了把作为一个整体求解，得到如下的解题过程：原式．
整体思想是中学数学解题的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
【简单应用】
（1）已知，则的值为
【联系推广】
（2）已知，求的值；
【拓展提高】
（3）已知，，求的值．
2．（2024七上·深圳期中）七（1）班数学项目小组为解决小琴奶奶家储物问题，计划将闲置纸板箱制作成储物盒．
素材1 如图1，图中是小琴奶奶家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示．
素材2 如图是利用闲置纸板箱侧面拆解出的①，②两种宽均为cm（cm）长方形纸板，纸板的厚度忽略不计．
长方形纸板① 长方形纸板②
分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
目标1 熟悉材料 按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，则长方形纸板宽为 ▲ cm．
目标2 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究．
初步应用 ⑴按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出1cm宽度，求储物盒的容积．
储物收纳 ⑵按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，如图，是小琴奶奶家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请设计一个各个面均不大于600cm2的储物盒收纳这只玩具狗．
3．（2024七上·金平期中）综合与实践
如何设计装饰布，优化透光面积
素材1 小亮家进行装修，窗户的装饰布由两片不透光的四分之一圆组成（半径相同），如图1所示．已知长方形窗户的长为，宽为．
素材2 小亮想改变窗户的透光面积，他购买了4片形状为四分之一圆的装饰布，半径均为．
问题解决
任务1 分析数量关系 结合素材1，用含，的代数式表示窗户的透光面积为________（结果保留）
任务2 确定透光面积 结合素材1，当，时，求窗户的透光面积．（取14）
任务3 设计悬挂方案 结合素材2，请你帮小亮设计一种悬挂装饰布的方案，要求：①四片装饰布都要使用，且保持形状不变；②每片装饰布必须全部挂在窗户顶部；③装饰布不可以出现重叠；④设计图要呈现对称美．画出示意图，并算出设计方案中窗户透光的面积．（取）
4．（2024七上·潮州期中）国庆期间，某超市各个区域都有促销活动，晓琳一家去逛该超市，准备购买纸巾，根据以下素材，探索完成任务．
揭秘超市促销：送券和打折哪个更优惠
素材1 纸巾区域推出两种活动： 活动一：购物满100元送30元券，满200元送60元券，…，上不封顶，送的券当天有效，一次性用完． 活动二：所有商品打8折． 注：两种活动不能同时参加．
素材2 晓琳家用的两种纸巾信息（超市标价）．
素材3 晓琳家平均三天用1包清风牌纸巾，平均五天用1包4D溶纸巾；晓琳家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚．
问题解决
任务1 半年（按180天计算），试求出需要消耗清风牌纸巾多少袋？消耗4D溶纸巾多少箱？
任务2 按存半年的量计算，还需要购买2种纸巾，其中4D溶纸巾x箱，若选择活动二，则所需的总费用为______元（用含x的代数式表示）．
任务3 晓琳突然想起4D溶纸巾没有存货，按半年所需量，请探索送券和打折哪个更优惠？并写出探索过程．
5．（2024七上·福田期中）【实际问题】
某商场在双十一期间为了鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
【问题建模】
从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？
【模型探究】
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法．从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
所取的2个整数 1，2 1，3 2，3
2个整数之和 3 4 5
如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
（1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果．
（3）归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有 种不同的结果．
【问题解决】
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有 种不同的优惠金额．
【问题拓展】
从3，4，5，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，使得取出的这些整数之和共有121种不同的结果，求n的值．（写出解答过程）
6．（2024七上·珠海期中）用一根绳子留成一个长，宽的长方形：
【基础设问】
（1）下列说法可以用表示的是_______．
A．a的2倍与b的和 B．a与b的2倍的和 C．a与b的和的2倍 D.2与a的乘积与b的和
（2）在围成的长方形中，分别以它的两个顶点为圆心，b为半径作两个不重叠的四分之一圆，如图1①用代数式表示阴影部分的面积S；
②当时，求阴影部分的面积．（结果保留π）
【能力设问】
（3）若有理数a，b在数轴上的位置如图2所示，且c为最大的负整数．化简：_______．
（4）若，则用绳子围成的是正方形，图3图形都是由同样大小的正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个正方形，第②个图形中一共有12个正方形，第③个图形中一共有21个正方形…按此规律排列，则第⑧个图形中正方形的个数为_______．
【拓展设问】
（5）若a，b，m组成一个三位数，阅读下列材料，判断三位数能否被7整除．
割尾法：三位数割掉末位数字m得两位数，再用减去m的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除．
举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除．
【类比解决】尝试用“割尾法”判断455能否被7整除．
【推理验证】已知三位数．
②请用含a，b，m的代数式表示“割尾法”后所得的差；
③现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证，下面是思路分析．分析：要说明能被7整除，需把表示成7的倍数．已知（i）．因为是7的倍数，可设①中的代数式（k为整数）（ii）．只需把（ii）式变形代入（i）式即可．请根据上述分析写出推理过程．
阅卷人 二、几何初步
得分
7．（2024七上·深圳期中）【项目式学习】：根据素材，探索完成任务．
材料一：简单多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形，如下图的几何体都是简单多面体. 简单多面体顶点数(V)面数(F)棱数(E)四面体446长方体8612正八面体6812正十二面体201230
材料二：18世纪瑞士数学家欧拉发现简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式：V+F-2=E，这一关系式被称为欧拉公式.
任务一：一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是 ▲ ；
任务二：某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和六边形两种多边形拼接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体表面三角形的个数为m个，六边形的个数为n个，求m+n的值；
任务三：在任务二的条件下，已知m+2q=17，求代数式的值.
8．（2024七上·高明期中）小红在学习了《从立体图形到平面图形》后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．她在家用剪刀剪开了一个如图3的长方体纸盒，可是她一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了如图1、图2所示两部分．请你根据所学的知识，回答以下问题：
【观察判断】（1）小红共剪开了________条棱；
【动手操作】（2）现在小红想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小红在图1中补全图形；
【解决问题】（3）小花的生日即将到来，小红给小花准备了两份礼物，分别放进了2个图3这样的长方体纸盒．现在小红打算用一张包装纸把两个长方体纸盒包装在一起作为一个大礼物送给小花，请你帮小红计算出所用的包装纸材料最小是多少？
9．（2024七上·深圳期中） 某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动.
（1） 【知识准备】
如图①~⑥图形中，是正方体的表面展开图的有 (只填写序号).
（2）【制作纸盒】
综合实践小组利用边长为20cm的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子. 如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为3cm的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子.如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为3cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子. 则制作成的有盖盒子的体积是无盖盒子体积的 .
（3）【拓展探究】
若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为2.5，2，1.5，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形.
①请直接写出你剪开 条棱；
②当该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小时，求此时该长方体形盒子表面展开图的外围的最小周长 .
10．（2024七上·南山期中）【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．
【知识准备】
（1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号）
【实践探索】
（2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）
①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______（用含a，b的式子表示）；
②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为_____．
【实践分析】
（3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为，（它缺一个长为，宽为的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值．
答案解析部分
1．【答案】解：（1），
；
（2），
；
（3），，
．
【知识点】整式的加减运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）将， 整体代入原式计算，即可得到答案；
（2）根据整式的运算法则，将原式整理并变形为，将，整体代入，进行计算，即可得到答案；
（3）根据整式的运算法则，将原式变形为，将已知条件整体代入计算，即可得到答案
2．【答案】解：目标1： 40
目标2：
（1）因为四周留出1cm宽，
所以储物盒的长为：（cm），宽为：（cm），
高为：（cm）
所以储物盒的容积为：（cm3）
（2）设裁出的小长方形的宽为cm，长为cm，
则，所以
所以储物盒的长为：（cm），
宽为： cm，高为：cm
当时，储物盒的长为：，宽为
，不符合题意，舍去
当时，储物盒的长为：，宽为
，
当时，储物盒的长为：，宽为
答：可以利用纸板②裁去4个长为31.5cm，宽为13cm的小长方形，制作成长为37cm，宽为14cm，高为13cm的储物盒：或裁去4个长为32cm，宽为14cm的小长方形，制作成长为36cm，宽为12cm，高为14cm的储物盒，收纳这只玩具狗．
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式值的实际应用
【解析】【解答】目标1：储物区域的长为40，由于收纳盒可以完全放入储物区域，
则图1中的四角裁去小正方形的边长为（cm），
则收纳盒的宽2小正方形的边长（cm），
【分析】目标1：结合图形中的数据，列出算式求解即可；
目标2：（1）先求出储物盒的长和宽，再利用长方体容积的计算方法列出算式求解即可；
（2）设裁出的小长方形的宽为cm，长为cm，再求出储物盒的长为：cm，再将x=12，x=13和x=14分别代入50-x求解，再比较大小即可.
3．【答案】解：任务1，∵长方形窗户的长为，宽为，两个四分之圆的半径为，窗户透光面积；
故答案为：；
任务2：当，时，，窗户透光面积；
任务3：设计示意图如下图所示：
此时窗户透光面积.
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减，以及求代数式的求值问题，由任务1：根据窗户透光面积为“长方形的面积两个四分之一圆的面积”列出代数式；由任务2：当，代入任务一中的代数式进行计算；由任务3：根据设计的示意图，可得“窗户透光面积长方形的面积四个四分之一圆的面积”列出代数式，即可求解．
4．【答案】任务1解：（包）（袋）
（包） （箱）
答：需要消耗清风牌纸巾5袋，消耗4D溶纸巾3箱．
任务2．
任务3
∵清风牌纸巾已有存货1袋，
∴半年所需量要再购进4袋清风牌纸巾和3箱4D溶纸巾．
参加活动一：返券情况
①满200元送60元券 （元）
还需支付（元）
实付（元）．
②满300元送90元券 （元）
，无需再支付， 实付300（元）．
参加活动二：当时，（元）．
所以，选择活动二更加优惠．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】任务2
清风纸巾，
4D纸巾，
元，
故答案为：．
【分析】（1）根据晓琳家每三天用一包清风纸巾，180天用60包，每包12袋，即可得出答案，同理即可求出4D溶纸多少箱．
（2）根据题意，需要清风纸巾，4D纸巾需要，然后根据活动二，计算得到 需要消耗清风牌纸和消耗4D溶纸巾的数量，即可得出答案．
（3）根据晓琳家的存货情况半年所需量要再购进4袋清风牌纸巾和3箱4D溶纸巾，再根据两种活动分别计算，然后比较，即可得出答案．
5．【答案】解： 【模型探究】 （1）7
（2）
（3）
【问题解决】 476
【问题拓展】 从3，4，5，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，
则这5个整数之和的最小值为：，
最大值为，
则这5个整数之和共有不同结果的种数为：种，
∴，
解得：．
【知识点】探索数与式的规律；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解： 【模型探究】
（1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，
则这2个整数之和最小值为：，最大值为：，
则这2个整数之和共有种不同情况，
故答案为：7；
（2）从1，2，3，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，
则这3个整数之和最小值为：，最大值为：，
则这3个整数之和共有不同结果的种数为：种，
故答案为：；
（3）归纳总结：从1，2，3，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，
则这5个整数之和的最小值为：，
最大值为，
则这5个整数之和共有不同结果的种数为：种，
故答案为：.
【问题解决】 从100张面值分别为1元、2元、3元、……、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，
则这5张奖券的和的最小值为：（元），
最大值为：（元），
则这5张奖券的和共有不同优惠金额的种数为：（种）.
【分析】 【模型探究】 （1）用2个数和的最大值减去2个数和的最小值再加1即可；
（2）用3个数和的最大值减去3个数和的最小值再加1即可；
（3）用5个数和的最大值减去5个数和的最小值再加1即可；
【问题解决】用5张奖券和的最大值减去5张奖券和的最小值再加1即可；
【问题拓展】 用5个数和的最大值减去5个数和的最小值再加1即可.
6．【答案】解：（1）C；
（2）①阴影部分的面积为；
②当，时，；
（3）；
（4）96；
（5）①对于三位数455，割掉末位数字5得45，，
因为35是7的倍数，
所以455能被7整除；
②三位数 可表示为：，割掉末位数字m得，
∴；
③（i）．
∵是7的倍数，设（k为整数）
∴（ii）．
把（ii）式变形代入（i）式，
得，
∴能被7整除．
【知识点】整式的加减运算；有理数的概念
【解析】【解答】解：基础设问：
（1）表示的是a与b的和的2倍，
故答案：C；
（3）∵c为最大的负整数，
∴，
由数轴知：，，
∴，，
∴
，
故答案为：；
（4）观察得：
第①个图形中一共有个正方形，
第②个图形中一共有个正方形，
第③个图形中一共有个正方形，
……
可以猜测：第n个图形中一共有个正方形，
当时，第⑧个图形中正方形的个数为个正方形，
故答案为：96；
【分析】（1）根据代数式的意义，2（a+b）为积的形式，即可得到答案；
（2）①用长方形的面积减去两个四分之一圆的面积求解即可；
②把a，b的值代入计算即可；
（3）先根据题意和数轴判断出c=﹣1，，，然后化简绝对值，最后根据整式的加减计算即可；
（4）观察图形可得规律，每个图形中可以分为3部分，第n个图形中上面部分为n2个小正方形，中间最长一排有（2n+1）个正方形，最下面一排有（2n－1）个正方形，相加即可得到图形的总和，据此求解；
（5）①根据“割尾法”的定义判断即可；
②根据题意即可得出，即可求解；
③设（k为整数），把表示为，即可证明．
7．【答案】解：任务一： 12；
任务二：根据题意得，顶点数为18，面数为m＋n，棱数为，
∴18＋m＋n 2＝，
整理得：m＋n＝20；
任务三：∵m＋n＝20，
∴m＝20 n，
∵m＋2q＝17，
∴20 n＋2q＝17，
∴n 2q＝3，
原式＝[2（n 2q）]2
＝（2×3）2
＝36 1
＝35．
【知识点】立体图形的初步认识；棱柱及其特点；长方体的顶点、棱、面的特点
【解析】【解答】解：任务一：根据题意得：V＋V＋8 2＝30，
解得：V＝12，
∴这多面体的顶点数是12，
故答案为：12；
【分析】任务一：根据题干中的定义及公式直接列出算式求解即可；
任务二：根据题干中的定义及公式列出等式18＋m＋n 2＝，再求出m＋n＝20即可；
任务三：先求出n 2q＝3，再将其代入计算即可.
8．【答案】[观察判断]：8；
[动手操作]：如图，有四种情况：
[解决问题]：因为长方体的高为，宽为，长为，
所以装个这样的长方体纸盒，应该尽量使得的面重叠在一起，包装纸所用材料就尽可能少，侧面积分别为：
（），
（）
（）
纸箱的表面积为：（）．
【知识点】已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【解答】解：[观察判断]： 小明总共剪开了条棱；
故答案为：；
【分析】[观察判断]：根据平面图形得出剪开棱的条数；
[动手操作]：根据长方体的展开图可知有四种不同情况；
[解决问题]：根据 图3 这样的长方体纸盒可知尽量使得的面重叠在一起放置所用材料最少解题解即可．
9．【答案】（1）①⑤⑥
（2）
（3）4；26
【知识点】几何体的展开图；正方体的几种展开图的识别；已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【解答】解：（1）①符合正方体表面展开图的“2 3 1型”特征，因此①是正方体的表面展开图；
②正方体有6个面，但图中却有7个正方形，因此②不是正方体的表面展开图；
③正方体的表面展开图缺失上底面或下底面，侧面有一个面重合，因此③不是正方体的表面展开图；
④正方体有6个面，但图中却有7个正方形，因此④不是正方体的表面展开图；
⑤符合正方体表面展开图的“3 3型”特征，因此⑤是正方体的表面展开图；
⑥符合正方体表面展开图的“2 2 2型”特征，因此⑥是正方体的表面展开图；
综上所述，是正方体表面展开图的是①⑤⑥，
故答案为：①⑤⑥；
（2）根据题意可知，无盖盒子的底面长为20 3×2＝14（cm），宽为20 3×2＝14（cm），高为3cm，
所以无盖盒子的体积为：（20 3×2）×（20 3×2）×3＝588（cm3），
有盖盒子的长：20 3×2＝14（cm），宽为：20÷2 3＝7（cm），高为：3cm，
因此有盖盒子的体积为：14×7×3＝294（cm3），
∴制作成的有盖盒子的体积是无盖盒子体积的，
故答案为：；
（3）①要沿表面某些棱剪开，展成一个平面图形，只需要剪一条侧棱和下底的三条棱即可展开，
即1＋3＝4（条）
故答案为：4；
②设长方体长为a，宽为b，高为c，则长方体形盒子展开图的周长C＝（2a＋2c＋b＋2c）×2＝4a＋8c＋2b，
想要周长最大，只需要c最大，b最小，此时a＝2.5，b＝2，c＝1.5，
则C＝4a＋8c＋2b＝4×2.5＋8×1.5＋2×2＝26，
∴该长方体形盒子表面展开图的外围的最大周长26．
故答案为：4；26.
【分析】（1）利用正方体展开图的特征分析求解即可；
（2）先分别求出有盖和无盖的长方体的体积，再计算即可；
（3）①根据实际情况和正方体展开的特征分析求解即可；
②利用长方体周长公式的计算方法列出算式求解即可.
10．【答案】解：（1）②不能折成一个无盖正方体纸盒，①③④能折成一个无盖正方体纸盒，故答案为：②；
解：（2）①由题意可知，长方体纸盒的底面为正方形，其边长为，
∴长方体纸盒的底面周长为，
故答案为：；
②由题意可知，该长方体纸盒的长为，高为，宽为，
∴该长方体纸盒的体积为，
故答案为：1000；
解：（3）由题意知：边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，如图，
所以该长方体表面展开图的最大外围周长为．
【知识点】几何体的展开图；正方体的几种展开图的识别；已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【分析】（1）根据无盖正方体纸盒展开图的面数和构成，结合题设中的数据，进行计算，即可求解；
（2）①根据正方形周长公式，结合无盖正方体纸盒展开图，即可得解；
②根据题意，结合长方体的体积公式，进行计算，即可得解；
（3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边画图，再据此求解即可．
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