2024-2025学年上海市普陀区曹杨二中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市普陀区曹杨二中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
2.空间中，已知两条直线，，其方向向量分别为，则“”是“与所成角为”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
3.在空间，已知直线及不在上两个不重合的点、，过直线做平面，使得点、到平面的距离相等，则这样的平面的个数不可能是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个
4.已知正三棱锥的所有顶点均在球的球面上，，侧棱，点在线段上，且过点作球的截面，则所得截面面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共11小题，共50分。
5.已知为虚数单位，计算： ______．
6.在中，若，，且的面积为，则 ______．
7.已知正三棱柱的底面边长为，高为，则其体积为______．
8.已知，空间向量，若，则 ______．
9.已知等差数列的前项和为，若，则 ______．
10.如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有______条．
11.一个圆锥的侧面积是其底面积的倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为 ．
12.已知，、、三点不共线，为平面外任意一点若，且、、、四点共面，则 ______．
13.如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水未满，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法：
水的部分始终呈棱柱状；
棱始终与水面平行；
水面四边形的面积不改变；
当，且时，是定值．
其中所有正确的命题的序号是______请在横线上写出所有正确答案的序号，错选不得分
14.如图，是边长为的等边三角形，为直角三角形，为直角顶点，，连接当二面角从变化到的过程中，线段在平面上的投影扫过的平面区域的面积为______．
15.小玲在一个棱长为的密封正方体盒子中，放入一个半径为的小球无论她怎么摇动盒子，小球在盒子中不能达到的空间体积为______结果中保留
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知为虚数单位设，复数．
若的实部与虚部相等，求的大小；
已知，，，若是方程的一个虚根，求与的值．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，分别为、的中点建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题：
求证：；
求点到平面的距离．
18.本小题分
如图所示的几何体，是将体积为、底面半径为的圆柱沿着过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的，、为底面直径，、为圆柱的母线，、、分别为、、的中点，为弧的中点，为弧的中点．
求这个几何体的表面积；
求异面直线与所成角的余弦值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是棱上的动点．
求证：平面；
试确定点的位置，使得截面把该四棱锥分成的两个几何体与的体积比为：；
记二面角的大小为，二面角的大小为试确定点的位置，使得．
20.本小题分
设且，数列的各项均为整数，其前项和为定义：若满足前项依次成公差为的等差数列，从第项起往后依次成公比为的等比数列，则称为“关联数列”；
若为“关联数列”，求；
若为“关联数列”，证明：对任意正整数，都有；
设、为正整数且若为“关联数列”，且，是否存在、，使得？若存在，求出所有满足条件的、；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.
16.解：由的实部与虚部相等，
得，即，
，，
；
，，
代入方程，
可得：，即，
则，解得．
17.证明：在直三棱柱中，已知，
则，，，
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
则，得，即；
解：由可得，，，
，，，
设平面的法向量为，
由，取，可得，，则，
点到平面的距离．
18.解：设圆柱的高为，又圆柱的底面半径，
则有，解之得，
将圆柱按题中方法切开，再平移后接成封闭体后，
该几何体的表面积比原来的圆柱表面积多了两个轴截面矩形的面积，
因此它的表面积为；
连接，在面内，过点作，
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，
建立空间直角坐标系如图，
则，，，，
则，
设异面直线与所成角为，
则．
19.解：证明：因为，平面，平面，
所以平面；
因为平面，平面，所以，
又，，所以，
又，，，，
所以，
所以，
所以，
连接，所以，
又使得截面把该四棱锥分成的两个几何体与的体积比为：，
所以，
设三棱锥的高为，
则，
解得，所以到平面的距离为，
又点是棱上的动点，所以为棱的中点，
即当为棱的中点时截面把该四棱锥分成的两个几何体与的体积比为：；
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，则，
取，
又平面的一个法向量为，
显然二面角为锐二面角，
所以，
设，则，
又，
设平面的法向量为，
则，则，
取，
又二面角为锐二面角，
所以，
又，所以，
所以，
解得或舍去，
所以当，即为靠近点的三等分点时，满足．
20.解：由于为“关联数列”，
因此前项依次成公差为的等差数列，从第项起往后依次成公比为的等比数列，
那么，，而且，所以．
证明：由于为“关联数列”，
因此前项依次成公差为的等差数列，从第项起往后依次成公比为的等比数列，
所以，，并且，所以，
根据等比，等差数列通项公式可得：，
因此数列前十项列举为：，，，，，，，，，，，
所以前十项列举为：，，，，，，，，，，，
因此前十项列举为：，，，，，，，，，，，
通过上述列举可猜想对任意正整数，有，
再证明当时，由数列列举可得，
当时，
数列，
因此，
当时，，因此，而，
因此仍然满足．
综上可得：对任意正整数，都有．
根据为“关联数列”，且，
那么有，，
且，所以，因此通项公式为，
当时，
数列，
当时，数列，
因此数列，
当时，根据二次函数对称性计算可得：，，，
当时，数列是一个递增数列，因此要使得，，
那么有，，所以满足，
变形得：，
当，，；
当，，；
当，，；
然而当时，数列，
而当时，数列，因此，不可能满足，
综上所述，使得的、为，，，．
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