(共16张PPT)
27.4 正多边形与圆
1.了解正多边形与圆的关系
2.能运用多边形知和圆的有关知识画圆内接正多边形
3.能利用正多边形的有关计算公式,计算与正多边形有关的问题
各条边相等,各个角也相等的多边形是正多边形.
等边三角形是正三角形,正方形是正四边形。
正多边形都是轴对称图形,在日常生活和美术设计中都很常见。
你认识他们吗?它们的共性是什么?
做一做
分别画出下图各正多边形的对称轴,看看能发现什么结果
三条
四条
五条
六条
正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴.
正多边形的对称轴都相交于同一点
正多边形每边垂直平分线的交点
正多边形每个内角平分线的交点.
以正五边形为例,如图所示,我们发现正五边形有五条对称轴,而且这些对称轴都交于一点O 。
根据轴对称的性质,我们知道这些对称轴是正五边形各边的垂直平分线
点 O 到正五边形各个顶点的距离相等,记为 R 。
以点 O 为圆心, R 为半径的圆就过正五边形的各个顶点,它是该正五边形的外接圆,如图。
这些对称轴也是正五边形各内角的平分线,点 到各边的距离都相等,记为 。
以点 为圆心, 为半径的圆就与正五边形的各条边都相切,它是正五边形的内切圆,如图1。
如图 2 和图 3,其他正多边形也有类似的结论。
图1
图2
图 3
在同一个圆中,等弧对等弦, ,而根据圆周角定理,有
因此五边形 是正五边形。
如图所示,在 中, ,那么
之间有什么关系? 之间又有什么关系?
⌒
⌒
⌒
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⌒
思考
正多边形和圆的关系:
把圆分成 ()等份,依次连结各分点所得的多边形是这个圆的一个内接正 边形
归纳
利用尺规作图,作出已知圆的内接正方形和内接正六边形。
·
解:内接正方形的作法:
(1)用直尺任作圆的一条直径AC;
A
C
(2)作与直径AC垂直的直径BD;
B
D
(3)顺次连结所得的圆上四点,
则四边形ABCD即为所求作的正方形.
·
内接正六边形的作法:
(1)用直尺任作圆的一条直径AD;
A
D
(2)以点A为圆心、OA为半径作圆,与⊙O交于点B、F;
O
B
F
(3)以点D为圆心、OD为半径作圆,与⊙O交于点C、E;
C
E
(4)顺次连结所得的圆上六点,则六边形ABCDEF即为所求作的正六边形.
O
F
A
B
D
E
·
C
如图,从圆上某一点开始,依次以圆的半径长为半径作圆,也可以作出圆的内接正六边形.
因为这两种方法都是把圆六等分,所以作出来的图形都是正六边形.
为什么这两种方法作出来的图形都是正六边形?
【知识技能】
1.一个圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角为72°,则该正多边形的边数是( )
A.4
B.5
C.6
D.7
B
2.如图,正六边形内接于,的半径为1,则的长为( )
A.
B.
C.
D.
A
3.如图,已知⊙O半径为1 cm,作⊙O的内接正三角形.
(1)作⊙ O 的任一直径AB;
(2)以B 为圆心,以1cm 为半径作弧,
交⊙ O 于D,E;
(3)连结AD,DE,EA,则△ ADE 为所
求作的正三角形,如图所示
O
【综合拓展】
4.如图27.4-1,三角形AOB 是正三角形,以点O 为圆心,OA 为半径作⊙ O,直径FC ∥ AB,AO,BO 的延长线交⊙ O 于点D,E,求证:六边形ABCDEF为⊙O 的内接正六边形.
证明:∵三角形AOB 是正三角形,
∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°,OB=OA.
∴点B 在⊙O 上.
∵ FC ∥ AB,∴∠ FOA= ∠ OAB=60°,∠ COB= ∠ OBA=60°.
∴ ∠ AOB= ∠ BOC= ∠ COD= ∠ DOE= ∠ EOF=∠ FOA=60° .
∴AB = BC = CD = DE = EF = FA .
∴六边形ABCDEF 为⊙O的内接正六边形 .
1.正多边形的对称轴:
正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴.
2.正多边形与圆的关系:
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
3.正多边形的有关概念:
正多边形的中心:一个正多边形的外接圆(内切圆)的圆心.
正多边形的半径:正多边形外接圆的半径.
正多边形的中心角:正多边形每一边所对的圆心角.
正多边形的边心距:中心到正多边形的一边的距离.(内切圆的半径)