福建省福州市第八中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

福建省福州市第八中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,2,3}， = {3,5}，则 = { | = 2 + , ∈ , ∈ }中的元素个数为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2.关于命题 ：“ ∈ ，6 2 7 + 2 > 0”，下列判断正确的是( )
A. 该命题是全称量词命题，且为假命题 B. 该命题是存在量词命题，且为真命题
C. ￢ ： ，6 2 7 + 2 ≤ 0 D. ￢ ： ∈ ，6 2 7 + 2 ≤ 0
1
3.若幂函数 ( )的图象经过点(√ 2, )，则下列判断正确的是( )
2
A. ( )在(0, +∞)上为增函数 B. 方程 ( ) = 4的实根为±2
C. ( )的值域为(0,1) D. ( )为偶函数
4.已知函数 ( ) = 2 ，且 ( ) > 0的解集为( 2,1)，则函数 = ( )的图象为( )
A. B.
C. D.
5.已知存在0 ≤ ≤ 3使 2 2 + 3 2 ≥ 0成立，则实数 的取值范围是( )
1 1 2
A. ≥ B. ≥ C. ≥ D. ≥ 1
3 3 3
1 2
6.已知 > 2， > 1，且 + = 1，则 + 2 的最小值为( )
2 1
21
A. 9 B. C. 13 D. 14
2
1 + 2
7.函数 = 2的值域是( ) 1+ +
1 1
A. [ , 3] B. [ , 1) ∪ (1,3]
3 3
1
C. (0,3] D. ( ∞, ] ∪ [3, +∞)
3
2
8.已知函数 ( ) = | |, ( ) = + 2, ∈ ，用 ( )表示 ( )， ( )中的较大者，记为 ( ) =

{ ( ), ( )}，若 ( )的最小值为1，则实数 的值为( )
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1
A. 0 B. ± C. ±√ 2 D. ±2
2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
3 3
9.使 < < 0成立的一个必要条件是( )


A. | | < | | B. 0 < < 1 C. > 0 D. <

3
( 1)
10.设 为实数，则下列集合可能是不等式 > 0的解集的是( )
+2
1
A. { | < 2} B. { | < 或 > 2}

1 1
C. { | < < 2} D. { | 2 < < }

1 1 1
11.已知函数 ( )的定义域为 ，对任意实数 ， 满足 ( + ) = ( ) + ( ) + ，且 ( ) = 0时，当 > 时，
2 2 2
( ) > 0，则下列选项正确的是( )
1 3
A. (0) = B. ( 1) =
2 2
1
C. ( )为 上的减函数 D. ( ) + 为奇函数
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
+ 1, ≤ 0
12.已知函数 ( ) = { ，则 (2) = ______．
( 1) ( 2), > 0
13.已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，且 (2) = 0，若对任意的 1， 2 ∈ ( ∞, 0)，当 1 ≠ 2时，有
1 ( 1) 2 ( 2) < 0成立，则不等式 ( ) > 0的解集为______．
1 2
2 + 5, < 1
14.已知函数 ( ) = { 1 ，若当 ∈ [ , ]时， ( ) ∈ [4,5]，则 的最小值是______．
+ + 2, ≥ 1

四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设全集 = ，集合 = { | 2 ≤ ≤ 4}， = { | < 6或 ≥ 2}．
(1)求图中阴影部分表示的集合；
(2)已知集合 = { |10 < < 2 + 1}，若( ) ∩ = ，求 的取值范围．
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16.(本小题15分)
已知 > 0， > 0， = + 4 + ．
(1)当 = 12时，求 的最小值；
4 1
(2)当 = 0时，满足 + + + ≥ 2 3 恒成立，求 的取值范围．

17.(本小题15分)
2+1
已知函数 ( ) = 是定义域上的奇函数，且 ( 1) = 2．
+
(1)求函数 ( )的解析式，并判断函数 ( )在(0, +∞)上的单调性(无需证明)；
9
(2)若函数 ( ) = ( 2) 2 ( )，若对 1， 2 ∈ [1,2]，都有| ( 1) ( 2)| ≤ ，求实数 的取值范围． 4
18.(本小题17分)
某市将建一个制药厂，但该厂投产后预计每天要排放大约80吨工业废气，这将造成极大的环境污染.为了保
护环境，市政府决定支持该厂贷款引进废气处理设备来减少废气的排放：该设备可以将废气转化为某种化
工产品和符合排放要求的气体．
经测算，制药厂每天利用设备处理废气的综合成本 (元)与废气处理量 (吨)之间的函数关系可近似地表示为：
40 + 1200,0 < < 40
= {
2 2
，且每处理1吨工业废气可得价值为80元的某种化工产品并将之利润
100 + 5000,40 ≤ ≤ 80
全部用来补贴废气处理．
(1)若该制药厂每天废气处理量计划定为20吨时，那么工厂需要每天投入的废气处理资金为多少元？
(2)若该制药厂每天废气处理量计划定为 吨，且工厂不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量，求 的
取值范围；
(3)若该制药厂每天废气处理量计划定为 (40 ≤ ≤ 80)吨，且市政府决定为处理每吨废气至少补贴制药厂
元以确保该厂完成计划的处理量总是不用投入废气处理资金，求 的值．
19.(本小题17分)
定义：对于定义域为 的函数 ( )，若 0 ∈ ，有 ( 0) = 0，则称 0为 ( )的不动点.已知函数 ( ) =
2 +
( 1) + 8， ≠ 0．
(1)当 = 1， = 0时，求函数 ( )的不动点；
(2)若 ∈ ，函数 ( )恒有两个相异的不动点，求实数 的取值范围；

(3)设 ∈ (1,3)且 ( )的两个不动点为 1， 2，且 1 ( 2) = ，求实数 的最小值． 1
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】0
13.【答案】( ∞, 2) ∪ (2, +∞)
5+√ 5
14.【答案】
2
15.【答案】解：(1)因为 = { | 2 ≤ ≤ 4}， = { | < 6或 ≥ 2}，
所以 ∩ = { |2 ≤ ≤ 4}，
则图中阴影部分表示 ( ∩ ) = { | 2 ≤ < 2}．
(2)由题意可知， = { | 6 ≤ < 2}， ，
所以当 = 时，10 ≥ 2 + 1，解得 ≤ 3，符合题意；
10 < 2 + 1 10 < 2 + 1
当 ≠ 时，{ 或者{ ，
2 + 1 ≤ 6 10 ≥ 2
10 < 2 + 1
此时不等式组{ 无解，
2 + 1 ≤ 6
10 < 2 + 1
不等式组{ 的解集为3 < ≤ 8，
10 ≥ 2
综上， 的取值范围为{ | ≤ 8}．
16.【答案】解：(1) ∵ > 0， > 0，
∴当 = 12时， = + 4 + = + 4 + 12 ≥ 2√ 4 + 12，
当且仅当 = 4 时等号成立，
令√ = ，得 2 4 12 ≥ 0，解得： ≤ 2(舍去)或 ≥ 6，
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∴ √ ≥ 6，解得 ≥ 36，当且仅当 = 12， = 3时等号成立，
∴ 的最小值是36；
4 1 +4
(2)当 = 0时， = + 4 + = + 4 ，可得 + + + = + + = + + 1．

4 1
由 = + 4 得 + = 1，

4 1 4 1 4 4
又∵ > 0， > 0，∴ + + + = ( + )( + ) + 1 = + + 6 ≥ 2√ + 6 = 10，

4
= = 6
当且仅当{ ，即{ 时等号成立．
= + 4 = 3
4 1
∴当 = 0时，求 + + + 的最小值是10．

则有 2 3 ≤ 10，解得 2 ≤ ≤ 5，即 的取值范围为[ 2,5]．
2+1
17.【答案】解：(1)因为函数 ( ) = 是定义域上的奇函数，且 ( 1) = 2．
+
2+1 2+1
所以 ( ) = ( )，可得 = ，
( )+ +
所以 + = ，所以 = 0，
2
又 ( 1) = 2，所以 = 2，所以 = 1，

1
所以 ( ) = + ，

( )在(0,1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增．
证明如下：
1， 2 ∈ (0, +∞)，且 1 < 2，
1 1 ( )( 1)
则 ( 1) ( 2) = 1 + =
1 2 1 2
2 ， 1 2 1 2
因为0 < 1 < 2，所以 1 2 < 0， 1 2 > 0，
当0 < 1 < 2 < 1时， 1 2 < 1，则 1 2 1 < 0，所以 ( 1) ( 2) > 0，
即 ( 1) > ( 2)，所以 ( )在(0,1)上的单调递减，
当1 < 1 < 2时， 1 2 > 1，则 1 2 1 > 0，所以 ( 1) ( 2) < 0，
即 ( 1) < ( 2)，所以 ( )在(1, +∞)上的单调递增，
所以 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增．
2 1 1(2)由题得， ( ) = + 2 ( + )，
2
9 9
对 1， 2 ∈ [1,2]，都有| ( 1) ( 2)| ≤ ，只需要 ( ) ( ) ≤ ， 4 4
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1 5
令 = + ，则 在[1,2]单调递增，所以 ∈ [2, ]，
2
1
则 ( ) = ( + )2
1
2 ( + ) 2 = ( ) = 2 2 2，

对称轴 = ，当 ≤ 2时，由 ( )的单调性可得，
5 9 9
( ) ( ) = ( ) (2) = ≤ ，得 ≥ 0，故0 ≤ ≤ 2； 2 4 4
5 5 9 9 9 5 9
当 ≤ 时， ( ) ( ) = (2) ( ) = ≤ ，得 ≤ ，故 ≤ ≤ ； 2 2 4 4 2 2 2
9 5
当 < < 时， ( ) ( ) 2
9 1 7 9 5
4 2
= (2) ( ) = 4 + 4 ≤ ，得 ≤ ≤ ，故 < < ；
4 2 2 4 2
9 5 25 9 9
当2 < ≤ 时， ( ) ( ) = ( ) ( ) = 2 5 + ≤ ，得1 ≤ ≤ 4，故2 < ≤ ； 4 2 4 4 4
9
综上：实数 的取值范围是[0, ]．
2
18.【答案】解：(1)由题意可知，当废弃处理量 满足0 < < 40时，每天利用设备处理废气的综合成本 =
40 + 1200，
∴当该制药厂每天废气处理量计划为20吨，即 = 20时，
每天利用设备处理废气的综合成本为 = 40 × 20 + 1200 = 2000元，
又∵转化的某种化工产品可得利润为80 × 20 = 1600元，
∴工厂每天需要投入废气处理资金为400元；
40 + 1200, 0 < < 40
(2)由题意可知， = { 2 ， 2 100 + 5000,40 ≤ ≤ 80
①当0 < < 40时，令80 (40 + 1200) ≥ 0，解得30 ≤ < 40，
②当40 ≤ ≤ 80时，令80 (2 2 100 + 5000) ≥ 0，即2 2 180 + 5000 ≤ 0，
∵ = 1802 4 × 2 × 5000 < 0，
∴ 无解．
综合①②， 的取值范围为30 ≤ < 40，
故当该制药厂每天废气处理量计划为[30,40)吨时，工厂可以不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量；
(3) ∵当40 ≤ ≤ 80时，投入资金为80 (2 2 100 + 5000)，
又∵市政府为处理每吨废气补贴 元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金，
∴当40 ≤ ≤ 80时，不等式80 + (2 2 100 + 5000) ≥ 0恒成立，
即2 2 (180 + ) + 5000 ≤ 0对任意 ∈ [40,80]恒成立，
令 ( ) = 2 2 (180 + ) + 5000，
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(40) ≤ 0 2 × 402 (180 + ) × 40 + 5000 ≤ 0 ≥ 25 85
则有{ ，即{ ，即{ 85 解得 ≥ ，
(80) ≤ 0 2 × 802 (180 + ) × 80 + 5000 ≤ 0 ≥ 22
85
答：市政府只要为处理每吨废气补贴 元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金．
2
19.【答案】解：(1)当 = 1， = 0时， ( ) = 2 8，
令 ( ) = ，即 2 8 = ，解得 = 2或 = 4，
所以 ( )的不动点为 2或4．
(2)令 ( ) = ，即 2 + ( 1) + 8 = ，
则 2 + ( 2) + 8 = 0， ≠ 0，
于是得方程 2 + ( 2) + 8 = 0有两个不等实根，
即 = ( 2)2 4 ( 8) > 0，则 2 4( + 1) + 4(8 + 1) > 0，
由题意知， ∈ ，不等式 2 4( + 1) + 4(8 + 1) > 0恒成立，
所以 ′ = 16( + 1)2 16(8 + 1) < 0，整理得 2 6 < 0，解得0 < < 6，
所以实数 的取值范围是(0,6)．
8
(3)由(2)知，当 ∈ (1,3)时， 1 2 = ，0 < 1 < 2，
8 2
又 1 2 = 1 ( 2) = ，于是得 = ，则 = + 8， 1 1 1
令 = 1，则0 < < 2， = + 1，
2
( +1) 1 1
所以 = + 8 = + + 10 ≥ 2√ + 10 = 12，

1
当且仅当 = ，即 = 1， = 2时取等号，

所以实数 的最小值为12．
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