云南省曲靖市沾益区第一中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

云南省曲靖市曲靖市沾益区第一中学 2023-2024 学年高二上学期期末
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 3 < 0}， = {1,2,3,4}，则( ) ∩ =( )
A. {4} B. {3,4} C. {2,3,4} D. {1,2,3}

2.已知复数 满足2 = 1 + 3 ，则 =( )

A. 1 + B. 1 C. 1 + D. 1
2 2
3.若方程 2 = 1表示焦点在 轴上的双曲线，则实数 的取值范围为( ) 4 1+
A. ( ∞, 2) B. ( 2, 1) C. ( 2,2) D. ( 1,1)
4.两平行直线 1： + 1 = 0和 2： + 3 = 0之间的距离为( )
A. √ 2 B. 2 C. 2√ 2 D. 3
13
5.等比数列{ }的前 项和为 ，若 3 4 = 5, 3 = ，则公比 =( ) 3
1 1
A. 3 B. C. 3或 D. 2
3 3
2 1
6.函数 ( ) = 的部分图象大致是( ) 2 2
A. B.
C. D.
2√ 2
7.已知向量 = (1,2, 1), = ( , 1, )，且 ⊥平面 , ⊥平面 ，若平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，
3
则实数 的值为( )
1 1 1
A. 或 1 B. 或1 C. 1或2 D.
2 5 2
8.在平面直角坐标系 中，已知圆 ：( )2 + ( )2 = 2( > 0)， ( 3,0)，若圆 上存在点 ，使
得| | = 2| |，则正数 的取值范围为( )
A. (0,1] B. [1,2] C. [√ 3, 2] D. [1,3 + 2√ 3]
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二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线 平面 ，且直线 不平行于平面 ，给出下列结论正确的是( )
A. 内的所有直线与 异面 B. 内存在直线与 相交
C. 内存在唯一的直线与 平行 D. 内不存在与 平行的直线
10.在等差数列{ }中，其前 的和是 ，若 1 = 9， = 3，则( )
A. { }是递增数列 B. 其通项公式是 = 3 12
C. 当 取最小值时， 的值只能是3 D. 的最小值是 18
2 2
11.设点 1， 2分别为椭圆 ： + = 1的左、右焦点，点 是椭圆 上任意一点，若使得 1 2 = 成9 5
立的点恰好是4个，则实数 的取值可以是( )
A. 1 B. 3 C. 5 D. 4
12.已知抛物线 ： 2 = 12 ，点 是抛物线 的焦点，点 是抛物线 上的一点，点 (4,3)，则下列说法正确
的是( )
A. 抛物线 的准线方程为 = 3
3
B. 若| | = 7，则△ 的面积为2√ 3
2
C. | | | |的最大值为√ 10
D. △ 的周长的最小值为7 + √ 10
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.设 , 为单位向量，且| + | = 1，则| | =______________．
14.过点 (3, 1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是______．
15.已知四位数4521，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为______．
16.已知各项均为正数的递增等差数列{ }，其前 项和为 ，公差为 ，若数列{√ }也是等差数列，则 1 +
8
的最小值为______．
+2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ， 3 = 15， 12 = 222．
(1)求{ }的通项公式；
1
(2)若 = ，求数列{ }的前 项和 ． +1
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18.(本小题12分)
已知圆 ： 2 + 2 + + + 1 = 0，直线 1： = 0， 2： 2 = 0，且直线 1和 2均平分圆 ．
(1)求圆 的标准方程；
(2)直线√ 3 + + 2√ 3 = 0与圆 相交于 ， 两点，且∠ = 120°，求实数 的值．
19.(本小题12分)
√ 3
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，设△ 的面积为 ，且满足 = ( 2 + 2 2)．
4
(Ⅰ)求角 的大小；
(Ⅱ)求 的最大值．
20.(本小题12分)
2 2
已知双曲线 ： 2 = 1( > 0)，直线 与双曲线 交于 ， 两点． 2
(1)若点(4,0)是双曲线 的一个焦点，求双曲线 的渐近线方程；
8
(2)若点 的坐标为( √ 2, 0)，直线 的斜率等于1，且| | = ，求双曲线 的离心率．
3
21.(本小题12分)
1
如图，在长方体 1 1 1 1中， = 1 = 4， = 2， = ． 4
(1)证明： ⊥平面 1 ；
(2)求直线 1 与平面 1所成角的正弦值．
22.(本小题12分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的短轴长和焦距相等，长轴长是2√ 2．
(1)求椭圆 的标准方程；
3√ 5
(2)直线 与椭圆 相交于 ， 两点，原点 到直线 的距离为 .点 在椭圆 上，且满足 = + ，求
10
直线 的方程．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】√ 3
14.【答案】 + 2 = 0或 + 3 = 0
1
15.【答案】
2
16.【答案】3
17.【答案】解：(1)由题知，等差数列{ }的前 项和为 ， 3 = 15， 12 = 222，
3 = 1 + 2 + 3 = 15 1 + = 5所以{ 12( 1+ = 12
) ，即{ ，
12 = 222 2 2 1
+ 11 = 37
= 2
解得{ 1 ，
= 3
所以 = 2 + ( 1) 3 = 3 1，
所以{ }的通项公式为 = 3 1；
(2)由(1)得， = 3 1，
1 1 1 1 1
所以 = = = ( )， +1 (3 1) (3 +2) 3 3 1 3 +2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以 = [( ) + ( ) + ( ) + + ( )] = [ ] = ， 3 2 5 5 8 8 11 3 1 3 +2 3 2 3 +2 6 9 +6
1 1
所以数列{ }的前 项和 = ． 6 9 +6
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18.【答案】解：(1)因为直线 1和 2均平分圆 ，所以两条直线都过圆心，
1 = 0 = 2
因为{ ，解得{ ，所以直线 1和 的交点坐标为(2,1)， 2 = 0 = 1 2
所以圆心 的坐标为(2,1)，

因为圆 ： 2 + 2 + + + 1 = 0，所以圆心坐标为( , )，
2 2

= 2
2 = 4所以{ ，解得{ ，
= 1 = 2
2
所以圆 的方程为 2 + 2 4 2 + 1 = 0，即( 2)2 + ( 1)2 = 4；
(2)由(1)得圆 的标准方程为( 2)2 + ( 1)2 = 4，圆心 (2,1)，半径 = 2，
因为∠ = 120°，且△ 为等腰三角形，所以∠ = 30°，
因为| | = | | = ，所以圆心 到直线√ 3 + + 2√ 3 = 0的距离 = ∠ = 2 30° = 1，
|2√ 3+1+ 2√ 3| | +1|
根据点到直线的距离公式 = = = 1，
2
√ 2 (√ 3) +12
解得 = 1或 = 3，
所以实数 的值为 = 1或 = 3．
2
1 √ 3 2+ 2
19.【答案】解：( ) = = ( 2 + 2 2)，所以 = √ 3 = √ 3 ，
2 4 2

故 = √ 3，又因为 ∈ (0, )，所以 = ．
3
1 √ 3 1 √ 3
( ) = sin( + ) = ( + ) = sin2 +
2 2 2 2
1 1 2 √ 3 2 √ 3 1 1 1 1
= + = 2 2 + = sin(2 ) + ，
2 2 2 2 4 4 4 2 6 4

当2 = ， = 时，sin(2 )有最大值1，
6 2 3 6
3
故 的最大值为 ．
4
20.【答案】解：(1) ∵点(4,0)是双曲线 的一个焦点，∴ = 4，
又 2 = 2 + 2且 2 = 2，解得 2 = 14，
2 2
∴双曲线 的方程为 = 1，
2 14
∴双曲线 的渐近线方程为 = ±√ 7 ；
(2)设直线 的方程为 = + √ 2且 ( 1, 1)，
= + √ 2,
联立{ 2 2 ，可得(
2 2) 2 4√ 2 4 2 2 = 0，
= 1,
2 2
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2
4√ 2 √ 2 +2√ 2
∴ √ 2 + 1 = 2 ，∴ 1 = 2 ，
2 2
2
2√ 2
∴ 1 = 1 + √ 2 = 2 ，
2
2 2 2
2√ 2 2√ 2 8
∴ | | = √ (√ 2 + )2 + 21 √
2 2
1 = ( 2 ) + ( 2 ) = 4| 2 | = ，
2 2 2 3
2 4 14解得 = ，即由 2 = 2 + 2可得 2 = ，
5 5
√ 14
√ √ 35
故双曲线 的离心率为 = = 5 = ．
√ 2 5
21.【答案】解：(1)证明：在长方体 1 1 1 1中，建系如图：
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (2,4,0)， (0,4,0)，
(2,1,0)， 1(0,0,4)， 1(0,4,4)，
∴ = ( 2,4,0)， = (2,1,0)， 1 = (0,0,4)，
∴ = ( 2) × 2 + 4 × 1 = 0， 1 = 0，
∴ ⊥ ， ⊥ 1，又 ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 ，
∴ ⊥平面 1 ；
(2)设平面 1的法向量为 = ( , , )，又 = (2,1,0)， 1 = (0,4,4)，
= 2 + = 0
则{ ，取 = (1, 2,2)，又 1 = ( 2, 1,4)，
1 = 4 + 4 = 0
∴直线 1 与平面 1所成的角的正弦值为：
| | 8 8√ 21
|cos < 1， > | =
1 = = ．
| 1|| | √ 21×3 63
22.【答案】解：(1)设椭圆 的焦距为2 ，
2 2
因为椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的短轴长和焦距相等，长轴长是2√ 2，
2 = 2
所以{2 = 2√ 2 ，解得 = √ 2， = 1， = 1，
2 = 2 + 2
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2
故椭圆 的标准方程为 + 2 = 1．
2
3√ 5
(2)若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 = ± ，
10
此时满足 = + 的点 显然不在椭圆 上，可得直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 = + ， ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 0, 0)，
2 2
联立方程{ + = 12 ，消去 后整理为(2 2 + 1) 2 + 4 + 2 2 2 = 0，
= +
2
4 4 2
可得 1 + 2 = 2 ， 1 + 2 = ( 1 + 2) + 2 = 2 + 2 = 2 ，
2 +1 2 +1 2 +1
由 = 16 2 2 4(2 2 + 1)(2 2 2) = 8(2 2 2 + 1) > 0，可得2 2 + 1 > 2，
4 2
又由 = + ，可得 0 = 2 ， 0 = 2 ，
2 +1 2 +1
1 4 2
将点 的坐标代入椭圆 的方程，有 ( 2 )
2 + ( )22 = 1，所以4
2 = 2 2 + 1，
2 2 +1 2 +1
| | 3√ 5
又由原点 到直线 的距离为 = ，可得20 2 = 9 + 9 2，
2 10√ 1+
2
4 2 = 2 2 + 1 = 4联立方程{ 2 ，可得{ 9， 20 = 9 2 + 9 2 =
4
= 2 = 2 = 2 = 2
解得{ 3或{ 3或{ 3 或{ 3，
= = = =
2 2 2 2
9
又由2 × 4 + 1 > ，
4
3 3 3 3
可得直线 的方程为 = 2 + 或 = 2 或 = 2 + 或 = 2 ．
2 2 2 2
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