广东省揭阳市揭东县2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

广东省揭阳市揭东县 2023-2024 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 1 < ≤ 2}， = { | 1 < 0}，则 ∩ ( ) =( )
A. { | 1 < < 1} B. { |1 < ≤ 2} C. { |1 ≤ ≤ 2} D. { | 1 < ≤ 2}
2.已知复数 满足 = 1 + ，则| | =( )
A. 1 B. √ 2 C. √ 3 D. 2
3.等差数列{ }的前 项和为 ，且 1 + 3 = 10， 5 + 7 = 26，则 7 =( )
A. 63 B. 45 C. 49 D. 56
4.圆 2 2 2 21： + + 2 + 2 2 = 0和圆 2： + 4 6 + 4 = 0的位置关系是( )
A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内含
5.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更.最多相差一
两天.”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小
满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从五月、六月、七月这六个节气中任选两个节气，则这两个
节气恰在同一个月的概率为( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 3 5 10
6.如图，三棱锥 中， 为 的中点，点 满足 = 3 ，记 = ， =
， = ，则( )
1 1 1
A. = + +
3 3 3
B.
1 1
= +
3
+
8 8 4
1 1 1
C. = + +
2 4 4
3 1 3
D. = + +
8 4 8
7.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素.如图，该几何体是一个棱
长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为( )
√ 6
A.
18
√ 6
B.
9
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√ 6
C.
12
√ 6
D.
3
8.已知函数 ( ) = | 2| + 2 4 + 4，则使得不等式 (2 + 1) < ( + 2)成立的实数 的取值范围是
( )
1 1 1 1 1
A. ( , ) B. ( , 1) C. ( , 1) D. ( , 1]
3 2 3 2 3
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. 直线 = ( + 2) + 3( ∈ )必过定点(2,3)
B. 直线 = 2 1在 轴上的截距为 1
C. 直线√ 3 + 2 = 0的倾斜角为60°
D. 点(1,3)到直线 2 = 0的距离为1
10.人均国内生产总值是人们了解和把握一个国家或地区的宏观经济运行状况的有效工具，即“人均 ”，
常作为发展经济学中衡量经济发展状况的指标，是最重要的宏观经济指标之一.在国家统计局的官网上可以
查询到我国2013年至2022年人均国内生产总值(单位：元)的数据，如图所示，则( )
A. 2013年至2022年人均国内生产总值逐年递增
B. 2013年至2022年人均国内生产总值的极差为42201
C. 这10年的人均国内生产总值的80%分位数是71828
D. 这10年的人均国内生产总值的增长量最小的是2020年
2
11.已知双曲线 ： 2 = 1的左、右焦点分别为 1， 2，点在双曲线 的右支上，若∠ 1 4 1 = ，△ 1 2
的面积为 ，则下列选项正确的是( )
A. 若 = 60°，则 = 4√ 3
B. 若 = 4，则| 2| = 2√ 3
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C. 若△ 1 2为锐角三角形，则 ∈ (4,4√ 5)
9 2 1
D. 若△ 1 2的重心为 ，随着点 的运动，点 的轨迹方程为9
2 = 1( > )
4 3
12.如图，在正方体 1 1 1 1中，点 在线段 1 上运动，则( )
A. 直线 1 ⊥平面 1 1
B. 三棱锥 1 1 的体积为定值

C. 异面直线 与 1 所成角的取值范围是[ , ] 4 2
√ 6
D. 直线 1 与平面 1 1 所成角的正弦值的最大值为 4
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
= 1
13.数列{ }满足{
1 ，则其通项公式 = ______．
+1 = 3


14.已知 = (4, 2,1)， = ( 1,3,2)，且 ⊥ ，则 的值是______．
15.求过两条直线 2 + 4 = 0和 + 2 = 0的交点，且与3 4 + 2 = 0平行的直线方程 ．
2
16.已知函数 ( ) = √ 3 + 1( > 0)在区间(0, )有且仅有2个零点，则 的取值范围为
3
______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{ }是递增的等差数列， 2 = 3，若 1， 2， 5成等比数列．
(1)求数列{ }的通项公式；
1
(2)求数列{ }的前 项和为 ． +1
18.(本小题12分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = 2 ．
(1)求 的值；
(2)若 = 4， + = 2√ 7，求△ 的面积．
19.(本小题12分)
2 2 2√ 5
已知 1， 2是椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的两个焦点，| 1 2| = 2， (2, )为 上一点． 5
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(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若 为 上一点，且 1 ⊥ 1 2，求△ 1 2的面积．
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧棱 ⊥底面 ，且 = ，点 ， 分别为 ，
的中点．
(Ⅰ)证明： ⊥平面 ；
(Ⅱ)求平面 与平面 夹角的余弦值．
21.(本小题12分)
已知直线 ：(2 + 1) + ( + 1) 7 4 = 0，圆 ：( 1)2 + ( 2)2 = 25．
(1)若 = 0，求直线 被圆 截得的弦长；
(2)当直线 被圆 截得的弦长最短时，求 的值及 的方程．
22.(本小题12分)
已知抛物线 ： 2 = 2 经过点(2, 1)．
(1)求抛物线 的方程及其准线方程；
(2)设 为原点，过抛物线 的焦点作斜率不为0的直线 交抛物线 于 、 两点，直线 = 1分别交直线 ，
于点 和点 ，求证：以 为直径的圆经过定点．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】3 1， ∈
14.【答案】2
15.【答案】3 4 + 8 = 0
11 15
16.【答案】{ | < ≤ }
4 4
17.【答案】解：(1)由题意，设等差数列{ }的公差为 ( > 0)，
则 1 = 2 = 3 ， 5 = 2 + 3 = 3 + 3 ，
∵ 1， 2， 5成等比数列，
∴ 22 = 1
2
5，即3 = (3 )(3 + 3 )，
化简整理，得 2 2 = 0，
解得 = 0(舍去)，或 = 2，
∴ 1 = 3 = 3 2 = 1，
∴ = 1 + 2 ( 1) = 2 1， ∈ ．
1 1
(2)由(1)可得， =
+1 (2 1)(2 +1)
1 1 1
= ( )，
2 2 1 2 +1
1 1 1
则 = + + + 1 2 2 3 +1
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1 1 1 1 1 1 1 1
= (1 ) + ( ) + + ( )
2 3 2 3 5 2 2 1 2 +1
1 1 1 1 1 1
= (1 + + + )
2 3 3 5 2 1 2 +1
1 1
= (1 )
2 2 +1

= ．
2 +1
18.【答案】解：(1)因为 + = 2 ，
由正弦定理得 + = 2 ，
又 + = sin( + ) = ，所以 = 2 ，
1
又 ∈ (0, )，所以 ≠ 0，故 = ，所以 = ．
2 3
(2)由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = ( + )2 3 = 28 3 = 16，所以 = 4，
1
故 △ = = √ 3． 2
19.【答案】解：(1)不妨设椭圆 的焦距为2 ，
因为| 1 2| = 2，
所以2 = 2，
解得 = 1，
即 1( 1,0)， 2(1,0)，
4 7√ 5 4 3√ 5
此时| 1| = √ 9 + = ，| 2| = √ 1 + = ， 5 5 5 5
7√ 5 3√ 5
| 1|+| | +由椭圆的定义可得 = 2 = 5 5 = √ 5，
2 2
则 = √ 5 1 = 2，
2 2
故椭圆 的标准方程为 + = 1；
5 4
(2)因为 1 ⊥ 1 2，
所以 = = 1，
4 4√ 5
解得 = ±√ 4 = ± ， 5 5
1 1 4√ 5 4√ 5
则 △ = × | 1| × | 1 2| = × × 2 = ． 1 2 2 2 5 5
20.【答案】(Ⅰ)证明：∵ ⊥底面 ，∴ ⊥ ，①
又∵ 为正方形，∴ ⊥ ，②
由①②， ∩ = ，可得 ⊥平面 ，
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∴ ⊥ ，③
又∵ = ，点 为 的中点，∴ ⊥ .④
由③④， ∩ = ，可得 ⊥平面 ，∴ ⊥ ．
同理可得 ⊥ ， ∩ = ，∴ ⊥平面 ．
(Ⅱ)解：如图，以点 为坐标原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向， 为 轴正方向，
建立空间直角坐标系，设 = 2，则 (2,0,0)， (2,2,0)， (0,0,2)，
= (0,2,0)， = (1,0,1)， = (0,1,1)．
由(Ⅰ)可知 是平面 的一个法向量，记为 1 = (2,2, 2)，
又平面 的一个法向量为 2 = (0,0, 1)．
2 √ 3
cos < 1 , 2 >=
1 2 = ，
| 1 || 2 | 2√ 3 3
∴平面 与平面 夹角的余弦值等于√ 3．
3
21.【答案】解：(1)若 = 0，直线 的方程为 + 4 = 0，
由圆 ：( 1)2 + ( 2)2 = 25.可得圆心 (1,2)，半径 = 5，
|1+2 4| √ 2
所心圆心 到直线 的距离为 = = ，
√ 2 2
1
所以直线 被圆 截得的弦长为2√ 5 = 3√ 2；
2
(2)直线 方程变形为(2 + 7) + ( + 4) = 0，
2 + 7 = 0 = 3
由{ ，得{ ，所以直线 恒过定点 (3,1)，
+ 4 = 0 = 1
当 ⊥ 时，所截得的弦长最短，此时有 = 1，
2 +1 1 2 +1 3
而 = , = ，于是 = 1，解得 = ， +1 2 2( +1) 4
1 1 21
直线 的方程为 + + 4 = 0，即2 5 = 0．
2 4 4
22.【答案】解：(1)因为已知抛物线 ： 2 = 2 经过点(2, 1)，
所以22 = 2 × ( 1)，
解得 = 2，
则抛物线 的方程为 2 = 4 ，其准线方程为 = 1；
(2)证明：由(1)知抛物线 的焦点为(0, 1)，
不妨设直线 的方程为 = 1( ≠ 0)，
2 = 4
联立{ ，消去 并整理得 2 + 4 4 = 0，
= 1
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不妨设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
由韦达定理得 1 2 = 4，

易知直线 的方程为 = 1 ，
1
不妨 = 1，

解得 =
1，
1

同理 2 = ， 2
若以 为直径的圆经过定点，
此时以 为直径的圆与 轴一定有交点，
所以定点在 轴上，
不妨设 (0, )，
此时
1 2 2 = + ( + 1) = 1 2 + ( + 1)2
2 21 2 1 ( )( 2)
4 4
16
= + ( + 1)2 = ( + 1)2 4，
1 2
不妨令 = 0，
解得 = 1或 = 3，
综上，以 为直径的圆经过 轴上的定点(0,1)和(0, 3)．
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