河北省承德市承德县六沟高级中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

河北省承德市承德县六沟高级中学 2024-2025 学年高一上学期期中数
学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数与 ( ) = + 1是同一个函数的是( )
2 3
A. ( ) = + 1 B. ( ) = √ 2 + 1 C. ( ) = 2 + 1 D. ( ) = √ 3 + 1

2.命题“ < 0， 2 + 1 ≥ 0”的否定是( )
A. ≥ 0， 2 + 1 < 0 B. ≥ 0， 2 + 1 ≥ 0
C. < 0， 2 + 1 < 0 D. < 0， 2 + 1 < 0
3.下列函数在定义域内是增函数的是( )
A. = 2 + 3 B. = 2 + 3 C. = 2 + 1 D. = 2 + 1
4.若 ， > 0， + 2 + = 4，则 + 的最小值为( )
A. 2 B. √ 6 1 C. 2√ 6 2 D. 2√ 6 3
1
5. < 是函数 = (2 + 1) + 1在( ∞, +∞)上是减函数的( )
2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3
6.若不等式2 2 + < 0对一切实数 都成立，则 的取值范围为( )
8
A. 3 < < 0 B. 3 ≤ < 0 C. 3 ≤ ≤ 0 D. 3 < ≤ 0
4, 2024,
7.如果函数 ( ) = { 那么 (10) =( )
( ( + 9)), < 2024,
A. 2020 B. 2021 C. 2023 D. 2025
8.给定函数 ( ) = 2 + 6， ( ) = 2 + 5 ， ∈ ，用 ( )表示 ( )， ( )中的较小者，记为 ( ) =
{ ( ), ( )}，则 ( )的最大值为( )
A. 6 B. 2 C. 4 D. 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的是( )
1 1
A. 若 < ，则 < B. 若 2 > 2，则 >

C. 若 < < 0，则 2 > 2 D. 若 > ， < ，则 >
10.设集合 = {1,2,3,4}， = {1,2}， = {2,4}，则下列结论正确的是( )
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A. ∈ ( ∩ ) B. ∪ = {1,2,4}
C. ( ∩ ) = {1,3,4} D. ( ) ∩ = {2,3,4}
11.定义在 上的函数 ( )，对于任意的 ， 都有 ( + ) = ( ) ( )，且 (1) = 2，则( )
A. (0) = 1 B. ( 1) = 2 C. (2) (3) = 64 D. (10) = 2 (9)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知集合 = { |0 < < }， = { |0 < < 2}，若 ，则实数 的取值范围为______．
2 + 2 + 16, ≤ 2
13.已知函数在 ( ) = { 定义域上单调递减，则实数 取值范围______．
, > 2
1
14.已知函数 ( ) = 4√ + 2 ，当 ∈ [0,6]时， ( ) ≥ 1恒成立，则实数 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
当 ≥ 0时，函数 ( ) = 2 + + 1，图象经过点(1,4)；当 < 0时，函数 ( ) = ，且图象经过点
( 2, 5)．
(1)求 ( )的解析式；
(2)求 (3) + ( 3)．
16.(本小题12分)
已知命题 ：关于 的方程 2 2√ 3 + 2 2 = 0有两个不相等的实数根；命题 ： ≥ 2．
(1)若 为真命题，求实数 的取值范围；
(2)若 ， 中一真一假，求实数 的取值范围．
17.(本小题12分)
某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售.经测算，生产该高级
设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产 百台高级设备需要另投成本 万元，且 =
2 + 20 + 100,0 ≤ < 40,100 ∈
{165 9000 ，每百台高级设备售价为80万元．
+ 1150,40 ≤ ≤ 100,100 ∈
2
(1)求企业获得年利润 (万元)关于年产量 (百台)的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．
18.(本小题12分)
2+1 5
已知函数 ( ) = 经过(1,2)，(2, )两点．
+ 2
(1)求函数 ( )的解析式；
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(2)判断函数 ( )在(0,1)上的单调性并用定义进行证明；
1 1
(3)当 ∈ [ , ]时， ≥ ( )，求实数 的最小值．
3 2
19.(本小题12分)
已知函数 ( )的定义域为(0, +∞)，对任意的 ， ∈ (0, +∞)，都有 ( ) + ( ) = ( ).当0 < < 1时，
( ) > 0．
(1)求 (1)的值，并证明：当 > 1时， ( ) < 0；
(2)判断 ( )的单调性，并证明你的结论；
1
(3)若 ( ) = 1，求不等式 ( 2 2 + 3 2) + 1 < 0的解集．
2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】[2, +∞)
13.【答案】[ 4, 2]
5
14.【答案】[ , +∞)
2
+ + 1 = 4 = 2
15.【答案】解：(1)依题意可得{ ，解得{ ，
2 = 5 = 1
2 2 + + 1, ≥ 0
所以 ( ) = { ；
2 1, < 0
2 2 + + 1, ≥ 0
(2)因为 ( ) = { ，
2 1, < 0
所以 (3) = 2 × 32 + 3 + 1 = 22， ( 3) = 2 × ( 3) 1 = 7，
所以 (3) + ( 3) = 22 + ( 7) = 15．
16.【答案】解：(1) ∵关于 的方程 2 2√ 3 + 2 2 = 0有两个不相等的实数根，
∴ = 12 4( 2 2 ) > 0，解得 1 < < 3，
∴ 为真命题时， 的取值范围为( 1,3)；
(2) ， 一真一假，
1 < < 3
① 真 假时，{ ，解得 1 < < 2；
< 2
② 假 真时，{ ≤ 1 或 ≥ 3，解得 ≥ 3，
≥ 2
∴ 的取值范围为( 1,2) ∪ [3，+∞)．
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17.【答案】解：(1)当0 ≤ < 40，100 ∈ 时，
= 80 2 20 100 500 = 2 + 60 600，
当40 ≤ ≤ 100，100 ∈ 时，
165 9000 5 9000
= 80 ( + 1150) 500 = + 650，
2 2
2 + 60 600,0 ≤ < 40,100 ∈
综上所述， = { 5 9000 ；
+ 650,40 ≤ ≤ 100,100 ∈
2
2 + 60 600,0 ≤ < 40,100 ∈
(2)由(1)可知， = { 5 9000 ，
+ 650,40 ≤ ≤ 100,100 ∈
2
当0 ≤ < 40，100 ∈ 时， = ( 30)2 + 300，
故当 = 30百台时， 取得最大值，最大值为300万元，
当40 ≤ ≤ 100，100 ∈ 时，
5 9000 5 9000
= + 650 ≤ 2√ + 650 = 350(万元)，
2 2
5 9000
当且仅当 = ，即 = 60时，等号成立，
2
由于350 > 300，
故当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元．
2+1 5
18.【答案】解：(1)根据题意，函数 ( ) = 经过(1,2)，(2, )两点，
+ 2
5
则 (1) = 2， (2) = ，
2
2
= 2
即{ +
= 1
，解得{ ，
5 5
= = 0
2 + 2
1
故 ( ) = + ；

(2) ( )在(0,1)上单调递减，
证明如下：0 < 1 < 2 < 1，
1 1 1
则 ( 1) (
1 2
2) = ( 1 + ) ( 2 + ) = ( 1 2)( )， 1 2 1 2
又由 1， 2 ∈ (0,1)，且 1 < 2，
则 1 2 < 0，0 < 1 2 < 1，
则有 ( 1) ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)，
所以函数 ( )在(0,1)上单调递减．
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(3)由(2)知 ( )在(0,1)上单调递减，
1 1 1 10
则函数 ( )在 ∈ [ , ]上的最大值为 ( ) = ，
3 2 3 3
10
由 ≥ ( )知 ≥ ( ) ，∴ ≥ ， 3
10
所以 的最小值为 ．
3
19.【答案】解：函数 ( )的定义域为(0, +∞)，
对任意的 ， ∈ (0, +∞)，都有 ( ) + ( ) = ( ).当0 < < 1时， ( ) > 0．
(1)因为 ， ∈ (0, +∞)，都有 ( ) + ( ) = ( )，
所以令 = = 1，得 (1) + (1) = (1)，则 (1) = 0，
证明：因为0 < < 1时， ( ) > 0，
1 1
所以当 > 1时，0 < < 1，则 ( ) > 0，

1 1
令 = ， = ，得 ( ) + ( ) = (1) = 0，

1
所以 ( ) = ( ) < 0．

(2) ( )在(0, +∞)上单调递减，证明如下：

不妨设0 < 1 < 2，则0 <
1 < 1， ( 1) > 0，
2 2

令 = 2， =
1，则 ( 2) + (
1) = ( 1)， 2 2

所以 ( 2) ( 1) = (
1) < 0，
2
即 ( 1) > ( 2)，所以 ( )在(0, +∞)上单调递减；
1 1
(3)因为 ( ) = 1，令 = 2， = ，
2 2
1
则 (2) + ( ) = (1) = 0，即 (2) = 1，
2
由 ( 2 2 + 3 2) + 1 < 0，得 ( 2 2 + 3 2) < 1，即 ( 2 2 + 3 2) < (2)，
由(2)知 ( )在(0, +∞)上单调递减，
所以 2 2 + 3 2 > 2，所以 2 2 + 1 2 > 0，
即[ (1 )][ (1 + )] > 0，则该不等式对应方程的实数根为1 + 和1 ．
当 > 0时，1 + > 1 ，不等式的解集为( ∞, 1 ) ∪ (1 + , +∞)，
当 = 0时，1 + = 1 ，不等式的解集为( ∞, 1) ∪ (1, +∞)，
当 < 0时，1 + < 1 ，不等式的解集为( ∞, 1 + ) ∪ (1 , +∞)，
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综上：当 > 0时，解集为( ∞, 1 ) ∪ (1 + , +∞)，
当 = 0时，解集为( ∞, 1) ∪ (1, +∞)，
当 < 0时，解集为( ∞, 1 + ) ∪ (1 , +∞)．
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