2025高考数学一轮复习-8.5-圆与圆的位置关系-专项训练
【A级 基础巩固】
1．已知圆O1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆O2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝16，则这两个圆的位置关系为( )
A．外离 B．外切
C．相交 D．内含
2．圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，则m的取值范围是( )
A．(－∞，－]
B．[，＋∞)
C．[－，]
D．(－∞，－]∪[，＋∞)
3．已知圆C：x2＋y2＝4，则圆C关于直线l：x－y－3＝0对称的圆的方程为( )
A．x2＋y2－6x＋6y＋14＝0
B．x2＋y2＋6x－6y＋14＝0
C．x2＋y2－4x＋4y＋4＝0
D．x2＋y2＋4x－4y＋4＝0
4．过圆x2＋y2＝4上一点P作圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)的两条切线，切点分别为A，B，若∠APB＝，则r＝( )
A．1 B．
C． D．
5．圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
6．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线方程为( )
A．x－2y－1＝0 B．x－y＋2＝0
C．x－y－2＝0 D．x－2y＋1＝0
7．已知圆C1：x2＋y2＋2x＝0，圆C2：x2＋y2－6y＝0相交于P，Q两点，则|PQ|＝( )
A． B．
C． D．
8．设圆C1：x2＋y2－2x＋4y＝4，圆C2：x2＋y2＋6x－8y＝0，则圆C1，C2的公切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
9．两圆x2＋y2－2y－3＝0与x2＋y2＋2x＝0的公共弦所在直线的方程为________．
10．已知圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0与圆C2：x2＋y2－6x－2y＋a＝0.若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a的值为________．
11．圆x2＋y2－2x－3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的交点坐标为________．
【B级 能力提升】
1．已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－8x＋6y＋m＝0相内切，则圆C1与圆C2的公切线方程为( )
A．3x－4y－5＝0 B．3x－4y＋5＝0
C．4x－3y－5＝0 D．4x－3y＋5＝0
2．圆C1：(x＋2)2＋(y－4)2＝25与圆C2：(x＋1)2＋y2＝9的公切线的条数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．已知圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1，圆N：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1，则下列不是M，N两圆公切线的直线方程为( )
A．y＝0 B．4x－3y＝0
C．x－2y＋＝0 D．x＋2y－＝0
4．在平面直角坐标系中，过点P(3，0)作圆O：(x－1)2＋(y－2)2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．x－y＋3＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋3＝0 D．x＋y＋3＝0
5．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为( )
A．2ax＋by－1＝0 B．2ax＋by－3＝0
C．2ax＋2by－1＝0 D．2ax＋2by－3＝0
6．过两圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0和x2＋y2－4x＋2y＋2＝0的交点，且圆心在直线x＋2y＋2＝0上的圆的方程为( )
A．x2＋y2－8x＋6y＋6＝0
B．x2＋y2－4x＋4y＋6＝0
C．x2＋y2－8x＋6y－6＝0
D．x2＋y2－4x＋4y－6＝0
7．若圆x2＋y2＝1与圆(x－a)2＋(y－4)2＝16有3条公切线，则正数a＝________．
8．两圆C1：x2＋y2－1＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋4y＝0的公共弦所在的直线方程为________．
9．已知以C(－4，3)为圆心的圆与圆x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________．
10．若平面上的点P及半径为R的圆C，我们称|CP|2－R2为点P对圆C的幂，则平面上对圆C1：x2＋y2＝1及圆C2：(x－2)2＋(y＋3)2＝4幂相等的点P的坐标所满足的等式是________．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：根据题意得圆O1的圆心为O1(1，－2)，半径为3，圆O2的圆心为O2(－2，－1)，半径为4，圆心距|O1O2|＝.因为4－3＜＜4＋3，所以两圆相交．
答案：C
2．解析：由x2＋(y－2)2＝4，可得圆心坐标为(0，2)，半径为2.
由x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0，得(x＋m)2＋y2＝1，
则圆心坐标为(－m，0)，半径为1.
因为两圆至少有三条公切线，
所以两圆外切或相离，所以≥3，
解得m≤－或m≥.
答案：D
3．解析：设圆心C(0，0)关于直线l：x－y－3＝0的对称点为D(a，b)，
则由
∴对称圆的方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝4 x2＋y2－6x＋6y＋14＝0.
答案：A
4．解析：由题意可知：0答案：C
5．解析：由(x－2)2＋(y－1)2＝9得圆心坐标为C(2，1)，半径R＝3，
由x2＋y2＝4得圆心坐标为O(0，0)，半径r＝2，
∴|CO|＝，R＋r＝5，R－r＝1，
∴R－r＜|CO|＜R＋r，即两圆相交．
答案：B
6．解析：由x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0两式相减得：4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0.
答案：B
7．解析：联立两圆得：2x＋6y＝0，即x＝－3y，将其代入圆C1：x2＋y2＋2x＝0中得： 10y2－6y＝0，解得：y1＝0，y2＝，所以x1＝0，x2＝－，故两圆交点坐标为(0，0)，，则|PQ|＝＝.
答案：B
8．解析：由题意，得圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝32，圆心C1(1，－2)，圆C2：(x＋3)2＋(y－4)2＝52，圆心C2(－3，4)，∴5－3＜|C1C2|＝2＜5＋3，∴C1与C2相交，有2条公切线．
答案：B
9．解析：x2＋y2－2y－3＝0与x2＋y2＋2x＝0相减得：2x＋2y＋3＝0，即为公共弦所在直线的方程．
答案：2x＋2y＋3＝0
10．解析：圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0的圆心为(3，－2)，半径为r＝1，圆C2：x2＋y2－6x－2y＋a＝0的圆心为(3，1)，半径为R＝，由于两圆只有一个公共点，则两圆外切或者内切，因此＝＋1或＝|－1|，解得a＝6或a＝－6.
答案：6或－6
11．解析：联立两式相减得x＝y＋3，将其代入x2＋y2－2x－3＝0中得y＝0或y＝－2，进而得或
所以交点坐标为(1，－2)，(3，0).
答案：(1，－2)，(3，0)
【B级 能力提升】
1．解析：圆C1：x2＋y2＝1的圆心C1(0，0)，r1＝1，圆C2：x2＋y2－8x＋6y＋m＝0可化为(x－4)2＋(y＋3)2＝25－m(m＜25)，则其圆心为C2(4，－3)，半径为r2＝.因为圆C1与圆C2相内切，所以r2－1＝|C1C2|，即r2＝＋1＝6，故m＝－11.由可得4x－3y＋5＝0，即C1与C2的公切线方程为4x－3y＋5＝0.
答案：D
2．解析：圆C1：(x＋2)2＋(y－4)2＝25的圆心坐标为(－2，4)，半径为5；
圆C2：(x＋1)2＋y2＝9的圆心坐标为(－1，0)，半径为3，
所以两圆的圆心距为d＝＝.
因为5－3＜＜5＋3，所以两圆相交，
所以两圆的公切线有2条．
答案：B
3．解析：由题意，圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为M(2，1)，半径为r1＝1，
圆N：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1的圆心坐标为N(－2，－1)，半径为r2＝1，
如图所示，两圆相离，有四条公切线．
两圆心坐标关于原点O对称，则有两条切线过原点O，
设切线l：y＝kx，则圆心到直线的距离＝1，解得k＝0或k＝，
另两条切线与直线MN平行且相距为1，又由lMN：y＝x，
设切线l：y＝x＋b，则＝1，解得b＝±，
结合选项，可得D不正确．
答案：D
4．解析：圆O：(x－1)2＋(y－2)2＝4的圆心为O(1，2)，半径为2，
以PO长为直径，则PO的中点坐标为N(2，)，|PO|＝ ＝4，
∴以N为圆心，PO长为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－)2＝4.
∵过点P(3，0)作圆O：(x－1)2＋(y－2)2＝4的两条切线切点分别为A，B，∴AB是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦AB所在直线的方程为x－y＋3＝0.
答案：A
5．解析：将两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，
即2ax＋2by－a2－b2＝0.
因为圆C1的圆心为(0，0)，半径为1，且公共弦AB的长为1，
则C1(0，0)到直线2ax＋2by－a2－b2＝0的距离为，
所以＝，解得a2＋b2＝3，所以直线AB的方程为2ax＋2by－3＝0.
答案：D
6．解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－4＋λ(x2＋y2－4x＋2y＋2)＝0，则(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2－4λ)x－(4－2λ)y－4＋2λ＝0，
则圆心坐标为，代入直线x＋2y＋2＝0，可解得λ＝－.
故所求圆的方程为－x2－y2＋12x－9y－9＝0，即x2＋y2－8x＋6y＋6＝0.
答案：A
7．解析：两圆有三条公切线，则两圆外切，∴ ＝5，∴a＝±3.又a＞0，∴a＝3.
答案：3
8．解析：因为圆C1：x2＋y2－1＝0 ①，圆C2：x2＋y2－2x＋4y＝0 ②，
由①－②，得2x－4y－1＝0，
所以两圆的公共弦所在的直线方程为2x－4y－1＝0.
答案：2x－4y－1＝0
9．解析：因为(－4)2＋32＞1，所以C(－4，3)在圆x2＋y2＝1的外部，
设所求圆C的半径为r，
当两圆内切时，可得r－1＝＝5，即r＝6，
此时圆的方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝36，
当两圆外切时，可得r＋1＝＝5，即r＝4，
此时圆的方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝16.
答案：(x＋4)2＋(y－3)2＝16或(x＋4)2＋(y－3)2＝36
10．解析：由题知：圆心C1(0，0)，C2(2，－3)，
圆C1的半径R1＝1，圆C2的半径R2＝2，
设点P(x，y)，则点P对圆C1的幂为(x2＋y2)－1，
点P对圆C2的幂为(x－2)2＋(y＋3)2－4，
所以有(x2＋y2)－1＝(x－2)2＋(y＋3)2－4，
化简得2x－3y－5＝0.
答案：2x－3y－52025高考数学一轮复习-8.4-直线与圆的位置关系-专项训练
【A级 基础巩固】
1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
2．若圆C：x2＋y2－2x＋2y＝2与直线x－y＋a＝0有公共点，则a的取值范围是( )
A．[－2－2，2－2] B．[－2－2，2－2)
C．(－2－2，2－2) D．[－2－2，2]
3．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝R2(R＞0)，点A(0，2)，B(2，0)，则“R2＞8”是“直线AB与圆C有公共点”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
5．已知圆O：x2＋y2＝4，点P(1，1)，圆O内过点P的最长弦为AB，最短弦为CD，则(＋)·的值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
6．过点P(1，)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则弦长|AB|＝( )
A． B．2
C． D．4
7．若圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的弦MN的中点为A(2，－3)，则直线MN的方程是________________．
8．若一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________________．
9．已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________．
10．设P为直线l：x－y＝0上的动点，PA，PB为圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，A，B为切点，求：
(1)圆心到直线l的距离；
(2)四边形APBC的面积的最小值．
【B级 能力提升】
1．过直线x－y－m＝0上一点P作圆M：(x－2)2＋(y－3)2＝1的两条切线，切点分别为A，B.若使得四边形PAMB的面积为的点P有两个，则实数m的取值范围为( )
A．－5＜m＜3 B．－3＜m＜5
C．m＜－5或m＞3 D．m＜－3或m＞5
2．(多选)已知O为坐标原点，圆Ω：(x－cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1，则下列结论正确的是( )
A．圆Ω恒过原点O
B．圆Ω与圆x2＋y2＝4内切
C．直线x＋y＝被圆Ω所截得弦长的最大值为
D．直线x cos α＋y sin α＝0与圆Ω相离
3．(多选)已知圆C：x2＋y2－4y＋3＝0，一条光线从点P(2，1)射出经x轴反射，下列结论正确的是( )
A．圆C关于x轴的对称圆的方程为x2＋y2＋4y＋3＝0
B．若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线方程为3x－2y－4＝0
C．若反射光线与圆C相切于点A，与x轴相交于点B，则|PB|＋|BA|＝2
D．若反射光线与圆C交于M，N两点，则△CNM面积的最大值为
4．直线x－y＝0截圆(x－2)2＋y2＝4所得劣弧所对的圆心角是( )
A． B．
C． D．
5．过点A(a，0)(a>0)，且倾斜角为30°的直线与圆O：x2＋y2＝r2(r>0)相切于点B，且|AB|＝，则△OAB的面积是( )
A． B．
C．1 D．2
6．以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的标准方程为________________．
7．已知圆E：x2＋y2－2x＝0，若A为直线l：x＋y＋m＝0上的点，过点A可作两条直线与圆E分别切于点B，C，且△ABC为等边三角形，则实数m的取值范围是________________．
8．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________________．
9．过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为________________．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：由题意，知圆心(0，1)到直线l的距离
d＝＜1＜，故直线l与圆相交．
答案：A
2．解析：由圆的方程可得圆心为C(1，－1)，半径r＝2.
因为直线与圆C有交点，
所以圆心C到直线x－y＋a＝0的距离d小于等于半径，即d＝≤2，
解得－2－2≤a≤2－2.
答案：A
3．解析：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝＝，半径是2，结合图形(图略)可知有3个符合条件的点．
答案：C
4．解析：因为A(0，2)，B(2，0)，
所以直线AB的方程为＋＝1，
即x＋y－2＝0.
圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝R2的圆心为(3，3)，半径为R，
所以圆心到直线AB的距离d＝＝2.
当R2＞8，即R＞2时，d＜R，
直线AB与圆C相交，故充分性成立；
当直线AB与圆C有公共点时，d≤R，
则R2≥8，故必要性不成立．
综上，“R2＞8”是“直线AB与圆C有公共点”的充分不必要条件．
答案：A
5．解析：由题知线段AB为圆O的直径，
不妨设A(－，－)，B(，)，
过点P的最短弦CD是垂直于AB的弦，
不妨设C(0，2)，D(2，0)，
则(＋)·＝(2＋2，2－2)·(2，－2)＝4＋4－4＋4＝8.
答案：C
6．解析：如图所示，
∵PA，PB分别为圆O：x2＋y2＝1的切线，∴OA⊥AP.
∵P(1，)，O(0，0)，
∴|OP|＝＝2.
又∵在Rt△APO中，|OA|＝1，cos ∠AOP＝，
∴∠AOP＝60°，∴|AB|＝2|OA|sin ∠AOP＝.
答案：A
7．解析：由题意得圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4的圆心为C(1，－2)，
则kAC＝＝－1，故kMN＝1，
所以所求方程为y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.
答案：x－y－5＝0
8．解析：点A(－2，－3)关于y轴的对称点为A′(2，－3)，
故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，
化为kx－y－2k－3＝0.
∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，
∴圆心(－3，2)到直线的距离d＝＝1，
化为24k2＋50k＋24＝0，
∴k＝－或－.
答案：－或－
9．解析：∵圆心(1，0)到直线x－my＋1＝0的距离d＝，∴|AB|＝2 ＝ ，
∴S△ABC＝|AB|·d＝＝，
∴2m2－5|m|＋2＝0，∴|m|＝2或|m|＝，
∴m＝±2或m＝±.
答案：2或－2或或－(写出一个即可)
10．解：(1)圆心C(2，0)到直线l的距离为＝.
(2)S四边形APBC＝2S△PAC＝2×·|AC|·|PA|＝，要使四边形APBC的面积最小，只需|PC|最小，当PC与直线l垂直时，|PC|取得最小值，为，所以四边形APBC的面积的最小值为＝1.
【B级 能力提升】
1．解析：∵A，B两点分别为圆M的切点，
∴△PAM与△PBM是全等的直角三角形，
由题知圆M的圆心为(2，3)，半径为1，
则四边形PAMB的面积为2S△PAM＝2××1×|PA|＝，
即|PA|＝，故|PM|＝2.
∵使得四边形PAMB的面积为的点P有两个，
则M到x－y－m＝0的距离d＝＜2，
∴－5＜m＜3.
答案：A
2．解析：对于A，将O(0，0)代入圆Ω的方程，
得cos2θ＋sin2θ＝1恒成立，所以圆Ω恒过原点O，A正确；
对于B，圆Ω的圆心为A(cosθ，sin θ)，
半径为1，圆x2＋y2＝4的圆心为B(0，0)，半径为2，
所以|AB|＝1＝2－1，
所以圆Ω与圆x2＋y2＝4内切，B正确；
对于C，点A(cos θ，sin θ)到直线x＋y＝的距离为＝＝－sin ，所以直线x＋y＝被圆Ω所截得弦长为2≤2＝，C正确；
对于D，点A(cos θ，sin θ)到直线x cos α＋y sin α＝0的距离为
＝|cos(θ－α)|≤1，所以直线x cos α＋y sin α＝0与圆Ω相交或相切，D错误．
答案：ABC
3．解析：将圆C的方程化为标准方程得x2＋(y－2)2＝1，则圆C的圆心为C(0，2)，半径为1.
对于A，因为C(0，2)关于x轴的对称点为
C′(0，－2)，所以圆C关于x轴对称的圆的方程为x2＋(y＋2)2＝1，
即x2＋y2＋4y＋3＝0，故A正确；
对于B，因为反射光线平分圆C的周长，
所以反射光线经过圆心C(0，2)，所以入射光线所在的直线过点(0，－2)，所以入射光线所在直线的方程为y＋2＝x，
即3x－2y－4＝0，故B正确；
对于C，由题意可知反射光线所在的直线过点P′(2，－1)，
所以|PB|＋|BA|＝|P′B|＋|BA|＝|P′A|.
因为|P′A|＝＝＝2，
所以|PB|＋|BA|＝2，故C错误；
对于D，设∠CMN＝θ，θ∈，则圆心C(0，2)到直线P′N的距离d＝sin θ，且|MN|＝2cos θ，所以S△CMN＝d|MN|＝sin θcos θ＝sin 2θ，当sin 2θ＝1，即θ＝时，△CNM面积取得最大值，故D正确．
答案：ABD
4．解析：画出图形，如图，圆心(2，0)到直线的距离为d＝＝1，∴sin ∠AOC＝＝，
∴∠AOC＝，∴∠CAO＝，
∴∠ACO＝π－－＝.
答案：D
5．解析：由切线的性质可得△ABO是以点B为直角顶点的直角三角形，在Rt△ABO中，∠OAB＝30°，|AB|＝，则|OB|＝1，|OA|＝2，△OAB的面积是×1×＝.
答案：B
6．解析：圆心到直线的距离为＝3，
则所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝9
7．解析：设圆E的圆心为E，半径为r，圆E：x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，则圆心E(1，0)，半径r为1，
由题意知直线l上存在点A，使得＝sin 30°＝，
即|AE|＝2r.又因为|AE|≥d(d为圆心到直线l的距离)，故要使点A存在，只需d≤2r＝2，可得≤2，解得m∈[－2－1，2－1].
答案：[－2－1，2－1]
8．解析：设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，M的坐标为(3，0)，
则|PQ|即为切线长，|MQ|为圆M的半径，长度为1，
|PQ|＝＝，要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离．
设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，
则d＝＝2，
∴|PM|的最小值为2，
|PQ|＝＝＝.
答案：
9．解析：化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2.
∵|OA|＝＝>2，∴点A(3，5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝＝2，
即|3－2k|＝2，∴k＝，
故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.
答案：5x－12y＋45＝0或x－32025高考数学一轮复习-8.2-直线的交点坐标与距离公式-专项训练
【A级 基础巩固】
1．两条直线l1：x＝2和l2：3x＋2y－12＝0的交点坐标是( )
A．(2，3) B．(－2，3)
C．(3，－2) D．(－3，2)
2．直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a－1)y－1＝0.若l1∥l2，则a的值为( )
A．－3或2 B．3或－2
C．3 D．－2
3．过点P(4，－1)且与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程是( )
A．4x＋3y－13＝0 B．4x－3y－19＝0
C．3x－4y－16＝0 D．3x＋4y－8＝0
4．若直线a，b的斜率分别为方程x2－4x－1＝0的两个根，则a与b的位置关系为( )
A．互相平行 B．互相重合
C．互相垂直 D．无法确定
5．平面直角坐标系中与直线y＝2x＋1关于点(1，1)对称的直线方程是( )
A．y＝2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝－2x＋3 D．y＝2x－3
6．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t，1)，则n的值为( )
A．7 B．9
C．11 D．－7
7．(多选)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是( )
A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3
B．若l1∥l2，则m＝3
C．若l1⊥l2，则m＝－
D．若l1⊥l2，则m＝
8．(多选)已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是( )
A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直
B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0)
C．不论a为何值时，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称
D．如果l1与l2交于点M，O为坐标原点，则|MO|的最大值是
9．直线l1：x＋ay－2＝0(a∈R)与直线l2：y＝x－1平行，则a＝________，l1与l2的距离为________．
10．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．若点A(5，0)到直线l的距离为3，则l的方程为________．
11．已知点P1(2，3)，P2(－4，5)和A(－1，2)，则过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程为________________．
12．已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在的直线方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为______________．
【B级 能力提升】
1．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，若直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为( )
A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0
C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0
2．(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题不正确的是( )
A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行
B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直
C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交
3．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为( )
A． B．
C．2 D．2
4．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A．4x＋2y＋3＝0 B．2x－4y＋3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
5．若m∈R，则“log6m＝－1”是“直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知两条直线l1：(3＋t)x＋4y＝5－3t，l2：2x＋(5＋t)y＝8，l1∥l2，则t＝________．
7．若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________．
8．若△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为________．
9．已知点A(4，－1)，B(8，2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，则|PA|＋|PB|的最小值为________．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：联立得
所以两条直线的交点坐标为(2，3).
答案：A
2．解析：∵直线l1：ax＋3y＋1＝0，
l2：2x＋(a－1)y－1＝0，l1∥l2，
∴a(a－1)－2×3＝0，且－a－2≠0，∴a＝3.
答案：C
3．解析：与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程可设为4x＋3y＋m＝0.
把点P(4，－1)代入得4×4－3＋m＝0，
解得m＝－13.
所以满足条件的直线方程为4x＋3y－13＝0.
答案：A
4．解析：由根与系数的关系得ka·kb＝－1，则a与b互相垂直．
答案：C
5．解析：在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0，1)，B(1，3)，
则点A关于点(1，1)对称的点M(2，1)，B关于点(1，1)对称的点N(1，－1).
由两点式求出直线MN的方程＝，
即y＝2x－3.
答案：D
6．解析：直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，则m＝10，
故(t，1)在直线2x＋5y－3＝0上，t＝－1，
垂足为(－1，1)，点(－1，1)在5x－2y＋n＝0上，
∴－5－2＋n＝0，∴n＝7.
答案：A
7．解析：若l1∥l2，则1×3－m(m－2)＝0，
解得m＝3或－1，
当m＝－1时，l1：x－y－1＝0，l2：x－y－1＝0，l1与l2重合，
∴m＝－1(舍去)，故m＝3，故A不正确，B正确；
若l1⊥l2，则1×(m－2)＋m×3＝0，
解得m＝，故C不正确，D正确．
答案：BD
8．解析：对于A，a×1＋(－1)×a＝0恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确；
对于B，直线l1：ax－y＋1＝0，当a变化时，x＝0，y＝1恒成立，所以l1恒过定点A(0，1)；
l2：x＋ay＋1＝0，当a变化时，x＝－1，y＝0恒成立，所以l2恒过定点B(－1，0)，故B正确；
对于C，在l1上任取点(x，ax＋1)，关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为(－ax－1，－x)，
代入l2：x＋ay＋1＝0，则等式左边不等于0，故C不正确；
对于D，联立解得
所以|MO|＝＝≤，
所以|MO|的最大值是，故D正确．
答案：ABD
9．解析：由题可知直线l1的斜率为－(a≠0)，
直线l2的斜率为，所以－＝，
解得a＝－，
则直线l1：3x－4y－6＝0，
直线l2：3x－4y－4＝0，
两直线间的距离d＝＝.
答案：－
10．解析：法一：两直线交点为(2，1)，
当斜率不存在时，所求直线方程为x－2＝0，
此时A到直线l的距离为3，符合题意；
当斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－1＝k(x－2)，
即kx－y＋(1－2k)＝0.
由点到直线的距离公式得d＝＝3，解得k＝，
故所求直线方程为4x－3y－5＝0.
综上，所求直线方程为x－2＝0或4x－3y－5＝0.
法二：经过两直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
所以＝3，
解得λ＝2或.
所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
答案：x＝2或4x－3y－5＝0
11．解析：当直线与点P1，P2的连线所在的直线平行时，
由直线P1P2的斜率k＝＝－，
得所求直线的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
当直线过线段P1P2的中点时，
因为线段P1P2的中点坐标为(－1，4)，
所以直线方程为x＝－1.
综上，所求直线方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
答案：x＋3y－5＝0或x＝－1
12．解析：易得A不在l1和l2上，
因此l1，l2为∠B，∠C的平分线，
所以点A关于l1，l2的对称点在BC边所在的直线上．
设点A关于l1的对称点为A1(x1，y1)，
点A关于l2的对称点为A2(x2，y2)，
则解得
所以A1(0，3).
又易得点A关于l2的对称点A2的坐标为(－2，－1)，
所以BC边所在直线的方程为＝，
即2x－y＋3＝0.
答案：2x－y＋3＝0
【B级 能力提升】
1．解析：设A(a，b)，则
解得所以A(－1，1).
设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，
当d＝|AB|时取得最大值，
此时直线l2垂直于直线AB，
所以直线l2的斜率k＝－＝－＝，
所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，
即3x－2y＋5＝0.
答案：B
2．解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
对于A，若d1＝d2＝1，
则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝，
直线P1P2与直线l平行，正确；
对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，直线P1P2不一定与l垂直，错误；
对于C，若d1＝d2＝0，满足d1＋d2＝0，
即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，
则点P1，P2都在直线l上，
所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；
对于D，若d1·d2≤0，
即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，
所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，
所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误．
答案：BCD
3．解析：联立解得x＝1，y＝2.
把(1，2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.
∴m＝－5－2n.
∴点(m，n)到原点的距离
d＝＝
＝≥，
当n＝－2，m＝－1时取等号．
∴点(m，n)到原点的距离的最小值为.
答案：A
4．解析：因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线．
又A(1，0)，B(0，2)，
故AB的中点为，kAB＝－2，
故AB的中垂线方程为y－1＝，
即2x－4y＋3＝0.
答案：B
5．解析：由log6m＝－1，得m＝.若l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则直线斜率相等或斜率不存在，解得m＝0或m＝，则“log6m＝－1”是“直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行”的充分不必要条件．
答案：A
6．解析：∵l1∥l2，∴＝≠，解得t＝－7.
答案：－7
7．解析：由题意得＝≠，
∴a＝－4，c≠－2，
则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0.
由两平行线间的距离公式得＝，
即＝2，解得c＝2或c＝－6.
答案：2或－6
8．解析：BH所在直线方程为x－2y－5＝0，
设AC的方程为2x＋y＋t＝0，且过A(5，1)，
代入解得t＝－11.
联立AC与CM的方程得解得C(4，3).
设B(2m＋5，m)，则M，
即2m＋10－－5＝0，
解得m＝－3，则B(－1，－3)，
所以BC的方程为＝，
即6x－5y－9＝0.
答案：6x－5y－9＝0
9．解析：设点A1与A关于直线l对称，
P0为A1B与直线l的交点，
∴|P0A1|＝|P0A|，|PA1|＝|PA|.
在△A1PB中，|PA1|＋|PB|>|A1B|＝|A1P0|＋|P0B|＝|P0A|＋|P0B|，
∴|PA|＋|PB|≥|P0A|＋|P0B|＝|A1B|.
当P点运动到P0时，|PA|＋|PB|取得最小值|A1B|.
设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，
则由对称的充要条件知
解得∴A1(0，3)，
∴(|PA|＋|PB|)min＝|A1B|＝＝.
答案：2025高考数学一轮复习-8.3-圆的方程-专项训练
【A级 基础巩固】
1．经过坐标原点，且圆心坐标为(－1，1)的圆的一般方程是( )
A．x2＋y2－2x－2y＝0
B．x2＋y2－2x＋2y＝0
C．x2＋y2＋2x－2y＝0
D．x2＋y2＋2x＋2y＝0
2．若点P(1，1)在圆C：x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围是( )
A．(－2，＋∞) B．
C． D．(－2，2)
3．已知圆C经过A(0，0)，B(2，0)，且圆心在第一象限，△ABC为直角三角形，则圆C的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝4
B．(x－)2＋(y－)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－2)2＝5
4．已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
5．若k∈，方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0不表示圆，则k的取值集合中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
6．(多选)若实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则( )
A．的最大值为
B．的最小值为－
C．的最大值为
D．的最小值为－
7．(多选)已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是( )
A．圆M的圆心坐标为(1，3)
B．圆M的半径为
C．圆M关于直线x＋y＝0对称
D．点(2，3)在圆M内
8．(多选)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是( )
A．满足条件的圆C的圆心在一条直线上
B．满足条件的圆C有且只有一个
C．点(2，－1)在满足条件的圆C上
D．满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4
9．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
10．已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为________．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(－2，－1)的圆C和直线x－y＋1＝0相切，且圆心在直线y＝2x上，则圆C的标准方程为________________．
【B级 能力提升】
1．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆Ck均不经过点(3，0)
C．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
2．已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是( )
A．1＋ B．4
C．1＋3 D．72
3．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“圆C与y轴相切于原点”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为( )
A．(x－1)2＋(y－)2＝2
B．(x－1)2＋(y－2)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋)2＝4
D．(x－1)2＋(y－)2＝4
5．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝4
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝4
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝4
D．(x－2)2＋(y－2)2＝4
6．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
7．若长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为________．
8．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．
9．已知点P为圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上任意一点，A，B为直线3x＋4y＋5＝0上的两动点，且|AB|＝2，则△ABP的面积的取值范围是________．
10．已知直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋2＝0，则圆C的半径r＝________________；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是________________．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：设圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝r2，
经过坐标原点(0，0)，则r2＝2.
所以(x＋1)2＋(y－1)2＝2，
即x2＋y2＋2x－2y＝0.
答案：C
2．解析：由题意得
解得－2＜k＜.
答案：C
3．解析：∵圆心在弦的中垂线上，∴可设C(1，m).
∵△ABC为直角三角形，|AB|＝2，
∴|AC|＝＝.
∵m＞0，∴m＝1，
∴圆心坐标为(1，1)，圆的半径为，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案：C
4．解析：由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为dmin＝－1＝4.
答案：A
5．解析：方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示圆的条件为(k－1)2＋(2k)2－4k>0，
即5k2－6k＋1>0，解得k>1或k<.
又知该方程不表示圆，所以k的取值范围为.
又因为k∈，所以满足条件的k＝，即k的取值集合为.
答案：A
6．解析：由题意可得方程x2＋y2＋2x＝0表示圆心坐标为(－1，0)、半径r＝1的圆，
则为圆上的点与点(1，0)连线的斜率的值．
设过点(1，0)的直线为y＝k(x－1)，
即kx－y－k＝0，即求直线kx－y－k＝0与圆相切时k的值，当直线与圆相切时，圆心到直线kx－y－k＝0的距离d＝r，
即＝1，整理可得3k2＝1，
解得k＝±，所以∈.
即的最大值为，最小值为－.
答案：CD
7．解析：设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则解得
所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝5.
故圆M的圆心坐标为(1，3)，圆M的半径为.
因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，
所以圆M不关于直线x＋y＝0对称．
因为(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，
故点(2，3)在圆M内．
答案：ABD
8．解析：因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，
所以设圆心坐标为(a，－a)(a＞0)，
故圆心在直线y＝－x上，A正确；
设圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，
把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，
解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，
所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；
圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，
(x－5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，－1)代入这两个方程可知其在圆C上，故C正确；
它们的圆心距为＝4，D正确．
答案：ACD
9．解析：依据圆的方程特征，得a2＝a＋2，
解得a＝－1或2.
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
整理得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
则圆心为(－2，－4)，半径是5；
当a＝2时，4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，
即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，该方程不表示圆．
答案：(－2，－4) 5
10．解析：求△ABP面积的最小值，
即求P到直线AB距离的最小值，
即为圆心到直线AB的距离减去半径．
直线AB的方程为＋＝1，
即3x－4y－12＝0，
圆x2＋y2－2y＝0，
即为x2＋(y－1)2＝1，圆心为(0，1)，半径为1.
∵圆心到直线AB的距离为d＝＝，
∴P到直线AB的最小值为－1＝.
∵|AB|＝＝5，
∴△ABP面积的最小值为×5×＝.
答案：
11．解析：根据题意，圆心在直线y＝2x上，
则设圆心为(n，2n)，圆的半径为r.
又圆C过点M(－2，－1)且与直线x－y＋1＝0相切，
则有解得
则圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝2.
答案：(x＋1)2＋(y＋2)2＝2
【B级 能力提升】
1．解析：圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；
令(3－k)2＋(0－k)2＝4，
化简得2k2－6k＋5＝0.
∵Δ＝36－40＝－4＜0，
∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；
由(2－k)2＋(2－k)2＝4，
化简得k2－4k＋2＝0.
∵Δ＝16－8＝8＞0，有两个不相等实根，
∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；
由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．
答案：ABD
2．解析：法一：由x2＋y2－4x－2y－4＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝9，
此方程表示以(2，1)为圆心、3为半径的圆．
设t＝x－y，则x－y－t＝0.设圆心(2，1)到直线x－y－t＝0的距离为d，则d＝＝.
依题意知，直线x－y－t＝0与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9有公共点，
∴d＝≤3，即|1－t|≤3，
∴－3≤t－1≤3，即1－3≤t≤1＋3，
∴t的最大值为1＋3，
即x－y的最大值为1＋3.
法二：由x2＋y2－4x－2y－4＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝9.设x＝2＋3cos θ，y＝1＋3sin θ，θ∈[0，2π)，
∴x－y＝2＋3cos θ－1－3sin θ＝1＋3(cos θ－sin θ)＝1＋3cos .
∵θ＋∈，
∴cos ∈[－1，1]，
∴(x－y)max＝1＋3.
答案：C
3．解析：圆C与y轴相切于原点 圆C的圆心在x轴上(设坐标为(a，0))，且半径r＝|a|.∴当E＝F＝0且D<0时，圆心为，半径为，圆C与y轴相切于原点；圆(x＋1)2＋y2＝1与y轴相切于原点，但D＝2>0.
答案：A
4．解析：由题意得，圆C的半径为＝，圆心坐标为(1，)，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.
答案：A
5．解析：根据题意，设圆C2的圆心为(a，b)，
圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为(－1，1)，半径为2，
若圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C1与C2的圆心关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为2，则有解得
则圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.
答案：B
6．解析：设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，
则即
代入x2＋y2＝4得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案：A
7．解析：设M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，
则＝10，a2＋b2＝100，
且∴代入a2＋b2＝100，
得4x2＋4y2＝100，
即点M的轨迹方程为x2＋y2＝25.
答案：x2＋y2＝25
8．解析：设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.x＋y为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x＋y)max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.
答案：74
9．解析：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
圆心C(2，1)，半径R＝2，
圆心C到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝＝3，
设P到直线AB的距离为h，
则S△ABP＝·|AB|·h＝h.
∵d－R≤h≤d＋R，∴1≤h≤5，
∴S△ABP∈[1，5]，
即△ABP的面积的取值范围为[1，5].
答案：[1，5]
10．解析：圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，
圆心为C(2，0)，半径为r＝.
若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，过P作圆的两条切线PM，PN(M，N为切点)，则由题意得∠MPN≥90°，
而当CP⊥l时，∠MPN最大，只要此最大角≥90°即可，此时圆心C到直线l的距离为d＝|CP|＝，
所以＝≥，解得－16≤m≤4.答案： [－16，4]2025高考数学一轮复习-8.1-直线的倾斜角与斜率、直线的方程-专项训练
【A级 基础巩固】
1．若直线l的方程为x＝－3，则直线l的倾斜角是( )
A． B．
C．π D．0
2．已知A(1，－3)，B，C(9，λ)，且A，B，C三点共线，则λ＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
3．若AB＞0且BC＜0，则直线Ax＋By＋C＝0不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
5．过点A(－1，1)的直线l的倾斜角是直线l1：x－y＋1＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程是( )
A．x－y＋＋1＝0
B．x＋y＋－1＝0
C．x－3y＋＋3＝0
D．x＋3y＋－3＝0
6．过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距2倍的直线方程是( )
A．2x＋y－12＝0
B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0
D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0
7．(多选)已知直线l：x＝my＋1，则下列结论正确的是( )
A．直线l恒过定点(1，0)
B．直线l的斜率必定存在
C．m＝时，直线l的倾斜角为60°
D．m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为
8．(多选)已知直线l的方程为ax＋by－2＝0，下列判断正确的是( )
A．若ab＞0，则l的斜率小于0
B．若b＝0，a≠0，则l的倾斜角为90°
C．l可能经过坐标原点
D．若a＝0，b≠0，则l的倾斜角为0°
9．已知点A(1，3)，B(－2，－1)，若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，则k的取值范围是________．
10．如果直线x－4y＋b＝0的纵截距为正，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，则b＝________．
11．已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．
12．已知直线x＋ky－2－k＝0恒过定点A，则A点的坐标为________；若点A在直线mx－y＋n＝0(m，n＞0)上，则＋的最小值为________．
【B级 能力提升】
1．直线(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A． B．
C．∪ D．∪
2．(多选)已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是( )
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．直线的斜率一定存在
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
3．已知方程kx＋3－2k＝有两个不同的解，则实数k的取值范围为( )
A． B．
C． D．
4．已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝x＋ D．y＝－x＋2
5．(多选)在下列四个命题中，错误的有( )
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线倾斜角的取值范围是[0，π]
C．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α或不存在
6．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．
7．已知△ABC的三个顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为________．
8．设m∈R，若过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
9．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，则直线AB的方程是________．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：∵直线l的方程为x＝－3，
∴直线与x轴垂直，∴直线l的倾斜角是.
答案：A
2．解析：∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，
即＝，解得λ＝1.
答案：C
3．解析：∵AB＞0且BC＜0，∴－＜0，－＞0，直线y＝－x－的斜率小于零，在y轴上的截距大于零，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
答案：C
4．解析：设直线l的倾斜角为α，
则tan α＝k＝2，
直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，
所得直线的斜率k′＝tan (α＋45°)＝＝－3.
又过点M(2，0)，
所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.
答案：D
5．解析：因为k1＝tan α＝，α＝60°，
所以k＝tan 120°＝－，
所以直线l的方程是y－1＝－(x＋1)，
即x＋y＋－1＝0.
答案：B
6．解析：当直线过原点时，由直线过点(5，2)，
可得直线的斜率为，
故直线的方程为y＝x，即2x－5y＝0；
当直线不过原点时，设直线在x轴上的截距为b，
则在y轴上的截距是2b，直线的方程为＋＝1，
把点(5，2)代入可得＋＝1，解得b＝6.
故直线的方程为＋＝1，
即2x＋y－12＝0.
答案：B
7．解析：A中，由直线方程知，直线恒过定点(1，0)，正确；
B中，当m＝0时，直线斜率不存在，错误；
C中，m＝时，直线l：y＝(x－1)，
则直线l的斜率为，倾斜角为30°，错误；
D中，m＝2时，直线l：x＝2y＋1，则直线l与x轴，y轴的交点分别为(1，0)，，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，正确．
答案：AD
8．解析：若ab＞0，则l的斜率－＜0，故A正确；若b＝0，a≠0，则l的方程为x＝，其倾斜角为90°，故B正确；若l经过坐标原点，则－2＝0，显然不成立，故C错误；若a＝0，b≠0，则l的方程为y＝，
其倾斜角为0°，故D正确．
答案：ABD
9．解析：直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2，1)，
∵kPA＝＝－2，kPB＝＝，
又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，
∴－2≤k≤.
答案：
10．解析：由题意，知直线的方程为y＝x＋(b＞0)，
它与两坐标轴的交点为和(－b，0)，
它与两坐标轴围成的三角形的面积为××b＝8，解得b＝8.
答案：8
11．解析：BC的中点坐标为，
∴BC边上中线所在的直线方程为＝，
即x＋13y＋5＝0.
答案：x＋13y＋5＝0
12．解析：将直线方程变形得x－2＋k(y－1)＝0，
由解得定点A的坐标为(2，1).
由于点A在直线mx－y＋n＝0上，
则有2m－1＋n＝0，所以2m＋n＝1，
所以＋＝(2m＋n)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即当且仅当n＝m时等号成立．
答案：(2，1) 3＋2
【B级 能力提升】
1．解析：直线的斜率k＝－(1－a2)＝a2－1.
∵a2≥0，
∴k＝a2－1≥－1.
倾斜角和斜率的关系如图所示，
∴该直线倾斜角的取值范围是∪.
答案：C
2．解析：根据直线倾斜角的范围为[0，π)，
而π－α∈R，A不正确；
当x＝y＝0时，x sin α＋y cos α＋1＝1≠0，
所以直线必不过原点，B正确；
当α＝时，直线斜率不存在，C不正确；
当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为
S＝·＝≥1，D正确．
答案：BD
3．解析：由题意得，半圆y＝与直线y＝kx＋3－2k有两个交点．又直线y＝kx＋3－2k y－3＝k(x－2)过定点C(2，3)，如图所示．又点A(－2，0)，B(2，0)，当直线在AC位置时，斜率k＝＝；当直线和半圆相切时，由2＝，解得k＝，故实数k的取值范围为.
答案：B
4．解析：直线x－2y－4＝0的斜率为，∴直线l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝x＋2.
答案：A
5．解析：对于A，当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，∴A错误；
对于B，直线倾斜角的取值范围是[0，π)，∴B错误；
对于C，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，∴C错误．
答案：ABC
6．解析：依题意，直线的斜率k＝－∈[－1，0)，
因此其倾斜角的取值范围是.
答案：
7．解析：由题知M(2，4)，N(3，2)，
故中位线MN所在直线的方程为＝，
整理得2x＋y－8＝0.
答案：2x＋y－8＝0
8．解析：易知定点A(0，0)，B(1，3)，且无论m取何值，两动直线都垂直，所以无论P与A，B重合与否，均有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上)，所以|PA|·|PB|≤(|PA|2＋|PB|2)＝5，当且仅当|PA|＝|PB|＝时等号成立．
答案：5
9．解析：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan (180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C.
由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得
解得m＝，所以A(，).
又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
答案：(3＋)x－2y－3－
