2025高考数学一轮复习-5.4-复数-专项训练
【A级 基础巩固】
1．复数z＝(i为虚数单位)的虚部是( )
A．－1 B．1
C．－i D．i
2．若复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则等于( )
A．－2＋i B．－2－i
C．2＋i D．2－i
3．复数z＝－i5在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．已知复数z满足(1－i)2z＝2－4i，其中i为虚数单位，则复数的虚部为( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
5．已知复数z＝，i为虚数单位，则|z|等于( )
A．2 B．2
C．2 D．2
6．非零复数z满足＝－zi，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．实轴
B．虚轴
C．第一或第三象限
D．第二或第四象限
7．(多选)已知i为虚数单位，复数z＝，则以下说法正确的是( )
A．z在复平面内对应的点在第一象限
B．z的虚部是－
C．|z|＝3
D．若复数z1满足|z1－z|＝1，则|z1|的最大值为1＋
8．若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
9．若复数z满足z·i＝2－i，则|z|＝________．
10．设O是坐标原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是________．
【B级 能力提升】
1．在复平面内，复数＝(i为虚数单位)，则z对应的点的坐标为( )
A．(3，4) B．(－4，3)
C． D．
2．(多选)设z为复数，则下列命题中正确的是( )
A．|z|2＝z·
B．z2＝|z|2
C．若|z|＝1，则|z＋i|的最大值为2
D．若|z－1|＝1，则0≤|z|≤2
3．已知复数z＝(a∈R，i是虚数单位)的虚部是－3，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．(多选)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)，复数z2满足|z2－1＋2i|＝2，z2在复平面内对应的点为M(x，y)，则下列说法正确的是( )
A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限
B．＝－－i
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝4
D．|z2－z1|的最大值为3＋2
5．(多选)欧拉公式exi＝cos x＋isin x(其中i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A．复数e2i对应的点位于第三象限
B．e为纯虚数
C．复数的模长等于
D．e的共轭复数为－i
6．方程z2－4|z|＋3＝0在复数集内解的个数为( )
A．4 B．5
C．6 D．8
7．若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则其另外一个根是________，a＝________．
8．已知复数z满足是纯虚数，则|z2＋z＋3|的最小值为________．
9．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且满足|z－2|＝1，则的取值范围是________．
在数学中，记表达式ad－bc为由所确定的二阶行列式．若在复数域内，z1＝1＋i，z2＝，z3＝2，则当＝－i时，z4的虚部为________．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：因为z＝＝＝＝1－i，所以复数z的虚部为－1.
答案：A
2．解析：由(1＋2i)z＝4＋3i z＝＝＝2－i，所以＝2＋i.
答案：C
3．解析：因为z＝－i5＝－i＝－i＝－－i，所以z在复平面内对应的点为，位于第三象限．
答案：C
4．解析：由题意，化简得z＝＝＝＝2＋i，则＝2－i，所以复数的虚部为－1.
答案：B
5．解析：z＝＝＝(1＋3i)(1＋i)＝－2＋4i，|z|＝＝2.
答案：C
6．解析：由题意，设z＝a＋bi(a，b∈R)，
故＝－zi a－bi＝－(a＋bi)i＝－ai＋b，
故a＝b，－b＝－a，
即复数z＝a＋ai，在复平面内对应的点位于第一或第三象限的角平分线上．
答案：C
7．解析：∵z＝＝＝＋i，∴z在复平面内对应的点为，在第一象限，故A正确；
z的虚部是，故B不正确；|z|＝＝，故C不正确；
设z1＝x＋yi，x，y∈R，由|z1－z|＝1得＋＝1，则点(x，y)在以为圆心，以1为半径的圆上，则(x，y)到(0，0)的距离的最大值为1＋＝1＋，即|z1|的最大值为1＋，故D正确．
答案：AD
8．解析：(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，由已知，得a＋2＝0，1－2a≠0，∴a＝－2.
答案：－2
9．解析：由z·i＝2－i，得z＝＝＝－1－2i，∴|z|＝＝.
答案：
10．解析：∵向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，∴＝(2，－3)，＝(－3，2)，∴＝－＝(5，－5)，其对应的复数是5－5i.
答案：5－5i
11．解析：z＝i＋i2 024＝i＋1，＋＝1－i＋＝6－6i，其模为6.
答案：6
【B级 能力提升】
1．解析：因为＝＝＝＝－＋i，所以z＝－－i，所以复数z所对应的点的坐标为.
答案：D
2．解析：对于A，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，所以|z|2＝a2＋b2，而z·＝a2＋b2，所以|z|2＝z·成立；
对于B，z＝a＋bi(a，b∈R)，当ab均不为0时，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，而|z|2＝a2＋b2，所以z2＝|z|2不成立；
对于C，|z|＝1可以看成以O(0，0)为圆心、1为半径的圆上的点P，|z＋i|可以看成点P到Q(0，－1)的距离，所以当P(0，1)时，可取|z＋i|的最大值2；
对于D，|z－1|＝1可以看成以M(1，0)为圆心、1为半径的圆上的点N，则|z|表示点N到原点的距离，故当O，N重合时，|z|＝0最小，当O，M，N三点共线时，|z|＝2最大，故0≤|z|≤2.
答案：ACD
3．解析：由题意，z＝＝＝2－ai的虚部是－3，所以z在复平面内对应的点的坐标为(2，－3)，在第四象限．
答案：D
4．解析：对于A，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(－2，1)，该点位于第二象限，故A正确；
对于B，＝＝＝－－i，故B正确；
对于C，z2－1＋2i＝(x－1)＋(y＋2)i，
∵|z2－1＋2i|＝2，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故C错误；
对于D，z1－1＋2i＝－3＋3i，则|z1－1＋2i|＝＝3.
|z2－z1|＝|(z2－1＋2i)－(z1－1＋2i)|≤|z2－1＋2i|＋|z1－1＋2i|＝2＋3，故D正确．
答案：ABD
5．解析：对于A，e2i＝cos 2＋isin 2，∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A错误；
对于B，e＝cos ＋isin＝i，可得e为纯虚数，故B正确；对于C，＝＝
＝＋i，
可得其模长为
＝，故C正确；
对于D，e＝cos ＋isin＝＋i，可得e的共轭复数为－i，故D错误．
答案：BC
6．解析：令z＝a＋bi(a，b∈R)，则a2－b2＋2abi－4＋3＝0，得
当b＝0时，a2－4|a|＋3＝0，a＝±1或a＝±3；
当a＝0时，b2＋4|b|－3＝0，|b|＝－2＋或|b|＝－2－(舍)，即b＝±(－2).
综上，共有6个解，z＝±1，z＝±3，z＝±(－2)i.
答案：C
7．解析：设方程的另外一根为x，则x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，a＝(2－3i)(2＋3i)＝13.
答案：2＋3i 13
8．解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝.
因为为纯虚数，所以a2＋b2＝1(b≠0)，所以a2＝1－b2，所以－1＜a＜1.
所以|z2＋z＋3|＝|a2－b2＋2abi＋a＋bi＋3|
＝|a2－b2＋a＋3＋(2ab＋b)i|＝
＝＝.
当a＝－时，|z2＋z＋3|取得最小值，最小值为.
答案：
9．解析：复数z＝x＋yi，且|z－2|＝1，所以(x－2)2＋y2＝1，
它表示圆心为(2，0)、半径为1的圆，则表示圆上的点与原点连线的斜率．
由题意设过点O且与圆相切的直线方程为
y＝kx，则消去y，整理得(k2＋1)x2－4x＋3＝0，
由Δ＝16－12(k2＋1)＝0，解得k＝－或k＝，
由题意得的取值范围是.
答案：
10．解析：依题意知，＝z1z4－z2z3.因为z3＝2，且z2＝＝＝，所以z2z3＝|z2|2＝，因此有(1＋i)z4－＝－i，即(1＋i)z4＝3－i，故z4＝＝＝1－2i，所以z4的虚部是－2.
答案：－2.2025高考数学一轮复习-5.2-平面向量的基本定理及坐标表示-专项训练
【A级 基础巩固】
1．在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是( )
A．(2，2) B．(－2，－2)
C．(1，1) D．(－1，－1)
2．在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
3．如图，已知＝a，＝b，＝4，＝3，则＝( )
A．b－a B．a－b
C．a－b D．b－a
4．设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y).若a∥b，则|3a＋b|等于( )
A． B．
C． D．
5．已知等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且＋＋2＝0，则△AOB的面积是( )
A．4 B．
C． D．2
6．古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可．已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则＝( )
A．－＋ B．－＋
C．－＋ D．－＋
7．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足2||＋||＝1.设＝x＋y，则2x＋3y的最小值为( )
A．48 B．49
C．50 D．51
8．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，0).若向量ma＋b与2a－nb共线，则mn＝________．
9．若在△ABC中，AB＝，∠ABC＝，BC＝3，AD为BC边上的高，O为AD上靠近点A的三等分点，且＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ－2μ＝________．
10．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°.设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________．
11．在△ABC中，D为AC上一点且满足＝，若P为BD上一点，且满足＝λ＋μ(λ，μ为正实数)，则λμ的最大值为________，＋的最小值为________．
【B级 能力提升】
1．(多选)设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是( )
A．给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c
B．给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc
C．给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc
D．给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc
2．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 B．2
C． D．2
3．已知0<θ<π，向量a＝，b＝(1，sinθ)，且a∥b，则θ＝________．
4．记数列{an}的前n项和为Sn，已知向量m＝(an＋1，Sn)，n＝(1，2).若a1＝2，且m∥n，则{an}的通项公式为________．
5．如图，在△ABC中，＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB的中点，与交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值．
6．如图，在同一个平面内，三个单位向量，，满足条件：与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，求m＋n的值．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：因为A(2，2)，B(1，1)，所以＝(－1，－1).
答案：D
2．解析：对于A，C，D都有e1∥e2，所以只有B成立．
答案：B
3．解析：＝＋＝＋＝(－)－＝－＝b－a.
答案：D
4．解析：由于a∥b，所以1×y＝2×(－2)，解得y＝－4，所以b＝(－2，－4)，3a＋b＝(3，6)＋(－2，－4)＝(1，2)，|3a＋b|＝＝.
答案：A
5．解析：根据题意，设AB边的中点为D，
因为△ABC是等边三角形，则CD⊥AB.
由AB的中点为D，得＋＝2.
又由＋＋2＝0，得＝－，则O是CD的中点．又△ABC的边长为4，则AD＝2，CD＝2，则OD＝，
所以S△AOB＝×4×＝2.
答案：D
6．解析：以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
不妨设AD＝2，则A(－1，)，B(5，5)，D(0，0)，E(9，)，C(0，4)，
故＝(6，4)，＝(9，－3)，＝(9，).
设＝x＋y，则解得所以＝－＋.
答案：B
7．解析：如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(4，3)，D(0，3).
设M(m，0)，N(0，n)，因为2||＋||＝1，
所以2m＋n＝1.
因为＝x＋y＝＋，
所以x＝，y＝，
所以2x＋3y＝＋＝(2m＋n)＝25＋＋≥25＋24＝49，
当且仅当＝，即m＝，n＝时取等号．
答案：B
8．解析：因为a＝(1，－1)，b＝(2，0)，1×0－(－1)×2≠0，
所以a与b不共线，则a与b可以作为平面内的一个基底．
因为ma＋b与2a－nb共线，又ma＋b＝(m＋2，－m)，2a－nb＝(2－2n，－2)，
所以(m＋2)×(－2)＝－m(2－2n)，即mn＝－2.
答案：－2
9．解析：由题意可知，在Rt△ABD中，AB＝，∠ABC＝，
所以BD＝1，所以BD＝BC，
所以＝＝(＋)＝＝＋(＋)＝＋.又因为＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以λ－2μ＝－＝0.
答案：0
10．解析：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2).
因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0).
＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，所以＝.
答案：
11．解析：因为D为AC上一点且满足＝，所以＝4.因为＝λ＋μ，
所以＝λ＋4μ.
因为P为BD上一点，所以B，P，D三点共线，则有λ＋4μ＝1.
由基本不等式可得1＝λ＋4μ≥2＝4，解得λμ≤，
当且仅当λ＝4μ＝时取等号，故λμ的最大值为，
＋＝(λ＋4μ)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当λ＝4μ＝时取等号，
故＋的最小值为4.
答案： 4
【B级 能力提升】
1．解析：∵向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，∴b≠0，c≠0，给定向量a和b，只需求得其向量差a－b，即为所求的向量c，故总存在向量c，使a＝b＋c，故A正确；当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量b，c可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；
取a＝(4，4)，μ＝2，b＝(1，0)，无论λ取何值，向量λb都平行于x轴，而向量μc的模恒等于2，要使a＝λb＋μc成立，根据平行四边形法则，向量μc的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；因为λ和μ为正数，所以λb和μc代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D错误．
答案：AB
2．解析：如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，B(1，0)，D(0，2)，C(1，2)，直线BD的方程为y＝－2x＋2，
⊙C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝r2.
又＝(1，0)，＝(0，2)，则＝λ＋μ＝(λ，2μ)，
圆与直线BD相切，则半径r＝.
P点坐标可表示为x＝1＋r cos θ＝λ，y＝2＋r sin θ＝2μ，
则λ＋μ＝2＋sin θ＋r cos θ＝2＋sin (θ＋φ)，
当sin (θ＋φ)＝1时，有最大值，为2＋×＝3.
答案：A
3．解析：因为a∥b，所以sin2θ＝2cos2，所以4sin2cos2＝2cos2.
因为0<θ<π，cos≠0，所以sin2＝，所以sin＝.因为0<θ<π，所以＝，即θ＝.
答案：
4．解析：∵m∥n，∴Sn＝2an＋1.
当n＝1时，S1＝a1，得a2＝＝1；
当n≥2时，2an＋1＝Sn，2an＝Sn－1，两式作差得：an＋1＝an，即＝，
∴{an}是以为公比、1为首项的等比数列，则an＝(n≥2).
又a1＝2不符合上式，∴an＝
答案：an＝
5．解：(1)在△ABC中，由＝＋，
得4－3－＝0，即3(－)＝－，即3＝，
即点M是线段BC上的靠近B的四等分点，∴△ABM与△ABC的面积之比为.
(2)∵＝＋，＝x＋y(x，y∈R)，∥，＝，
∴设＝λ＝＋＝＋.
∵N，P，C三点共线，∴＋＝1，解得λ＝，x＝＝，y＝λ＝，
故x＋y＝.
6．解：以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
由tan α＝7知α为锐角，则sin α＝，cos α＝，
故cos (α＋45°)＝－，sin (α＋45°)＝.
∴点B，C的坐标分别为，，∴＝，＝.
又＝m＋n，∴＝m(1，0)＋n，
∴解得∴m＋n＝＋＝2025高考数学一轮复习-5.1-平面向量的概念及线性运算-专项训练
【A级 基础巩固】
1．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( )
A．a＋b＝0
B．a＝b
C．a与b共线反向
D．存在正实数λ，使a＝λb
2．如图所示，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于( )
A．0 B．
C． D．
3．矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点．若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )
A． B．
C．1 D．
4．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若＝＋，则点M是边BC的中点
B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C．若＝－－，则点M是△ABC的重心
D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
6．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.其中正确命题有________(填序号).
7．如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b.
(1)试用a，b表示，，；
(2)证明：B，E，F三点共线．
【B级 能力提升】
1．(多选)下列命题中正确的是( )
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．在△ABC中，＋＋＝0
C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反
D．如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向与a，b之一的方向一定相同
2．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－4＋3＝0，则等于( )
A． B．
C． D．
3．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，且＝λ＋μ，则λ＋μ等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．已知等腰梯形ABCD满足AB∥CD，AC与BD交于点P，且AB＝2CD＝2BC，则下列结论错误的是( )
A．＝2
B．||＝2||
C．＝＋
D．＝＋
5．已知直线l上有三点A，B，C，O为l外一点，又等差数列{an}的前n项和为Sn.若＝(a1＋a3)＋2a10，则S11＝( )
A． B．3
C． D．
6．设P，Q为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为( )
A． B．
C． D．
7．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设在△ABC中，点O，H，G分别是其外心、垂心、重心，则下列四个结论正确的是________(填序号).
①＝2；②＋＋＝0；③设BC边的中点为D，则有＝3；④＝＝.
8．已知在△ABO中，OA＝OB＝1，∠AOB＝.若OC与线段AB交于点P，且满足＝λ＋μ，||＝，则λ＋μ的最大值为________．
9．如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点，＝2，过点G的直线分别交直线AB，AC于P，Q两点，＝x(x＞0)，＝y(y＞0)，则＋的最小值为________．
10．如图，已知正六边形ABCDEF，M，N分别是对角线AC，CE上的点，使得＝＝r，当r＝________时，B，M，N三点共线．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，所以a与b共线同向，故D正确．
答案：D
2．解析：根据正六边形的性质，
易得＋＋＝＋＋＝＋＝.
答案：D
3．解析：＝－＝－＝(＋)－＝－，∴λ＝，μ＝－，∴λ2＋μ2＝＋＝.
答案：A
4．解析：若＝＋，则点M是边BC的中点，故A正确；
若＝2－，即有－＝－，即＝，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若＝－－，即＋＋＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确；
如图，＝x＋y，且x＋y＝，
可得2＝2x＋2y，设＝2，则M为AN的中点，
则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．
答案：ACD
5．解析：∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0.又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则解得λ＝μ＝.
答案：
6．解析：＝a，＝b，＝＋＝(＋)＋＝＋＝－a－b，故①错误；
＝＋＝a＋b，故②正确；
＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；
＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，故④正确．
答案：②③④
7．(1)解：在△ABC中，因为＝a，＝b，
所以＝－＝b－a，
＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b，
＝＋＝－＋＝－a＋b.
(2)证明：因为＝－a＋b，
＝＋＝－＋＝－a＋＝－a＋b＝，
所以＝，与共线，且有公共点B，
所以B，E，F三点共线．
【B级 能力提升】
1．解析：对于A选项，0平行于任何向量，若b＝0，满足a∥b，b∥c，但不一定满足a∥c，故A错误；
对于B选项，首尾顺次相接，故B正确；
对于C选项，两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反(大小相等，方向相反)，故C正确；
对于D选项，当a＋b＝0时，零向量的方向是任意的，故D错误．
答案：BC
2．解析：由－4＋3＝0，得－＝3(－)，即＝3，所以＝＋＝，所以||＝||，即＝.
答案：B
3．解析：∵＝＋＝4＝4×(＋)＝2＋2，
∴λ＝μ＝2，∴λ＋μ＝4.
答案：D
4．解析：依题意，显然△APB∽△CPD，故有＝＝＝，
即AP＝2PC，PB＝2PD，则＝2，故A正确；
又四边形ABCD是等腰梯形，故AP＝PB，即||＝2||，故B正确；
在△ABD中，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故C正确；
又＝＝＝＋，所以D错误．
答案：D
5．解析：∵点A，B，C是直线l上不同的三点，
∴存在非零实数λ，使＝λ －＝λ(－) ＝(1＋λ)－λ .
∵若＝(a1＋a3)＋2a10，∴1＋λ＝a1＋a3，－λ＝2a10，∴a1＋a3＋2a10＝1.
∵数列{an}是等差数列，∴2a2＋2a10＝1 a2＋a10＝＝a1＋a11，∴S11＝＝.
答案：A
6．解析：如图，设＝，＝，
∴＝＋＝＋.
由平行四边形法则知NP∥AB，∴△ABP的面积与△ABC的面积之比为.
同理，由＝＋，可得△ABQ的面积与△ABC的面积之比为，
∴△ABP的面积与△ABQ的面积之比为∶＝.
答案：D
7．解析：由题意作图，如图所示，易知BC的中点D与A，G共线．
由题意得，＝2，OD⊥BC，AH⊥BC，所以OD∥AH，所以＝2，所以①正确；由题意得，＋＝2＝－，所以＋＋＝0，所以②正确；
由题意知AG＝2GD，又GH＝2OG，∠AGH＝∠DGO，所以△AGH∽△DGO，所以＝2，故③错误；向量，，的模相等，方向不同，故④错误．
答案：①②
8．解析：∵线段OC与线段AB交于点P，设＝x (x≥1)，
则x＝λ＋μ，即＝＋.
又∵P，A，B三点共线，则＋＝1，即λ＋μ＝x.
∵OA＝OB＝1，∴当P为AB中点时，||最小，此时x最大．
又∠AOB＝，故此时||＝.又因为||＝，∴＝2，即x＝2，即λ＋μ的最大值为2.
答案：2
9．解析：因为M为线段BC的中点，所以＝(＋).又因为＝2，所以＝＝(＋).
又＝x(x＞0)，＝y(y＞0)，所以＝＋.
又P，G，Q三点共线，所以＋＝1，即x＋y＝3，
所以＋＝[x＋(y＋1)]＝≥
＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．
答案：
10．解析：连接AD，交EC于点G，设正六边形边长为a，由正六边形的性质知，AD⊥CE，AD∥CB，G点为EC的中点，且AG＝a，
则＝＋＝＋.
又＝＝r(r>0)，则＝，＝，
故＝＋，即＝＋.
若B，M，N三点共线，由共线定理知＋＝1，解得r＝或－(舍).
答案：r＝2025高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积-专项训练
【A级 基础巩固】
1．已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )
A．－ B．0
C．3 D．
2．(多选)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是( )
A．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
B．(a·b)·c＝a·(b·c)
C．a·b≤|a|·|b|
D．|a－b|≤|a|＋|b|
3．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为( )
A． B．
C． D．
4．(多选)如图，点A，B在圆C上，则·的值( )
A．与圆C的半径有关
B．与圆C的半径无关
C．与弦AB的长度有关
D．与点A，B的位置有关
5．已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝________．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为________．
7．已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π].
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．
【B级 能力提升】
1．(多选)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(－3，4)，则下列说法正确的是( )
A．cos 〈a，b〉＝
B．b在a方向上的投影向量为a
C．与b垂直的单位向量的坐标为
D．若向量a＋λb与非零向量a－λb共线，则λ＝0
2．已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
3．已知单位向量a，b，且〈a，b〉＝.若(a＋b)⊥c，|c|＝2，则a·c＝( )
A．1 B．12
C．－2或2 D．－1或1
4．将向量＝(，)绕坐标原点O顺时针旋转75°得到1，则·＝( )
A． B．－
C．＋ D．
5．已知菱形ABCD的边长为1，·＝－，G是菱形ABCD内一点．若＋＋＝0，则·＝( )
A． B．1
C． D．2
6．在平行四边形ABCD中，已知＝，＝，||＝，||＝，则·＝( )
A．－9 B．－
C．－7 D．－
7．已知点O为坐标原点，＝(1，1)，＝(－3，4)，点P在线段AB上，且||＝1，则点P的坐标为________．
8．向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a·b＝(||2－||2)，我们称为极化恒等式．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________．
9．在2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中·的值为________．
10．在△ABC中，∠A＝60°，BC＝1，点D为AB的中点，点E为CD的中点．若设＝a，＝b，则可用a，b表示为________；若＝，则·的最大值为________．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.
答案：C
2．解析：根据数量积的分配律可知A正确；
B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；
根据数量积的定义可知a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉≤|a|·|b|，故C正确；
|a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－2a·b－2|a||b|≤0，故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2，即|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确．
答案：ACD
3．解析：设|b|＝1，则|a＋b|＝|a－b|＝2.由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，故以|a|，|b|为邻边的平行四边形是矩形，且|a|＝.设向量a＋b与a的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝.又0≤θ≤π，所以θ＝.
答案：D
4．解析：如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D，则D是AB的中点，故·＝||·||·cos ∠CAD＝||·||·＝||2，故·的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关，故选B，C.
答案：BC
5．解析：由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，因此a·b＋b·c＋c·a＝－.
答案：－
6．解析：依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2.
因为P点在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，
所以·＝t2－t·(2－t)＝2t2－2t＝2－，当t＝时，·取得最小值－.
答案：－
7．解：(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos x＝3sin x.
若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，
故cosx≠0，于是tan x＝－.又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos .
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，从而－1≤cos ≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－2.
8．解：(1)由题意得(a－c)cos B＝b cos C.
根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin B cos C，
所以sin A cos B＝sin (C＋B)，
即sin A cos B＝sin A．因为A∈(0，π)，
所以sin A＞0，所以cos B＝.又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为|－|＝，所以||＝，即b＝，
根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，
即ac≤3(2＋).故△ABC的面积S＝ac sin B≤，
因此△ABC的面积的最大值为.
【B级 能力提升】
1．解析：由题意知|a|＝，|b|＝5，a·b＝－3＋4＝1，则cos 〈a，b〉＝＝，因此A正确；
b在a方向上的投影向量为|b|cos 〈a，b〉·＝·＝a＝a，因此B错误；
与b垂直的单位向量的坐标为或，因此C错误；
因为a＋λb＝(1－3λ，1＋4λ)，a－λb＝(1＋3λ，1－4λ)，若向量a＋λb与向量a－λb共线，则(1－3λ)(1－4λ)＝(1＋3λ)(1＋4λ)，解得λ＝0.
答案：AD
2．解析：如图所示，＝a，＝b，＝c，＝a－b，当AB⊥OC时，a－b与c垂直，(a－b)·c＝0，所以a·c＝b·c成立，此时a≠b，∴a·c＝b·c不是a＝b的充分条件，当a＝b时，a－b＝0，∴(a－b)·c＝0·c＝0，∴a·c＝b·c成立，∴a·c＝b·c是a＝b的必要条件．综上，“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．
答案：B
3．解析：由题意单位向量a，b，且〈a，b〉＝，可知a＋b与a的夹角为.因为(a＋b)⊥c，所以〈a，c〉＝或，
故当〈a，c〉＝时，a·c＝|a|·|c|cos 〈a，c〉＝1×2×＝1；
当〈a，c〉＝时，a·c＝|a|·|c|cos 〈a，c〉＝1×2×＝－1.
答案：D
4．解析：因为＝(，)，所以||＝＝2，因为向量绕坐标原点O顺时针旋转75°得到1，所以向量与向量1的夹角为75°，且|1|＝2，所以·＝||·||·cos 75°＝2×2×cos (30°＋45°)＝4＝－.
答案：B
5．解析：在菱形ABCD中，菱形ABCD的边长为1，·＝－，
所以·＝||·||cos ∠BAD＝cos ∠BAD＝－，
所以∠BAD＝120°，则△ABC为等边三角形．因为＋＋＝0，
所以点G为△ABC的重心，故|AG|＝|AM|＝.在等边△ABC中，M为BC的中点，则∠BAM＝30°，所以·＝||·||cos ∠BAM＝×1×＝.
答案：A
6．解析：∵＝，＝，∴＝＋＝＋，＝＋＝＋.又||＝，||＝，∴＝，＝，
∴2＋·＋2＝2，2＋·＋2＝6，
两式相减得2－2＝－4，∴2－2＝－.
∴·＝(＋)·(－)＝2－2＝－.
答案：B
7．解析：∵O为坐标原点，＝(1，1)，＝(－3，4)，∴A(1，1)，B(－3，4)，kAB＝－，则直线AB的方程为y＝－x＋.
设P点坐标为，－3答案：
8．解析：由题知，||＝3，||＝10，·＝(4||2－||2)＝×(36－100)＝－16.
答案：－16
9．解析：在题图③中，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
||＝2，＝＝(1，)，||＝，即＝，
||＝，由图形知PN∥OM，所以＝，所以＝＋＋＝，
所以·＝1×＋×＝6.
答案：6
10．解析：因为E为CD的中点，则＋＝0，可得
两式相加，可得到2＝＋，即2＝a＋b，则＝a＋b.
因为＝，则2＋＝0，可得
得到＋＋2(＋)＝＋2，即3＝2a＋b，即＝a＋b.
于是·＝·＝.
记AB＝x，AC＝y，
则·＝(2a2＋5a·b＋2b2)＝(2x2＋5xy cos 60°＋2y2)＝.
在△ABC中，根据余弦定理：BC2＝x2＋y2－2xy cos 60°＝x2＋y2－xy＝1，
于是·＝＝.
由x2＋y2－xy＝1和基本不等式，x2＋y2－xy＝1≥2xy－xy＝xy，
故xy≤1，当且仅当x＝y＝1时取等号，
则当x＝y＝1时，·有最大值.
答案： a＋b
