2025高考数学一轮复习-2.4-幂函数与几类特殊函数-专项训练
【A级 基础巩固】
1．若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为( )
A．1或3 B．1
C．3 D．2
2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d
C．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c
3．已知函数f(x)＝x-3.若a＝f(0.60.6)，b＝f(0.60.4)，c＝f(0.40.6)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a
C．b4．函数y＝1－的图象是( )
5．若函数f(x)＝，则f(x)的值域为( )
A．(－∞，3] B．(2，3)
C．(2，3] D．[3，＋∞)
6．已知狄利克雷函数D(x)＝则下列结论正确的是( )
A．D(x)是偶函数
B．D(x)是单调函数
C．D(x)的值域[0，1]
D．D(π)＞D(3.14)
7．已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x).若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)等于( )
A．0 B．m
C．2m D．4m
8．(多选)对于任意的x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.18世纪，y＝[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列结论中正确的是( )
A．对于任意的x∈R，x＜[x]＋1
B．y＝[x]，x∈R的图象关于原点对称
C．函数y＝x－[x](x∈R)，y的取值范围为[0，1)
D．对于任意的x，y∈R，[x]＋[y]≤[x＋y]恒成立
9．若幂函数f(x)＝(a2－5a－5)x在(0，＋∞)上单调递增，则a等于________．
10．若f(x)＝x，则不等式f(x)＞f(8x－16)的解集是________．
11．函数f(x)＝的值域是________．
12．求函数f(x)＝的最小值．
【B级 能力提升】
1．已知关于x的方程＝a|x|有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(0，1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
2．已知b，c∈R，若|x2＋bx＋c|≤M对任意的x∈[0，4]恒成立，则下列结论正确的是( )
A．M的最小值为1
B．M的最小值为2
C．M的最小值为4
D．M的最小值为8
3．幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－＝________．
4．函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[log2x]，求f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)的值．
参考答案
1．解析：由题意得m2－4m＋4＝1，且m2－6m＋8>0，解得m＝1.
答案：B
2．解析：由幂函数的图象可知，在(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a＞b＞c＞d.
答案：B
3．解析：∵0.40.6<0.60.6<0.60.4，
又y＝f(x)＝x-3在(0，＋∞)上是减函数，
∴b答案：B
4．解析：易知函数的对称中心为点(1，1)，且当x＞1时，函数单调递增．
答案：B
5．解析：f(x)＝＝2＋，
∵x2≥0，∴x2＋1≥1，
∴0＜≤1，∴f(x)∈(2，3].
答案：C
6．解析：对于A，当x∈Q时，显然－x∈Q，此时恒有D(x)＝D(－x)＝1，当x Q时，此时x是无理数，显然－x也是无理数，此时恒有D(x)＝D(－x)＝0，所以D(x)是偶函数，因此A正确；对于B，因为D(0)＝D(1)＝1，所以函数D(x)不是实数集上的单调函数，因此B不正确；对于C，由函数的解析式，可知D(x)的值域为{0，1}，因此C不正确；对于D，因为D(π)＝0，D(3.14)＝1，所以D(π)＜D(3.14)，因此D不正确．
答案：A
7．解析：∵f(x)＋f(－x)＝2，y＝＝1＋，
∴函数y＝f(x)与y＝的图象都关于点(0，1)对称，
∴i＝0，i＝×2＝m.
答案：B
8．解析：对于A，由定义知[x]≤x＜[x]＋1，所以 x∈R，x＜[x]＋1，故A正确；对于B，当0≤x＜1时，y＝[x]＝0，当－1＜x＜0时，y＝[x]＝－1，所以y＝[x]，x∈R不是奇函数，故B错误；对于C，因为x－1＜[x]≤x，所以0≤x－[x]＜1，所以y＝x－[x](x∈R)的值域为[0，1)，故C正确；对于D，对于任意的x，y∈R，[x]≤x，[y]≤y，所以[x]＋[y]≤x＋y，则[x]＋[y]≤[x＋y]，故D正确．
答案：ACD
9．解析：因为函数f(x)＝(a2－5a－5)x是幂函数，所以a2－5a－5＝1，解得a＝－1或a＝6.
当a＝－1时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增；
当a＝6时，f(x)＝x-3在(0，＋∞)上单调递减；
所以a＝－1.
答案：－1
10．解析：因为f(x)＝x在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f(x)＞f(8x－16)，
所以
即2≤x＜，所以不等式的解集为.
答案：
11．解析：f(x)＝＝＝＋，
令t＝，
则t≥2，f(x)可化为y＝t＋，
易知该函数在[2，＋∞)上单调递增，
故y＝t＋≥2＋＝.
答案：
12．解：由|x＋1|≥|x－2|得x≥.
由|x＋1|＜|x－2|得x＜，
作出f(x)＝的图象(图略)，
由图象得f(x)min＝.
【B级 能力提升】
1．解析：方程＝a|x|有三个不同的实数解等价于函数y＝与y＝a|x|的图象有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝与y＝a|x|的图象．如图所示，由图易知a＞0，当－2＜x＜0时，设y＝－ax的图象与函数f(x)＝的图象相切于点(x0，y0).
因为f′(x)＝－，
则有解得a＝1.
所以实数a的取值范围为(1，＋∞).
答案：C
2．解析：设f(x)＝x2＋bx＋c，则|f(x)|的最大值为max{|f(0)|，|f(2)|，|f(4)|}，
所以
故4M≥|f(0)|＋2|f(2)|＋|f(4)|≥f(0)－2f(2)＋f(4)＝8，即M≥2.
答案：B
3．解析：∵BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)，
∴M，N，
将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，
得a＝log，b＝log，
∴a－＝log－＝0.
答案：0
4．解：由题意，当2i＋1≤x≤2i+1－1，i∈N*时，
f(x)＝i，在[2i＋1，2i+1－1]上奇数共有2i-1个，
且f(1)＝0，f(3)＝1，
则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝0＋1＋2×2＋3×22＋…＋9×28＋10.
设T＝1＋2×2＋3×22＋…＋9×28，
则2T＝2＋2×22＋3×23＋…＋8×28＋9×29，
两式相减得－T＝1＋2＋22＋…＋28－9×29＝29－1－9×29＝－1－8×29，
所以T＝1＋8×29＝4 097.
所以f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝4 097＋10＝4 107.2025高考数学一轮复习-2.3-奇偶性、对称性与周期性-专项训练
【A级 基础巩固】
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝x－1 B．y＝ln x2
C．y＝ D．y＝－x2
2．已知函数f(x)＝为奇函数，则a等于( )
A．－1 B．1
C．0 D．±1
3．函数f(x)＝的图象( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于坐标原点对称
D．关于直线y＝x对称
4．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数．当0A．－2 B．0
C．2 D．1
5．(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
6．(多选)若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上单调递减，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f(2)>f(3) B．f(2)＝f(6)
C．f(3)＝f(5) D．f(3)>f(6)
7．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．
8．已知函数f(x)，对 x∈R满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(0)＝0，则f(26)＝________．
9．已知函数f(x)＝a sin x＋b tan x＋1.若f(a)＝－2，则f(－a)＝________．
10．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
【B级 能力提升】
1．已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且满足f(－1)＝0，则关于x的不等式f(x)＜sin πx的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(0，1)
D．(－1，0)∪(0，1)
2．(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)对 x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，则下列判断正确的是( )
A．f(x)是周期函数且周期为4
B．f(x)的图象关于点(1，0)对称
C．f(x)的图象关于直线x＝－1对称
D．f(x)在[－4，4]上至少有5个零点
3．(多选)已知函数f(x)对 x∈R，都有f(－2－x)＝f(x)，且任取x1，x2∈[－1，＋∞)，<0(x1≠x2)，以下结论中正确的是( )
A．f(0)>f(－3)
B． x∈R，f(x)≤f(－1)
C．f(a2－a＋1)≥f
D．若f(m)4．已知函数f(x)对任意实数x满足f(－x)＋f(x)＝2.若函数y＝f(x)的图象与y＝x＋1有三个交点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则y1＋y2＋y3＝________．
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．答案：D
2．解析：由题意，得f(－x)＝－f(x)，
则f(－1)＝－f(1)，即1＋a＝－a－1，得a＝－1(经检验符合题意).
答案：A
3．解析：f(x)＝＝3x＋3－x，f(－x)＝3－x＋3x，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．
答案：B
4．解析：∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，∴f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)，∴f(1)＝0，f＝f＝－f＝－4＝－2，∴f＋f(1)＝－2.
答案：A
5．解析：由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证．
A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；
B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；
C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；
D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．
可知B，D正确．
答案：BD
6．解析：∵y＝f(x＋4)为偶函数，
∴f(－x＋4)＝f(x＋4)，
∴y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称，
∴f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5).
又y＝f(x)在(4，＋∞)上单调递减，
∴f(5)>f(6)，∴f(3)>f(6).
答案：BCD
7．解析：f(x)＝ax2＋bx为偶函数，则b＝0.
又定义域[a－1，2a]关于原点对称，则a－1＋2a＝0，
∴a＝，∴a＋b＝.
答案：
8．解析：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x)的周期为4，
∴f(26)＝f(2).
∵对 x∈R有f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，即f(26)＝0.
答案：0
9．解析：令g(x)＝a sin x＋btan x，
则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋1.
∵f(a)＝g(a)＋1＝－2，∴g(a)＝－3，
∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝4.
答案：4
10．解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是当x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1故实数a的取值范围是(1，3].
【B级 能力提升】
1．解析：∵f(x)为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，
由此可在平面直角坐标系中画出y＝f(x)与y＝sin πx的大致图象，如图所示，
由图象可知，当x∈(－∞，－1)∪(0，1)时，f(x)＜sin πx.
答案：C
2．解析：对于A，因为f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
所以函数f(x)的周期为4，故A正确；
对于B，因为f(x＋2)＝－f(x)，且f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋2)＝f(－x)，
所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故B错误；
对于C，因为f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(x－2).
又因为f(－x)＝－f(x)，
所以f(x－2)＝f(－x)，
所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称，故C正确；
对于D，因为f(x)为R上的奇函数且周期为4，
必有f(0)＝0，在[－4，4]上，f(4)＝f(0)＝0，f(－4)＝f(0)＝0.
又由f(x＋2)＝－f(x)，
则f(2)＝－f(0)＝0，f(－2)＝f(2)＝0，
则f(x)在[－4，4]上至少有5个零点，故D正确．
答案：ACD
3．解析：根据题意，函数f(x)对 x∈R，都有f(－2－x)＝f(x)，
则函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称．
又由任取x1，x2∈[－1，＋∞)，<0(x1≠x2)，
则f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递减，
则f(x)在(－∞，－1]上单调递增．
据此分析选项：
对于A，f(－3)＝f(1)，则有f(0)>f(1)＝f(－3)，A正确；
对于B，f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递减，在(－∞，－1]上单调递增，故f(x)在x＝－1时，取得最大值，即有 x∈R，f(x)≤f(－1)，B正确；
对于C，f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递减，又由a2－a＋1＝＋≥，则f(a2－a＋1)≤f，C错误；
对于D，若f(m)2，D错误．
答案：AB
4．解析：∵f(－x)＋f(x)＝2，则f(x)的图象关于点(0，1)对称．
又直线y＝x＋1也关于点(0，1)对称，
因为y＝f(x)与y＝x＋1有三个交点，
则(0，1)是一个交点，另两个交点关于(0，1)对称，
则y1＋y2＋y3＝2＋1＝3.
答案：3
5．解析：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解：∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0，2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即当x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.2025高考数学一轮复习-2.6-对数与对数函数-专项训练
【A级 基础巩固】
1．已知＝p，9p＝n，其中m＞0且m≠1，n＞0且n≠1.若2m－n＝0，则p的值为( )
A．log32 B．log23
C．2 D．3
2．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系式为P＝P0e－kt，其中P0，k为正常数．如果一定量的废气在前10 h的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据：ln 2≈0.693，ln 5≈1.609)( )
A．11 h B．21 h
C．31 h D．41 h
3．若函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则a等于( )
A． B．
C． D．2
4．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于( )
A．log2x B．
C．logx D．2x-2
5．已知a＝2，b＝log420，c＝log312，则a，b，c的大小关系是( )
A．b＜c＜a B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．a＜b＜c
6．已知a＝log0.12，b＝log5，则( )
A．ab＜0＜a＋b B．ab＜a＋b＜0
C．a＋b＜0＜ab D．a＋b＜ab＜0
7．若实数x，y，z互不相等，且满足2x＝3y＝log4z，则( )
A．z＞x＞y B．z＞y＞x
C．x＞y，x＞z D．z＞x，z＞y
8．若a＝log23，3b＝2，则2a＋2－a＝________，ab＝________．
9．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________．
10．若函数y＝f(x)与y＝5x互为反函数，则y＝f(x2－2x)的单调递减区间是________．
11．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a12．设f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.
(1)求a，b的值；
(2)当x∈[1，2]时，求f(x)的最大值．
【B级 能力提升】
1．(多选)已知函数f(x)＝ln (e2x＋1)－x，则( )
A．f(ln 2)＝ln
B．f(x)是奇函数
C．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
D．f(x)的最小值为ln 2
2．如果0＜a＜1，那么下列不等式中正确的是( )
A．(1－a)＞(1－a)
B．log(1－a)(1＋a)＞0
C．(1－a)3＞(1＋a)2
D．(1－a)1+a＞1
3．已知函数f(x)＝
若f(x)在区间[m，4]上的值域为[－1，2]，则实数m的取值范围为________．
4．已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：因为＝p，
所以log3m＝p，得m＝3p，
所以2m－n＝2×3p－9p＝2×3p－(3p)2＝0，
即3p(2－3p)＝0.
因为3p≠0，所以3p＝2，解得p＝log32.
答案：A
2．解析：由已知得＝e-10k，方程两边同取自然对数得ln ＝－10k，所以k＝≈0.022 3.
设污染物减少到最初含量的50%需要经过t h，
则＝e-0.022 3t，
方程两边同取自然对数得ln ＝－0.022 3t，
解得t≈31.
所以还需要经过31－10＝21 h使污染物减少到最初含量的50%.
答案：B
3．解析：当a＞1时，函数f(x)＝loga(x＋1)在[0，1]上是增函数，则即
解得a＝2.
当0＜a＜1时，函数f(x)＝loga(x＋1)在[0，1]上是减函数，
所以无解．综上，a＝2.
答案：D
4．解析：函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax.
又f(2)＝1，即loga2＝1，
所以a＝2.故f(x)＝log2x.
答案：A
5．解析：因为a＝2＝∈(0，1)，
b＝log420＝1＋log45＞1，c＝log312＝1＋log34＞1，
所以a＜b，a＜c.
下面比较log45和log34的大小．
log45－log34＝－＝≤
＝＜0，
所以log45＜log34，即b＜c.
综上，a＜b＜c.
答案：D
6．解析：因为a＝log0.12＜0，b＝log5＞0，
所以ab＜0.
又因为a＋b＝log0.12＋log5＝＋
＝－lg 2＋＝＜0，
所以a＋b＜0.
又＝＋＝log20.1＋log5＝log20.1＋log225＝log22.5＞1，所以＞1.
又ab＜0，所以a＋b＜ab，
所以a＋b＜ab＜0.
答案：D
7．解析：设2x＝3y＝log4z＝k＞0，
则x＝log2k，y＝log3k，z＝4k，
根据指数、对数函数图象易得4k＞log2k，4k＞log3k，
即z＞x，z＞y.
答案：D
8．解析：2a＋2－a＝2log23＋2－log23＝3＋＝.
∵3b＝2，∴b＝log32，
∴ab＝log23×log32＝×＝1.
答案： 1
9．解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝－≥－，
当log2x＝－，即x＝时等号成立，
所以函数f(x)的最小值为－.
答案：－
10．解析：因为y＝f(x)与y＝5x互为反函数，
所以f(x)＝log5x，则f(x2－2x)＝log5(x2－2x).
设μ＝x2－2x，则f(μ)＝log5μ.
由x2－2x＞0，解得x＜0或x＞2.
因为f(μ)＝log5μ在其定义域上单调递增，
又μ＝x2－2x在(－∞，0)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
所以y＝f(x2－2x)的单调递减区间是(－∞，0).
答案：(－∞，0)
11．解析：由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点(如图)，
∴ab＝1，0∴abc的取值范围是(0，1).
答案：(0，1)
12．解：(1)因为f(x)＝log2(ax－bx)，
且f(1)＝1，f(2)＝log212，
所以
即解得a＝4，b＝2.
(2)由(1)得f(x)＝log2(4x－2x)，
令t＝4x－2x，
则t＝4x－2x＝－.
因为1≤x≤2，所以2≤2x≤4，
所以≤≤，即2≤t≤12.
因为y＝log2t在[2，12]上单调递增，
所以ymax＝log212＝2＋log23，
即函数f(x)的最大值为2＋log23.
【B级 能力提升】
1．解析：f(ln 2)＝ln (e2ln 2＋1)－ln 2＝ln ，A正确；
f(x)＝ln (e2x＋1)－x＝ln (e2x＋1)－ln ex＝ln ＝ln (ex＋e－x)，
所以f(－x)＝ln (ex＋e－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，B错误；
当x＞0时，y＝ex＋e－x在(0，＋∞)上单调递增，
因此y＝ln (ex＋e－x)在(0，＋∞)上单调递增，C正确；
由于f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，
所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(0)＝ln 2，D正确．
答案：ACD
2．解析：因为0＜a＜1，所以y＝(1－a)x是减函数．
又＜，所以(1－a)＞(1－a).
因为0＜1－a＜1，1＋a＞1，
所以log(1－a)(1＋a)＜0，0＜(1－a)3＜1，
(1＋a)2＞1，0＜(1－a)1+a＜1，
所以(1－a)3＜(1＋a)2.
答案：A
3．解析：作出函数f(x)的图象，如图所示．
当x≤－1时，函数f(x)＝log2单调递减，且最小值为f(－1)＝－1.
令log2＝2，解得x＝－8.
当x＞－1时，函数f(x)＝－x2＋x＋在(－1，2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为f(2)＝2.
又f(4)＝＜2，f(－1)＝－1，
所以实数m的取值范围为[－8，－1].
答案：[－8，－1]
4．解：(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x＝2－2(log2x－1)2.
因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，
故函数h(x)的值域为[0，2].
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，
得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x.
令t＝log2x，因为x∈[1，4]，
所以t＝log2x∈[0，2]，
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0，2]时，k<恒成立，
即k<4t＋－15.
因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，
即t＝时取等号，
所以4t＋－15的最小值为－3.
所以k<－3.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－3).2025高考数学一轮复习-2.2-单调性与最大(小)值-专项训练
【A级 基础巩固】
1．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是( )
A． B．－
C．－2 D．2
2．函数f(x)＝|x－1|＋3x的单调递增区间是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
3．(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝3x－3－x
B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋cos x
D．y＝
4．已知函数f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a＞0且a≠1).若f(0)＜0，则此函数的单调递增区间是( )
A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)
C．[－1，1) D．(－3，－1]
5．(多选)已知函数f(x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，则下列结论正确的是( )
A．0＜a＜1
B．a＞1
C．f(a＋2 023)＞f(2 024)
D．f(a＋2 023)＜f(2 024)
6．已知函数f(x)＝若f(a2－4)>f(3a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－4，1)
B．(－∞，－4)∪(1，＋∞)
C．(－1，4)
D．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
7．如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么实数a的取值范围是( )
A．(0，2) B．(1，2)
C．(1，＋∞) D．
8．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．
9．设f(x)是定义在R上的增函数，且f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)＞1的解集为________．
10．已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数).若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
11．已知函数f(x)＝ax－＋(a＞0)，且f(x)在(0，1]上的最大值为g(a)，求g(a)的最小值．
12．已知函数f(x)＝.
(1)写出函数f(x)的定义域和值域；
(2)证明：函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，并求f(x)在x∈[2，8]上的最大值和最小值．
【B级 能力提升】
1．定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M＝max{2x，2x－3，6－x}，则M的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．6
2．设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，那么a的取值范围是________．
3．如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”．函数y＝－的值域为________，则与y是“同域函数”的一个解析式为________．
4．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)对于任意的x，y∈(0，＋∞)，总有f(x)＋f(y)＝f(xy)，当x＞1时，f(x)＜0且f(e)＝－1.
(1)求f(1)的值；
(2)判断函数在(0，＋∞)上的单调性，并证明；
(3)求函数f(x)在上的最大值与最小值．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：易知f(x)＝－x＋在上单调递减，故其最大值为f(－2)＝.
答案：A
2．解析：由于f(x)＝|x－1|＋3x＝显然当x≥1时，f(x)单调递增，当x<1时，f(x)也单调递增，且4×1－1＝2×1＋1，因此函数的单调递增区间是(－∞，＋∞).
答案：D
3．解析：∵y＝3x与y＝－3－x均为R上的增函数，∴y＝3x－3－x为R上的增函数，故A正确；由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；对于选项C，y′＝1－sin x≥0，∴y＝x＋cos x在R上为增函数，故C正确；y＝的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D不正确．
答案：AC
4．解析：令g(x)＝－x2－2x＋3，
由题意知g(x)＞0，可得－3＜x＜1，
故函数的定义域为{x|－3＜x＜1}．
根据f(0)＝loga3＜0，可得0＜a＜1.
又g(x)在定义域(－3，1)内的单调递减区间是[－1，1)，
所以f(x)的单调递增区间为[－1，1).
答案：C
5．解析：f(x)＝loga|x－1|的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞).
设z＝|x－1|，可得函数z在(－∞，1)上单调递减；
在(1，＋∞)上单调递增，由题意可得0＜a＜1，故A正确，B错误；
由于0＜a＜1，可得2 023＜a＋2 023＜2 024.
又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
则f(a＋2 023)＞f(2 024)，故C正确，D错误．
答案：AC
6．解析：f(x)＝ f(x)＝如图所示，画出函数图象，根据图象知函数单调递增，f(a2－4)>f(3a)，即a2－4>3a，解得a>4或a<－1.
答案：D
7．解析：因为对任意x1≠x2，都有＞0，
所以y＝f(x)在R上是增函数，
所以解得≤a＜2.
故实数a的取值范围是.
答案：D
8．解析：f(x)＝
画出f(x)的大致图象(如图所示)，
由图知f(x)的单调递减区间是[1，2].
答案：[1，2]
9．解析：由已知条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x).
又f(3)＝1.
∴不等式f(x)＋f(－2)＞1可化为f(－2x)＞f(3).
∵f(x)是定义在R上的增函数，
∴－2x＞3，解得x＜－.
故不等式的解集为.
答案：
10．解析：f(x)＝
当x≥a时，f(x)单调递增，当x＜a时，f(x)单调递减．
由复合函数的单调性知，必有t＝|x－a|在区间[1，＋∞)上是增函数．
又t＝|x－a|在区间[a，＋∞)上是增函数，
所以[1，＋∞) [a，＋∞)，所以a≤1.
答案：(－∞，1]
11．解：∵f(x)＝ax－＋(a＞0)，
∴f(x)在(0，1]上单调递增，
∴f(x)max＝f(1)＝a＋，
∴g(a)＝a＋≥2，当且仅当a＝，
即a＝1时取等号，
∴g(a)的最小值为2.
12．(1)解：函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．
又f(x)＝1＋，所以值域为{y|y≠1}．
(2)证明：设0＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝－＝.
又0＜x1＜x2，所以x1x2＞0，x2－x1＞0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．
当x∈[2，8]时，f(x)的最大值为f(2)＝2，最小值为f(8)＝.
【B级 能力提升】
1．解析：画出函数M＝max{2x，2x－3，6－x}的图象如图中的实线部分，
由图可知，
函数M在A处取得最小值22＝6－2＝4，故M的最小值为4.
答案：C
2．解析：f(x)＝＝a－，
定义域为{x|x≠－2a}，
所以所以
所以a≥1.
答案：[1，＋∞)
3．解析：因为y＝－，
所以x≥1且x≤2，所以函数的定义域为[1，2].
显然，y＝f(x)＝－在[1，2]上单调递增，所以f(x)∈[－1，1]，
所以函数的值域为[－1，1].
只要满足定义域为[1，2]，且值域为[－1，1]的函数均符合题意，
例如：y＝sin (2πx)，x∈[1，2]或y＝2x－3，x∈[1，2]或y＝3x-1－2，x∈[1，2].
答案：[－1，1] y＝2x－3，x∈[1，2]或y＝sin (2πx)，x∈[1，2]或y＝3x-1－2，x∈[1，2](答案不唯一)
4．解：(1)令x＝y＝1，
得f(1)＋f(1)＝f(1) f(1)＝0.
(2)f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
证明如下：
设x1＞x2＞0，令xy＝x1，x＝x2，
则y＝，所以y＞1，f(y)＜0.
由已知得f(x2)＋f＝f(x1) f(x1)－f(x2)＝f＜0 f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
(3)因为f(e)＝－1，
令x＝y＝e，得f(e2)＝f(e)＋f(e)＝－2，
令x＝e，y＝，
得f(1)＝f(e)＋f＝0，f＝1.
由(2)知函数f(x)在上单调递减，
所以f(x)max＝f＝1，f(x)min＝f(e2)＝－2.2025高考数学一轮复习-2.7-函数的图象-专项训练
【A级 基础巩固】
1．函数y＝－ex的图象( )
A．与y＝ex的图象关于y轴对称
B．与y＝ex的图象关于坐标原点对称
C．与y＝e－x的图象关于y轴对称
D．与y＝e－x的图象关于坐标原点对称
2．函数f(x)＝(2x＋2－x)ln |x|的图象大致为( )
3．为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点( )
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
4．下列函数中，其图象与函数f(x)＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ln (1－x)
B．y＝ln (2－x)
C．y＝ln (1＋x)
D．y＝ln (2＋x)
5．(多选)将函数f(x)的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得到奇函数g(x)的图象，则下列函数f(x)不能满足条件的是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝ex-1－e1-x
C．f(x)＝x＋
D．f(x)＝log2(x＋1)＋1
6．(多选)对于函数f(x)＝lg (|x－2|＋1)，下列说法正确的是( )
A．f(x＋2)是偶函数
B．f(x＋2)是奇函数
C．f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增
D．f(x)没有最小值
7．已知函数y＝f(－x)的图象过点(4，2)，则函数y＝f(x)的图象一定过点________．
8．若函数f(x)＝的图象关于点(1，1)对称，则实数a＝________．
9．设函数y＝f(x)的图象与y＝的图象关于直线y＝x对称，且f(3)＋f＝4，则实数a＝________．
10．已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围是________．
11．已知函数f(x)＝试讨论方程f(x)－a＝0的根的个数情况．
12．已知函数f(x)＝2x，x∈R.
(1)当m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．
【B级 能力提升】
1．如图，点P在以AB为直径的半圆弧上沿着运动，AB＝2，记∠BAP＝x.将点P到A，B两点的距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
2．若e－x1·x3＝－x3ln x2＝－1，则下列不等关系一定不成立的是( )
A．x1＜x3＜x2
B．x3＜x1＜x2
C．x3＜x2＜x1
D．x1＜x2＜x3
3．设函数f(x)＝f(x)＝a有四个实数根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则(x3＋x4)x1＋的取值范围是( )
A． B．(0，1)
C． D．
4．已知函数f(x)＝|3－2x－x2|的图象和直线2x＋ay＋7＝0有三个交点，则a＝________．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：由点(x，y)关于原点的对称点是(－x，－y)，可知D正确．
答案：D
2．解析：∵f(x)的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝(2－x＋2x)ln |－x|＝(2x＋2－x)ln |x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，关于y轴对称，排除D；当x∈(0，1)时，2x＋2－x>0，ln |x|<0，可知f(x)<0，排除A，C.
答案：B
3．解析：∵y＝lg ＝lg (x＋3)－1，
∴y＝lg xy＝lg (x＋3)y＝lg (x＋3)－1.
答案：C
4．解析：法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln (2－x).
法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数解析式逐一检验，排除A，C，D.
答案：B
5．解析：由题意知f(x)必须满足两个条件：①f(1)＝0，
②f(1＋x)＝－f(1－x).
对于选项A，C，D，f(1)均不为0，不满足条件；
对于选项B，f(1)＝e0－e0＝0，f(1＋x)＝ex－e－x，f(1－x)＝e－x－ex＝－f(1＋x).
答案：ACD
6．解析：f(x＋2)＝lg (|x|＋1)为偶函数，A正确，B错误．
作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增；
由图象可知函数存在最小值0，C正确，D错误．
答案：AC
7．解析：y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，
故y＝f(x)的图象一定过点(－4，2).
答案：(－4，2)
8．解析：f(x)＝＝a＋，
关于点(1，a)对称，故a＝1.
答案：1
9．解析：设(x，y)是y＝f(x)图象上任意一点，则(y，x)在函数y＝的图象上．
所以x＝，则y＝logx－a.
因此f(x)＝logx－a.
由f(3)＋f＝4，得－1＋1－2a＝4，所以a＝－2.
答案：－2
10．解析：在同一平面直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图象有两个交点，即函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点．
答案：{－1}∪(0，＋∞)
11．解：作出f(x)的图象如图．
方程f(x)－a＝0的根的个数，
即为函数y＝f(x)与y＝a的交点个数，
由图知，
当a>4时，方程无实数根，
当a＝4或a≤0时，方程有1个实数根，
当1当012．解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．
由图象可知，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0(2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，
因为H(t)＝－在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，
即所求m的取值范围为(－∞，0].
【B级 能力提升】
1．解析：由题意可知，△PAB为直角三角形，
PA＝2cos x，PB＝2sin x，
所以PA＋PB＝2cos x＋2sin x＝2sin ，x∈，
即y＝f(x)＝2sin ，x∈.
因为x∈，
所以x＋∈，
所以2sin ∈[2，2].
当x＋＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值2，故排除B，D；
又f(x)的解析式为正弦型，排除A，选C.
答案：C
2．解析：由e－x1·x3＝－x3ln x2＝－1，
得e－x1＝－ln x2＝－.
由e－x1＞0，得0＜x2＜1，x3＜0，
作函数y＝e－x，y＝－ln x，y＝－(x＜0)的图象及直线y＝m，如图．
变换m的值，可发现：
x1＜x3＜x2，x3＜x1＜x2，x3＜x2＜x1均能够成立，只有D不可能成立．
答案：D
3．解析：由分段函数知，
当1＜x≤2时，f(x)∈[0，＋∞)，且单调递减；
当2＜x≤3时，f(x)∈(0，1]，且单调递增；
当3＜x＜4时，f(x)∈(0，1)，且单调递减；
当x≥4时，f(x)∈[0，＋∞)，且单调递增．
f(x)的图象如图所示．
f(x)＝a有四个实数根x1，x2，x3，x4，
且x1＜x2＜x3＜x4.
由图知，当0＜a＜1时，f(x)＝a有四个实数根，
且＜x1＜2＜x2＜3＜x3＜4＜x4＜5.
又x3＋x4＝8，
由对数函数的性质知(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝1，
可得＝1－.
设(x3＋x4)x1＋＝2x1－＋1＝t，且＜x1＜2.
由g(x)＝2x－＋1在上单调递增，
可知g＜2x－＋1＜g(2)，所以＜t＜.
答案：A
4．解析：画出函数f(x)的图象，如图所示．
因为直线2x＋ay＋7＝0过定点，
所以当直线2x＋ay＋7＝0与f(x)＝3－2x－x2(－3＜x＜1)的图象相切时，
符合题意．
联立
得ax2＋2(a－1)x－(3a＋7)＝0，
由Δ＝4(a－1)2＋4a(3a＋7)＝4(4a＋1)(a＋1)＝0，得a＝－1或a＝－.
当a＝－1时，方程－x2－4x－4＝0的解为x＝－2，满足条件－3＜x＜1；
当a＝－时，方程－x2－x－＝0的解为x＝－5，不满足条件－3＜x＜1.所以a＝－1.
答案：－12025高考数学一轮复习-2.9-函数模型的应用-专项训练
【A级 基础巩固】
1．有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变．若该船从石塘出发后所用的时间为x(小时)，货船距石塘的距离为y(千米)，则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是( )
2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01
A.y＝2x－2 B．y＝(x2－1)
C．y＝log2x D．y＝logx
3．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A．略有盈利
B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损
D．无法判断盈亏情况
4．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(单位：km/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系是v＝2 000ln .若火箭的最大速度为11.2 km/s，则燃料质量与火箭质量(除燃料外)的比值约为(参考数据：e0.005 6≈1.005 6)( )
A．1.005 6 B．0.502 8
C．0.005 6 D．0.002 8
5．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%.现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
A．6 B．9
C．8 D．7
6．某种动物的繁殖数量y(数量：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1).若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．
7．经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)，则日销售额的最大值为________．
8．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1 000元，存入银行，年利率为2.25%，若放入手机零钱通，年利率可达4.01%.如果将这1 000元选择合适方式存满5年，可以多获利息________元．
(参考数据：1.022 54≈1.093，1.022 55≈1.118，1.040 15≈1.217)
9．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝c(c，m为常数).
(1)求c，m的值；
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问：至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？
【B级 能力提升】
1．某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d(每层玻璃的厚度相同)及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q满足关系式q＝λ1，其中玻璃的热传导系数λ1＝4×10-3焦耳/(厘米·度)，不流通、干燥空气的热传导系数λ2＝2.5×10-4焦耳/(厘米·度)，ΔT为室内外温度差，q值越小，保温效果越好，现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如表所示：
型号 每层玻璃厚度d(单位：厘米) 玻璃间夹空气层厚度l(单位：厘米)
A型 0.4 3
B型 0.3 4
C型 0.5 3
D型 0.4 4
则保温效果最好的双层玻璃的型号是( )
A．A型 B．B型
C．C型 D．D型
2．某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，现有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折．不重复打折．方案二：按原价计算，总金额每满5 000元减1 000元．已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为________元．
3．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元．根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝4－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＝设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).
(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；
(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？
参考答案
【A级 基础巩固】
1．答案：A
2．解析：由题表可知函数在(0，＋∞)上单调递增，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合．
答案：B
3．解析：设该股民购这只股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a答案：B
4．解析：由v＝2 000ln ＝11.2，可得ln ＝＝0.005 6，∴＝e0.005 6－1≈0.005 6.
答案：C
5．解析：设经过n次过滤，产品达到市场要求，
则×≤，即≤，
由n lg ≤－lg 20，即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n≥≈7.4.
答案：BC
6．解析：由题意知100＝alog2(1＋1) a＝100，
当x＝7时，可得y＝100log2(7＋1)＝300.
答案：300
7．解析：设日销售额为S，
当1≤t≤30时，S＝(－2t＋200)×
＝－t2＋40t＋6 000＝－(t－20)2＋6 400.
当t＝20时，Smax＝6 400；
当31≤t≤50时，S＝45(－2t＋200)＝－90t＋9 000，
当t＝31时，Smax＝6 210.
∵6 210<6 400，
故当t＝20时，日销售额有最大值6 400.
答案：6 400
8．解析：将1 000元存入手机零钱通，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为1 000×(1＋4.01%)5≈1 217(元)，故共得利息1 217－1 000＝217(元).将1 000元存入银行，则存满5年后的本息和为1 000×(1＋2.25%)5≈1 118(元)，即获利息1 118－1 000＝118(元).故可以多获利息217－118＝99(元).
答案：99
9．解：(1)由题意可列方程组
两式相除，解得
(2)由题意可列不等式128≤0.5，
所以≤，即t≥8，解得t≥32.
故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．
【B级 能力提升】
1．解析：由题意得，q＝λ1＝＝，
固定|ΔT|，可知16l＋2d越大，q越小，保温效果越好．
对于A型玻璃，16l＋2d＝16×3＋2×0.4＝48.8，
对于B型玻璃，16l＋2d＝16×4＋2×0.3＝64.6，
对于C型玻璃，16l＋2d＝16×3＋2×0.5＝49，
对于D型玻璃，16l＋2d＝16×4＋2×0.4＝64.8，
经过比较可知，D型玻璃保温效果最好．
答案：D
2．解析：方案一：满10人可打9折，则单人票价为270元．
方案二：满5 000元减1 000元，按原价计算≈16.7，
则满5 000元至少需凑齐17人，
17×300－1 000＝5 100－1 000＝4 100，
则单人票价为≈241.
满10 000元时，≈33.3，则需34人，
单人票价为241元，
满15 000元时，＝50，人数不足．
因为241＜270，所以用方案二先购买34张票，剩余13人不满足方案二，但满足方案一，所以总费用的最小值为34×300－2 000＋13×300×0.9＝11 710(元).
答案：11 710
3．解：(1)当x＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元，
所以f(128)＝4×－6＋×112＋2＝88(万元).
因此，此时公司的总收益为88万元．
(2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元，
依题意得解之得80≤x≤160，
当80≤x<120，即120<240－x≤160时，
f(x)＝4－6＋32＝4＋26<26＋16；
当120≤x≤160，即80≤240－x≤120时，
f(x)＝4－6＋(240－x)＋2＝－x＋4＋56.
令t＝，则t∈[2，4]，
所以y＝－t2＋4t＋56＝－ (t－8)2＋88.
当t＝8，即x＝128时，y取最大值88.
因为88－(26＋16)＝2×(31－8)>0，
故f(x)的最大值为88.
因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万2025高考数学一轮复习-2.8-函数的零点与方程的解-专项训练
【A级 基础巩固】
1．(多选)下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0)
B．函数f(x)＝x＋1的零点为－1
C．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点
D．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标
2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A．，0 B．－2，0
C． D．0
3．函数f(x)＝x3－的零点所在的区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
4．设函数f(x)＝4x3＋x－8，用二分法求方程4x3＋x－8＝0近似解的过程中，计算得到f(1)＜0，f(3)＞0，则方程的近似解落在区间( )
A． B．
C． D．
5．若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，2)
C．(0，3) D．(0，2)
6．已知a是函数f(x)＝ln x＋x2－2的零点，则ea-1＋a－5的值为( )
A．正数 B．0
C．负数 D．无法判断
7．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点有( )
A．多于4个 B．4个
C．3个 D．2个
8．(多选)已知m为常数，函数f(x)＝g(x)＝mx＋2.若函数y＝f(x)－g(x)恰有四个零点，则实数m的值可以是( )
A．－2 B．－1
C． D．
9．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f(x)＝________．
10．函数f(x)＝·cos x的零点个数为________．
11．已知函数f(x)＝2lg x＋x－4的零点在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k＝________．
12．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程x ln x＝1的解，求x1x2的值．
【B级 能力提升】
1．已知函数f(x)＝若f(x)有两个零点x1，x2(x1＞x2)，则x1－x2的最小值是( )
A．1 B．2
C． D．
2．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x－1)＝f(x＋1)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x.设函数g(x)＝f(x)－kx－k，则下列结论成立的是( )
A．函数f(x)的一个周期为2
B．f＝－
C．当实数k＞－1时，函数g(x)在区间[1，2]上单调递减
D．在区间[－1，3]内，若函数g(x)有4个零点，则实数k的取值范围是
3．已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－ax有四个不同的零点，则a的取值范围为( )
A． B．
C．[1，e) D．[e，＋∞)
4．已知函数f(x)＝若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4).
(1)求x1x2的值；
(2)求(x3－3)(x4－3)的取值范围．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1.
函数y＝f(x)的零点，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，
因此B，D正确；A，C错误．
答案：BD
2．解析：当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；
当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝.
又因为x>1，所以此时方程无解．
综上，函数f(x)的零点只有0.
答案：D
3．解析：由题意知，f(x)＝x3－，
f(0)＝－4，f(1)＝－1，f(2)＝7.
因为f(x)在R上连续且在R上单调递增，
且f(1)·f(2)＜0，
所以f(x)在(1，2)内有唯一零点．
答案：B
4．解析：取x1＝2，
因为f(2)＝4×8＋2－8＝26＞0，
所以方程近似解x0∈(1，2)，取x2＝，
因为f＝4×＋－8＝7＞0，
所以方程近似解x0∈.
答案：A
5．解析：由题易知f(x)在(1，2)上为增函数，
则f(1)·f(2)＜0，
即(2－2－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，
解得0＜a＜3.
答案：C
6．解析：因为f(x)＝ln x＋x2－2在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＜0，f(2)＞0，
所以a∈(1，2).
又因为g(x)＝ex-1＋x－5在(1，2)上单调递增，且g(2)＝e＋2－5＜0，
故ea-1＋a－5＜0.
答案：C
7．解析：分别作出y＝f(x)与y＝log3|x|的图象如图所示，
由图可知y＝f(x)与y＝log3|x|有4个交点，
故函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．
答案：B
8．解析：由题意，函数f(x)＝g(x)＝mx＋2.
当x＝0时，可得f(0)＝2，g(0)＝2，
故x＝0是函数y＝f(x)－g(x)的一个零点；
当x≠0时，将f(x)－g(x)＝0转化为m＝h(x)，
其中h(x)＝
要使得函数y＝f(x)－g(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有三个零点，
只需y＝m和y＝h(x)的图象有三个不同的交点．
作出函数y＝h(x)的大致图象，如图所示．
结合图象，可得－e＜m＜－1或m＝.结合选项，实数m的值可以是－2和.
答案：AC
9．解析：f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c为奇函数，
故a＝c＝0，f(x)＝x3＋bx＝x(x2＋b)有三个不同零点，
∴b＜0，∴f(x)＝x3－x满足题意．
答案：x3－x(答案不唯一)
10．解析：令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，
∴f(x)的定义域为[－6，6].
令f(x)＝0，得36－x2＝0或cos x＝0，
由36－x2＝0，得x＝±6，
由cos x＝0，得x＝＋kπ，k∈Z.
又x∈[－6，6]，∴x为－，－，，.
故f(x)共有6个零点．
答案：6
11．解析：函数f(x)＝2lg x＋x－4在(0，＋∞)上为增函数，
又∵f(3)＝2lg 3＋3－4＝2lg 3－1＝lg 9－1＜0，f(4)＝2lg 4＋4－4＝2lg 4＞0，
即f(3)·f(4)＜0，
则函数f(x)＝2lg x＋x－4的零点在区间(3，4)上，即k＝3.
答案：3
12．解：x1，x2分别是函数y＝ex、函数y＝ln x与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，所以A，B两点关于y＝x对称，则x1＝，因此x1x2＝1.
【B级 能力提升】
1．解析：根据题意可得－t＝0，
解得x1＝t2(t≥0)，2(x2＋1)－t＝0，
解得x2＝t－1(t＜2)，
则x1－x2＝t2－t＋1＝＋(0≤t＜2)，
当t＝时，x1－x2取得最小值.
答案：D
2．解析：因为f(x－1)＝f(x＋1)，
所以f(x)＝f(x＋2)，
所以f(x)是周期函数，且T＝2是f(x)的一个周期，A正确；
因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x).
又当x∈[0，1]时，f(x)＝x，
所以f＝f＝f＝f＝，B错误；
根据f(x)是偶函数，且T＝2是函数f(x)的一个周期，及当x∈[0，1]时，f(x)＝x，作出f(x)的图象，如图所示，
由图可知，当x∈[1，2]时，f(x)＝－x＋2，
所以g(x)＝－x＋2－kx－k＝－(1＋k)x＋2－k.
因为k＞－1，所以1＋k＞0，所以－(1＋k)＜0，
所以函数g(x)在[1，2]上单调递减，C正确；
在区间[－1，3]内，函数g(x)有4个零点，
即f(x)＝k(x＋1)有4个根，
即函数y＝f(x)的图象与直线y＝k(x＋1)在[－1，3]内有4个交点，
由图可知，0＜k(3＋1)≤1，解得0＜k≤，
即实数k的取值范围是，D正确．
答案：ACD
3．解析：因为g(0)＝0，即g(x)的一个零点为0，
所以只需保证g(x)＝0(x≠0)有三个不同的实根，
当x≠0时，令g(x)＝f(x)－ax＝0，
得a＝＝
令t(x)＝
当x＞0时，t′(x)＝，
令t′(x)＝0，得x＝e，
当x∈(0，e)时，t′(x)＞0，t(x)在(0，e)上单调递增，
当x∈(e，＋∞)时，t′(x)＜0，t(x)在(e，＋∞)上单调递减，
所以t(x)max＝t(e)＝.
所以t(x)的大致图象如图，
所以要使g(x)＝0(x≠0)有三个不同的实根，
只需y＝a与y＝t(x)的图象有三个不同的交点，
则需满足a∈.
答案：A
4．解：(1)作出函数f(x)＝的图象，如图所示，
因为f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，x1＜x2＜x3＜x4.
由图可知，－log3x1＝log3x2，
则x1x2＝1.
(2)因为＝9，
且3＜x3＜6，
所以(x3－3)(x4－3)＝x3x4－3(x3＋x4)＋9＝x3(18－x3)－45＝－x＋18x3－45.
因为y＝－x＋18x3－45在(3，6)上单调递增，
所以0＜y＜27，
即(x3－3)(x4－3)的取值范围是(0，27).2025高考数学一轮复习-2.1-函数的概念及其表示式-专项训练
【A级 基础巩固】
1．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．f(x)＝eln x，g(x)＝x
B．f(x)＝，g(x)＝x－2
C．f(x)＝，g(x)＝sin x
D．f(x)＝|x|，g(x)＝
2．(多选)下列所给图象可以是函数图象的是( )
3．函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是( )
A．(2，3) B．(2，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(2，3)∪(3，＋∞)
4．函数y＝1＋x－的值域为( )
A． B．
C． D．
5．已知函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，则f(2x－1)的定义域为( )
A．(－1，0) B．(－2，0)
C．(0，1) D．
6．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0，1)
7．已知函数f(x)满足f＋f(－x)＝2x(x≠0)，则f(－2)＝________．
8．已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等的实数根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝________．
9．函数y＝(x＞1)的值域是________．
10．已知函数f(x)的解析式为f(x)＝
(1)求f，f，f(－1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求f(x)的最大值．
11．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图．
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求汽车行驶的最大速度．
【B级 能力提升】
1．(多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是( )
A．y＝[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1]＝0)
B．y＝x＋
C．y＝－log3x
D．y＝
2．已知函数f(x)＝的定义域是R，则实数a的取值范围是( )
A． B．(－12，0]
C．(－12，0) D．
3．已知函数f(x)＝log2x，g(x)＝2x＋a.若存在x1，x2∈，使得f(x1)＝g(x2)，则a的取值范围是________．
4．高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝，求函数y＝[f(x)]的值域．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：A中f(x)的定义域是(0，＋∞)，g(x)的定义域是R，故不是同一个函数；B中f(x)的定义域是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，g(x)的定义域是R，故不是同一个函数；C中f(x)的定义域是，g(x)的定义域是R，故不是同一个函数；D中的函数是同一个函数．
答案：D
2．解析：图象A关于x轴对称，x>0时，每一个x对应两个y，图象B中x0对应两个y，所以A，B均不是函数图象；图象C，D可以是函数图象．
答案：CD
3．解析：由得x＞2且x≠3，故函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).
答案：D
4．解析：设＝t，则t≥0，x＝，
所以y＝1＋－t＝(－t2－2t＋3)
＝－(t＋1)2＋2.
因为t≥0，所以y≤.
所以函数y＝1＋x－的值域为.
答案：B
5．解析：函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，即函数y＝f(x＋1)中的x满足－2＜x＜0，此时－1＜x＋1＜1，记t＝x＋1，则－1＜t＜1，则f(t)的定义域为(－1，1)，也就是f(x)的定义域是(－1，1).要求f(2x－1)的定义域，则－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1，∴f(2x－1)的定义域为(0，1).
答案：C
6．解析：当a＞0时，－a＜0，
由f(a)＞f(－a)，得log2a＞loga，
所以2log2a＞0，解得a＞1；
当a＜0时，－a＞0，由f(a)＞f(－a)，得log(－a)＞log2(－a)，
所以2log2(－a)＜0，可得0＜－a＜1，
即－1＜a＜0.
综上，a的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞).
答案：C
7．解析：令x＝2，可得f＋f(－2)＝4，①
令x＝－，可得f(－2)－2f＝－1，②
联立①②解得f(－2)＝.
答案：
8．解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b，∴2ax＋b＝2x＋2，
则a＝1，b＝2.
∴f(x)＝x2＋2x＋c.
又f(x)＝0，即x2＋2x＋c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.
答案：x2＋2x＋1
9．解析：令t＝x－1，∴t＞0，x＝t＋1，
∴y＝＝＝t＋＋1≥2＋1，
当且仅当t＝，即t＝时取等号，
∴函数的值域为[2＋1，＋∞).
答案：[2＋1，＋∞)
10．解：(1)∵＞1，∴f＝－2×＋8＝5.
∵0＜＜1，∴f＝＋5＝.
∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)这个函数的图象如图．
在函数f(x)＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，
在函数f(x)＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，
在函数f(x)＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分．
图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象．
(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.
11．解：(1)由题意及函数图象，
得解得m＝，n＝0，
∴y＝＋(x≥0).
(2)令＋≤25.2，得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.
故汽车行驶的最大速度是70 km/h.
【B级 能力提升】
1．解析：根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调．对于A，y＝[x]，定义域为R，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故A可以构造“同值函数”；对于B，y＝x＋，为定义在[－1，＋∞)上的单调增函数，故B不可以构造“同值函数”；对于C，y＝－log3x，为定义在(0，＋∞)上的单调减函数，故C不可以构造“同值函数”；对于D，y＝，不是定义域上的单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故D可以构造“同值函数”．所以能够被用来构造“同值函数”的是A，D.
答案：AD
2．解析：因为函数f(x)＝的定义域是R，所以ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立．当a＝0时，显然成立；当a≠0时，需Δ＝a2＋12a<0，解得－12答案：B
3．解析：依题意f(x)的值域与g(x)的值域有交集，
x∈时，f(x)∈[－1，1]，
x∈时，g(x)∈[a＋1，a＋4]，
故或
解得－5≤a≤0.
答案：[－5，0]
4．解：f(x)＝＝＝1＋.
∵2x＞0，∴1＋2x＞1，0＜＜1，
则0＜＜2，1＜1＋＜3，
即1＜f(x)＜3.
当1＜f(x)＜2时，[f(x)]＝1，
当2≤f(x)＜3时，[f(x)]＝2.
综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1，2}．2025高考数学一轮复习-2.5-指数与指数函数-专项训练
【A级 基础巩固】
1．若代数式＋有意义，则＋2＝( )
A．2 B．3
C．2x－1 D．x－2
2．已知2a＝5，log83＝b，则4a-3b＝( )
A．25 B．5
C． D．
3．(多选)函数y＝ax－a(a＞0，a≠1)的图象可能是( )
4．函数f(x)＝xa-2与g(x)＝在(0，＋∞)上均单调递减的一个充分不必要条件是( )
A．0＜a＜2 B．0≤a＜1
C．1≤a＜2 D．1＜a≤2
5．已知a＝2，b＝4，c＝5，则( )
A．c＜b＜a B．a＜b＜c
C．b＜a＜c D．c＜a＜b
6．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为f(x)＝(P＞0，a＞1，k＜0)的形式．已知f(x)＝(x∈N)描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)变化的规律．若刚栽种时该果树的高为1 m，经过一年，该果树的高为2.5 m，则该果树的高度超过4.8 m，至少需要(附：log23≈1.585)( )
A．3年 B．4年
C．5年 D．6年
7．已知函数f(x)＝ex－.若f(a－2)＋f(a2)≤0，则实数a的取值范围是________．
8．已知0≤x≤2，则函数y＝4－3×2x＋5的最大值为________．
9．当0＜x＜时，方程ax＝(a＞0且a≠1)有解，则实数a的取值范围是________．
10．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
11．已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)·a－x(a＞0且a≠1)是奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若f(1)＜0，判断函数f(x)的单调性；若f(m2－2)＋f(m)＞0，求实数m的取值范围．
【B级 能力提升】
1．若0＜a＜1，b＞0，且ab－a－b＝－2，则ab＋a－b的值为( )
A．2 B．±2
C．－2 D．
2．已知x∈(1，2)，a＝2，b＝(2x)2，c＝22x，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＞b＞c B．b＞c＞a
C．b＞a＞c D．c＞a＞b
3．已知常数a>0，函数f(x)＝的图象经过点P，Q.若2p＋q＝36pq，则a＝________．
4．已知函数f(x)＝ex-1－e1-x＋x，则不等式f(2－x)＋f(4－3x)≤2的解集是________．
5．已知函数f(x)＝－＋4(－1≤x≤2).
(1)若λ＝，求函数f(x)的值域；
(2)若方程f(x)＝0有解，求实数λ的取值范围．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：由＋有意义，
得解得≤x≤2，
所以x－2≤0，2x－1≥0，
所以＋2＝＋2|x－2|＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3.
答案：B
2．解析：由题意知b＝log83＝log233＝log23.又2a＝5，所以4a-3b＝22(a-3b)＝22a-6b＝(2a)2·2-6b＝25×2－2log23＝25×2log23-2＝25×3-2＝.
答案：C
3．解析：当a＞1时，y＝ax－a为增函数，且过点(1，0)，
当x＝0时，y＝1－a＜0，故A不正确，B正确；
当0＜a＜1时，y＝ax－a为减函数，且过点(1，0)，
当x＝0时，y＝1－a∈(0，1)，故C正确，D不正确．
答案：BC
4．解析：若函数f(x)＝xa-2在(0，＋∞)上单调递减，则a－2＜0，即a＜2.
若函数g(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，
则＞1，即0＜a＜4.
所以若函数f(x)＝xa-2与g(x)＝均在(0，＋∞)上单调递减，则0＜a＜2.
又[1，2)?(0，2).
答案：C
5．解析：因为a＝2＝4，b＝4，
所以a＝4＞4＝b.
因为163＞55，所以16＞5，
所以4＞5，即b＞c.
综上所述，a＞b＞c.
答案：A
6．解析：由题意可知
解得故f(x)＝.
由f(x)＝＞4.8，
解得x＞＋log23≈3.3，
故该果树的高度超过4.8 m，至少需要4年．
答案：B
7．解析：因为f(x)＝ex－，定义域为R，
f(－x)＝e－x－＝－ex＝－f(x)，
所以f(x)＝ex－为奇函数．
又因为f(x)＝ex－在R上为增函数，
所以f(a－2)＋f(a2)≤0 f(a－2)≤－f(a2) f(a－2)≤f(－a2)，
即a－2≤－a2，则a2＋a－2≤0，
解得－2≤a≤1.
答案：[－2，1]
8．解析：设2x＝t，0≤x≤2，则1≤t≤4，
y＝4－3×2x＋5＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，
故当t＝1，即x＝0时，函数有最大值.
答案：
9．解析：依题意，当x∈时，y＝ax与y＝有交点，作出y＝的图象，如图，
所以解得a＞4.
答案：(4，＋∞)
10．解：(1)因为f(x)的图象过点A(1，6)，B(3，24)，
所以所以a2＝4.
又a>0，所以a＝2，b＝3，所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，
则当x∈(－∞，1]时，＋－m≥0恒成立，
即m≤＋在x∈(－∞，1]上恒成立．
又因为y＝与y＝均为减函数，
所以y＝＋也是减函数，
所以当x＝1时，y＝＋有最小值.
则m≤，
故m的取值范围是.
11．解：(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，
∴k＝2，
经检验，k＝2符合题意，∴k＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1).
∵f(1)＜0，∴a－＜0.
又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，
而y＝ax在R上单调递减，y＝－a－x在R上单调递减，
故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减，
不等式f(m2－2)＋f(m)＞0可化为f(m2－2)＞f(－m)，
∴m2－2＜－m，即m2＋m－2＜0，
解得－2＜m＜1，
∴实数m的取值范围是(－2，1).
【B级 能力提升】
1．解析：根据题意，由ab－a－b＝－2，
得(ab－a－b)2＝a2b＋a-2b－2＝4，
即a2b＋a-2b＝6，
则(ab＋a－b)2＝a2b＋a-2b＋2＝6＋2＝8，
所以ab＋a－b＝2(负值舍去).
答案：A
2．解析：因为a＝2，b＝(2x)2＝22x，c＝22x，所以只需比较x2，2x，2x在x∈(1，2)时的大小即可．令y1＝x2，y2＝2x，y3＝2x，在同一平面直角坐标系中作出这三个函数在(1，2)上的图象，如图所示，
由图可知，当x∈(1，2)时，2x＞2x＞x2.
又函数f(t)＝2t在R上是增函数，
所以22x＞22x＞2 x2，即b＞c＞a.
答案：B
3．解析：因为f(x)＝＝，且其图象经过点P，Q，
则f(p)＝＝，即＝－，①
f(q)＝＝－，即＝－6，②
①×②得＝1，则2p＋q＝a2pq＝36pq，
所以a2＝36，解得a＝±6.
因为a>0，所以a＝6.
答案：6
4．解析：由题意，设g(x)＝f(x)－1＝ex-1－＋(x－1)(x∈R)，
令h(x)＝g(x＋1)＝ex－＋x，其定义域为R，
且h(－x)＝－ex－x＝－h(x)，
所以h(x)为奇函数，其图象关于原点对称，
所以g(x)的图象关于点(1，0)对称，
则有g(2－x)＝－g(x)，易得g(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
不等式f(2－x)＋f(4－3x)≤2，变形为f(2－x)－1＋f(4－3x)－1≤0，
即g(2－x)＋g(4－3x)≤0，
易得g(4－3x)≤g(x)，
则有4－3x≤x，所以x≥1.
所以不等式f(2－x)＋f(4－3x)≤2的解集是[1，＋∞).
答案：[1，＋∞)
5．解：(1)f(x)＝－＋4＝－2λ·＋4(－1≤x≤2).
设t＝，得g(t)＝t2－2λt＋4.
当λ＝时，g(t)＝t2－3t＋4＝＋.
所以g(t)max＝g＝，g(t)min＝g＝.
所以f(x)max＝，f(x)min＝，
故函数f(x)的值域为.
(2)方程f(x)＝0有解可转化为λ＝2·2x＋·(－1≤x≤2).
设φ(x)＝2·2x＋，
当2x＝，即x＝－1时，φ(x)min＝2；
当2x＝4，即x＝2时，φ(x)max＝.
∴函数φ(x)的值域为，
故实数λ的取值范围是.