(共35张PPT)
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第2讲 常用逻辑用语
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系． 2.理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定．
01
教材再现 四基诊断
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
充分
必要
充分不必要
必要不充分
充要
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“____”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“___”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 ________________ x∈M，p(x)
否定 x∈M， p(x) _________________
x∈M，p(x)
x∈M， p(x)
√
√
×
√
2．若命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0，则 p为( )
A.不存在x∈R，使得x3－x2＋1＜0
B.存在x∈R，使得x3－x2＋1＜0
C.对任意的x∈R，都有x3－x2＋1≥0
D.存在x∈R，使得x3－x2＋1≥0
3．(2022·天津卷)“x为整数”是“2x＋1为整数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
02
重点串讲 能力提升
充分条件与必要条件的判断
0＜x＜2(答案不唯一)
充分条件、必要条件的2种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立时对应集合之间的包含关系进行判断．
已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：①由a>6，得a2>36，所以“a>6”是“a2>36”的充分条件，②由a2>36，得a>6或a<－6，所以“a>6”是“a2>36”的不必要条件，故“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件．
充分条件与必要条件的应用
例2 已知集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围．
充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．
解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
已知集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x P是x S的必要条件，求实数m的取值范围．
全称量词与存在量词
角度1 含量词命题的真假判断
1.判定全称量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．
2．要判定存在量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x0，使p(x0)成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题．
(多选)下列命题为假命题的是( )
A. x∈R，ln (x2＋1)<0
B. x>2，2x>x2
C. α，β∈R，sin (α－β)＝sin α－sin β
D. x∈(0，π)，sin x>cos x
角度2 含量词命题的否定
例4 (多选)已知命题p： x∈(0，10)，x＋lg x＝10；命题q： x∈ (－∞，log226)，2x＜26，则下列结论正确的是( )
A.p是假命题
B.p的否定为 x∈(0，10)，x＋lg x≠10
C.q是真命题
D.q的否定为 x∈[log226，＋∞)，2x≥26
[解析] 对于A，设f(x)＝x＋lg x－10，易知函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．∵f(9)＝lg 9－1＜0，f(10)＝lg 10＝1＞0，∴f(x)＝x＋lg x－10在(9，10)上存在零点，即 x∈(0，10)，x＋lg x＝10，∴命题p为真命题，∴A错误．对于B，命题p的否定为 x∈(0，10)，x＋lg x≠10，∴B正确．对于C，∵y＝2x在(－∞，log226)上单调递增，∴当x∈(－∞，log226)时，2x＜2log226＝26，∴命题q为真命题，∴C正确．对于D，命题q的否定为 x∈(－∞，log226)，2x≥26，∴D错误．
含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论．
(2024·天津市模拟)已知命题p： x∈R，sin x≤1，则( )
A. p： x∈R，sin x≥1
B. p： x∈R，sin x≥1
C. p： x∈R，sin x＞1
D. p： x∈R，sin x＞1
解析：命题p为全称量词命题，则 p： x∈R，sin x＞1.
1.由命题真假求参数的范围时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求解．
2．全称(存在)量词命题的含参问题常转化为恒成立或存在性问题求解．
已知a∈R，命题p： x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q： x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q均为真命题，则实数a的取值范围是________________．
解析：若命题p为真命题，则 x∈[1，2]，a≤x2恒成立．
又当x∈[1，2]时，x2的最小值为1，所以a≤1；
若命题q为真命题，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1，
所以实数a的取值范围是a≤－2或a＝1.
(－∞，－2]∪{1}(共57张PPT)
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第5讲 二次函数与一元二次方程、不等式
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教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 1.会结合一元二次函数的图象判断一元二次方程根的个数，了解二次函数零点与一元二次方程根的关系． 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式． 3.能借助一元二次函数解一元二次不等式．
4．能借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
01
教材再现 四基诊断
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
{x|xx2}
R
{x|x1×
√
×
×
×
3.（2024·山东临沂模拟）若不等式ax2＋ax＋a＋3≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是 ．
{a|a≥0}
－6
5
02
重点串讲 能力提升
一元二次不等式的解法
{x|－2≤x＜－1，或2＜x≤3}
（－2，1]
1.解一元二次不等式的4个步骤
{x|1＜x＜4}
解含参数的一元二次型不等式的步骤
解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).
三个两次的关系
1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．
2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．
一元二次不等式恒成立问题
[解析] 由题意可知，关于x的不等式x2－2ax＋a＞0恒成立，
则Δ＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1，
对于选项A，“0＜a＜1”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对 x∈R恒成立”的充要条件；
对于选项B，{x|0＜a＜1}?{x|0≤a≤1}，
故“0≤a≤1”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对 x∈R恒成立”的必要不充分条件；
一元二次不等式在R上恒成立，可利用二次项系数和判别式范围解决问题．
(2024·天津市模拟)若不等式(a－2)·x2＋4(a－2)x＋3＞0的解集为R，则实
数a的取值范围是 ．
角度2 在给定区间上的恒成立问题
例5 若对任意的x∈[－1，2]，都有x2－2x＋a≤0（a为常数），则a的取值范围是( )
A．(－∞，－3] B．（－∞，0]
C．[1，＋∞) D．（－∞，1]
一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）.
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a，即n≤a.
(2024·河北石家庄质检)当－2≤x≤2时，不等式x2－mx＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围为( )
A．(－2，2) B．(－∞，－2)
C．[－2，2] D．(2，＋∞)
角度3 给定参数范围的恒成立问题
例6 已知关于x的不等式2x－1＞m(x2－1).
(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于m∈[－2，2]恒成立，求实数x的取值范围；
(3)若不等式对于x∈(1，＋∞)恒成立，求m的取值范围．
[解] (1)原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)＜0，
当m＝0时，－2x＋1＜0不恒成立；
当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立，
则需m＜0且Δ＝4－4m(1－m)＜0，无解，
所以不存在实数m，使不等式恒成立．
解决一元二次不等式中恒成立问题的方法
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为 ．
(－∞，1)∪(3，＋∞)
一元二次方程根的分布
例7 已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是( )
A．(－5，－4)∪(4，＋∞)
B．(－5，＋∞)
C．(－5，－4)
D．(－4，－2)∪(4，＋∞)
关于一元二次方程根的分布问题主要利用三个二次关系，注意数形结合思想及根与系数关系的应用．(共42张PPT)
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第4讲 基本不等式
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
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课程标准 1.探索并了解基本不等式的证明过程． 2.掌握基本不等式，并能用基本不等式解决简单的最值问题．
01
教材再现 四基诊断
a>0，b>0
a＝b
算术平均数
几何平均数
x＝y
x＝y
×
×
×
×
02
重点串讲 能力提升
利用基本不等式求最值
2．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A.80 B．77
C.81 D．82
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．
5
角度3 常数代换法
常数代换法求最值的基本步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；
(4)利用基本不等式求最值．
角度4 消元法
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值．
(2024·山东烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
6
基本不等式的实际应用
例5 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )
A.80元 B．120元
C.160元 D．240元
利用基本不等式求解实际问题的两个注意点
(1)利用基本不等式解决实际问题时，应明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．
(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．
为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为 AMBN一组相对的顶点，当 AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为
( )
A.6 B．12
C.18 D．24
基本不等式的综合应用
1.对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值．
2．利用基本不等式确定等号成立的条件，也可得到参数的值或范围．(共32张PPT)
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第3讲 等式性质与不等式性质
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课程标准 1.梳理等式的性质，理解不等式的概念． 2.会比较两个数
(式)的大小．
3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用．
01
教材再现 四基诊断
b＝a
a＝c
a±c＝b±c
ac＝bc
2．比较实数大小
(1)文字叙述
如果a－b是正数，那么a____b；如果a－b等于0，那么a____b；如果a－b是负数，那么a____b.反过来也成立．
(2)符号表示
a－b>0 a____b；a－b＝0 a____b；a－b<0 a____b.
＞
＝
＜
＞
＝
＜
3．不等式的基本性质
性质1 a>b b____a；
性质2 a>b，b>c a____c；
性质3 如果a>b，那么a＋c____b＋c；
性质4 如果a>b，c>0，那么ac____bc；如果a>b，c<0，那么ac____bc；
性质5 如果a>b，c>d，那么a＋c____b＋d；
性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac____bd；
性质7 如果a>b>0，那么an___bn(n∈N，n≥1).
＜
＞
＞
＞
＜
＞
＞
＞
√
×
×
×
×
3．设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为________．
解析：M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，故M＞N.
M＞N
02
重点串讲 能力提升
比较两个数(式)的大小
<
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数法(利用函数的单调性比较大小).
2．已知x，y∈R，且x>y>0，则下列结论正确的是( )
A.cos x－cos y>0
B.cos x＋cos y>0
C.ln x－ln y>0
D.ln x＋ln y>0
不等式的性质
判断与不等式有关命题真假的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证．
(2)利用特殊值法排除错误选项．
(3)作差法．
(4)构造函数，利用函数的单调性．
(多选)(2024·河北张家口模拟)若a＞b，则下列不等式中正确的有( )
A.a－b＞0 B．2a＞2b
C.ac＞bc D．a2＞b2
解析：对于A，因为a＞b，所以a－b＞0，故A正确；
对于B，因为a＞b，且指数函数y＝2x在R上单调递增，所以2a＞2b，故B正确；
对于C，若c＜0，则ac＜bc，故C错误；
对于D，当a＝1，b＝－2时，a2＜b2，故D错误．
不等式性质的应用
例3 (1)已知－1(2)已知－1(1，18)
求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
2．已知－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是________．
(3，8)(共42张PPT)
第1章 集合与常用逻辑用语、不等式
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教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
第1讲 集合
课程标准 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系． 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集，能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．
01
教材再现 四基诊断
1．集合的含义与表示
元素与集合的含义 一般地，把研究______统称为元素，把一些元素组成的______叫做集合(简称为集)
集合中元素的特征 ______性、_____性、_____性
集合的表示方法 _____法、_____法和______法
特定集合的记法 正整数集N*或N＋，自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R
元素与集合之间的关系 “属于”或“不属于”，记为“___”或“___”
对象
总体
确定
互异
无序
列举
描述
图示
∈
2.集合间的基本关系
A B
B A
A?B
B?A
A＝B
3.集合的基本运算
A B
A B
( UA)∪( UB)
( UA)∩( UB)
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)集合{x∈Z|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}．( )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.( )
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B) (A∪B).( )
√
×
×
√
2．(2023·全国乙卷)设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪ UN＝( )
A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8}
C．{1，2，4，6，8} D．U
解析：易得 UN＝{2，4，8}．又M＝{0，4，6}，
∴M∪ UN＝{0，2，4，6，8}．
3．(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1A． U(M∪N) B．N∪ UM
C． U(M∩N) D．M∪ UN
解析：集合M，N在数轴上的表示如图．
由图可知 U(M∪N)＝{x|x≥2}．
02
重点串讲 能力提升
例1 (1)已知集合A＝{x|(2a－x)(x－a)＜0}，若2 A，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．[1，2)
C．(1，2) D．[1，2]
(2)(原创)已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．5 B．6
C．10 D．15
集合的基本概念
[解析] (1)因为2 A，所以(2a－2)(2－a)≥0，解得1≤a≤2.
(2)因为x∈A，y∈A，x＋y∈A，
所以分以下5种情况：
①x＋y＝0，有一个，(0，0)；
②x＋y＝1，有两个，(0，1)，(1，0)；
③x＋y＝2，有三个，(0，2)，(2，0)，(1，1)；
④x＋y＝3，有四个，(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)；
⑤x＋y＝4，有五个，(0，4)，(4，0)，(1，3)，(3，1)，(2，2).
综上，B中所含元素的个数为15.
理解集合的基本概念，其关键有三点：一是要明确构成集合的元素是数集、点集，还是其他集合；二是看集合的构成元素满足的限制条件；三是要注意集合中元素的互异性．
1.(2024·山东聊城模拟)已知集合A＝{0，1，2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：因为A＝{0，1，2}，a∈A，b∈A，
所以ab＝0或ab＝1或ab＝2或ab＝4，
故B＝{ab|a∈A，b∈A}＝{0，1，2，4}，
即集合B中含有4个元素．
2．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}．若3∈A，则m的值为________．
集合间的基本关系
[2，＋∞)
[解析] (1)若a－2＝0，则a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A B；若2a－2＝0，则a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足A B.
(2)由图可知a≥2.
1.解决集合之间的关系时要弄清子集及真子集的概念．
2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
1.设集合A＝{x|log2(x－1)＜2}，B＝{x|x＜5}，则( )
A．A＝B B．B A
C．A B D．A∩B＝
解析：由log2(x－1)＜2，得0＜x－1＜4，
解得1＜x＜5，则A＝{x|1＜x＜5}．
又B＝{x|x＜5}，所以A B.
(－∞，1]
解析：由x－a≥0，得x≥a，
所以B＝[a，＋∞).
因为A＝[1，6]，且A B，所以a≤1，
所以实数a的取值范围是(－∞，1].
例3 (1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B＝( )
A．{－1，2} B．{1，2}
C．{1，4} D．{－1，4}
(2)(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则 U(M∪N)＝( )
A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z}
C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．
集合的基本运算
[解析] (1)由|x－1|≤1得0≤x≤2，则B＝{x|0≤x≤2}，
∴A∩B＝{1，2}．
(2)集合M中的元素是被3除余1的数，集合N中的元素是被3除余2的数，所以集合 U(M∪N)中的元素是被3整除的数，即 U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}．
集合基本运算的方法与技巧
(1)明确集合中元素的特征；(2)化简集合；(3)利用交集、并集、补集定义求解，注意数轴和Venn图的使用．
1.(2021·全国甲卷)设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{x|2x>7}，则M∩N＝( )
A．{7，9} B．{5，7，9}
C．{3，5，7，9} D．{1，3，5，7，9}
2．(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则 U(M∪N)＝( )
A．{5} B．{1，2}
C．{3，4} D．{1，2，3，4}
解析：由题意得M∪N＝{1，2，3，4}，则 U(M∪N)＝{5}．
例4 (1) (多选)(2024·广东肇庆模拟)已知集合A＝{x∈R|x2－3x－18＜0}，B＝{x∈R|x2＋ax＋a2－27＜0}，则下列命题中正确的是( )
A．若A＝B，则a＝－3
B．若A B，则a＝－3
C．若B＝ ，则a≤－6或a≥6
D．若B?A，则－6＜a≤－3或a≥6
集合中的求参问题
(2)(2024·重庆第一学期考试)已知集合A＝{x|x<－1，或x≥0}，B＝{x|x≥a}．若A∪B＝R，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．(－∞，0) D．(－1，0)
[解析] (1)A＝{x∈R|－3＜x＜6}，若A＝B，则a＝－3，且a2－27＝
－18，解得a＝－3，故A正确；当a＝－3时，A＝B，故D不正确；若A B，则(－3)2＋a·(－3)＋a2－27≤0且62＋6a＋a2－27≤0，解得a＝－3，故B正确；当B＝ 时，a2－4(a2－27)≤0，解得a≤－6或a≥6，故C正确．
(2)如图，在数轴上表示出集合A，若A∪B＝R，则由图易知a≤－1，所以实数a的取值范围是(－∞，－1].
根据集合运算的结果，利用集合运算的定义和数轴建立关于参数的方程(不等式)求解．
(2024·河北衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln (1－x2)}，B＝{x|x≤a}．若( RA)∪B＝R，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
解析：由题可知A＝{x|y＝ln (1－x2)}＝{x|－1 RA＝{x|x≤－1，或x≥1}，
所以由( RA)∪B＝R，得a≥1.
例5 (2024·重庆市调研)某班有40名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和化学小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和物理小组的人数为________．
集合的实际应用(容斥原理)
4
[解析] 设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和物理小组的人数为x.因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为0，画出Venn图，如图所示：
由图可知20－x＋6＋3＋x＋4＋11－x＝40，解得x＝4，所以同时参加数学和物理小组的人数为4.
容斥原理
容斥原理是一种计数方法，在不考虑重叠的情况下，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算结果既无遗漏也无重复．
常用公式：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)；
card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C).
解题时可以从已知条件进行分析，画出Venn图．
某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座，则听讲座的人数为________．
184
解析：将已知条件用Venn图表示出来如图所示，所以听讲座的人数为62＋7＋5＋11＋45＋4＋50＝184.
