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专题1 物体的平衡
内容 重要的规律、公式和二级结论
1.弹力、胡克定律 (1)在弹性限度内，弹力与形变量成正比，即F＝kx。 (2)由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线，由“死结”分开的两段绳子上的弹力大小不一定相等。 (3)“动杆”弹力方向一定沿杆方向，“定杆”弹力方向不一定沿杆方向。
2.摩擦力 (4)摩擦力的方向与物体间的相对运动或相对运动趋势方向相反。 (5)静摩擦力的大小03.力的合成和分解 (6)两个分力大小不变，方向夹角越大，合力越小。 (7)两个力的合力大小范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。 (8)若三个力大小相等、方向互成120°角，则其合力为零。
4.共点力的平衡 (9)平衡条件：F合＝0(或Fx＝0，Fy＝0)。
5.静电力 (10)方向：正电荷所受静电力方向与电场强度方向一致，负电荷所受静电力方向与电场强度方向相反。 (11)大小：F＝qE，真空中点电荷间的静电力F＝k。
6.安培力 (12)方向：左手定则判断，安培力垂直于B、I决定的平面。 (13) 大小：当B⊥I时，F＝IlB，当B与I的夹角为θ时，F＝IlBsin θ。
7.洛伦兹力 (14)方向：左手定则判断，洛伦兹力垂直于B、v决定的平面，洛伦兹力不做功。 (15)大小：F＝qvB(B⊥v)。
1.思想方法
(1)在判断弹力或摩擦力是否存在以及确定它们的方向时常用假设法。
(2)求解平衡问题时常用二力平衡法、矢量三角形法、正交分解法、相似三角形法、图解法等。
(3)带电体的平衡问题仍然满足平衡条件，只是要注意准确分析场力——电场力、安培力或洛伦兹力。
2.模型建构
(1)合力与分力的关系
①合力不变时，两相等分力的夹角越大，两分力越大，夹角接近180°时，两分力接近无穷大。
②两相等分力夹角为120°时，两分力与合力大小相等。
(2)平衡条件的应用
①n个共点力平衡时其中任意(n－1)个力的合力与第n个力是一对平衡力。
②物体受包括重力在内的三个力作用平衡时一般用合成法，合成除重力外的两个力，合力与重力平衡，在力的三角形中解决问题，这样就把力的问题转化为三角形问题。
(3)滑块与斜面模型
如图所示，斜面固定，物块与斜面间的动摩擦因数为μ，将物块轻放在斜面上，若μ≥tan θ，物块保持静止；若μ＜tan θ，物块下滑。与物块质量无关，只由μ与θ决定，其中μ≥tan θ时称为“自锁”现象。
题型1 受力分析及静态平衡问题
（2024 广州模拟）如图1所示是一种常见的持球动作，用手臂挤压篮球，将篮球压在身侧．为了方便问题研究，我们将场景进行模型化处理，如图2所示，则下列说法正确的是（ ）
A．手臂对篮球的压力可以大于篮球重力
B．篮球对身体的静摩擦力方向竖直向上
C．身体对篮球的作用力方向为垂直身体向外
D．篮球对身体的静摩擦力大小可能等于篮球重力
（2025 贵港校级模拟）如图所示，用一根细线穿过光滑的杯柄，两手握住细线两端，提起水桶，保持静止状态，下列说法正确的是（ ）
A．细线之间的夹角变大时，细线的张力大小一定大于杯子的重力大小
B．逐渐减小细线之间的夹角θ，细线的张力将逐渐变大
C．当细线之间的夹角为60°时，细线的张力大小等于杯子的重力大小
D．换力更大的同学进行操作，也不可能将细线拉至水平
（2024 扶绥县一模）在一半径为R、质量为m的乒乓球内注入质量为M的水，但未将乒乓球注满，用水平“U”形槽将其支撑住，保持静止状态，其截面如图所示。已知“U”形槽的间距d＝R，重力加速度为g，忽略乒乓球与槽间的摩擦力，则“U”形槽侧壁顶端A点对乒乓球的支持力大小为（ ）
A．（M+m）g B．（M+m）g C．（M+m）g D．2（M+m）g
题型2 动态平衡问题
考法一 图解法
1.题目特点：物体在三个力作用下缓慢运动，其中一个力恒定，另一个力方向恒定。
2.应用思路：读懂题目叙述的情景，依次画出多个状态下力的渐变平行四边形或矢量三角形，根据有向线段长度、方向的变化判断相应力的大小、方向的变化。
（2024 雁塔区校级模拟）如图所示，一重力忽略不计的轻质光滑小圆环用两根不可伸长的轻质细线OA和OB连接，受一竖直向下的拉力F而平衡于O点。AOM水平，OB倾斜，ON竖直，A、B、O、M、N各点在同一竖直平面内。现让拉力F大小恒定、由ON方向逐渐变化至OM方向，则此过程中，两细线上的拉力大小变化情况为（ ）
A．细线OA上的拉力先增大后减小
B．细线OA上的拉力一直增大
C．细线OB上的拉力先增大后减小
D．细线OB上的拉力一直增大
（2024 雁塔区校级一模）如图所示，质量为m的小球用轻绳OA、OB连接，A端固定，在B端施加拉力F，使小球静止。开始时OB处于水平状态，现把小球向右上方缓慢拉起至OA绳水平，在整个运动过程中始终保持OA与OB的夹角θ＝120°不变。下列说法正确的是（ ）
A．拉力F先变大后变小
B．OA上的拉力先变小后变大
C．拉力F的最大值为
D．OA上的拉力的最小值
（2024 姜堰区校级模拟）燃气灶支架有很多种规格和款式。如图所示，这是a、b两款不同的燃气灶支架，它们都是在一个圆圈底座上等间距地分布有五个支架齿，每一款支架齿的简化示意图在对应的款式下方。如果将含有食物的球面锅置于两款支架上，假设锅和锅内食物的总重量总是维持不变，则（ ）
A．如果锅的尺寸越大，则a款每个支架齿受到的压力越大
B．如果锅的尺寸越大，则a款每个支架齿受到的压力越小
C．如果锅的尺寸越大，则b款每个支架齿受到的压力越大
D．如果锅的尺寸越大，则b款每个支架齿受到的压力越小
考法二 解析法
1.题目特点：物体受力示意图中某个力恒定，某个夹角发生的变化可判、可用。
2.应用思路：对力进行合成、分解或正交分解，用恒力、变角的三角函数写出变力的表达式(即平衡方程)，根据三角函数的变化判断力的变化。
（2024 丹阳市校级一模）如图所示，光滑水平地面上放有截面为圆周的柱状物体A，A与墙面之间放一光滑的圆柱形物体B，对A施加一水平向左的力F，整个装置保持静止。若将A的位置向左移动稍许，整个装置仍保持平衡，则（ ）
A．墙对B的作用力减小 B．墙对B的作用力不变
C．A对B的作用力增大 D．B对A的作用力增大
（2024 龙岗区校级三模）如图所示，在竖直墙壁上固定水平轻杆OB，B为铰链装置，OA为轻质细绳且与水平方向夹角θ＝30°，小球质量为m，通过轻绳系于O点，初始时整个装置处于静止状态，现保证O点位置不变，逐渐减小绳OA的长度，使绳的上端由A点缓慢移动至C点。已知重力加速度为g，不计所有摩擦，则下列说法正确的是（ ）
A．初始时OA绳的拉力大小为mg
B．移动过程中OA绳的拉力大小逐渐增大
C．移动过程中OB杆的弹力逐渐减小
D．最终OA绳的拉力大小减小至0
（2024 南充模拟）如图（a），某人借助瑜伽球锻炼腿部力量，她曲膝静蹲，背部倚靠在瑜伽球上，瑜伽球紧靠竖直墙面。假设瑜伽球光滑且视为均匀球体，整体可简化成如图（b）。当人缓慢竖直站立的过程中，人的背部与水平面夹角θ，下列说法正确的是（ ）
A．墙面对球的力保持不变
B．人受到地面的摩擦力变大
C．地面对人的支持力变大
D．球对人的压力先增大后减小
考法三 相似三角形法
1.题目特点：物体在绳、杆或弹簧的作用下沿圆周缓慢运动。
2.应用思路：相似三角形法是图解法的特例，平移受力示意图中的两个力，与第三个力构建力三角形，找到与之相似的几何三角形，列出相应比例式进行分析，其中与半径对应的力大小不变。
（2024 浙江一模）如图，两根相互平行的长直木棍AB和CD，两端固定。一个外径D0＝10cm、质量m＝20kg的管状铸件恰能从木棍上端匀速滑下，已知两木棍间距d＝8cm，与水平面的夹角α＝37°，忽略木棍粗细，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则（ ）
A．木棍对铸件弹力的合力为80N
B．每根木棍与铸件间的摩擦力为60N
C．若仅稍增大AB与CD间距离，木棍对铸件弹力的合力增大
D．若仅稍减小AB与CD间距离，铸件将沿木棍减速下滑
（2024 西安模拟）如图AO、CO为不可伸长的轻绳，BO为可绕B点自由转动的轻质细杆，杆长为L，A、B两点的高度差也为L。在O点用轻绳CO悬挂质量为m的重物，杆与绳子的夹角α＝30°，下列说法正确的是（ ）
A．轻绳AO、CO对O点作用力的合力沿杆由O指向B
B．轻杆对O点的力垂直BO斜向右上
C．轻绳AO对O点的拉力大小为mg
D．轻杆BO对B点的力大小为
（多选）（2024 锦江区校级模拟）如图所示，一轻杆通过铰链固定在竖直墙上的O点，轻杆的另一端C用弹性轻绳连接，轻绳的另一端固定在竖直墙上的A点。某人用竖直向下、大小为F的拉力作用于C点，静止时AOC构成等边三角形。下列说法正确的是（ ）
A．此时弹性轻绳的拉力大小为F
B．此时弹性轻绳的拉力大小为2F
C．若缓慢增大竖直向下的拉力，则在OC到达水平位置之前，轻绳AC的拉力增大
D．若缓慢增大竖直向下的拉力，则在OC到达水平位置之前，轻杆OC对C点的作用力减小
题型3 电磁学中的平衡问题
电磁学中平衡问题的处理方法
处理方法与力学问题的分析方法一样，把方法和规律进行迁移应用即可。
（2024 涧西区校级一模）如图，一劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，一端固定在倾角为θ的光滑绝缘斜面的上端，另一端与带电量为+q（q＞0）、质量为m的球a连接。a的右侧固定有带电量为Q的球b、系统静止时，a对斜面的压力恰好为零，两球心高度相同，球心间距和弹簧的长均为l。已知静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球视为点电荷，则（ ）
A．球b带正电，
B．球b带负电，
C．弹簧的原长为
D．弹簧的原长为
（2024 朝阳区二模）如图所示，水平面上固定一个绝缘支杆，支杆上固定一带电小球A，小球A位于光滑小定滑轮O的正下方，绝缘细线绕过定滑轮与带电小球B相连，在拉力F的作用下小球B静止，此时两球处于同一水平线。假设两球的电荷量均不变，现缓慢释放细线，使球B移动一小段距离。在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．细线中的拉力一直减小
B．球B受到的库仑力先减小后增大
C．球A、B系统的电势能保持不变
D．拉力做负功，库仑力做正功
（2024 西湖区校级模拟）如图所示，两相同的小球M、N用等长的绝缘细线悬挂在竖直绝缘墙壁上的O点，悬点到小球中心的距离均为L，给小球N带上电，电荷量大小为q，小球M上电荷量未知且保持不变。由于库仑斥力作用，初次平衡时两小球间的距离为d1，由于某种原因，小球N缓慢漏电，当两小球间的距离为d2时，小球N的电荷量为（ ）
A． B．
C． D．
（2024 北碚区校级模拟）平衡木上运动员行云流水般的优美姿态令人惊叹。如图所示，某运动员静止在水平的平衡木上，其双手手臂与平衡木的夹角均为θ。若该运动员所受重力为G，则平衡木各部分对她的作用力的合力大小为（ ）
A．G B． C． D．0
（2024 南宁模拟）2024年7月6日消息，近日在辽宁营口四千吨级履带起重机首秀。如图甲为起重机将质量m＝3000吨的重物吊起时的情形，如图乙所示重物上表面是边长为L的正方形，四根长均为L的吊绳分别连接在正方形的四个角，另一端连接在吊索下端的O点。正方形上表面水平，不计空气阻力和吊绳的重力，取当地的重力加速度g＝10m/s2。在重物匀速上升过程中，每根吊绳上的拉力大小为（ ）
A．7.5×106N B．3×107N
C． D．
（2024 宁河区校级二模）春节贴“福”字是民间由来已久的风俗，新春佳节临近，某同学正写“福”字，他在水平桌面上平铺一张红纸，并在红纸左侧靠近边缘处用“镇纸”压住以防止打滑，整个书写过程中红纸始终保持静止，则该同学在书写过程中（ ）
A．提笔静止时，手对毛笔的摩擦力大小与握力成正比
B．向下顿笔时，毛笔对红纸的压力大于红纸对毛笔的支持力
C．向右行笔时，红纸对“镇纸”的静摩擦力方向向右
D．向右行笔时，红纸对桌面的静摩擦力方向向右
（2024 蜀山区校级模拟）长城被列为世界建筑的七大奇迹之一，在建筑长城时为了节省人力，工人在高处用绳子拉着工料运送到高处，简易图如图所示。由地面的A点向建筑工地竖直固定的杆B处搭建一倾角θ＝15°的斜坡，在杆的顶端固定一光滑的定滑轮，工人通过绳子拴接工料跨过定滑轮将工料由A点缓慢地拉到B处。已知AC＝OC，工料的质量为m，工料与斜坡间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．若μ＝0，细绳的拉力逐渐减小
B．若μ＝0，工料对斜坡的压力逐渐增大
C．若μ，细绳的最小拉力大小为mg
D．若μ，细绳的拉力先减小后增大
（2024 雁塔区校级一模）如图，倾角为θ的斜面固定在墙角，质量为M的尖劈放置在斜面上，尖劈的右侧面竖直，用轻绳系住一个质量为m的球紧靠在尖劈的右侧，轻绳与斜面平行，球与尖劈的接触面光滑，斜面对尖劈的静摩擦力恰好为0，整个系统处于静止状态。沿球心O对球施加一个水平向左的恒定推力F，系统仍处于静止状态。则（ ）
A．对球施加水平推力后，轻绳的拉力可能变大
B．对球施加水平推力后，尖劈对斜面的压力一定变大
C．尖劈的质量M与球的质量m之比为tan2θ
D．对球施加水平推力后，斜面对尖劈的摩擦力可能仍为0
（2024 大庆三模）如图所示，两根绝缘细线的上端都系在水平天花板上，另一端分别连着两个带电小球P、Q，两小球静止时处于同一水平高度，P球质量为m，两细线与天花板间的夹角分别为α＝30°，β＝45°，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．左侧细线对小球的拉力大小为mg
B．右侧小球的质量为m
C．剪断左侧细线的瞬间，P球的加速度大小为2g
D．剪断右侧细线的瞬间，Q球的加速度大小为g
（2024 马鞍山三模）如图所示，在光滑小滑轮O正下方相距h处固定一电量为Q的小球A，电量为q的带电小球B用一绝缘细线通过定滑轮拉住并处于静止状态，此时小球B与A的距离为R。现用力F缓慢拉动细线，使B球移动一小段距离。假定两球均可视为点电荷且电荷量均保持不变，静电力常量为k，则下列说法正确的是（ ）
A．小球B重力大小为
B．细线上的拉力先增大后减小
C．两球之间的静电力不断变小
D．B球电势能大小保持不变
（2024 宁波二模）如图，用三根绝缘细绳把三个带同种电荷的小球A、B、C悬挂在O点。小球静止时，恰好位于同一水平面，细绳与竖直方向的夹角分别为α、β、γ，已知小球A、B、C的质量分别为mA、mB、mC，电荷量分别为qA、qB、qC，则下列说法正确的是（ ）
A．若小球的质量mA＝mB＝mC，则一定有α＝β＝γ
B．若小球的质量mA＝mB＝mC，则可能有α＝β＞γ
C．若小球所带电荷量qA＝qB＝qC，则一定有α＝β＝γ
D．若小球所带电荷量qA＞qB＞qC，则一定有α＜β＜γ
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专题1 物体的平衡
内容 重要的规律、公式和二级结论
1.弹力、胡克定律 (1)在弹性限度内，弹力与形变量成正比，即F＝kx。 (2)由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线，由“死结”分开的两段绳子上的弹力大小不一定相等。 (3)“动杆”弹力方向一定沿杆方向，“定杆”弹力方向不一定沿杆方向。
2.摩擦力 (4)摩擦力的方向与物体间的相对运动或相对运动趋势方向相反。 (5)静摩擦力的大小03.力的合成和分解 (6)两个分力大小不变，方向夹角越大，合力越小。 (7)两个力的合力大小范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。 (8)若三个力大小相等、方向互成120°角，则其合力为零。
4.共点力的平衡 (9)平衡条件：F合＝0(或Fx＝0，Fy＝0)。
5.静电力 (10)方向：正电荷所受静电力方向与电场强度方向一致，负电荷所受静电力方向与电场强度方向相反。 (11)大小：F＝qE，真空中点电荷间的静电力F＝k。
6.安培力 (12)方向：左手定则判断，安培力垂直于B、I决定的平面。 (13) 大小：当B⊥I时，F＝IlB，当B与I的夹角为θ时，F＝IlBsin θ。
7.洛伦兹力 (14)方向：左手定则判断，洛伦兹力垂直于B、v决定的平面，洛伦兹力不做功。 (15)大小：F＝qvB(B⊥v)。
1.思想方法
(1)在判断弹力或摩擦力是否存在以及确定它们的方向时常用假设法。
(2)求解平衡问题时常用二力平衡法、矢量三角形法、正交分解法、相似三角形法、图解法等。
(3)带电体的平衡问题仍然满足平衡条件，只是要注意准确分析场力——电场力、安培力或洛伦兹力。
2.模型建构
(1)合力与分力的关系
①合力不变时，两相等分力的夹角越大，两分力越大，夹角接近180°时，两分力接近无穷大。
②两相等分力夹角为120°时，两分力与合力大小相等。
(2)平衡条件的应用
①n个共点力平衡时其中任意(n－1)个力的合力与第n个力是一对平衡力。
②物体受包括重力在内的三个力作用平衡时一般用合成法，合成除重力外的两个力，合力与重力平衡，在力的三角形中解决问题，这样就把力的问题转化为三角形问题。
(3)滑块与斜面模型
如图所示，斜面固定，物块与斜面间的动摩擦因数为μ，将物块轻放在斜面上，若μ≥tan θ，物块保持静止；若μ＜tan θ，物块下滑。与物块质量无关，只由μ与θ决定，其中μ≥tan θ时称为“自锁”现象。
题型1 受力分析及静态平衡问题
（2024 广州模拟）如图1所示是一种常见的持球动作，用手臂挤压篮球，将篮球压在身侧．为了方便问题研究，我们将场景进行模型化处理，如图2所示，则下列说法正确的是（ ）
A．手臂对篮球的压力可以大于篮球重力
B．篮球对身体的静摩擦力方向竖直向上
C．身体对篮球的作用力方向为垂直身体向外
D．篮球对身体的静摩擦力大小可能等于篮球重力
【解答】解：
A.手臂对篮球的压力可以大于篮球重力，二者没有必然联系，故A正确；
B.两个接触面都有静摩擦力，静摩擦力方向不是竖直向上，故B错误；
C.根据平衡条件，身体对篮球的作用力方向为竖直向上，与篮球重力方向相反，故C错误；
D.根据平衡条件，身体对篮球的作用力等于篮球重力，而不是篮球对身体的静摩擦力大小等于篮球重力，故D错误；
故选：A。
（2025 贵港校级模拟）如图所示，用一根细线穿过光滑的杯柄，两手握住细线两端，提起水桶，保持静止状态，下列说法正确的是（ ）
A．细线之间的夹角变大时，细线的张力大小一定大于杯子的重力大小
B．逐渐减小细线之间的夹角θ，细线的张力将逐渐变大
C．当细线之间的夹角为60°时，细线的张力大小等于杯子的重力大小
D．换力更大的同学进行操作，也不可能将细线拉至水平
【解答】解：A、设两细线之间的夹角为θ，根据水杯受力平衡，有
解得细线的张力大小为
可知，只有当细线之间的夹角θ大于120°时，细线的张力大小才大于杯子的重力大小，故A错误；
B、逐渐减小细线之间的夹角θ，则逐渐增大，细线的张力T将逐渐变小，故B错误；
C、当细线之间的夹角θ为60°时，由解得，细线的张力大小为，故C错误；
D、无论该同学的力气多大，细线的拉力在竖直方向总有分量，所以细线不可能被拉至水平，故D正确。
故选：D。
（2024 扶绥县一模）在一半径为R、质量为m的乒乓球内注入质量为M的水，但未将乒乓球注满，用水平“U”形槽将其支撑住，保持静止状态，其截面如图所示。已知“U”形槽的间距d＝R，重力加速度为g，忽略乒乓球与槽间的摩擦力，则“U”形槽侧壁顶端A点对乒乓球的支持力大小为（ ）
A．（M+m）g B．（M+m）g C．（M+m）g D．2（M+m）g
【解答】解：对球与水整体受力分析，如图所示：
根据平衡条件，有：
2Ncosθ＝（m+M）g
其中：cosθ，
解得：
N（M+m）g，故ACD错误，B正确。
故选：B。
题型2 动态平衡问题
考法一 图解法
1.题目特点：物体在三个力作用下缓慢运动，其中一个力恒定，另一个力方向恒定。
2.应用思路：读懂题目叙述的情景，依次画出多个状态下力的渐变平行四边形或矢量三角形，根据有向线段长度、方向的变化判断相应力的大小、方向的变化。
（2024 雁塔区校级模拟）如图所示，一重力忽略不计的轻质光滑小圆环用两根不可伸长的轻质细线OA和OB连接，受一竖直向下的拉力F而平衡于O点。AOM水平，OB倾斜，ON竖直，A、B、O、M、N各点在同一竖直平面内。现让拉力F大小恒定、由ON方向逐渐变化至OM方向，则此过程中，两细线上的拉力大小变化情况为（ ）
A．细线OA上的拉力先增大后减小
B．细线OA上的拉力一直增大
C．细线OB上的拉力先增大后减小
D．细线OB上的拉力一直增大
【解答】解：对轻质光滑小圆环受力分析，外加方向逆时针改变方向的力F后，采用画圆法将F沿两细线方向分解，如图所示；
拉力F大小恒定、由ON方向逐渐变化至OM方向的过程中，由图可知F1先增加后减小，F2一直减小，细线OA上的拉力大小先增大后减小，细线OB上的拉力大小一直减小，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2024 雁塔区校级一模）如图所示，质量为m的小球用轻绳OA、OB连接，A端固定，在B端施加拉力F，使小球静止。开始时OB处于水平状态，现把小球向右上方缓慢拉起至OA绳水平，在整个运动过程中始终保持OA与OB的夹角θ＝120°不变。下列说法正确的是（ ）
A．拉力F先变大后变小
B．OA上的拉力先变小后变大
C．拉力F的最大值为
D．OA上的拉力的最小值
【解答】解：AB.由题意可知，小球受到重力mg、拉力F、绳子OA的拉力FT三个力的作用，由共点力的平衡条件可知，这三个力可构成一个闭合的矢量三角形；
开始时OB处于水平状态，则F水平向右，把小球向右上方缓慢拉起至OA绳水平，则FT水平，在整个运动过程中始终保持OA与OB的夹角θ＝120°不变，则矢量三角形中代表F、FT的两边夹角为60°，可得下图：
由图可知，拉力F一直变大，OA上的拉力FT一直变小，故AB错误；
CD.由AB的图可知，
拉力F的最大值为：，
OA上的拉力的最小值为：，故C正确，D错误；
故选：C。
（2024 姜堰区校级模拟）燃气灶支架有很多种规格和款式。如图所示，这是a、b两款不同的燃气灶支架，它们都是在一个圆圈底座上等间距地分布有五个支架齿，每一款支架齿的简化示意图在对应的款式下方。如果将含有食物的球面锅置于两款支架上，假设锅和锅内食物的总重量总是维持不变，则（ ）
A．如果锅的尺寸越大，则a款每个支架齿受到的压力越大
B．如果锅的尺寸越大，则a款每个支架齿受到的压力越小
C．如果锅的尺寸越大，则b款每个支架齿受到的压力越大
D．如果锅的尺寸越大，则b款每个支架齿受到的压力越小
【解答】解：AB、因为a款支架与球面锅的接触点的弹力始终垂直于支架的斜面，方向不变，设每个支架齿对锅的支持力与竖直方向的夹角为θ。
锅静止，由平衡条件得
5FNcosθ＝G锅
可知，锅的尺寸越大，θ不变，支架齿对锅的支持力FN不变，由牛顿第三定律可知，a款每个支架齿受到的压力不变，故AB错误；
CD、因为b款支架与球面锅的接触点的弹力始终垂直于公切面，则知锅的尺寸越大，b款每个支架齿对锅的支持力与竖直方向的夹角θ变小，由上式分析可知，支架齿对锅的支持力FN越小，由牛顿第三定律可知，b款每个支架齿受到的压力越小，故C错误，D正确。
故选：D。
考法二 解析法
1.题目特点：物体受力示意图中某个力恒定，某个夹角发生的变化可判、可用。
2.应用思路：对力进行合成、分解或正交分解，用恒力、变角的三角函数写出变力的表达式(即平衡方程)，根据三角函数的变化判断力的变化。
（2024 丹阳市校级一模）如图所示，光滑水平地面上放有截面为圆周的柱状物体A，A与墙面之间放一光滑的圆柱形物体B，对A施加一水平向左的力F，整个装置保持静止。若将A的位置向左移动稍许，整个装置仍保持平衡，则（ ）
A．墙对B的作用力减小 B．墙对B的作用力不变
C．A对B的作用力增大 D．B对A的作用力增大
【解答】解：ABC、对物体B受力分析，有重力G、墙对其向右的弹力FN和A对B的斜向左上的支持力FAB。如图示
物体B在三个力的作用下处于平衡状态。设FAB与竖直方向的夹角为θ，根据平衡条件有
FN＝mgtanθ
当将A的位置向左移动稍许，θ减小，则FN减小，FAB减小，故A正确，BC错误；
D、因为A对B的作用力减小，因为力的作用是相互的，所以B对A的作用力也是减小的，故D错误。
故选：A。
（2024 龙岗区校级三模）如图所示，在竖直墙壁上固定水平轻杆OB，B为铰链装置，OA为轻质细绳且与水平方向夹角θ＝30°，小球质量为m，通过轻绳系于O点，初始时整个装置处于静止状态，现保证O点位置不变，逐渐减小绳OA的长度，使绳的上端由A点缓慢移动至C点。已知重力加速度为g，不计所有摩擦，则下列说法正确的是（ ）
A．初始时OA绳的拉力大小为mg
B．移动过程中OA绳的拉力大小逐渐增大
C．移动过程中OB杆的弹力逐渐减小
D．最终OA绳的拉力大小减小至0
【解答】解：A、初始时整个装置处于静止状态，设OA绳的拉力大小为FT，竖直方向上，根据平衡条件得：mg＝FTsin30°，解得：FT＝2mg，故A错误；
BD、根据平衡条件，竖直方向上可得
mg＝FTsinθ
则得
绳的上端由A点缓慢移动至C点，θ增大，sinθ增大，则FT逐渐减小直至mg，故BD错误；
C、水平方向上，根据平衡条件得：
绳的上端由A点缓慢移动至C点，θ增大，tanθ增大，则FNB逐渐减小，故C正确。
故选：C。
（2024 南充模拟）如图（a），某人借助瑜伽球锻炼腿部力量，她曲膝静蹲，背部倚靠在瑜伽球上，瑜伽球紧靠竖直墙面。假设瑜伽球光滑且视为均匀球体，整体可简化成如图（b）。当人缓慢竖直站立的过程中，人的背部与水平面夹角θ，下列说法正确的是（ ）
A．墙面对球的力保持不变
B．人受到地面的摩擦力变大
C．地面对人的支持力变大
D．球对人的压力先增大后减小
【解答】解：AD．对瑜伽球受力分析，如图所示：
由平衡条件可知：
N1＝mgtanθ，N2
人缓慢竖直站立的过程中，人的背部与水平面夹角逐渐变大，则墙面对球的力增大。人对球的支持力增大
根据牛顿第三定律可知球对人的压力增大，故AD错误；
BC．对整体受力分析，如图所示
由平衡条件，可知：
FN＝（M+m）g，f＝N1
由此可知人受到地面的摩擦力变大，地面对人的支持力不变，故B正确，C错误。
故选：B。
考法三 相似三角形法
1.题目特点：物体在绳、杆或弹簧的作用下沿圆周缓慢运动。
2.应用思路：相似三角形法是图解法的特例，平移受力示意图中的两个力，与第三个力构建力三角形，找到与之相似的几何三角形，列出相应比例式进行分析，其中与半径对应的力大小不变。
（2024 浙江一模）如图，两根相互平行的长直木棍AB和CD，两端固定。一个外径D0＝10cm、质量m＝20kg的管状铸件恰能从木棍上端匀速滑下，已知两木棍间距d＝8cm，与水平面的夹角α＝37°，忽略木棍粗细，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则（ ）
A．木棍对铸件弹力的合力为80N
B．每根木棍与铸件间的摩擦力为60N
C．若仅稍增大AB与CD间距离，木棍对铸件弹力的合力增大
D．若仅稍减小AB与CD间距离，铸件将沿木棍减速下滑
【解答】解：A、铸件恰能从木棍上端匀速滑下，受力平衡。在垂直两根直木棍所在平面内，根据平衡条件可得，两根直木棍对铸件弹力的合力大小为
N合＝mgcosα＝20×10×0.8N＝160N，故A错误；
B、铸件从木棍的上端恰好能匀速滑下，沿木棍方向，根据平衡条件可得，两根直木棍对铸件摩擦力的合力大小为
f合＝mgsinα＝20×10×0.6N＝120N
所以每根木棍与铸件间的摩擦力为f120N＝60N，故B正确；
C、若仅稍增大AB与CD间距离，木棍对铸件弹力的合力不变，仍等于铸件重力沿垂直于两木棍所在平面的分量，故C错误；
D、作出铸件在垂直两根直木棍所在平面内受力示意图，如图所示。
根据几何关系可得
N合＝2Ncosθ
若仅稍减小AB与CD间距离，即d减小，sinθ减小，θ减小，cosθ增大，所以N减小，根据f＝μN可知，N减小，f减小，则铸件重力沿斜面向下的分量大于向上的摩擦力的合力，所以铸件的合力向下，向下加速运动，故D错误。
故选：B。
（2024 西安模拟）如图AO、CO为不可伸长的轻绳，BO为可绕B点自由转动的轻质细杆，杆长为L，A、B两点的高度差也为L。在O点用轻绳CO悬挂质量为m的重物，杆与绳子的夹角α＝30°，下列说法正确的是（ ）
A．轻绳AO、CO对O点作用力的合力沿杆由O指向B
B．轻杆对O点的力垂直BO斜向右上
C．轻绳AO对O点的拉力大小为mg
D．轻杆BO对B点的力大小为
【解答】解：AC、对悬点O受力分析，受到重物拉力、OB支持力和轻绳AO拉力，且三力处于平衡状态，则轻绳AO、CO对O点作用力的合力沿杆由O指向B，如图所示
由平衡条件可知，FT与FN的合力大小等于重物的拉力mg，由相似三角形关系可得
绳AO对O点的拉力大小为FTmgmg
故A正确，C错误；
BD、杆BO对O点的力沿杆由B指向O；由相似三角形关系有
可得杆BO对O点的力大小为FN＝mg
故BD错误；
故选：A。
（多选）（2024 锦江区校级模拟）如图所示，一轻杆通过铰链固定在竖直墙上的O点，轻杆的另一端C用弹性轻绳连接，轻绳的另一端固定在竖直墙上的A点。某人用竖直向下、大小为F的拉力作用于C点，静止时AOC构成等边三角形。下列说法正确的是（ ）
A．此时弹性轻绳的拉力大小为F
B．此时弹性轻绳的拉力大小为2F
C．若缓慢增大竖直向下的拉力，则在OC到达水平位置之前，轻绳AC的拉力增大
D．若缓慢增大竖直向下的拉力，则在OC到达水平位置之前，轻杆OC对C点的作用力减小
【解答】解：AB、轻杆通过铰链固定在竖直墙上的O点，可知轻杆对C端的支持力方向沿杆的方向，两边细线的拉力方向成120°角，轻杆的弹力方向在两细绳拉力的平分线上，则知两边细绳的拉力大小相等，均为F，故A正确，B错误；
CD、对C受力分析如图所示。
由相似三角形得：
得TF，NF
其中AO不变，OC也不变，若缓慢增大竖直向下的拉力F，AC增大，则在OC到达水平位置之前，轻绳AC的拉力T增大，轻杆OC对C点的作用力N变大，故C正确，D错误。
故选：AC。
题型3 电磁学中的平衡问题
电磁学中平衡问题的处理方法
处理方法与力学问题的分析方法一样，把方法和规律进行迁移应用即可。
（2024 涧西区校级一模）如图，一劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，一端固定在倾角为θ的光滑绝缘斜面的上端，另一端与带电量为+q（q＞0）、质量为m的球a连接。a的右侧固定有带电量为Q的球b、系统静止时，a对斜面的压力恰好为零，两球心高度相同，球心间距和弹簧的长均为l。已知静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球视为点电荷，则（ ）
A．球b带正电，
B．球b带负电，
C．弹簧的原长为
D．弹簧的原长为
【解答】解：AB．a对斜面的压力恰好为零，球b一定带负电，根据库仑定律可得：
根据平衡条件可得：F电sinθ＝mgcosθ
解得：，故A错误，B正确；
CD．以a为研究对象，受力情况如图所示：
根据平衡条件可得弹簧弹力：Tk0x
解得弹簧伸长量为：x
弹簧的原长为：l0＝l﹣x，故CD错误。
故选：B。
（2024 朝阳区二模）如图所示，水平面上固定一个绝缘支杆，支杆上固定一带电小球A，小球A位于光滑小定滑轮O的正下方，绝缘细线绕过定滑轮与带电小球B相连，在拉力F的作用下小球B静止，此时两球处于同一水平线。假设两球的电荷量均不变，现缓慢释放细线，使球B移动一小段距离。在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．细线中的拉力一直减小
B．球B受到的库仑力先减小后增大
C．球A、B系统的电势能保持不变
D．拉力做负功，库仑力做正功
【解答】解：对小球B分析可知，受细线的拉力T，静电斥力F和重力G，受力分析如图所示：
由相似三角形可知：，现缓慢释放细线，使球B移动一小段距离，可知L变大，细线中的拉力T变大；r不变，球B受到的库仑力不变；球A、B系统的电势能保持不变；拉力做负功，球A、B间距离不变，库仑力做不做功，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2024 西湖区校级模拟）如图所示，两相同的小球M、N用等长的绝缘细线悬挂在竖直绝缘墙壁上的O点，悬点到小球中心的距离均为L，给小球N带上电，电荷量大小为q，小球M上电荷量未知且保持不变。由于库仑斥力作用，初次平衡时两小球间的距离为d1，由于某种原因，小球N缓慢漏电，当两小球间的距离为d2时，小球N的电荷量为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：如图所示：
对小球M受力分析可知M所受的重力，绳的拉力和库仑力F构成的力的三角形与OMN长度三角形一直相似，所以当初次平衡时两小球间的距离为d1 时，有：，当两小球间的距离为d2 时，有：，而根据库仑定律，两种状态下库仑力分别有：，，联立解得：，故B正确，ACD错误；
故选：B。
（2024 北碚区校级模拟）平衡木上运动员行云流水般的优美姿态令人惊叹。如图所示，某运动员静止在水平的平衡木上，其双手手臂与平衡木的夹角均为θ。若该运动员所受重力为G，则平衡木各部分对她的作用力的合力大小为（ ）
A．G B． C． D．0
【解答】解：运动员处于平衡状态，其所受合力为零，除了受到地球对她的重力作用，还有平衡木对她的作用力，根据平衡条件可知平衡木对她的作用力大小为G，方向竖直向上，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2024 南宁模拟）2024年7月6日消息，近日在辽宁营口四千吨级履带起重机首秀。如图甲为起重机将质量m＝3000吨的重物吊起时的情形，如图乙所示重物上表面是边长为L的正方形，四根长均为L的吊绳分别连接在正方形的四个角，另一端连接在吊索下端的O点。正方形上表面水平，不计空气阻力和吊绳的重力，取当地的重力加速度g＝10m/s2。在重物匀速上升过程中，每根吊绳上的拉力大小为（ ）
A．7.5×106N B．3×107N
C． D．
【解答】解：设吊绳与竖直方向的夹角为θ，根据几何关系可得
设每根吊绳上的拉力为F，根据平衡条件可得
4Fcosθ＝mg
解得
，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2024 宁河区校级二模）春节贴“福”字是民间由来已久的风俗，新春佳节临近，某同学正写“福”字，他在水平桌面上平铺一张红纸，并在红纸左侧靠近边缘处用“镇纸”压住以防止打滑，整个书写过程中红纸始终保持静止，则该同学在书写过程中（ ）
A．提笔静止时，手对毛笔的摩擦力大小与握力成正比
B．向下顿笔时，毛笔对红纸的压力大于红纸对毛笔的支持力
C．向右行笔时，红纸对“镇纸”的静摩擦力方向向右
D．向右行笔时，红纸对桌面的静摩擦力方向向右
【解答】解：A、提笔静止时，手对毛笔的摩擦力为静摩擦力，大小等于笔的重力，与握力不成正比，故A错误；
B、毛笔对红纸的压力和红纸对毛笔的支持力是一对作用力与反作用力，大小相等，故B错误；
C、向右行笔时，对“镇纸”受力分析，“镇纸”只受到重力和支持力，则红纸对“镇纸”的静摩擦力为零，故C错误；
D、向右行笔时，红纸相对毛笔向左运动，受到毛笔对红纸向右的滑动摩擦力，则红纸相对桌面有向右运动的趋势，受到桌面对红纸向左的静摩擦力，则红纸对桌面的静摩擦力方向向右，故D正确。
故选：D。
（2024 蜀山区校级模拟）长城被列为世界建筑的七大奇迹之一，在建筑长城时为了节省人力，工人在高处用绳子拉着工料运送到高处，简易图如图所示。由地面的A点向建筑工地竖直固定的杆B处搭建一倾角θ＝15°的斜坡，在杆的顶端固定一光滑的定滑轮，工人通过绳子拴接工料跨过定滑轮将工料由A点缓慢地拉到B处。已知AC＝OC，工料的质量为m，工料与斜坡间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．若μ＝0，细绳的拉力逐渐减小
B．若μ＝0，工料对斜坡的压力逐渐增大
C．若μ，细绳的最小拉力大小为mg
D．若μ，细绳的拉力先减小后增大
【解答】解：AB.若 μ＝0，对工料受力分析如图甲，
工料沿斜面上移的过程中，绳子与竖直方向的夹角逐渐变小，由图可知绳的拉力逐渐增大，斜面对工料的支持力逐渐减小，由牛顿第三定律可知，工料对斜面的压力逐渐减小，故AB错误；
CD.若，对工料受力分析如图，
工料缓慢移动的过程中受力平衡，则将重力和绳子拉力分解到沿斜面方向和垂直斜面方向上，则
mgsinθ+Ff＝Fcosα
mgcosθ＝Fsinα+FFf＝μFN
解得
工料由A到B的过程中，分析可知，细绳与斜坡的夹角α由30°逐渐增大到75°，故细绳的拉力一直增大，当夹角为α＝30°时拉力最小，此时拉力为
故C正确，D错误。
故选：C。
（2024 雁塔区校级一模）如图，倾角为θ的斜面固定在墙角，质量为M的尖劈放置在斜面上，尖劈的右侧面竖直，用轻绳系住一个质量为m的球紧靠在尖劈的右侧，轻绳与斜面平行，球与尖劈的接触面光滑，斜面对尖劈的静摩擦力恰好为0，整个系统处于静止状态。沿球心O对球施加一个水平向左的恒定推力F，系统仍处于静止状态。则（ ）
A．对球施加水平推力后，轻绳的拉力可能变大
B．对球施加水平推力后，尖劈对斜面的压力一定变大
C．尖劈的质量M与球的质量m之比为tan2θ
D．对球施加水平推力后，斜面对尖劈的摩擦力可能仍为0
【解答】解：C、对球施加水平推力前，以尖劈和球整体为研究对象，如图1所示。
由平衡条件可知轻绳的拉力大小为
T＝（M+m ）gsinθ
斜面对尖劈的支持力大小为
N1＝（M+m）gcosθ
以球为研究对象，如图2所示。
由平衡条件可知轻绳的拉力大小为
T
联立解得，故C错误。
A、以球为研究对象，可知对球施加水平推力后不影响竖直方向力的大小，轻绳的拉力不变，如图3所示，故A错误；
BD、以尖劈和球整体为研究对象，对球施加水平推后，如图4所示。
由平衡条件可知斜面对尖劈的支持力大小为
N'1＝（M+m）gcosθ+Fsinθ
总重力不变，可得斜面对尖劈的弹力变大，即尖劈对斜面的压力变大；轻绳拉力T不变，总重力不变，施加推力F后，要保持平衡，有
T+Fcosθ＝（M+m）gsinθ+f
则斜面对尖劈的摩擦力沿斜面向下，斜面对尖劈的摩擦力不可能为0，故B正确，D错误。
故选：B。
（2024 大庆三模）如图所示，两根绝缘细线的上端都系在水平天花板上，另一端分别连着两个带电小球P、Q，两小球静止时处于同一水平高度，P球质量为m，两细线与天花板间的夹角分别为α＝30°，β＝45°，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．左侧细线对小球的拉力大小为mg
B．右侧小球的质量为m
C．剪断左侧细线的瞬间，P球的加速度大小为2g
D．剪断右侧细线的瞬间，Q球的加速度大小为g
【解答】解：A、对P球受力分析如图所示：
由共点力平衡条件得细线的拉力为：，库仑力大小为：，故A错误；
B、对Q受力分析，则有：，又，，联立解得：，故B错误；
C、剪断左侧细线的瞬间，库仑力不变，小球P所受的合力F合＝T＝2mg，根据牛顿第二定律得：，故C正确；
D、剪断右侧细线的瞬间，库仑力不变，小球Q所受的合力，根据牛顿第二定律得：，故D错误。
故选：C。
（2024 马鞍山三模）如图所示，在光滑小滑轮O正下方相距h处固定一电量为Q的小球A，电量为q的带电小球B用一绝缘细线通过定滑轮拉住并处于静止状态，此时小球B与A的距离为R。现用力F缓慢拉动细线，使B球移动一小段距离。假定两球均可视为点电荷且电荷量均保持不变，静电力常量为k，则下列说法正确的是（ ）
A．小球B重力大小为
B．细线上的拉力先增大后减小
C．两球之间的静电力不断变小
D．B球电势能大小保持不变
【解答】解：对小球B受力分析，如图所示：
设OB间的距离为L，由三角形相似可得：
A、小球B所受的重力大小为：，故A错误；
B、用力F缓慢拉动细线时有：，L减小，h不变，GB不变，则拉力F一直减小，故B错误；
CD、由A得：，由于h不变，GB不变，则R不变，A、B两球之间的距离不变，球B球电势能大小保持不变，根据库仑定律可得两球之间的静电力也保持不变，故D正确，C错误。
故选：D。
（2024 宁波二模）如图，用三根绝缘细绳把三个带同种电荷的小球A、B、C悬挂在O点。小球静止时，恰好位于同一水平面，细绳与竖直方向的夹角分别为α、β、γ，已知小球A、B、C的质量分别为mA、mB、mC，电荷量分别为qA、qB、qC，则下列说法正确的是（ ）
A．若小球的质量mA＝mB＝mC，则一定有α＝β＝γ
B．若小球的质量mA＝mB＝mC，则可能有α＝β＞γ
C．若小球所带电荷量qA＝qB＝qC，则一定有α＝β＝γ
D．若小球所带电荷量qA＞qB＞qC，则一定有α＜β＜γ
【解答】解：A.对ABC三个小球整体来看，其整体重心在竖直线上，由此得到
mAlsinα＝mBlsinβ+mClsinγ
当mA＝mB＝mC时
sinα＝sinβ+sinγ
当 α＝β＝γ时
sinα＝2sinα
这是不能实现的，故A错误；
B.由A项分析，当 γ＝0时
α＝β＞γ
B正确；
C.小球位置与其质量有关，与电荷量无关，电荷量只决定小球张开的绝对大小，不影响相对大小，故C错误；
D.由C项分析可知，故D错误。
故选：B。
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