中小学教育资源及组卷应用平台
专题3 曲线运动
内容 重要的规律、公式和二级结论
1.运动的合成与分解 (1)小船船头垂直河岸过河时，所用时间最短。 (2)小船过河时，船速大于水速，船才能垂直河岸过河。 (3)与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，则沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
2.曲线运动中质点的速度、加速度 (4)曲线运动中质点的速度方向时刻改变，总沿该点的切线方向。 (5)曲线运动中质点所受合外力方向指向曲线弯曲的凹侧。
3.抛体运动 (6)平抛运动的速度的反向延长线一定过水平位移的中点。 (7)平抛运动某时刻速度与水平方向夹角的正切值等于位移与水平方向夹角正切值的2倍。 (8)在斜面上做平抛运动时，落到斜面上的速度方向与斜面的夹角不变。
4.匀速圆周运动、圆周运动的向心力 (9)圆锥摆、火车转弯、漏斗壁上的小球在水平面内做匀速圆周运动，F向＝mgtan θ，方向水平指向圆心。 (10)小球在“绳”模型最高点的最小速度为，最低点的最小速度为，上、下两点拉力之差为6 mg。 (11)小球在“杆”模型最高点vmin＝0，v临＝，v＞v临，杆对小球有向下的拉力；v＝v临，杆对小球的作用力为零；v＜v临，杆对小球有向上的支持力。
1.思想方法
合运动性质和轨迹的判断
(1)若加速度方向与初速度的方向在同一直线上，则为直线运动；若加速度方向与初速度的方向不在同一直线上，则为曲线运动。
(2)若加速度恒定则为匀变速运动，若加速度不恒定则为非匀变速运动。
2.模型建构
(1)绳(杆)关联问题的速度分解方法
①把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量。
②沿绳(杆)方向的分速度大小相等。
(2)模型化思想的应用
竖直面内圆周运动常考的两种临界模型
最高点无支撑 最高点有支撑
图示
最高点向心力 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m
恰好过最高点 F弹＝0，mg＝m，v＝，即在最高点速度不能为零 mg＝F弹，v＝0，即在最高点速度可为零
题型1 抛体运动
（2024 湖北模拟）在某次演训中，直升机距海面上方28.8m处沿水平方向以大小为2m/s2的加速度匀加速飞行。t1时刻，物资离开直升机做平抛运动，其落至水面时速度方向与水面成53°；t2时刻另一物资离开直升机做平抛运动，其落至水面时速度方向与水面成37°，如图所示。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．物资下落所需要的时间为3s
B．t1时刻直升机的速度大小为24m/s
C．两次投送物资的时间间隔是7s
D．t2时刻投放的物资接触水面时的速度大小为32m/s
（2024 鲤城区校级模拟）如图所示，从水池里同一位置喷出两水柱A、B，分别落在水平面上的M、N点，两水柱运动的最大高度相同，如图所示。不计空气阻力，对比水柱A、B（ ）
A．A在空中运动的时间比B长
B．B在空中运动的时间比A长
C．在空中运动过程中B速度变化更大
D．A、B加速度始终相等
（2024 菏泽一模）如图所示为一乒乓球台的纵截面，AB是台面的两个端点位置，PC是球网位置，D、E两点满足AD＝BEAB，且E、M、N在同一竖直线上。第一次在M点将球击出，轨迹最点恰好过球网最高点P，同时落在A点：第二次在N点将同一球水平击出，轨迹同样恰好过球网最高点P，同时落到D点。球可看作质点，不计空气阻力作用，则两次击球位置到桌面的高度之比hM：hN为（ ）
A． B． C． D．
（2024 保定一模）自由式小轮车赛是一种对感官冲击强烈的极限运动，单人表演场地如图所示，两个相同等腰直角三角形斜坡间隔15m，表演者从右边斜坡顶点以的速度沿斜面方向滑出，最终落在左边斜坡的斜面上。忽略空气阻力，表演者连带装备可看作质点，g＝10m/s2。下列说法中正确的是（ ）
A．表演者将落在左边斜坡的顶点上
B．表演者落在左边斜坡的斜面时，速度方向沿斜面向下
C．表演者距离左边斜坡的最远距离为
D．表演者上升和下降的高度之比为1：3
题型2 圆周运动
考法一 水平面内的圆周运动
（2024 郑州一模）中央电视台报道了一起离奇交通事故．家住公路弯处的李先生家在三个月内连续遭遇了七次大卡车侧翻在自家门口的场面，第八次有辆卡车冲进李先生家，造成三死一伤和房屋严重损毁的血腥惨案．经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图所示．交警以下判断，你认为正确的是（ ）
A．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车受到离心力
B．由图可知事故的原因可能是车速过快
C．为尽量避免此类事故再次发生，公路在设计上应东高西低
D．为尽量避免此类事故再次发生，可以减小路面弯道半径
（2024 黄石一模）如图（俯视图），用自然长度为l0，劲度系数为k的轻质弹簧，将质量都是m的两个小物块P、Q连接在一起，放置在能绕O点在水平面内转动的圆盘上，物体P、Q和O点恰好组成一个边长为2l0的正三角形。已知小物块P、Q和圆盘间的最大静摩擦力均为kl0，现使圆盘带动两个物体以不同的角速度做匀速圆周运动，则（ ）
A．当圆盘的角速度为ω时，P、Q 两物块受到的摩擦力最小
B．当圆盘的角速度为ω时，P、Q 两物块受到的摩擦力都等于弹簧弹力的大小
C．当圆盘的角速度为ω时，P、Q 两物块受到的合力大小均为 k
D．当物体 P、Q 两物块刚要滑动时，圆盘的角速度为 ω
（2024 浙江模拟）图甲是正在水平面内工作的送餐机器人，该机器人沿图乙中ABCD曲线给16号桌送餐，已知弧长和半径均为4m的圆弧BC与直线路径AB、CD相切，AB段长度也为4m，CD段长度为12m，机器人从A点由静止匀加速出发，到B点时速率恰好为1m/s，接着以1m/s的速率匀速通过BC，通过C点后以1m/s的速率匀速运动到某位置后开始做匀减速直线运动，最终停在16号桌旁的D点。已知餐盘与托盘间的动摩擦因数μ＝0.1，关于该运动的说法正确的是（ ）
A．B到C过程中机器人的向心加速度a＝0.2m/s2
B．餐盘和水平托盘不发生相对滑动的情况下，机器人从C点到D点的最短时间t＝12.5s
C．A到B过程中餐盘和水平托盘会发生相对滑动
D．若重新设置机器人，使其在BC段以3m/s匀速率通过，餐盘与水平托盘间不会发生相对滑动
考法二 竖直面内的圆周运动
（2024 西城区一模）如图1所示，长为R且不可伸长的轻绳一端固定在O点，另一端系一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不同。测量小球经过最高点时速度的大小v、绳子拉力的大小F，作出F与v2的关系图线如图2所示。下列说法中正确的是（ ）
A．根据图线可以得出小球的质量
B．根据图线可以得出重力加速度
C．绳长不变，用质量更小的球做实验，得到的图线斜率更大
D．用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变
（2024 江苏四模）长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点的距离也为L，重力加速度大小为g，今使小球在竖直平面内以A、B连线为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小均为（ ）
A．mg B．2mg C．3mg D．
（2024春 章丘区期中）如图所示，在竖直面内固定有半径为R的光滑圆弧轨道ABC，半径OB与竖直半径OA的夹角为60°，一质量为m的滑块（视为质点）静止在轨道的底端A点。现对滑块施加方向水平向右、大小为F（未知）的恒定推力，结果滑块恰好能沿轨道上滑到B点。若其他情况不变，将推力增大为原来的两倍，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．滑块到达B点时的速度大小为
C．滑块能到达轨道的顶端C点，且此时轨道对滑块的弹力大小为
D．滑块能上升到的最高点距A点的高度为
（2024 朝阳区校级模拟）体育课上两名同学用篮球做抛球游戏，小强将球甲从高为H处以速度v1水平抛出，同时小伟将球乙从水平地面以v2的初速度竖直上抛，两球在空中相遇。不计空气阻力，忽略两球的大小，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．球乙在上升过程中遇到球甲
B．相遇点离地高度为H
C．从抛出到相遇的时间为
D．抛出时，两球之间的水平间距为H
（2024 吉林二模）三级跳远是速度、力量和平衡能力的结合。设运动员在空中运动过程只受重力和沿跳远方向恒定的水平风力作用，地面水平、无杂物、无障碍，运动员每次起跳姿势不变且与地面的作用时间不计，假设人着地反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变方向相反，则运动员从A点开始起跳到D点的整个过程中均在竖直平面内运动，下列说法正确的是（ ）
A．每次运动到最高点时速度为0
B．每次起跳速度方向与水平方向的夹角相等
C．运动员在空中时的加速度恒定
D．从起跳到着地三段运动水平方向速度变化量越来越大
（2024 绥宁县校级模拟）一根长为L＝100cm的轻质绳子，一端固定于天花板上的O点，另外一端系了一个质量为100克的实心铁球，O点距离水平面的高度为h＝3.25m，初始，细绳恰好水平伸直，铁球由静止开始释放，当细绳与竖直方向的夹角为37°时，绳子断裂，不计空气阻力，重力加速度取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．从开始运动，到绳子断裂过程中，绳中张力有可能先增大后减小
B．小球从开始运动到落地的过程中，小球一直做变加速曲线运动
C．小球的落地点距离到初始位置的水平距离是2m
D．小球的落地点距离到初始位置的水平距离是2.64m
（2024 蜀山区校级模拟）如图所示，运动员将网球在边界A处正上方B点正对球网水平向右击出，恰好过中间网C的上边沿落在D点。已知AB＝H，网高hH，AC＝L，重力加速度大小为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．网球的初速度大小为L
B．网球在中间网左、右两侧的水平距离之比为2：1
C．若网球的初速度变为原来的两倍，网球还可以落在对方界内
D．若击球高度低于H（仍大于h），应减小击球速度，才能让球落在对方界内
（2024 广东三模）如图所示，一个磁铁吸附在竖直的门板上保持静止，假设磁铁的质量为m，距离门轴为r，与门板之间的磁力和动摩擦因数分别为F0和μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。现匀速转动门板，为使磁铁不滑动，则门板转动的最大角速度为（ ）
A． B．
C． D．
（2024 江阴市模拟）如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则（ ）
A．A的运动时间是B的2倍
B．A的位移大小为
C．A的初速度是B的
D．A的末速度比B的大
（2024 长沙校级模拟）如图所示，一半圆位于竖直平面内，圆心为O，AC为半圆的直径，B是圆弧的最低点，弧长BD为弧长DC的一半。在A点以水平速度v0抛出一个小球，小球刚好落到D点，不计空气阻力，重力加速度为g。则圆弧的半径为（ ）
A． B．
C． D．
（2024 朝阳区校级三模）活塞带动飞轮转动可简化为如图所示的模型：图中A、B、O三处都是转轴，当活塞在水平方向上移动时，带动连杆AB运动，进而带动OB杆以O点为轴转动。若某时刻活塞的水平速度大小为v，连杆AB与水平方向夹角为α，AB杆与OB杆的夹角为β，此时B点做圆周运动的线速度大小为（ ）
A． B． C． D．
（2024 蚌埠模拟）如图甲所示，某工人在流水线上切割玻璃，在水平工作台面建立平面直角坐标系xOy，玻璃沿x轴运行的速度u恒定不变，切割时刀头的初速度v0沿y轴方向，运动过程中刀头相对玻璃的速度方向保持不变且逐渐减小，经过T时间刀头运动到A1点，如图乙所示，经过2T、3T时间刀头运动到A2、A3点，则刀头的轨迹可能是（ ）
A． B．
C． D．
（2024 浙江二模）如图在水平地面上放置一边长为0.8m的正方形水箱，一水管可在ABCD面内绕A点转动θ≤90°，已知出水口截面积为5cm2，出水速率为2.5m/s，不计水管管口长度及一切阻力，水落至液面或打至侧壁不再弹起，则（ ）
A．任何方向喷出的水柱都能打到DCGH或CGFB侧面
B．水在空中运动时间的最大值为
C．空中运动的水的质量最大值为0.5kg
D．若保持θ不变，则随着液面上升，水在空中运动的时长逐渐缩短
（2024 江宁区校级模拟）如图所示，质量忽略不计、长度分别为l1和l2的不可伸长的轻绳，分别系质量为5m和m的小球，它们以相同的转速绕中心轴线做匀速圆周运动。稳定时绳子与竖直方向夹角的正切值分别为及，圆周运动半径分别为r1和r2，两绳子中的张力分别为T1和T2，则（ ）
A．r1：r2＝2：5 B．T1：T2＝5：2
C．l1：l2＝1：1 D．l1：l2＝3：2
（2024 洛阳一模）如图所示，在xOy坐标系中一质量为m的小球绕原点O沿顺时针方向做匀速圆周运动，半径为R，从小球经过x＝﹣R的位置开始计时，该小球每分钟转300圈。一束平行光沿x轴正方向照射小球，在x＝2R处放置一垂直于x轴的足够大屏幕，可以看到小球的影子在屏幕上的运动情况。则下列说法正确的是（ ）
A．t＝3.05s时，小球坐标是（﹣R，0）
B．从开始计时，t＝1.25s内小球影子所通过的路程为25R
C．小球做匀速圆周运动的向心力大小为10mπ2R
D．小球的影子在y轴方向上的运动满足方程y＝Rsin（20πt）
（2024 洛阳一模）实验小组利用风洞研究曲线运动，如图所示。在风洞内无风时，将一小球从O点以某一速度水平抛出后，经过一段时间小球落到水平面上的O2点。现让风洞内存在图示方向的风，使小球受到恒定的风力，小球仍以相同的速度从O点水平抛出。下列说法正确的是（ ）
A．小球从抛出到落到水平面上的时间一定将增大
B．小球落到水平面上时的速度方向一定不与水平面垂直
C．小球可能落在水平面上的O1点
D．小球可能落在水平面上的O2点
（多选）（2024 郑州校级二模）如图所示，在一个倾角为37°的长斜面底端O点正上方h＝1.7m的P点处将一小球以速度v0水平抛出，恰好垂直击中斜面上的Q点，sin37°＝0.6。下列说法正确的是（ ）
A．小球的初速度v0＝4m/s
B．Q点离O点的距离|QO|＝1.2m
C．保持h不变，将小球以2v0的速度水平抛出，则击中斜面的位置到O点的距离小于2|QO|
D．若抛出点高度变为2h，欲使小球仍能垂直击中斜面，小球的初速度应调整为
（多选）（2024 南昌模拟）在一场特技表演中，一名摩托车手从一个倾角为37°的斜台顶端M点以25m/s的速率起飞。车手在空中飞行了一段距离后，连人带车在另一个位置较低而倾角为45°的斜台上降落。若要平稳着地，摩托车着地时的速度方向，必须与较低的那个斜台表面平行。如图所示，车手刚好在较低的斜台顶端N点平稳着地。若将摩托车和人看作质点，空气阻力不计，g取10m/s2，则摩托车从M到N的飞行过程中（ ）
A．速度变化量的大小为35m/s
B．速度变化量的大小为
C．速度变化量的方向与初速度夹角为82°
D．速度变化量的方向为竖直向下
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题3 曲线运动
内容 重要的规律、公式和二级结论
1.运动的合成与分解 (1)小船船头垂直河岸过河时，所用时间最短。 (2)小船过河时，船速大于水速，船才能垂直河岸过河。 (3)与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，则沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
2.曲线运动中质点的速度、加速度 (4)曲线运动中质点的速度方向时刻改变，总沿该点的切线方向。 (5)曲线运动中质点所受合外力方向指向曲线弯曲的凹侧。
3.抛体运动 (6)平抛运动的速度的反向延长线一定过水平位移的中点。 (7)平抛运动某时刻速度与水平方向夹角的正切值等于位移与水平方向夹角正切值的2倍。 (8)在斜面上做平抛运动时，落到斜面上的速度方向与斜面的夹角不变。
4.匀速圆周运动、圆周运动的向心力 (9)圆锥摆、火车转弯、漏斗壁上的小球在水平面内做匀速圆周运动，F向＝mgtan θ，方向水平指向圆心。 (10)小球在“绳”模型最高点的最小速度为，最低点的最小速度为，上、下两点拉力之差为6 mg。 (11)小球在“杆”模型最高点vmin＝0，v临＝，v＞v临，杆对小球有向下的拉力；v＝v临，杆对小球的作用力为零；v＜v临，杆对小球有向上的支持力。
1.思想方法
合运动性质和轨迹的判断
(1)若加速度方向与初速度的方向在同一直线上，则为直线运动；若加速度方向与初速度的方向不在同一直线上，则为曲线运动。
(2)若加速度恒定则为匀变速运动，若加速度不恒定则为非匀变速运动。
2.模型建构
(1)绳(杆)关联问题的速度分解方法
①把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量。
②沿绳(杆)方向的分速度大小相等。
(2)模型化思想的应用
竖直面内圆周运动常考的两种临界模型
最高点无支撑 最高点有支撑
图示
最高点向心力 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m
恰好过最高点 F弹＝0，mg＝m，v＝，即在最高点速度不能为零 mg＝F弹，v＝0，即在最高点速度可为零
题型1 抛体运动
（2024 湖北模拟）在某次演训中，直升机距海面上方28.8m处沿水平方向以大小为2m/s2的加速度匀加速飞行。t1时刻，物资离开直升机做平抛运动，其落至水面时速度方向与水面成53°；t2时刻另一物资离开直升机做平抛运动，其落至水面时速度方向与水面成37°，如图所示。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．物资下落所需要的时间为3s
B．t1时刻直升机的速度大小为24m/s
C．两次投送物资的时间间隔是7s
D．t2时刻投放的物资接触水面时的速度大小为32m/s
【解答】解：A、物资下落的过程中，竖直方向是自由落体，竖直速度
代入数据解得vy＝24m/s
下落时间
代入数据解得t＝2.4s
故A错误；
B、t1时刻直升机的速度即为第一个物资平抛运动时的初速度，初速度
代入数据解得v1＝18m/s
故B错误；
C、同理，t2时刻飞机的速度
v2
代入数据解得v2＝32m/s
飞机做匀加速直线运动，经历时间
代入数据解得t＝7s
故C正确；
D、t2时刻投放物资接触水平面时的速度大小
v
代入数据解得v＝40m/s
故D错误。
故选：C。
（2024 鲤城区校级模拟）如图所示，从水池里同一位置喷出两水柱A、B，分别落在水平面上的M、N点，两水柱运动的最大高度相同，如图所示。不计空气阻力，对比水柱A、B（ ）
A．A在空中运动的时间比B长
B．B在空中运动的时间比A长
C．在空中运动过程中B速度变化更大
D．A、B加速度始终相等
【解答】解：AB.设物体抛出初速度的竖直分量为vy，水平分量为vx，上升的最大高度为h，运动时间为2gh
由于竖直高度相同，两水柱竖直方向速度相同，根据vy＝g，x＝vxt
可得在空中运动时间相同，故AB错误；
CD.水柱在空中做斜上抛运动，合力为重力，因此加速度均为g，所以A和B的速度的变化是相同的，故D正确，C错误。
故选：D。
（2024 菏泽一模）如图所示为一乒乓球台的纵截面，AB是台面的两个端点位置，PC是球网位置，D、E两点满足AD＝BEAB，且E、M、N在同一竖直线上。第一次在M点将球击出，轨迹最点恰好过球网最高点P，同时落在A点：第二次在N点将同一球水平击出，轨迹同样恰好过球网最高点P，同时落到D点。球可看作质点，不计空气阻力作用，则两次击球位置到桌面的高度之比hM：hN为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：第一次击出的小球做斜抛运动，运动中水平分速度相同，由于AC：CE＝3：2，由x＝v0t知，t1：t2＝3：2，小球从M到P的运动可看作逆向的平抛运动，小球由P到A的运动为平抛运动，h
知（PC﹣hM）：PC＝4：9，即有：hMPC
第二次击出的小球做平抛运动，由于DE＝2CE，由x＝v0t可知：t3：t4＝1：2，由h知，（hN﹣PC）：hN＝1：4，即hNPC，则两次击球位置高度之比hM：hN＝5：12，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2024 保定一模）自由式小轮车赛是一种对感官冲击强烈的极限运动，单人表演场地如图所示，两个相同等腰直角三角形斜坡间隔15m，表演者从右边斜坡顶点以的速度沿斜面方向滑出，最终落在左边斜坡的斜面上。忽略空气阻力，表演者连带装备可看作质点，g＝10m/s2。下列说法中正确的是（ ）
A．表演者将落在左边斜坡的顶点上
B．表演者落在左边斜坡的斜面时，速度方向沿斜面向下
C．表演者距离左边斜坡的最远距离为
D．表演者上升和下降的高度之比为1：3
【解答】解：AC．因为表演者从右边斜坡顶点沿斜面方向滑出，则在水平方向和竖直方向的分速度为
vx＝vy＝10m/s
表演者将做斜抛运动，根据斜抛运动的对称性，当表演者下落到与斜坡顶点等高时，速度方向与左边斜坡平行，此时距离左边斜坡最远，在竖直方向，可得运动时间为ts＝2s
在水平方向的位移为
x＝vxt＝10×2m＝20m
则表演者距离左边斜坡的最远距离为sm＝（x﹣15m）sin45°，解得smm
故A错误，C正确；
B．表演者下落到与左边斜坡顶点等高时，速度方向沿斜面向下，继续下落到斜坡上时，速度方向改变，故B错误；
D．表演者上升到最高点时，在竖直方向2gh1，解得h1＝5m
在水平方向x1＝vx，解得x1＝10m
设下降的高度为h2，则h2g
x2＝vxt2
联立解得
h2＝20m
所以表演者上升和下降的高度之比为
故D错误。
故选：C。
题型2 圆周运动
考法一 水平面内的圆周运动
（2024 郑州一模）中央电视台报道了一起离奇交通事故．家住公路弯处的李先生家在三个月内连续遭遇了七次大卡车侧翻在自家门口的场面，第八次有辆卡车冲进李先生家，造成三死一伤和房屋严重损毁的血腥惨案．经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图所示．交警以下判断，你认为正确的是（ ）
A．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车受到离心力
B．由图可知事故的原因可能是车速过快
C．为尽量避免此类事故再次发生，公路在设计上应东高西低
D．为尽量避免此类事故再次发生，可以减小路面弯道半径
【解答】解：A、汽车发生侧翻是因为路面提供的摩擦力不够做圆周运动所需的向心力，发生离心运动。故A错误。
B、根据产生离心运动的条件可知，可能由于车速过大，汽车转弯所需要的向心力过大，外界提供的向心力不够，而产生离心运动。故B正确。
C、为尽量避免此类事故再次发生，公路在设计上应东低西高，车速恰当时可由重力和支持力的合力提供向心力，故C错误。
D、汽车在水平路面上拐弯时，靠静摩擦力提供向心力，由f＝m，当f达到最大值、v一定时，为避免此类事故再次发生，可以增大路面弯道半径。故D错误。
故选：B。
（2024 黄石一模）如图（俯视图），用自然长度为l0，劲度系数为k的轻质弹簧，将质量都是m的两个小物块P、Q连接在一起，放置在能绕O点在水平面内转动的圆盘上，物体P、Q和O点恰好组成一个边长为2l0的正三角形。已知小物块P、Q和圆盘间的最大静摩擦力均为kl0，现使圆盘带动两个物体以不同的角速度做匀速圆周运动，则（ ）
A．当圆盘的角速度为ω时，P、Q 两物块受到的摩擦力最小
B．当圆盘的角速度为ω时，P、Q 两物块受到的摩擦力都等于弹簧弹力的大小
C．当圆盘的角速度为ω时，P、Q 两物块受到的合力大小均为 k
D．当物体 P、Q 两物块刚要滑动时，圆盘的角速度为 ω
【解答】解：物体P、Q和O点恰好组成一个边长为2l0的正三角形，
PQ间的距离为2l0，而弹簧的原长为l0，故弹簧的弹力为F＝kl0
A、当ω时，可得物块随圆盘转动需要的向心力为
根据合力与分力构成的矢量三角形可知，此时静摩擦力具有最小值为，故A正确；
B、当ω时，可得物块随圆盘转动需要的向心力为
由力的三角形可知静摩擦力不等于弹簧的弹力，故B错误；
CD、当ω时，可得物块随圆盘转动需要的向心力为
小物块P、Q和圆盘间的最大静摩擦力均为kl0，
由力的三角形可知静摩擦力等于kl0kl0，此时物体和圆盘还未相对滑动，物体所受的合力亦为也为kl0，故CD错误。
故选：A。
（2024 浙江模拟）图甲是正在水平面内工作的送餐机器人，该机器人沿图乙中ABCD曲线给16号桌送餐，已知弧长和半径均为4m的圆弧BC与直线路径AB、CD相切，AB段长度也为4m，CD段长度为12m，机器人从A点由静止匀加速出发，到B点时速率恰好为1m/s，接着以1m/s的速率匀速通过BC，通过C点后以1m/s的速率匀速运动到某位置后开始做匀减速直线运动，最终停在16号桌旁的D点。已知餐盘与托盘间的动摩擦因数μ＝0.1，关于该运动的说法正确的是（ ）
A．B到C过程中机器人的向心加速度a＝0.2m/s2
B．餐盘和水平托盘不发生相对滑动的情况下，机器人从C点到D点的最短时间t＝12.5s
C．A到B过程中餐盘和水平托盘会发生相对滑动
D．若重新设置机器人，使其在BC段以3m/s匀速率通过，餐盘与水平托盘间不会发生相对滑动
【解答】解：A.从B运动到C的过程中机器人的向心加速度为：，故A错误；
B.机器人以1m/s的初速度匀减速至D点的最大加速度为：
最短的减速时间为：
匀减速过程的最小位移为：
从C点开始匀速运动的时间为：
从C运动到D点的最短时间为：t＝t1+t2＝1s+11.5s＝12.5s，故B正确；
C.对由A到B的过程有：，即加速度小于发生相对滑动的临界加速度1m/s2，故A到B过程中餐盘和水平托盘不会发生相对滑动，故C错误；
D.在BC段餐盘与托盘恰好不发生相对滑动时，由最大静摩擦力提供向心力，则有：
，解得：vm＝2m/s＜3m/s，则餐盘与水平托盘间会发生相对滑动，故D错误。
故选：B。
考法二 竖直面内的圆周运动
（2024 西城区一模）如图1所示，长为R且不可伸长的轻绳一端固定在O点，另一端系一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不同。测量小球经过最高点时速度的大小v、绳子拉力的大小F，作出F与v2的关系图线如图2所示。下列说法中正确的是（ ）
A．根据图线可以得出小球的质量
B．根据图线可以得出重力加速度
C．绳长不变，用质量更小的球做实验，得到的图线斜率更大
D．用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变
【解答】解：AB、根据牛顿第二定律和向心力的计算公式，得到图像的表达式为：F+mg，变形为：F
根据F﹣v2图像的斜率可得：
根据F﹣v2图像的横轴截距可得：0
解得：m，g，故A正确，B错误；
C、根据斜率k，可知R不变，m减小，斜率减小，故C错误；
D、横轴截距b＝gR，可知R变大，g不变，所以b会变大，可得图线与横轴交点的位置向右移动，故D错误。
故选：A。
（2024 江苏四模）长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点的距离也为L，重力加速度大小为g，今使小球在竖直平面内以A、B连线为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小均为（ ）
A．mg B．2mg C．3mg D．
【解答】解：根据几何关系可知，小球做圆周运动的半径为rL，小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，有：mg＝m，解得：v；
当小球在最高点速率为2v时，根据牛顿第二定律有：mg+2F cos30°
联立解得：Fmg，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2024春 章丘区期中）如图所示，在竖直面内固定有半径为R的光滑圆弧轨道ABC，半径OB与竖直半径OA的夹角为60°，一质量为m的滑块（视为质点）静止在轨道的底端A点。现对滑块施加方向水平向右、大小为F（未知）的恒定推力，结果滑块恰好能沿轨道上滑到B点。若其他情况不变，将推力增大为原来的两倍，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．滑块到达B点时的速度大小为
C．滑块能到达轨道的顶端C点，且此时轨道对滑块的弹力大小为
D．滑块能上升到的最高点距A点的高度为
【解答】解：A．滑块从A点到B点过程中，由动能定理有FRsin60°﹣mgR（1﹣cos60°）＝0
解得
故A错误；
B．滑块从A点到B点的过程中，由动能定理有
解得
故B错误；
C．滑块从A点到C点的过程中，由动能定理有
滑块运动到C点时，由牛顿第二定律有
解得
故C错误；
D．滑块离开C点后，在竖直方向做竖直上抛运动，则有
解得
最高点距A点的高度为
故D正确。
故选：D。
（2024 朝阳区校级模拟）体育课上两名同学用篮球做抛球游戏，小强将球甲从高为H处以速度v1水平抛出，同时小伟将球乙从水平地面以v2的初速度竖直上抛，两球在空中相遇。不计空气阻力，忽略两球的大小，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．球乙在上升过程中遇到球甲
B．相遇点离地高度为H
C．从抛出到相遇的时间为
D．抛出时，两球之间的水平间距为H
【解答】解：AC.由题意可知，若两物体在空中能够相遇，则在竖直方向应满足
解得相遇时间为
乙上升时间为
由于
t＞t上
所以在乙下降过程中相遇，故AC错误；
B.相遇点离地高度为
，故B错误；
D.抛出时，两球之间的水平间距为
，故D正确。
故选：D。
（2024 吉林二模）三级跳远是速度、力量和平衡能力的结合。设运动员在空中运动过程只受重力和沿跳远方向恒定的水平风力作用，地面水平、无杂物、无障碍，运动员每次起跳姿势不变且与地面的作用时间不计，假设人着地反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变方向相反，则运动员从A点开始起跳到D点的整个过程中均在竖直平面内运动，下列说法正确的是（ ）
A．每次运动到最高点时速度为0
B．每次起跳速度方向与水平方向的夹角相等
C．运动员在空中时的加速度恒定
D．从起跳到着地三段运动水平方向速度变化量越来越大
【解答】解：A．运动员在空中运动过程只受重力和沿跳远方向恒定的水平风力作用，则运动员的运动可以分解为沿竖直方向的竖直上抛运动与水平方向的匀加速直线运动。每次运动到最高点时竖直方向速度为零，水平方向速度不为零，故A错误；
BD．由于运动员着地反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变方向相反，由v2＝2gh
可知每次起跳高度相同，由
可知每次起跳在空中的时间相同，而在水平方向上受恒定的水平风力作用，因此每次起跳水平方向上都是匀加速直线运动，起跳时竖直分速度不变，而水平分速度越来越大，故每次起跳速度方向与水平方向的夹角不相等，且水平方向上Δvx＝at，可知从起跳到着地三段运动水平方向速度变化量相同，故BD错误；
C．由于运动员在空中运动过程只受重力和沿跳远方向恒定的水平风力作用，因此运动员在空中时所受合外力不变，加速度不变，故C正确。
故选：C。
（2024 绥宁县校级模拟）一根长为L＝100cm的轻质绳子，一端固定于天花板上的O点，另外一端系了一个质量为100克的实心铁球，O点距离水平面的高度为h＝3.25m，初始，细绳恰好水平伸直，铁球由静止开始释放，当细绳与竖直方向的夹角为37°时，绳子断裂，不计空气阻力，重力加速度取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．从开始运动，到绳子断裂过程中，绳中张力有可能先增大后减小
B．小球从开始运动到落地的过程中，小球一直做变加速曲线运动
C．小球的落地点距离到初始位置的水平距离是2m
D．小球的落地点距离到初始位置的水平距离是2.64m
【解答】解：A、由动能定理得：，小球刚开始运动时，绳子的拉力为T，θ为细绳与竖直方向的夹角，小球下落过程θ逐渐减小，cosθ逐渐增大，逐渐增大，故T逐渐增大，所以绳中张力一直增大，直到绳子断裂，故A错误；
B、小球从开始运动到绳子断裂过程中，做圆周运动，小球受重力和绳子的拉力，由于拉力增大，故合力变化，加速度变化，小球做变加速曲线运动；绳子断裂后，小球只受重力，做匀变速曲线运动，加速度不变，故B错误；
CD、设绳子断裂时小球的速度为v，由动能定理得：，解得：，绳子断裂后，小球做斜向下抛的运动，下落的高度为：H＝h﹣Lcos37°＝3.25m﹣1×0.8m＝2.45m，下落的时间为，解得t＝0.5s或（﹣0.94s舍去），水平位移为：x2＝vcos37° t＝4×0.8×0.5m＝1.6m，小球在绳子断裂前的水平位移为：x1＝L﹣Lsin37°＝1m﹣1×0.6m＝0.4m，所以小球的落地点距离到初始位置的水平距离是：x＝x1+x2＝0.4m+1.6m＝2.0m，故C正确、D错误。
故选：C。
（2024 蜀山区校级模拟）如图所示，运动员将网球在边界A处正上方B点正对球网水平向右击出，恰好过中间网C的上边沿落在D点。已知AB＝H，网高hH，AC＝L，重力加速度大小为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．网球的初速度大小为L
B．网球在中间网左、右两侧的水平距离之比为2：1
C．若网球的初速度变为原来的两倍，网球还可以落在对方界内
D．若击球高度低于H（仍大于h），应减小击球速度，才能让球落在对方界内
【解答】解：AB、网球做平抛运动，竖直方向有和，水平方向有：L+l＝v0t1和L＝v0t2，联立解得：，则网球在中间网左、右两侧的水平距离之比为：L：l＝2：1，故A错误、B正确；
C、若网球的初速度变为原来的两倍，则网球落地时的水平位移为：，则网球出界，故C错误；
D、若击球高度低于H，则网球运动到与网等高位置的时间变短，若再减小击球速度，网球会落在网前，故D错误。
故选：B。
（2024 广东三模）如图所示，一个磁铁吸附在竖直的门板上保持静止，假设磁铁的质量为m，距离门轴为r，与门板之间的磁力和动摩擦因数分别为F0和μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。现匀速转动门板，为使磁铁不滑动，则门板转动的最大角速度为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意可知，磁铁受到的向心力由磁力和重力的合力提供，则有
磁铁不滑动时，则有
根据动摩擦力的公式有，f＝μF0
联立解得
，故B正确，ACD错误；
故选：B。
（2024 江阴市模拟）如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则（ ）
A．A的运动时间是B的2倍
B．A的位移大小为
C．A的初速度是B的
D．A的末速度比B的大
【解答】解：A、平抛运动的时间由高度决定，由自由落体运动公式可知，，，所以A的运动时间是B的倍，故A错误；
B、平抛运动的物体在水平和竖直方向上的运动都是独立的，所以A的位移大小为，故B错误；
C、平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，，则A的初速度是B的，故C错误；
D、根据动能定理得，化简消去m，则，代入相关数据可得：，，所以A的末速度比B的大，故D正确。
故选：D。
（2024 长沙校级模拟）如图所示，一半圆位于竖直平面内，圆心为O，AC为半圆的直径，B是圆弧的最低点，弧长BD为弧长DC的一半。在A点以水平速度v0抛出一个小球，小球刚好落到D点，不计空气阻力，重力加速度为g。则圆弧的半径为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设半径为R，弧长BD为弧长DC的一半，所以∠BOD＝30°，由平抛规律：Rcos30°，R+Rsin30°＝v0t，联立解得：R，故D正确，ABC错误。
故选：D。
（2024 朝阳区校级三模）活塞带动飞轮转动可简化为如图所示的模型：图中A、B、O三处都是转轴，当活塞在水平方向上移动时，带动连杆AB运动，进而带动OB杆以O点为轴转动。若某时刻活塞的水平速度大小为v，连杆AB与水平方向夹角为α，AB杆与OB杆的夹角为β，此时B点做圆周运动的线速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A点的速度的方向沿水平方向，如图将A点的速度分解：
根据运动的合成与分解可知，沿杆方向的分速度：v1＝vcosα，
B点做圆周运动，实际速度是圆周运动的线速度，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直于杆方向的分速度，如图设B的线速度为v线，则：
vB1＝v线cos[90°﹣（180°﹣β）]＝v线sinβ
又二者沿杆方向的分速度是相等的，即：v1＝vB1
联立可得：v线．故B正确，ACD错误
故选：B。
（2024 蚌埠模拟）如图甲所示，某工人在流水线上切割玻璃，在水平工作台面建立平面直角坐标系xOy，玻璃沿x轴运行的速度u恒定不变，切割时刀头的初速度v0沿y轴方向，运动过程中刀头相对玻璃的速度方向保持不变且逐渐减小，经过T时间刀头运动到A1点，如图乙所示，经过2T、3T时间刀头运动到A2、A3点，则刀头的轨迹可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题知，切割时刀头的初速度v0沿y轴方向，运动过程中刀头相对玻璃的速度方向保持不变且逐渐减小，其v—t图像如图所示
由图像知，图像围成的面积表示位移，在相等的时间内位移变化量Δy逐渐减小，则y—t图像斜率逐渐变小，其图像为
由题知，玻璃沿x轴运行的速度u恒定不变，即匀速运动，则y—x图像可由y—t图像时间轴乘以速度u得到，其图像为
故ABC错误，D正确，
故选：D。
（2024 浙江二模）如图在水平地面上放置一边长为0.8m的正方形水箱，一水管可在ABCD面内绕A点转动θ≤90°，已知出水口截面积为5cm2，出水速率为2.5m/s，不计水管管口长度及一切阻力，水落至液面或打至侧壁不再弹起，则（ ）
A．任何方向喷出的水柱都能打到DCGH或CGFB侧面
B．水在空中运动时间的最大值为
C．空中运动的水的质量最大值为0.5kg
D．若保持θ不变，则随着液面上升，水在空中运动的时长逐渐缩短
【解答】解：AB．根据平抛规律，假设全都落在水平面上，则在竖直方向上做自由落体运动
水平方向上做匀速直线运动，
x＝v0t
联立解得
t＝0.4s，x＝1m
而由几何关系可知
所以不是所有方向喷出的水都能达到DCGH或CGFB侧面，水在空中运动时间的最大值为t＝0.4s，AB错误；
C．水流量
水质量最大值m＝ρQt＝1.0×103×1.25×10﹣3×0.4kg＝0.5kg
C正确；
D．若保持θ与AD边一个较小的角或者与AB边一个较小的角不变，使喷出的水打到侧面一个较高位置处，则随着液面上升，水在空中运动的时长先不变，然后再减小，D错误。
故选：C。
（2024 江宁区校级模拟）如图所示，质量忽略不计、长度分别为l1和l2的不可伸长的轻绳，分别系质量为5m和m的小球，它们以相同的转速绕中心轴线做匀速圆周运动。稳定时绳子与竖直方向夹角的正切值分别为及，圆周运动半径分别为r1和r2，两绳子中的张力分别为T1和T2，则（ ）
A．r1：r2＝2：5 B．T1：T2＝5：2
C．l1：l2＝1：1 D．l1：l2＝3：2
【解答】解：A．对下面小球受力分析，水平方向有
对上面小球受力分析，水平方向有
联立解得r1：r2＝2：5
故A正确；
B．设绳子与竖直方向夹角分别为α、β，对下面小球受力分析，竖直方向有mg＝T2cosβ
对两个球看作整体，竖直方向上有5mg+mg＝T1cosα
稳定时绳子与竖直方向夹角的正切值分别为及，
联立解得
故B错误；
CD．根据几何关系r1＝l1sinα
r2＝l1sinα+l2sinβ
联立解得
故CD错误；
故选：A。
（2024 洛阳一模）如图所示，在xOy坐标系中一质量为m的小球绕原点O沿顺时针方向做匀速圆周运动，半径为R，从小球经过x＝﹣R的位置开始计时，该小球每分钟转300圈。一束平行光沿x轴正方向照射小球，在x＝2R处放置一垂直于x轴的足够大屏幕，可以看到小球的影子在屏幕上的运动情况。则下列说法正确的是（ ）
A．t＝3.05s时，小球坐标是（﹣R，0）
B．从开始计时，t＝1.25s内小球影子所通过的路程为25R
C．小球做匀速圆周运动的向心力大小为10mπ2R
D．小球的影子在y轴方向上的运动满足方程y＝Rsin（20πt）
【解答】解：A.因为小球每分钟转300圈，所以小球做匀速圆周运动的周期为T，t＝3.05s＝15TT，结合匀速圆周运动的周期性可知t＝3.05s时小球应运动到圆周的最高点，结合几何知识可知t＝3.05s时，小球坐标是（R，0），故A错误；
B.t＝1.25s＝6TT，由图可知，小球从初始位置（﹣R，0）开始，每经过T小球影子所通过的路程为R，则从开始计时，t＝1.25s内小球影子所通过的路程为：s＝（6）×4×R＝25R，故B正确；
C.根据向心力与周期的关系可知，小球做匀速圆周运动的向心力大小为：，故C错误；
D.因为小球从初始位置（﹣R，0）开始，每经过T小球影子所通过的路程为R，则由数学知识可知小球的影子在y轴方向上的运动方程为：，故D错误。
故选：B。
（2024 洛阳一模）实验小组利用风洞研究曲线运动，如图所示。在风洞内无风时，将一小球从O点以某一速度水平抛出后，经过一段时间小球落到水平面上的O2点。现让风洞内存在图示方向的风，使小球受到恒定的风力，小球仍以相同的速度从O点水平抛出。下列说法正确的是（ ）
A．小球从抛出到落到水平面上的时间一定将增大
B．小球落到水平面上时的速度方向一定不与水平面垂直
C．小球可能落在水平面上的O1点
D．小球可能落在水平面上的O2点
【解答】解：A．无风时小球在竖直方向上的加速度a1＝g，有风时，设风力大小为F，小球受力情况如图所示
此时小球竖直方向的加速度
根据
则有风时小球运动的时间减小，故A错误；
B．由于v0、h、F及θ大小关系不确定，小球可能在水平方向向右刚好减速到零时，小球下落的速度方向与水平面垂直，故B错误；
C．由于v0、h、F及θ大小关系不确定，小球也可能在水平方向上向右减速到零后，再反向加速回到OO1竖直线上时，小球刚好落到水平面上的O1点，故C正确；
D．O1O2＝v0t，有风时，小球水平向右移动的最大距离
由A项分析已知t′＜t，故有x＜O1O2，即小球一定不能落到O2点，故D错误。
故选：C。
（多选）（2024 郑州校级二模）如图所示，在一个倾角为37°的长斜面底端O点正上方h＝1.7m的P点处将一小球以速度v0水平抛出，恰好垂直击中斜面上的Q点，sin37°＝0.6。下列说法正确的是（ ）
A．小球的初速度v0＝4m/s
B．Q点离O点的距离|QO|＝1.2m
C．保持h不变，将小球以2v0的速度水平抛出，则击中斜面的位置到O点的距离小于2|QO|
D．若抛出点高度变为2h，欲使小球仍能垂直击中斜面，小球的初速度应调整为
【解答】解：AB、如图甲所示，小球垂直击中斜面时，速度的偏转角θ＝53°，速度偏转角的正切值：tanθ＝tan53°
设小球落到Q点时的位移夹角为α，根据平抛运动规律的推论可知：tanθ＝2tanα
即tan53°＝2 ，且tan37°
联立解得yh1.7m＝0.9m，x＝1.2m
Q点离O点的距离|QO|m＝1.5m
由h﹣y可知，小球在空中运动的时间ts＝0.4s
初速度v0m/s＝3m/s，故AB错误；
C、保持抛出点高度不变，初速度大小变为原来的两倍，如图乙所示，若无斜面，则小球应击中Q′点，实际击中点为轨迹与斜面的交点，显然离底端O的距离小于2|QO|，故C正确；
D、若抛出点高度变为2h，根据小球垂直击中斜面的规律知y′2h
则小球下落的高度和水平位移均变为原来的两倍，根据v0，t
联立解得v0＝x
故小球的初速度应调整为原来的倍，故D正确。
故选：CD。
（多选）（2024 南昌模拟）在一场特技表演中，一名摩托车手从一个倾角为37°的斜台顶端M点以25m/s的速率起飞。车手在空中飞行了一段距离后，连人带车在另一个位置较低而倾角为45°的斜台上降落。若要平稳着地，摩托车着地时的速度方向，必须与较低的那个斜台表面平行。如图所示，车手刚好在较低的斜台顶端N点平稳着地。若将摩托车和人看作质点，空气阻力不计，g取10m/s2，则摩托车从M到N的飞行过程中（ ）
A．速度变化量的大小为35m/s
B．速度变化量的大小为
C．速度变化量的方向与初速度夹角为82°
D．速度变化量的方向为竖直向下
【解答】解：AB．摩托车在水平方向的速度为
vx＝vMcos37°＝25×0.8m/s＝20m/s
摩托车在N点的速度为
以竖直向下为正方向，速度变化量的大小为
Δv＝vNsin45°﹣（﹣vMsin37°）35m/s
故A正确，B错误；
CD．不计空气阻力，摩托车在空中只受重力的作用，加速度为重力加速度，则
Δv＝gΔt
可知速度变化量的方向为竖直向下，与初速度的夹角θ＝180°﹣53°＝127°
故C错误，D正确。
故选：AD。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
