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专题10 带电粒子在电场和磁场中的运动
1.电场中常见的运动类型
(1)匀变速直线运动：通常利用动能定理qU＝mv2－mv来求解；对于匀强电场，电场力做功也可以用W＝qEd来求解。
(2)偏转运动：一般研究带电粒子在匀强电场中的偏转问题．对于类平抛运动可直接利用平抛运动的规律以及推论；较复杂的曲线运动常用运动的合成与分解的方法来处理。
2.匀强磁场中常见的运动类型(仅受磁场力作用)
(1)匀速直线运动：当v∥B时，带电粒子以速度v做匀速直线运动。
(2)匀速圆周运动：当v⊥B时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度大小做匀速圆周运动。
3.关于粒子的重力
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些宏观物体，如带电小球、液滴、金属块等一般应考虑其重力。
(2)不能直接判断是否要考虑重力的情况，在进行受力分析与运动分析时，根据运动状态可分析出是否要考虑重力。
1.思想方法
(1)解题关键
带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的合外力及初始运动状态的速度，因此带电粒子的运动情况和受力情况的分析是解题的关键。
(2)力学规律的选择
①当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，应根据平衡条件列方程求解。
②当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往同时应用牛顿第二定律和受力分析列方程联立求解。
③当带电粒子在复合场中做非匀变速曲线运动时，应选用动能定理或能量守恒定律列方程求解。
2.解电磁学中的曲线运动常用“四种”方法
电磁学中的曲线运动常用“四种”方法
运动的合成分解 (1)带电粒子以某一初速度，垂直电场方向射入匀强电场中，只受电场力作用的运动。 (2)带电粒子在匀强电场及重力场中的匀变速曲线运动。
动能定理解曲线运动问题 带电粒子在复合场中做变加速曲线运动，适合应用动能定理，带电粒子在复合场中做匀变速曲线运动也可以使用动能定理。
利用牛顿运动定律解圆周运动问题 (1)核外电子在库仑力作用下绕原子核的运动。 (2)带电粒子在垂直匀强磁场的平面里在磁场力作用下的运动。 (3)带电物体在各种外力(重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等)作用下的圆周运动。
利用几何关系解圆周问题 带电粒子垂直射入匀强磁场，由于磁场的边界不同造成粒子轨迹圆与边界的几何问题，由于粒子射入磁场的速度不同造成粒子轨迹圆的半径不同，由于粒子射入磁场的方向不同造成粒子轨迹的旋转，以上均涉及平面几何问题。
题型1 带电粒子在电场中的运动
考法一 带电粒子在电场中的直线运动
（2024 浙江一模）图甲为直线加速原理示意图，它由多个截面积相同的同轴金属圆筒依次组成，奇数序号与偶数序号圆筒分别与交变电源相连，交变电源两极间电压变化规律如图乙。在t＝0时，奇数圆筒比偶数圆筒电势高，此时序号为0的金属圆板中央有一电子由静止开始在各狭缝间不断加速。若电子质量为m，电荷量为e，交变电源电压大小为U，周期为T。不考虑电子的重力和相对论效应，且忽略电子通过狭缝的时间。下列说法正确的是（ ）
A．金属圆筒1、2、3的长度之比为1：2：3
B．电子离开圆筒1时的速度为进入时速度的两倍
C．第n个圆筒的长度应满足
D．进入第n个圆筒时电子的速率为
（2024 合肥二模）我国是世界上第三个突破嵌套式霍尔电推进技术的国家。霍尔推进器的工作原理简化如图所示，放电通道的两极间存在一加速电场。工作物质氙气进入放电通道后被电离为氙离子，经电场加速后以某一速度喷出，从而产生推力。某次实验中，加速电压为U，氙离子向外喷射形成的电流强度为I。氙离子的电荷量与质量分别为q和m，忽略离子的初速度及离子间的相互作用，则离子推进器产生的推力为（ ）
A．I B．I C．I D．I
（2024 江苏模拟）如图所示，光滑绝缘水平面上，长度为l的绝缘细线一端系着带电荷量为+q（q＞0）的小球，另一端固定在O'点，空间中存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为E。小球静止时处于O点，现保持细线伸直，将小球拉开一个很小的角度（小于5°）后由静止释放，小球运动到O点时的速度大小为v。已知小球的质量为m，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则小球由释放到第一次运动到O点的过程中，求：
（1）电场力对小球做的功；
（2）电场力对小球的冲量的大小。
考法二 带电粒子在电场中的曲线运动
（2024 天心区校级模拟）如图甲，一带电粒子沿平行板电容器中线MN以速度v平行于极板进入（记为t＝0时刻），同时在两板上加一按图乙变化的电压。已知粒子比荷为k，带电粒子只受静电力的作用且不与极板发生碰撞，经过一段时间，粒子以平行极板方向的速度射出。则下列说法中正确的是（ ）
A．粒子射出时间可能为t＝4s
B．粒子射出的速度大小为2v
C．极板长度满足L＝3vn（n＝1，2，3 ）
D．极板间最小距离为
（2024 盐城三模）随着环保理念的深入，废弃塑料分选再循环利用可减少对资源的浪费。其中静电分选装置如图所示，两极板带上等量异种电荷仅在板间形成匀强电场，漏斗出口与极板上边缘等高，到极板间距相等，a、b两类塑料颗粒离开漏斗出口时分别带上正、负电荷，经过分选电场后a类颗粒汇集在收集板的右端，已知极板间距为d，板长为L，极板下边缘与收集板的距离为H，两种颗粒的荷质比均为k，重力加速度为g，颗粒进入电场时的初速度为零且可视为质点，不考虑颗粒间的相互作用和空气阻力，在颗粒离开电场区域时不接触极板但有最大偏转量，则（ ）
A．右极板带正电
B．颗粒离开漏斗口在电场中做匀变速曲线运动
C．两极板间的电压值为
D．颗粒落到收集板时的速度大小为
（2024 郫都区校级模拟）一带正电微粒从静止开始经电压U1加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为U2。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为45°，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为2L和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是（ ）
A．L：d＝2：1
B．U1：U2＝2：1
C．微粒穿过图中电容器区域的速度偏转角度的正切值为
D．仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
题型2 带电粒子在有界磁场中的运动
1.带电粒子在有界匀强磁场中运动的三个重要结论
(1)粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角(如图甲，θ1＝θ2＝θ3)；
(2)沿半径方向射入圆形磁场的粒子，出射时亦沿半径方向(如图乙，两侧关于两圆心连线对称)；
(3)粒子速度方向的偏转角等于其轨迹的对应圆心角(如图甲，α1＝α2)。
2.带电粒子在磁场中运动的多解成因
(1)磁场方向不确定形成多解；
(2)带电粒子电性不确定形成多解；
(3)速度不确定形成多解；
(4)运动的周期性形成多解。
考法一 带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
（多选）（2025 西安校级模拟）如图所示，半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，方向垂直于纸面向里。边界上C点有一粒子源，可平行于纸面向磁场内任意方向发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子速度大小均为v0。不计粒子重力以及粒子间的相互作用，所有粒子运动半径均为R且离开磁场时速度方向均与AB平行，AB、CD为互相垂直的直径，则（ ）
A．粒子离开磁场时速度方向平行AB向下
B．磁感应强度大小为
C．经过圆心O的粒子在磁场中运动的时间为
D．沿着CO方向射入的粒子在磁场中运动的时间为
（2024 吉林二模）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab＝cd＝2L，bc＝de＝L，一束粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为3m，电荷量为2q。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动速率为（ ）
A． B． C． D．
（2024 青秀区校级模拟）如图，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一个质量为m、电量为q的粒子从y轴上的点射入磁场，入射速度方向与y轴正方的夹角为α＝150°，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则正确的是（ ）
A．粒子一定带负电
B．粒子在磁场中运动的时间为
C．粒子入射速率为
D．粒子离开磁场的位置到O点的距离为
考法二 带电粒子在磁场中运动的多解问题
（2024 盘锦三模）如图所示，在以半径为R和2R的同心圆为边界的区域中，有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。在圆心O处有一粒子源（图中未画出），在纸面内沿各个方向发射出比荷为的带负电的粒子，粒子的速率分布连续，忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用力，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。若所有的粒子都不能射出磁场，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子速度的最大值为
B．粒子速度的最大值为
C．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况）
D．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况）
（2024 德惠市校级模拟）如图所示，半径为R的圆OAP区域中存在垂直于圆平面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，圆心O点有一粒子源，先后从O点以相同速率向圆区域内发射两个完全相同的正电粒子a、b（质量为m，电量为q），其速度方向均垂直于磁场方向，与OP的夹角分别为90°、60°，不计粒子的重力及粒子间相互作用力，则两个粒子a、b在磁场中运动时间之比ta：tb为（ ）
A．1：1 B．2：1 C．1：2 D．4：1
（多选）（2024 衡阳县二模）一种圆柱形粒子探测装置的横截面如图所示。内圆区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器，AB和PM分别为内圆的两条相互垂直的直径，两个粒子先后从P点沿径向射入磁场。粒子1经磁场偏转后打在探测器上的Q点，粒子2经磁场偏转后从磁场边界C点离开，最后打在探测器上的N点，PC圆弧恰好为内圆周长的三分之一，粒子2在磁场中运动的时间为t。装置内部为真空状态，忽略粒子所受重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子1一定带正电
B．若两粒子的比荷相同，则粒子1的入射速率小于粒子2的入射速率
C．若仅减小粒子2的入射速率，则粒子2在磁场中的运动时间增加
D．改变粒子2入射方向，速率变为原来的，则粒子2在磁场中运动的最长时间为t
（2024 岳麓区校级模拟）如图所示，质量相同、带等量异种电荷的甲、乙两粒子，先后从S点沿SO方向垂直射入匀强电场中，分别经过圆周上的P、Q两点，不计粒子间的相互作用及重力，则两粒子在圆形区域内运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．甲粒子的入射速度小于乙粒子
B．电场力对甲粒子做的功大于对乙粒子做的功
C．甲粒子在P点的速度方向可能沿OP方向
D．甲粒子所受电场力的冲量小于乙粒子
（2024 镇海区校级模拟）如图所示，比荷相同、重力不计的a、b两个带电粒子，从同一位置水平射入竖直向下的匀强电场中，a粒子打在B板的a′点，b粒子打在B板的b′点，则（ ）
A．a、b均带负电
B．a的初速度一定小于b的初速度
C．a的运动时间一定小于b的运动时间
D．该过程中a所受电场力做的功一定大于b的
（2024春 岳麓区校级月考）如图所示，在匀强电场中一带正电粒子先后经过a、b两点。已知粒子的比荷为k，粒子经过a点时速率为3v，经过b点时速率为4v，粒子经过a、b两点时速度方向与ab连线的夹角分别为53°、37°，ab连线长度为L。若粒子只受电场力作用，则下列无法确定的是（ ）
A．场强的大小
B．场强的方向
C．a、b两点的电势差
D．粒子在a、b两点的电势能之差
（2024 鲤城区校级二模）如图所示，真空中有一电子以速度v沿着与电场强度垂直的方向自O点进入匀强电场。以O为坐标原点建立直角坐标系，x轴垂直于电场方向，y轴平行于电场方向，在x轴上取OA＝AB＝BC，分别自A、B、C点作与y轴平行的线，跟电子的径迹交于M、N、P三点，则电子经M、N、P三点时，沿y轴的分速度之比为 1：2：3 ；电子从O点开始连续经过三段相等时间的动能改变量之比为 1：3：5 。
（多选）（2024 成都模拟）如图所示，轨道由粗糙斜面AB、DF与半径为R的光滑圆弧BCD组成，斜面的动摩擦因数为0.5，斜面与水平面间的夹角60°，∠BOD＝120°，虚线BM左侧、DN右侧分布等大反向匀强电场E，带电量为﹣q（q＞0）的物块从A点以的初速度沿斜面向下运动，物块质量为m，物块可视为质点。AB长度为2R，电场强度大小为，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．物块到B点时的速度为
B．物块在最低点的最大压力为3mg
C．物块最终在圆弧BCD做往返运动
D．物块在斜面运动的总路程为3R
（2024 青岛二模）如图所示，在半径为R、圆心为O的半圆形区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，带电荷量为﹣q、质量为m的粒子（不计所受重力）从O点沿纸面各个方向射入匀强磁场后，均从OC段射出磁场，下列说法正确的是（ ）
A．粒子射入磁场时的最大速度为
B．粒子射入磁场时的最大速度为
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
D．粒子在磁场中运动的最长时间为
（2024 泉州二模）如图所示，速度选择器MN两极板间的距离为d，板间匀强磁场的磁感应强度大小为B，O为速度选择器中轴线上的粒子源，可沿OO′方向发射速度大小不同、带电荷量均为q（q＞0）、质量均为m的带电粒子，经速度选择器后，粒子先后经过真空中两平行边界的匀强磁场区域到达足够大荧光屏；匀强磁场的磁感应强度分别为B1、B2，对应边界的宽度分别为d1、d2。调节滑片P可改变速度选择器M、N两极板间的电压，使粒子沿OO′方向垂直磁场B1边界进入B1，经磁场B1偏转后进入B2，最后荧光屏恰好未发光，粒子重力不计，则MN两极板间的电压大小是（ ）
A．
B．
C．
D．
（2024 广东三模）如图所示，在0＜y＜y0，0＜x＜x0区域内有竖直向上的匀强电场，在x＞x0区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，从y轴上0～y0范围内平行于x轴正方向射出大量质量为m、电荷量为+q、分布均匀的带电粒子，粒子射入的初速度均为v0，当电场强度为0时，从O点射入的粒子恰能运动到N（x0，y0）点，若电场强度为，MN右侧是粒子接收器，MN的长度为y0，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则（ ）
A．磁感应强度的大小为
B．从处射入的粒子，恰好从N点进入磁场
C．从处射入的粒子，在磁场中偏转距离最大
D．接收器接收的粒子数占粒子总数的50%
（2024 浑南区校级三模）如图所示，射线AB、AC为一足够大的匀强磁场区域的边界，内部磁场方向垂直纸面向里。两个质量相同且带异种电荷的粒子a、b以相同的速度先后从AB边上的D点垂直AB边射入磁场，两粒子运动的轨迹均与AC相切，忽略粒子受到的重力及粒子间的相互作用力，sin∠BAC＝0.6，下列说法正确的是（ ）
A．a粒子带负电
B．a、b两粒子运动轨迹半径之比为3：1
C．a、b两粒子所带的电荷量之比为1：4
D．b粒子在磁场中的轨迹直径等于两切点的距离
（2024 湖北模拟）如图所示，在平面直角坐标系xOy内，有一个质量不计、带正电的粒子从y轴上的P点以沿x轴正向的速度进入匀强磁场（磁场区域未画出，P点在磁场的边界上）。已知粒子的比荷，速度大小，P点的坐标为（0，1m）。
（1）若磁场方向垂直于纸面向外，且为半径R＝1m的圆形区域，其圆心位于（1m，1m）处，粒子恰能够垂直于x轴离开圆形磁场区域，求磁感应强度B的大小；
（2）若磁场方向垂直于纸面向外，且充满第一象限，粒子经过点离开第一象限，求粒子在磁场中运动的时间t；
（3）若磁场为一矩形区域，粒子沿与y轴平行的方向向上离开磁场区域，已知磁场区域面积的最小值为，求粒子做圆周运动的半径（结果可用根号表示）。
（2024 淮安模拟）如图，在平面直角坐标系xOy内，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限以ON为直径的半圆形区域内，存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，从y轴正半轴上y＝h处的M点，以速度v0垂直于y轴射入电场，经x轴上x＝2h处的P点进入磁场，最后以垂直于y轴的方向射出磁场。不计粒子重力。求：
（1）电场强度大小E；
（2）粒子在磁场中运动的轨道半径r；
（3）粒子从进入电场到离开磁场经历的总时间t。
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专题10 带电粒子在电场和磁场中的运动
1.电场中常见的运动类型
(1)匀变速直线运动：通常利用动能定理qU＝mv2－mv来求解；对于匀强电场，电场力做功也可以用W＝qEd来求解。
(2)偏转运动：一般研究带电粒子在匀强电场中的偏转问题．对于类平抛运动可直接利用平抛运动的规律以及推论；较复杂的曲线运动常用运动的合成与分解的方法来处理。
2.匀强磁场中常见的运动类型(仅受磁场力作用)
(1)匀速直线运动：当v∥B时，带电粒子以速度v做匀速直线运动。
(2)匀速圆周运动：当v⊥B时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度大小做匀速圆周运动。
3.关于粒子的重力
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些宏观物体，如带电小球、液滴、金属块等一般应考虑其重力。
(2)不能直接判断是否要考虑重力的情况，在进行受力分析与运动分析时，根据运动状态可分析出是否要考虑重力。
1.思想方法
(1)解题关键
带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的合外力及初始运动状态的速度，因此带电粒子的运动情况和受力情况的分析是解题的关键。
(2)力学规律的选择
①当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，应根据平衡条件列方程求解。
②当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往同时应用牛顿第二定律和受力分析列方程联立求解。
③当带电粒子在复合场中做非匀变速曲线运动时，应选用动能定理或能量守恒定律列方程求解。
2.解电磁学中的曲线运动常用“四种”方法
电磁学中的曲线运动常用“四种”方法
运动的合成分解 (1)带电粒子以某一初速度，垂直电场方向射入匀强电场中，只受电场力作用的运动。 (2)带电粒子在匀强电场及重力场中的匀变速曲线运动。
动能定理解曲线运动问题 带电粒子在复合场中做变加速曲线运动，适合应用动能定理，带电粒子在复合场中做匀变速曲线运动也可以使用动能定理。
利用牛顿运动定律解圆周运动问题 (1)核外电子在库仑力作用下绕原子核的运动。 (2)带电粒子在垂直匀强磁场的平面里在磁场力作用下的运动。 (3)带电物体在各种外力(重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等)作用下的圆周运动。
利用几何关系解圆周问题 带电粒子垂直射入匀强磁场，由于磁场的边界不同造成粒子轨迹圆与边界的几何问题，由于粒子射入磁场的速度不同造成粒子轨迹圆的半径不同，由于粒子射入磁场的方向不同造成粒子轨迹的旋转，以上均涉及平面几何问题。
题型1 带电粒子在电场中的运动
考法一 带电粒子在电场中的直线运动
（2024 浙江一模）图甲为直线加速原理示意图，它由多个截面积相同的同轴金属圆筒依次组成，奇数序号与偶数序号圆筒分别与交变电源相连，交变电源两极间电压变化规律如图乙。在t＝0时，奇数圆筒比偶数圆筒电势高，此时序号为0的金属圆板中央有一电子由静止开始在各狭缝间不断加速。若电子质量为m，电荷量为e，交变电源电压大小为U，周期为T。不考虑电子的重力和相对论效应，且忽略电子通过狭缝的时间。下列说法正确的是（ ）
A．金属圆筒1、2、3的长度之比为1：2：3
B．电子离开圆筒1时的速度为进入时速度的两倍
C．第n个圆筒的长度应满足
D．进入第n个圆筒时电子的速率为
【解答】解：ACD、由于电子每经过圆筒狭缝时都要加速，进入圆筒后做匀速运动，所以电子在筒内运动的时间均为，电子在加速过程中加速度相同，经过n次加速后，根据动能定理得
可得
则电子进入第n个圆筒时的速度为
不计缝隙时间，电子在圆筒内的时间均为，则第n个圆筒的长度为
所以金属圆筒1、2、3的长度之比为，故AC错误，D正确；
B、由于电子在筒内做匀速直线运动，所以电子离开圆筒1时的速度等于进入时的速度，故B错误；
故选：D。
（2024 合肥二模）我国是世界上第三个突破嵌套式霍尔电推进技术的国家。霍尔推进器的工作原理简化如图所示，放电通道的两极间存在一加速电场。工作物质氙气进入放电通道后被电离为氙离子，经电场加速后以某一速度喷出，从而产生推力。某次实验中，加速电压为U，氙离子向外喷射形成的电流强度为I。氙离子的电荷量与质量分别为q和m，忽略离子的初速度及离子间的相互作用，则离子推进器产生的推力为（ ）
A．I B．I C．I D．I
【解答】解：氙离子在加速电场中由动能定理有：
设Δt时间内有n个氙离子喷射出，则有：
取水平向右为正方向，对n个氙离子由动量定理有：FΔt＝nmv﹣0
联立方程可得：
由牛顿第三定律可知离子推进器产生的推力，故D正确，ABC错误。
故选：D。
（2024 江苏模拟）如图所示，光滑绝缘水平面上，长度为l的绝缘细线一端系着带电荷量为+q（q＞0）的小球，另一端固定在O'点，空间中存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为E。小球静止时处于O点，现保持细线伸直，将小球拉开一个很小的角度（小于5°）后由静止释放，小球运动到O点时的速度大小为v。已知小球的质量为m，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则小球由释放到第一次运动到O点的过程中，求：
（1）电场力对小球做的功；
（2）电场力对小球的冲量的大小。
【解答】解：（1）根据动能定理可得：W电；
（2）将小球拉开一个很小的角度（小于5°）后由静止释放，小球的运动可以看作是简谐运动，其模型为“单摆”。
等效重力加速度大小为：g等，振动周期为：T＝2π
小球由释放到第一次运动到O点的过程中经过的时间为：t
电场力对小球的冲量的大小：I冲＝qEt
联立解得：I冲。
答：（1）电场力对小球做的功为；
（2）电场力对小球的冲量的大小为。
考法二 带电粒子在电场中的曲线运动
（2024 天心区校级模拟）如图甲，一带电粒子沿平行板电容器中线MN以速度v平行于极板进入（记为t＝0时刻），同时在两板上加一按图乙变化的电压。已知粒子比荷为k，带电粒子只受静电力的作用且不与极板发生碰撞，经过一段时间，粒子以平行极板方向的速度射出。则下列说法中正确的是（ ）
A．粒子射出时间可能为t＝4s
B．粒子射出的速度大小为2v
C．极板长度满足L＝3vn（n＝1，2，3 ）
D．极板间最小距离为
【解答】解：AB、粒子进入电容器后，在平行于极板方向做匀速直线运动，垂直极板方向运动的a﹣t图像如图所示。
依题意，粒子平行极板射出，可知粒子垂直极板的分速度为0，速度变化量为0，根据a﹣t图像与时间轴所围的面积表示速度变化量，图线在时间轴上方速度变化量与在时间轴下方速度变化量方向相反，可知粒子射出时刻可能为1.5s、3s、4.5s……，满足t＝1.5n，（n＝1，2，3……），粒子射出的速度大小必定为v，故AB错误；
C、极板长度L＝v 1.5n，（n＝1，2，3……），故C错误；
D、因为粒子不跟极板碰撞，则应满足
v垂直＝a×1
且由牛顿第二定律有
联立解得，故D正确。
故选：D。
（2024 盐城三模）随着环保理念的深入，废弃塑料分选再循环利用可减少对资源的浪费。其中静电分选装置如图所示，两极板带上等量异种电荷仅在板间形成匀强电场，漏斗出口与极板上边缘等高，到极板间距相等，a、b两类塑料颗粒离开漏斗出口时分别带上正、负电荷，经过分选电场后a类颗粒汇集在收集板的右端，已知极板间距为d，板长为L，极板下边缘与收集板的距离为H，两种颗粒的荷质比均为k，重力加速度为g，颗粒进入电场时的初速度为零且可视为质点，不考虑颗粒间的相互作用和空气阻力，在颗粒离开电场区域时不接触极板但有最大偏转量，则（ ）
A．右极板带正电
B．颗粒离开漏斗口在电场中做匀变速曲线运动
C．两极板间的电压值为
D．颗粒落到收集板时的速度大小为
【解答】解：A．a类颗粒汇集在收集板的右端，说明a类颗粒所受电场力水平向右，而a类颗粒带正电荷，则a类颗粒受电场力方向水平向右，所以右极板带负电，故A错误；
B．由于颗粒进入电场时的初速度为零，在电场中受电场力和重力的合力保持不变，则颗粒离开漏斗口在电场中做匀变速直线运动，故B错误；
C．根据题意，设两极板间的电压值为U，水平方向上在电场力作用下做匀加速直线运动，有
，
竖直方向上仅受重力作用，做自由落体运动，有
联立解得
，故C错误；
D．根据题意，结合C分析可知，颗粒离开电场时的水平速度为
离开电场后，水平方向做匀速运动，则颗粒落到收集板时的水平速度仍为vx，竖直方向上，颗粒一直做自由落体运动，则颗粒落到收集板时的竖直速度为
则颗粒落到收集板时的速度大小为
，故D正确。
故选：D。
（2024 郫都区校级模拟）一带正电微粒从静止开始经电压U1加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为U2。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为45°，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为2L和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是（ ）
A．L：d＝2：1
B．U1：U2＝2：1
C．微粒穿过图中电容器区域的速度偏转角度的正切值为
D．仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
【解答】解：B、微粒在电容器中水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做匀变速直线运动。
根据电场强度和电势差的关系可得：
根据牛顿第二定律得：F＝qE＝ma
设微粒射入电容器时的速度为v0，水平方向上分速度为：，竖直方向上分速度为：
微粒从射入到运动到最高点在竖直方向上由运动学公式可得：
微粒经电压U1加速的过程，由动能定理得：
联立解得：U1：U2＝1：1，故B错误；
A、微粒从射入到运动到最高点过程中，在水平方向上的位移为：x＝2L＝vxt
在竖直方向上的位移为：
联立解得：L：d＝1：1，故A错误；
C、微粒射入电容器到最高点过程中有：vy＝at
从最高点到穿出电容器的过程中，设竖直方向上的末速度大小为vy1。
在水平方向上有：L＝vxt1，在竖直方向上有：vy1＝at1
联立解得：
设微粒穿过电容器时，速度方向与水平方向的夹角为α，则有：
设微粒射入电场和水平方向的夹角为β＝45°，则tanβ＝tan45°＝1
微粒穿过图中电容器区域的速度偏转角度等于α+β，根据数学三角函数公式可得：tan（α+β）＝3，故C错误；
D、微粒在电容器中的运动过程，水平方向的位移为x＝vxt
竖直方向的位移为：
联立解得：
可知微粒运动轨迹与微粒的质量或者电荷数量无关，故仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变，故D正确。
故选：D。
题型2 带电粒子在有界磁场中的运动
1.带电粒子在有界匀强磁场中运动的三个重要结论
(1)粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角(如图甲，θ1＝θ2＝θ3)；
(2)沿半径方向射入圆形磁场的粒子，出射时亦沿半径方向(如图乙，两侧关于两圆心连线对称)；
(3)粒子速度方向的偏转角等于其轨迹的对应圆心角(如图甲，α1＝α2)。
2.带电粒子在磁场中运动的多解成因
(1)磁场方向不确定形成多解；
(2)带电粒子电性不确定形成多解；
(3)速度不确定形成多解；
(4)运动的周期性形成多解。
考法一 带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
（多选）（2025 西安校级模拟）如图所示，半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，方向垂直于纸面向里。边界上C点有一粒子源，可平行于纸面向磁场内任意方向发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子速度大小均为v0。不计粒子重力以及粒子间的相互作用，所有粒子运动半径均为R且离开磁场时速度方向均与AB平行，AB、CD为互相垂直的直径，则（ ）
A．粒子离开磁场时速度方向平行AB向下
B．磁感应强度大小为
C．经过圆心O的粒子在磁场中运动的时间为
D．沿着CO方向射入的粒子在磁场中运动的时间为
【解答】解：A．粒子带正电，根据左手定则可知，从C点射入磁场中的所有粒子均平行于AB向上射出，故A错误；
B．根据磁发散原理可知，粒子做圆周运动的半径等于圆形磁场的半径，根据洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力可得：
解得磁感应强度大小为：，故B正确；
C．若粒子经过圆心O，运动轨迹如图所示：
根据几何关系可知，粒子轨迹对应的圆心角等于120°，粒子在磁场中运动的时间为：，故C错误；
D．若粒子沿着CO方向射入磁场，圆心角等于90°，粒子在磁场中运动的时间为：，故D正确。
故选：BD。
（2024 吉林二模）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab＝cd＝2L，bc＝de＝L，一束粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为3m，电荷量为2q。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动速率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设粒子的运动轨迹过bcde上的某一点g，O为粒子做圆周运动轨迹的圆心，运动轨迹对应的圆心角∠aOg最大时，粒子运动时间最长，由几何关系可知当c点与g点重合时，粒子运动时间最长，如下图所示：
设运动半径为R，由几何关系可得：（2L﹣R）2+L2＝R2
解得：
已知粒子的质量为3m，电荷量为2q，由洛伦兹力提供向心力得：
解得：，故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2024 青秀区校级模拟）如图，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一个质量为m、电量为q的粒子从y轴上的点射入磁场，入射速度方向与y轴正方的夹角为α＝150°，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则正确的是（ ）
A．粒子一定带负电
B．粒子在磁场中运动的时间为
C．粒子入射速率为
D．粒子离开磁场的位置到O点的距离为
【解答】解：A．粒子垂直x轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，故A错误；
BC．粒子垂直x轴离开磁场，α＝150°，运动轨迹如图
粒子运动的半径为
洛伦兹力提供向心力
解得
轨迹对应的圆心角为30°，粒子在磁场中运动的时间为
，故BC错误；
D．粒子离开磁场的位置到O点的距离为
，故D正确。
故选：D。
考法二 带电粒子在磁场中运动的多解问题
（2024 盘锦三模）如图所示，在以半径为R和2R的同心圆为边界的区域中，有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。在圆心O处有一粒子源（图中未画出），在纸面内沿各个方向发射出比荷为的带负电的粒子，粒子的速率分布连续，忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用力，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。若所有的粒子都不能射出磁场，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子速度的最大值为
B．粒子速度的最大值为
C．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况）
D．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况）
【解答】解：AB、根据洛伦兹力提供向心力：
解得：
可知速度最大时，半径最大，当轨迹与大圆相切时，半径最大，如图所示
根据几何关系可得：（2R﹣r）2＝R2+r2
联立解得：，故AB错误；
CD、某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，即粒子速度最大时，根据几何关系有
解得其在磁场中运动的时间为
故C正确；D错误。
故选：C。
（2024 德惠市校级模拟）如图所示，半径为R的圆OAP区域中存在垂直于圆平面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，圆心O点有一粒子源，先后从O点以相同速率向圆区域内发射两个完全相同的正电粒子a、b（质量为m，电量为q），其速度方向均垂直于磁场方向，与OP的夹角分别为90°、60°，不计粒子的重力及粒子间相互作用力，则两个粒子a、b在磁场中运动时间之比ta：tb为（ ）
A．1：1 B．2：1 C．1：2 D．4：1
【解答】解：根据粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力：，代入数据解得：R＝R。
粒子在场中做圆周运动的半径均为R，恰好与磁场区域半径相等，对a粒子，画出运动轨迹，如图所示：
在磁场中恰好以P点为圆心做圆周运动，从AP边上M点出磁场，根据几何关系可知，转过的圆心角为60°，所以运动时间为：；
对b粒子，画出运动轨迹，如图所示：
磁场中做圆周运动恰好从AP边上D点出，由几何关系得：转过的圆心角为：60°
所以运动时间为：
故ta：tb＝1：1，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（多选）（2024 衡阳县二模）一种圆柱形粒子探测装置的横截面如图所示。内圆区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器，AB和PM分别为内圆的两条相互垂直的直径，两个粒子先后从P点沿径向射入磁场。粒子1经磁场偏转后打在探测器上的Q点，粒子2经磁场偏转后从磁场边界C点离开，最后打在探测器上的N点，PC圆弧恰好为内圆周长的三分之一，粒子2在磁场中运动的时间为t。装置内部为真空状态，忽略粒子所受重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子1一定带正电
B．若两粒子的比荷相同，则粒子1的入射速率小于粒子2的入射速率
C．若仅减小粒子2的入射速率，则粒子2在磁场中的运动时间增加
D．改变粒子2入射方向，速率变为原来的，则粒子2在磁场中运动的最长时间为t
【解答】解：A、由题图可知，粒子l受向下偏转，由左手定则可知，粒子1带负电，故A错误；
B、根据洛伦兹力提供粒子在磁场中做圆周运动所需的向心力：
可得粒子的半径：
由题图可知粒子l运动的半径小于粒子2运动的半径，在比荷相同时，则粒子1的入射速率小于粒子2的入射速率，故B正确；
C、若仅减小粒子2的入射速率，则粒子2运动半径减小。由数学知识可知，粒子从磁场射出时，轨迹所对应的圆心角增大，粒子2在磁场中的运动时间为：
故若仅减小粒子2的入射速率，则粒子2在磁场中的运动时间增加，故C正确；
D、根据题设条件可知，PC圆弧恰好为内圆周长的三分之一，则粒子2在磁场中轨迹所对应的圆心角为：
设内圆半径为R，根据几何关系，粒子2在磁场中运动半径为：
开始粒子2在磁场中运动时间为：
粒子2速率变为原来的，此时粒子2在磁场中运动半径为：
根据几何关系，当粒子2的轨迹对应的弦为磁场圆的直径PM时，粒子2在磁场中运动的时间最长，此时的圆心角为：β＝60°
速度改变后，粒子2在磁场中运动的最长时间为：，故D正确。
故选：BCD。
（2024 岳麓区校级模拟）如图所示，质量相同、带等量异种电荷的甲、乙两粒子，先后从S点沿SO方向垂直射入匀强电场中，分别经过圆周上的P、Q两点，不计粒子间的相互作用及重力，则两粒子在圆形区域内运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．甲粒子的入射速度小于乙粒子
B．电场力对甲粒子做的功大于对乙粒子做的功
C．甲粒子在P点的速度方向可能沿OP方向
D．甲粒子所受电场力的冲量小于乙粒子
【解答】解：A、两粒子在电场中均做类平抛运动，则垂直电场方向的位移为：y＝v0t
沿电场方向的位移为：
联立可得：
由题图可知：yP＞yQ，xP＜xQ，从上式可以看出甲粒子的入射速度大于乙粒子的入射速度，故A错误；
B、根据电场力做功公式有：W＝qEx，xP＜xQ，可知电场力对甲粒子做的功小于对乙粒子做的功，故B错误；
C、粒子在电场中做类平抛运动，根据推论可知，速度反向延长线交于竖直位移的中点，甲粒子在P点的速度反向延长线应交SO于O点下方，故C错误；
D、由于沿电场方向的位移为：
由xP＜xQ，可知tP＜tQ，根据冲量的公式：I电＝qEt
联立可知甲粒子所受电场力的冲量小于乙粒子所受电场力的冲量，故D正确。
故选：D。
（2024 镇海区校级模拟）如图所示，比荷相同、重力不计的a、b两个带电粒子，从同一位置水平射入竖直向下的匀强电场中，a粒子打在B板的a′点，b粒子打在B板的b′点，则（ ）
A．a、b均带负电
B．a的初速度一定小于b的初速度
C．a的运动时间一定小于b的运动时间
D．该过程中a所受电场力做的功一定大于b的
【解答】解：A、因电场线向下，两粒子均受向下的电场力而做类平抛运动，所以两个粒子均带正电，故A错误；
B、a、b两个带电粒子在电场中做类平抛运动，设任一粒子的初速度为v0，电荷量为q，质量为m，加速度为a，运动的时间为t，则加速度为
粒子的竖直分运动为初速度为零的匀加速直线运动，有
水平分运动为匀速直线运动，有
x＝v0t
联立得：
因两个粒子的比荷相同，y相同，E相同，则x大的初速度大，可知a的初速度一定小于b的初速度，故B正确；
C、由竖直分运动位移有y，可得运动时间为，因两个粒子的比荷相同，y相同，E相同，则a的运动时间一定等于b的运动时间，故C错误；
D、电场力做功为W＝qEy，两粒子的比荷相同，y相同，E相同，但无法比较电荷量关系，故无法比较电场力做功关系，故D错误。
故选：B。
（2024春 岳麓区校级月考）如图所示，在匀强电场中一带正电粒子先后经过a、b两点。已知粒子的比荷为k，粒子经过a点时速率为3v，经过b点时速率为4v，粒子经过a、b两点时速度方向与ab连线的夹角分别为53°、37°，ab连线长度为L。若粒子只受电场力作用，则下列无法确定的是（ ）
A．场强的大小
B．场强的方向
C．a、b两点的电势差
D．粒子在a、b两点的电势能之差
【解答】解：AB、设电场力的方向与ab所在直线夹角为θ，如图所示将粒子的速度沿电场方向和垂直于电场方向
因为粒子在垂直电场方向不受力，做匀速直线运动，所以该方向的速度分量相同，根据几何关系，有3vcos（θ﹣37o）＝4vsin（θ﹣37o）
解得电场力的方向与ab所在直线夹角为θ＝74o
运动的时间为
沿电场力方向速度变化量为Δv＝4vcos（θ﹣37o）+3vsin（θ﹣37o）＝4vcos37°+3vsin37°
电场强度的大小为
故电场强度的大小和方向可以确定，故AB不符合题意；
C、根据匀强电场的电场强度公式，可知a、b两点的电势差可以确定，故C不符合题意；
D、根据功能关系有qUab＝ΔEp，电荷量未知，无法确定粒子在a、b两点的电势能之差，故D符合题意。
故选：D。
（2024 鲤城区校级二模）如图所示，真空中有一电子以速度v沿着与电场强度垂直的方向自O点进入匀强电场。以O为坐标原点建立直角坐标系，x轴垂直于电场方向，y轴平行于电场方向，在x轴上取OA＝AB＝BC，分别自A、B、C点作与y轴平行的线，跟电子的径迹交于M、N、P三点，则电子经M、N、P三点时，沿y轴的分速度之比为 1：2：3 ；电子从O点开始连续经过三段相等时间的动能改变量之比为 1：3：5 。
【解答】解：电子在x轴正方向上做匀速直线运动，由题意可知从O到A、从A到B、从B到C所用时间相等，均设为t。
电子在y轴正方向上做匀加速直线运动，设加速度大小为a，则电子经M、N、P三点时，沿y轴的分速度分别为
vyM＝at、vyN＝2at、vyP＝3at
所以：vyM：vyN：vyP＝1：2：3；
电子在竖直方向做初速度为零的匀加速运动，在相等时间内的位移之比为1：3：5，根据动能定理可知，动能的增量即为这个过程中电场力做的功，由于力相等，所以动能的增量就与位移成正比了，即动能的增量为之比为：EOA：EAB：EBC＝1：3：5。
故答案为：1：2：3，1：3：5。
（多选）（2024 成都模拟）如图所示，轨道由粗糙斜面AB、DF与半径为R的光滑圆弧BCD组成，斜面的动摩擦因数为0.5，斜面与水平面间的夹角60°，∠BOD＝120°，虚线BM左侧、DN右侧分布等大反向匀强电场E，带电量为﹣q（q＞0）的物块从A点以的初速度沿斜面向下运动，物块质量为m，物块可视为质点。AB长度为2R，电场强度大小为，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．物块到B点时的速度为
B．物块在最低点的最大压力为3mg
C．物块最终在圆弧BCD做往返运动
D．物块在斜面运动的总路程为3R
【解答】解：A、对物块在左侧斜面上释放时进行受力分析，可以得到如图：
在垂直于斜面的方向上：mgcos60°+qEsin60°＝N
此时摩擦力为滑动摩擦力，故：f＝μN，解得N＝2mg
在物块从A到B的过程中，对物块应用动能定理：，解得：，故A正确；
B、在物块从B到C的过程中，对物块应用动能定理：
在C点，支持力和重力的合力提供向心力：，解得：
由牛顿第三定律可知此时物块在最低点的支持力与压力相等，故B错误；
CD、物块从B到右侧的过程，设到某点速度减为0，在右侧斜面的位移为x，则在该过程中：，解得：x＝R
此时摩擦力反向，之后：mgsin60°＝qEcos60°，摩擦力减为0，物块刚好可以在斜面上静止，总路程s＝2R+x，解得：s＝3R；故C错误、D正确。
故选：AD。
（2024 青岛二模）如图所示，在半径为R、圆心为O的半圆形区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，带电荷量为﹣q、质量为m的粒子（不计所受重力）从O点沿纸面各个方向射入匀强磁场后，均从OC段射出磁场，下列说法正确的是（ ）
A．粒子射入磁场时的最大速度为
B．粒子射入磁场时的最大速度为
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
D．粒子在磁场中运动的最长时间为
【解答】解：如图所示，当离子轨迹与半圆形边界相切时，离子轨迹半径最大，则由几何关系有：
由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律可得：
变形可得粒子射入磁场时的最大速度为：
粒子在磁场中恰好运动一周，那么运动的最长时间为：tmax＝T，故ACD错误，B正确。
故选：B。
（2024 泉州二模）如图所示，速度选择器MN两极板间的距离为d，板间匀强磁场的磁感应强度大小为B，O为速度选择器中轴线上的粒子源，可沿OO′方向发射速度大小不同、带电荷量均为q（q＞0）、质量均为m的带电粒子，经速度选择器后，粒子先后经过真空中两平行边界的匀强磁场区域到达足够大荧光屏；匀强磁场的磁感应强度分别为B1、B2，对应边界的宽度分别为d1、d2。调节滑片P可改变速度选择器M、N两极板间的电压，使粒子沿OO′方向垂直磁场B1边界进入B1，经磁场B1偏转后进入B2，最后荧光屏恰好未发光，粒子重力不计，则MN两极板间的电压大小是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设粒子速度为v0，MN两极板间电压为U，在速度选择器中有：
可得：
由题意荧光屏恰好未发光，则临界轨迹恰好与荧光屏相切，粒子运动的轨迹如图：
由三角形相似可得：
又根据半径公式：，
联立以上几式求解得：，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2024 广东三模）如图所示，在0＜y＜y0，0＜x＜x0区域内有竖直向上的匀强电场，在x＞x0区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，从y轴上0～y0范围内平行于x轴正方向射出大量质量为m、电荷量为+q、分布均匀的带电粒子，粒子射入的初速度均为v0，当电场强度为0时，从O点射入的粒子恰能运动到N（x0，y0）点，若电场强度为，MN右侧是粒子接收器，MN的长度为y0，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则（ ）
A．磁感应强度的大小为
B．从处射入的粒子，恰好从N点进入磁场
C．从处射入的粒子，在磁场中偏转距离最大
D．接收器接收的粒子数占粒子总数的50%
【解答】解：A．当电场强度为0时，从O点射入的粒子恰能运动到N点，则
根据洛伦兹力提供向心力有
解得
故A错误；
B．若粒子从处射入，则水平方向有
x0＝v0t1
竖直方向有
联立解得
则粒子从N点下方进入磁场，故B错误；
C．设粒子进入磁场中时速度方向与竖直方向的夹角为θ，粒子进入磁场中的速度大小为v，则
粒子在磁场中偏转距离为
d＝2rsinθ
解得
d＝y0
由此可知，粒子在磁场中偏转距离相等，故C错误；
D．由以上分析可知，粒子在电场中的竖直位移为
所以从处射入的粒子，恰好从N点进入磁场，且恰好经磁场偏转后打在M点，即只有0～范围内平行于x轴正方向射出的粒子能被接收器接收，所以接收器接收的粒子数占粒子总数的50%，故D正确。
故选：D。
（2024 浑南区校级三模）如图所示，射线AB、AC为一足够大的匀强磁场区域的边界，内部磁场方向垂直纸面向里。两个质量相同且带异种电荷的粒子a、b以相同的速度先后从AB边上的D点垂直AB边射入磁场，两粒子运动的轨迹均与AC相切，忽略粒子受到的重力及粒子间的相互作用力，sin∠BAC＝0.6，下列说法正确的是（ ）
A．a粒子带负电
B．a、b两粒子运动轨迹半径之比为3：1
C．a、b两粒子所带的电荷量之比为1：4
D．b粒子在磁场中的轨迹直径等于两切点的距离
【解答】解：A、a粒子受洛伦兹力向左，根据左手定则可分析a粒子带正电，故A错误；
B、根据题意作出粒子的运动轨迹如图：
由sin∠BAC＝0.6可得：O2AR2
由几何知识可知，在△O1AC中，sin∠BAC
解得：R1＝4R2，所以a、b两粒子运动轨迹半径之比为4：1，故B错误；
C、根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB＝m，解得：R
所以有：，故C正确；
D、设R1＝4R2＝4R，由几何知识可知两切点间的距离为：d＝AC﹣AE＝4RR4R＝R1，故D错误。
故选：C。
（2024 湖北模拟）如图所示，在平面直角坐标系xOy内，有一个质量不计、带正电的粒子从y轴上的P点以沿x轴正向的速度进入匀强磁场（磁场区域未画出，P点在磁场的边界上）。已知粒子的比荷，速度大小，P点的坐标为（0，1m）。
（1）若磁场方向垂直于纸面向外，且为半径R＝1m的圆形区域，其圆心位于（1m，1m）处，粒子恰能够垂直于x轴离开圆形磁场区域，求磁感应强度B的大小；
（2）若磁场方向垂直于纸面向外，且充满第一象限，粒子经过点离开第一象限，求粒子在磁场中运动的时间t；
（3）若磁场为一矩形区域，粒子沿与y轴平行的方向向上离开磁场区域，已知磁场区域面积的最小值为，求粒子做圆周运动的半径（结果可用根号表示）。
【解答】解：（1）由题意，画出轨迹图，
根据几何关系可知，轨迹圆半径：R＝1m
根据洛伦兹力提供向心力有：
联立代入数据解得：B＝0.01T
（2）作出粒子的运动轨迹，如图所示，
根据几何关系有：r2＝x2+（r﹣L）2
另有：
根据圆周运动的规律，时间：
代入数据解得：
（3）由于磁场方向未知，因此要分两种情况讨论，如下方左右图所示，假设左图的轨迹圆半径为r1，右图轨迹圆半径为r2。
左图中，最小矩形磁场区域面积：
右图中，最小矩形磁场区域面积：
代入已知面积分别解得：，
（2024 淮安模拟）如图，在平面直角坐标系xOy内，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限以ON为直径的半圆形区域内，存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，从y轴正半轴上y＝h处的M点，以速度v0垂直于y轴射入电场，经x轴上x＝2h处的P点进入磁场，最后以垂直于y轴的方向射出磁场。不计粒子重力。求：
（1）电场强度大小E；
（2）粒子在磁场中运动的轨道半径r；
（3）粒子从进入电场到离开磁场经历的总时间t。
【解答】解：粒子的运动轨迹如右图所示
（1）设粒子在电场中运动的时间为t1
x方向匀速直线运动，则有：2h＝v0t1
y方向初速度为零的匀加速直线运动，则有：
根据牛顿第二定律：Eq＝ma
求出匀强电场强度：
（2）粒子在电场中运动，根据动能定理：
设粒子进入磁场时速度为v，根据
求出运动轨道的半径：
（3）粒子在电场中运动的时间：
粒子在磁场中运动的周期：
设粒子在磁场中运动的时间为t2，由几何关系可知粒子的偏转角为135°，所以有：
求出总时间：
答：（1）电场强度大小为；
（2）粒子在磁场中运动的轨道半径为；
（3）粒子从进入电场到离开磁场经历的总时间为。
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