中小学教育资源及组卷应用平台
专题11 动态圆和磁聚焦与磁发散问题
1.解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，利用动态圆思想寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。
2.粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。
3.常用的动态圆
示意图 适用条件 应用方法
放 缩 圆 (轨迹圆的圆心在P1P2直线上) 粒子的入射点位置相同，速度方向一定，速度大小不同 以入射点P为定点，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件
旋 转 圆 (轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上) 粒子的入射点位置相同，速度大小一定，速度方向不同 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件
平 移 圆 (轨迹圆的所有圆心在一条直线上) 粒子的入射点位置不同，速度大小、方向均一定 将半径为R＝的圆进行平移
题型2 磁聚焦与磁发散
磁聚焦与磁发散 轨迹圆半径等于区域圆半径 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射方向平行——磁聚焦，从边缘某点以不同方向入射时平行射出——磁发散
题型1 三类“动态圆”问题
（多选）（2024 雁塔区校级模拟）如图所示，O点是一个粒子源，能在平面内沿看各个方同均匀、持续地发射电荷量为q、质量为m、速度大小恒定的带正电粒子。半圆形区域内以及水平线MON以下存在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。半圆形区域半径为R，圆心为O，粒子从边界射出磁场的最远位置为P点，O、P之间的距离为2R，则（ ）
A．有三分之二的带电粒子射出磁场
B．从圆弧边界射出磁场的粒子在磁场中运动的时间为
C．粒子源发射粒子的速度大小为
D．从P点射出磁场的粒子在磁场中运动时间为
（多选）（2024 青山湖区校级模拟）如图所示，足够长的荧屏板MN的上方分布了水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。距荧屏板d处有一粒子源S，能够在纸面内不断均匀地向各个方向发射速度大小为，电荷量为q、质量为m的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子源发射粒子的总个数为n，则（ ）
A．粒子能打到板上的区域长度为
B．打到板上的粒子数为
C．从粒子源出发到板的最短时间为
D．同一时刻发射的粒子打到荧光板上的最大时间差为
（多选）（2024 四川模拟）如图所示，正方形MNPQ所围的区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，比荷的绝对值相等的带电粒子a、b、c以不同的速率v从O点沿纸面并垂直于PQ的方向射入磁场，图中实线是它们的运动轨迹。已知O点是PQ的中点，不计粒子重力及带电粒子间的相互作用，下列说法中正确的是（ ）
A．粒子c带正电，粒子a、b带负电
B．粒子b的速率最大
C．粒子c的运动周期最小
D．仅改变速率大小，可使粒子运动轨迹与MN相切
题型2 磁聚焦与磁发散
（多选）（2024 香坊区校级模拟）如图所示，圆心为O，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。M为磁场边界上一点，有无数个带电量为q（q＞0），质量为m的相同粒子（不计重力及粒子间相互作用）在纸面内向各个方向以相同的速率通过M点进入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子运动时间为，N为磁场边界上的另一个点，。下列说法正确的是（ ）
A．粒子从M点进入磁场时的速率为
B．从N点离开磁场的粒子运动时间为
C．若将磁感应强度的大小增加到，会有粒子沿ON方向从N点射出磁场
D．若将磁感应强度的大小减小为0.5B，劣弧MN的每一点都会有粒子射出
（多选）（2024 龙凤区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系xOy平面内存在两处磁感应强度大小均为B、方向垂直于xOy平面的匀强磁场，第一象限内的匀强磁场分布在三角形OAC之外的区域，方向向里，A、C两点分别位于x轴和y轴上，∠OAC＝30°，OC的长度为2R；第二象限内的匀强磁场分布在半径为R的圆形区域内，圆形区域的圆心坐标为（﹣R，R），圆形区域与x、y轴的切点分别为P、Q，第三、四象限内均无磁场。置于P点的离子发射器，能持续地从P点在xOy平面内向x轴上方180°范围内以恒定速率发射同种正离子，离子质量均为m，电荷量均为q；在y轴上放置一长度为2R的探测板CG，G和C分别为探测板的上下边缘，所有打到探测板上的离子都被板吸收。已知从P点垂直于x轴发射的离子恰好经过Q点进入第一象限，不计重力及离子间的相互作用。则（ ）
A．圆形区域内磁场的方向垂直于纸面向外
B．离子的发射速率
C．探测板CG上有离子打到的区域长度
D．从P点垂直于x轴发射的离子，从发射到第二次经过边界AC所用的时间为
（多选）（2024 龙岗区校级三模）如图所示，等腰直角三角形abc区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，直角边ac长度为L，磁感应强度大小为B。在c点有一粒子源，可沿纸面内各个方向射出质量为m、电荷量为+q的粒子，所有粒子不计重力、速度大小均为v0。其中从c点沿cb方向射入磁场的粒子，运动轨迹恰好垂直于边界ab射出磁场。关于粒子运动下列说法正确的是（ ）
A．粒子速度v0的大小满足
B．从ac射出的粒子在磁场中的运动时间都相同
C．从a点射出磁场的粒子在c点的速度方向与bc夹角为60°
D．所有从ab边界出射的粒子中在磁场中运动的最短时间为
（多选）（2024 东西湖区校级模拟）如图所示，纸面内有宽为L水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m，电荷量为﹣q，速率为v0，不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都会聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是（ ）。（其中B0，A、C、D选项中曲线均为半径是L的圆弧，B选项中曲线为半径是的圆）
A． B．
C． D．
（多选）（2024 温江区校级三模）如图所示，边长为2L的等边三角形ABC内有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为﹣q的带电粒子从D点以不同的速率平行于BC边方向射入磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子可能从B点射出
B．若粒子从C点射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为L
C．若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为
D．若粒子从AB边射出，则粒子在磁场中运动的时间相同，且时间最长
（2024 洪山区校级模拟）如图所示，在xOy平面有一圆形有界匀强磁场，圆心坐标为（0，﹣R），半径为R，磁场方向垂直于纸面向里。在第二象限从y＝﹣R到y＝0的范围内存在沿x轴正向匀速运动的均匀带电粒子流。粒子速率为v0，质量为m，带电量为+q，所有粒子在磁场中偏转后都从O点射出，并立即进入第一象限内沿y轴负方向的匀强电场，经电场偏转后，最终均平行于x轴正向射出电场（沿y轴正向入射的粒子除外），已知电场强度为E，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。
（1）求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（2）电场外有一收集板PQ垂直于x轴放置，Q点在x轴上，PQ长度为R，不计PQ上收集电荷的影响，求PQ收集到的粒子数占总粒子数的比例；
（3）第一象限电场的边界方程。
（2024 郫都区校级二模）如图所示，一半径为R的圆与x轴相切于原点O，圆内有直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大为B。与x轴垂直的竖直虚线与磁场最右端相切，其右侧的第Ⅰ象限内存在沿﹣y方向的匀强电场。现有一束比荷为的带正电粒子沿着+y方向从原点O射入磁场，粒子离开磁场时方向沿x轴正方向，进入电场后，经电场偏转打到x轴上坐标为（3R，0）的点，不计粒子的重力，求：
（1）粒子射入磁场时的速度；
（2）电场强度的大小；
（3）若仅使从O点射入的带电粒子初速度方向与﹣x轴方向成30°角，求粒子从O点出发到再次打到x轴上所用的时间。
（2024 邢台二模）如图所示，直角坐标系第一象限内有一竖直分界线PQ，PQ左侧有一直角三角形区域OAC，其中分布着方向垂直纸面向里、磁感应强度为B0的匀强磁场，已知OA与y轴重合，且OA＝a，θ＝60°，C点恰好处于PQ分界线上。PQ右侧有一长为L的平行板电容器，板间距为a，上极板与左侧磁场的上边界平齐，内部分布着方向垂直纸面向里、强弱随y坐标变化的磁场和竖直向下、电场强度大小为E的匀强电场。该复合场能使沿水平方向进入电容器的电子均能沿直线匀速通过电容器。在平行板电容器右侧某区域，存在一垂直纸面向里、磁感应强度为2B0的匀强磁场（图中未画出），使水平通过平行板电容器的电子进入该磁场后会聚于x轴上一点，现有速率不同的电子在纸面上从坐标原点O沿不同方向射到三角形区域，不考虑电子间的相互作用及电子的重力，已知电子的电量为e，质量为m。
（1）当速度方向沿y轴正方向时，求能进入平行板电容器的电子所具有的最大速度是多少；
（2）写出电容器内磁场的磁感应强度B随y坐标的变化规律；
（3）若电子沿上极板边缘离开电容器后立即进入右侧磁场，求会聚点的横坐标。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题11 动态圆和磁聚焦与磁发散问题
1.解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，利用动态圆思想寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。
2.粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。
3.常用的动态圆
示意图 适用条件 应用方法
放 缩 圆 (轨迹圆的圆心在P1P2直线上) 粒子的入射点位置相同，速度方向一定，速度大小不同 以入射点P为定点，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件
旋 转 圆 (轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上) 粒子的入射点位置相同，速度大小一定，速度方向不同 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件
平 移 圆 (轨迹圆的所有圆心在一条直线上) 粒子的入射点位置不同，速度大小、方向均一定 将半径为R＝的圆进行平移
题型2 磁聚焦与磁发散
磁聚焦与磁发散 轨迹圆半径等于区域圆半径 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射方向平行——磁聚焦，从边缘某点以不同方向入射时平行射出——磁发散
题型1 三类“动态圆”问题
（多选）（2024 雁塔区校级模拟）如图所示，O点是一个粒子源，能在平面内沿看各个方同均匀、持续地发射电荷量为q、质量为m、速度大小恒定的带正电粒子。半圆形区域内以及水平线MON以下存在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。半圆形区域半径为R，圆心为O，粒子从边界射出磁场的最远位置为P点，O、P之间的距离为2R，则（ ）
A．有三分之二的带电粒子射出磁场
B．从圆弧边界射出磁场的粒子在磁场中运动的时间为
C．粒子源发射粒子的速度大小为
D．从P点射出磁场的粒子在磁场中运动时间为
【解答】解：C、由粒子从边界射出磁场的最远位置为P，可知OP长度为粒子圆周运动的直径，故r＝R，由洛伦兹力提供向心力可知：，得，故C正确；
D、由C选项分析可知，从P射出磁场的粒子，在磁场中运动的时间满足：，而周期：，联立解得：，故D错误
B、由几何关系可知，从圆弧边界射出磁场的粒子，在磁场中运动的弦长都是R，由几何关系可知，其时间为：，而周期：，联立解得：，故B正确；
A、由几何关系可知，不能从磁场出去的粒子的临界情况如下图所示：
由圆形特点可知：α＝β＝30°，故从O点发射的粒子中，能出去的比例为：，故A错误。
故选：BC。
（多选）（2024 青山湖区校级模拟）如图所示，足够长的荧屏板MN的上方分布了水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。距荧屏板d处有一粒子源S，能够在纸面内不断均匀地向各个方向发射速度大小为，电荷量为q、质量为m的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子源发射粒子的总个数为n，则（ ）
A．粒子能打到板上的区域长度为
B．打到板上的粒子数为
C．从粒子源出发到板的最短时间为
D．同一时刻发射的粒子打到荧光板上的最大时间差为
【解答】解：A．粒子受到的洛伦兹力充当向心力
粒子运动到绝缘板的两种临界情况如图1
图1
设SC垂直于MN于C点，由几何关系可知，左侧最远处与S之间的距离恰好是圆的直径，则左侧最远处A离C距离为，右侧离C最远处为B，距离为d，所以粒子能打在板上的区域长度是，故A错误；
B．根据以上分析可知有一半的粒子能达到极板上，粒子源发射粒子的总个数为n，则打到板上的粒子数为，故B正确；
CD．在磁场中运动时间最长和最短的粒子运动轨迹示意如下图2
图2
粒子做整个圆周运动的周期
由几何关系可知，最短时间
粒子在磁场中最长时间
所以
，故C错误，D正确。
故选：BD。
（多选）（2024 四川模拟）如图所示，正方形MNPQ所围的区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，比荷的绝对值相等的带电粒子a、b、c以不同的速率v从O点沿纸面并垂直于PQ的方向射入磁场，图中实线是它们的运动轨迹。已知O点是PQ的中点，不计粒子重力及带电粒子间的相互作用，下列说法中正确的是（ ）
A．粒子c带正电，粒子a、b带负电
B．粒子b的速率最大
C．粒子c的运动周期最小
D．仅改变速率大小，可使粒子运动轨迹与MN相切
【解答】解：A、粒子a、b在磁场中顺时针偏转，粒子c在磁场中逆时针偏转，由左手定则判断，粒子c带正电，粒子a、b带负电，故A正确；
B、粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得：
qvB＝m
解得：v
三个粒子的比荷的绝对值相等，由题图可知粒子b的圆周运动半径最大，故粒子b的速率最大，故B正确；
C、粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T，可知三个粒子的运动周期相同，故C错误；
D、假设粒子运动轨迹能够与MN相切，作出粒子的运动轨迹如下图所示。
运动轨迹与MN相切的切点在磁场之外，故仅改变速率大小，不能使粒子运动轨迹与MN相切，故D错误。
故选：AB。
题型2 磁聚焦与磁发散
（多选）（2024 香坊区校级模拟）如图所示，圆心为O，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。M为磁场边界上一点，有无数个带电量为q（q＞0），质量为m的相同粒子（不计重力及粒子间相互作用）在纸面内向各个方向以相同的速率通过M点进入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子运动时间为，N为磁场边界上的另一个点，。下列说法正确的是（ ）
A．粒子从M点进入磁场时的速率为
B．从N点离开磁场的粒子运动时间为
C．若将磁感应强度的大小增加到，会有粒子沿ON方向从N点射出磁场
D．若将磁感应强度的大小减小为0.5B，劣弧MN的每一点都会有粒子射出
【解答】解：A.粒子在磁场中运动做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有
粒子做匀速圆周运动的周期为
联立解得
根据题意可知，粒子在磁场中运动的最长时间为
即轨迹对应的圆心角为
作出粒子运动的轨迹图像如图所示
根据几何知识有
根据牛顿第二定律有
联立解得
，故A错误；
B.从N点离开磁场的粒子运动的轨迹如图所示
根据几何知识有
解得
根据时间与周期的关系有
，故B正确；
C.作出粒子运动的轨迹图像如图所示
若将磁感应强度的大小增加到，根据牛顿第二定律有
解得
r2＝R
由图可知，O3N⊥O3M，即粒子沿ON方向从N点射出磁场，故C正确；
D.若将磁感应强度的大小减小为0.5B，根据牛顿第二定律
解得
粒子运动的直径为，大于从劣弧MN的每一点都会有粒子射出的最小直径，则劣弧MN的每一点都会有粒子射出，故D正确。
故选：BCD。
（多选）（2024 龙凤区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系xOy平面内存在两处磁感应强度大小均为B、方向垂直于xOy平面的匀强磁场，第一象限内的匀强磁场分布在三角形OAC之外的区域，方向向里，A、C两点分别位于x轴和y轴上，∠OAC＝30°，OC的长度为2R；第二象限内的匀强磁场分布在半径为R的圆形区域内，圆形区域的圆心坐标为（﹣R，R），圆形区域与x、y轴的切点分别为P、Q，第三、四象限内均无磁场。置于P点的离子发射器，能持续地从P点在xOy平面内向x轴上方180°范围内以恒定速率发射同种正离子，离子质量均为m，电荷量均为q；在y轴上放置一长度为2R的探测板CG，G和C分别为探测板的上下边缘，所有打到探测板上的离子都被板吸收。已知从P点垂直于x轴发射的离子恰好经过Q点进入第一象限，不计重力及离子间的相互作用。则（ ）
A．圆形区域内磁场的方向垂直于纸面向外
B．离子的发射速率
C．探测板CG上有离子打到的区域长度
D．从P点垂直于x轴发射的离子，从发射到第二次经过边界AC所用的时间为
【解答】解：A、从P点垂直于x轴发射的正离子恰好经过Q点进入第一象限，说明正离子在P点受到向右的洛伦兹力，由左手定则判断可得磁场方向垂直于纸面向外，故A正确；
B、设离子在圆形区域的磁场中做匀速圆周运动的半径为r，从P点到Q点的运动轨迹恰好是圆周，易知：r＝R
根据洛伦兹力提供向心力得：，解得：，故B正确；
C、因离子在圆形磁场中的轨迹半径均r＝R，满足磁发散模型的条件，故所有离子经过圆形磁场后均水平向右射出圆形磁场，之后穿过AC进入第一象限内的匀强磁场，离子在此磁场中的运动半径仍等于R。从C点进入第一象限的离子，恰好运动半个周期打到探测板的上边缘G点，如上图所示。
设从边界AC上的M点进入磁场的离子的轨迹恰好与探测板相切于D点，图中CF垂直于O2M，根据几何关系可得：
，
则探测板上有离子打到的区域长度为：，故C正确；
D、设离子在两磁场中圆周运动的周期为T，则有：
离子在圆形区域磁场中运动圆心角为90°，对应的运动瞬间为：
离子在两磁场之间做匀速直线运动的时间为：
离子在AC右侧的磁场中运动轨迹的圆心角为300°，对应的运动时间为：
则离子从发射到第二次经过边界AC所用的时间为：，故D错误。
故选：ABC。
（多选）（2024 龙岗区校级三模）如图所示，等腰直角三角形abc区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，直角边ac长度为L，磁感应强度大小为B。在c点有一粒子源，可沿纸面内各个方向射出质量为m、电荷量为+q的粒子，所有粒子不计重力、速度大小均为v0。其中从c点沿cb方向射入磁场的粒子，运动轨迹恰好垂直于边界ab射出磁场。关于粒子运动下列说法正确的是（ ）
A．粒子速度v0的大小满足
B．从ac射出的粒子在磁场中的运动时间都相同
C．从a点射出磁场的粒子在c点的速度方向与bc夹角为60°
D．所有从ab边界出射的粒子中在磁场中运动的最短时间为
【解答】解：A．根据题意，从c点沿cb方向射入磁场的粒子，运动轨迹恰好垂直于边界ab射出磁场，如图甲所示，由几何关系可知，a点为圆心，洛伦兹力提供向心力，有
且r＝L
解得
故A正确；
B．对于从ac射出的粒子，初速度方向不同，则在磁场中的轨迹对应的圆心角不同，故在磁场中的运动时间不同，故B错误；
C．粒子从a点射出磁场，根据题意，粒子的运动轨迹如图乙所示，由于粒子在磁场中轨迹半径r＝L，则三角形aOc为等边三角形，故有∠Oca＝60°，即粒子在c点的速度方向与bc夹角为60°，故C正确；
D．由题意可知，所有从ab边界出射的粒子中在磁场中运动，当弦长最短时，即弦与ab垂直时，在磁场中运动的时间最短，则最短时间的运动轨迹为弧线cd，如图丙所示，根据几何关系可知
根据几何关系解得
对应圆心角θ＜45°
可得
故D错误。
故选：AC。
（多选）（2024 东西湖区校级模拟）如图所示，纸面内有宽为L水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m，电荷量为﹣q，速率为v0，不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都会聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是（ ）。（其中B0，A、C、D选项中曲线均为半径是L的圆弧，B选项中曲线为半径是的圆）
A． B．
C． D．
【解答】解：带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得圆周运动的半径为：
A、C选项的磁感应强度B＝B0，可得：r＝L
B、D选项的磁感应强度B＝2B0，可得：r
作出部分粒子的运动轨迹如下图所示：
对于A、B选项粒子运动半径均与磁场弧形边界的半径相等，满足磁聚焦模型的条件，均可以使粒子都会聚到一点，如图A、图B所示。
对于C、D选项，部分粒子的运动轨迹由图C与图D所示，显然不能使粒子都会聚到一点，故AB正确，CD错误。
故选：AB。
（多选）（2024 温江区校级三模）如图所示，边长为2L的等边三角形ABC内有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为﹣q的带电粒子从D点以不同的速率平行于BC边方向射入磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子可能从B点射出
B．若粒子从C点射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为L
C．若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为
D．若粒子从AB边射出，则粒子在磁场中运动的时间相同，且时间最长
【解答】解：A.带负电的粒子从D点以某一速度平行于BC边方向射入磁场，由左手定则可知，粒子向下偏转，由于BC边的限制，粒子不能到达B点，故A错误；
BC.粒子从C点射出，如图1所示
根据几何关系可得
R2＝（R﹣Lsin60°）2+（2L﹣Lcos60°）2
解得RL
则粒子轨迹对应的圆心角的正弦值为sin∠DOC，所以∠DOC＝60°，根据粒子在磁场中运动时间和周期的关系有，粒子在磁场中运动的时间为
故B错误，C正确；
D.根据牛顿第二定律，
qvB0＝m
可得
若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，轨迹半径越大，如图2所示
粒子从AB边射出时的圆心角相同且为180°，是最大的圆心角，根据
可知粒子在磁场中运动的周期相等，则其在磁场中运动的时间相同，且时间最长，故D正确。
故选：CD。
（2024 洪山区校级模拟）如图所示，在xOy平面有一圆形有界匀强磁场，圆心坐标为（0，﹣R），半径为R，磁场方向垂直于纸面向里。在第二象限从y＝﹣R到y＝0的范围内存在沿x轴正向匀速运动的均匀带电粒子流。粒子速率为v0，质量为m，带电量为+q，所有粒子在磁场中偏转后都从O点射出，并立即进入第一象限内沿y轴负方向的匀强电场，经电场偏转后，最终均平行于x轴正向射出电场（沿y轴正向入射的粒子除外），已知电场强度为E，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。
（1）求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（2）电场外有一收集板PQ垂直于x轴放置，Q点在x轴上，PQ长度为R，不计PQ上收集电荷的影响，求PQ收集到的粒子数占总粒子数的比例；
（3）第一象限电场的边界方程。
【解答】解：（1）沿半径射入的粒子在磁场中偏转后经过O点，故粒子在磁场中偏转半径为R，即
解得
（2）设打在P点的粒子从磁场中射出方向与x轴正向夹角为θ，如图
粒子在电场中运动加速度为a，有
y轴方向上
得，则θ＝60°
由几何关系可知，从O点射出角度小于θ的粒子均可被PQ收集到，该粒子射入磁场时到x轴的距离为
因此在收集到的粒子数占总数比例为
代入得η＝50%
（3）设某粒子以与x轴夹角α射入电场，然后平行于x轴正向从点（x，y）射出电场，则飞行时间
y轴方向上的位移
x轴方向上的位移x＝v0cosαt
整理得
则电场的边界方程为 为椭圆的一部分。
答：（1）质子速度v0为 时，有四分之三的质子能打到极板；
（2）PQ收集到的粒子数占总粒子数的比例50%；
（3）第一象限电场的边界方程。
（2024 郫都区校级二模）如图所示，一半径为R的圆与x轴相切于原点O，圆内有直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大为B。与x轴垂直的竖直虚线与磁场最右端相切，其右侧的第Ⅰ象限内存在沿﹣y方向的匀强电场。现有一束比荷为的带正电粒子沿着+y方向从原点O射入磁场，粒子离开磁场时方向沿x轴正方向，进入电场后，经电场偏转打到x轴上坐标为（3R，0）的点，不计粒子的重力，求：
（1）粒子射入磁场时的速度；
（2）电场强度的大小；
（3）若仅使从O点射入的带电粒子初速度方向与﹣x轴方向成30°角，求粒子从O点出发到再次打到x轴上所用的时间。
【解答】解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹为圆周，轨迹半径等于圆形磁场区域的半径R，由洛伦兹力提供向心力得：
qBv＝m
解得：v；
（2）粒子进入电场做类平抛运动，沿﹣y方向做匀加速直线运动，其位移大小等于R；沿+x方向做匀速直线运动，其位移大小等于3R﹣R＝2R，则有：
Rat2
2R＝vt
由牛顿第二定律得：a
联立解得：E；
（3）粒子运动轨迹如下图所示：
粒子的在磁场中轨迹半径与圆形磁场区域的半径相等，由几何关系可得，粒子在P点离开磁场时的速度方向沿x轴正方向，粒子由O到P做圆周运动的圆心角为180°﹣30°＝150°，粒子在磁场中的运动周期为：
T
粒子在磁场中的运动周期为：
t1
粒子由P到M的过程做匀速直线运动，设此过程运动时间为t2，则有：
R﹣Rsin30°＝vt2
解得：t2
粒子由M点进入电场，由M到N的过程做类平抛运动，设此过程运动时间为t3，沿﹣y方向做匀加速直线运动，其位移大小等于R+Rcos30°，则有：
R+Rcos30°at32
由牛顿第二定律得：a
联立解得：t3
则粒子从O点出发到再次打到x轴上所用的时间为：
t＝t1+t2+t3。
答：（1）粒子射入磁场时的速度为；
（2）电场强度的大小为；
（3）粒子从O点出发到再次打到x轴上所用的时间为。
（2024 邢台二模）如图所示，直角坐标系第一象限内有一竖直分界线PQ，PQ左侧有一直角三角形区域OAC，其中分布着方向垂直纸面向里、磁感应强度为B0的匀强磁场，已知OA与y轴重合，且OA＝a，θ＝60°，C点恰好处于PQ分界线上。PQ右侧有一长为L的平行板电容器，板间距为a，上极板与左侧磁场的上边界平齐，内部分布着方向垂直纸面向里、强弱随y坐标变化的磁场和竖直向下、电场强度大小为E的匀强电场。该复合场能使沿水平方向进入电容器的电子均能沿直线匀速通过电容器。在平行板电容器右侧某区域，存在一垂直纸面向里、磁感应强度为2B0的匀强磁场（图中未画出），使水平通过平行板电容器的电子进入该磁场后会聚于x轴上一点，现有速率不同的电子在纸面上从坐标原点O沿不同方向射到三角形区域，不考虑电子间的相互作用及电子的重力，已知电子的电量为e，质量为m。
（1）当速度方向沿y轴正方向时，求能进入平行板电容器的电子所具有的最大速度是多少；
（2）写出电容器内磁场的磁感应强度B随y坐标的变化规律；
（3）若电子沿上极板边缘离开电容器后立即进入右侧磁场，求会聚点的横坐标。
【解答】解：（1）根据题意可知，由洛伦兹力提供向心力，有
解得
可知能从OC边出磁场的电子，当运动轨迹和AC相切时半径最大，故半径最大值
rm＝a
所以能从OC边出磁场的电子所具有的最大速度
（2）根据题意，画出从y处水平进入平行板间的粒子的运动轨迹，如图1所示
图1
由几何关系可得，运动半径
r＝2y
可得
解得
电子均能沿直线匀速通过电容器，则有
eE＝evB
解得
（3）水平进入右侧磁场，因磁感应强度为2B0，所以运动半径为
R＝y
磁场左边界为倾角45°的斜线，如图2所示
图2
由几何关系可得，会聚点横坐标
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
