河北省保定市2016届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题 Word版

2016年高三第一次模拟考试
理科数学试题（A卷）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.等比数列中，，则（ ）
A. 8 B. C. D. 16
3. 设为复数的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
4.设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为（ ）
A. B. C. D.
5.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出S的值为（ ）
A. 16 B. 19 C. 34 D. 50
6.若二项式的展开式中的常数项为，则（ ）
A. 24 B. 3 C. 6 D. 2
7.已知点P是函数图象与轴的一个交点，A,B为P点右侧距离点P最近的一个最高点和最低点，则（ ）
A. B. C. D.
8.设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则（ ）
A. B. C. 或 D.
9.已知函数，则的大小关系是
A. B.
C. D.
10.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，若数列满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B. 5 C. 4 D.
12.在平面内，点A,B,C分别在直线上，且（在与之间），与之间距离为，与之间距离为，且，则的面积最小值为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题至第24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.某校高一、高二、高三，三个年级的学 ( http: / / www.21cnjy.com )生人数分别为2000人、1500人和1000人，现采用按年级分层抽样的方法了解学生的视力状况，已知高一年级抽查了60人，则这次调查三个年级共抽查了 人.
14.若直线上存在点满足约束条件 ( http: / / www.21cnjy.com )，则直线的倾斜角的取值范围为 .
15.有5盆互不相同的菊花，其中2盆为白色 ( http: / / www.21cnjy.com )，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花在中间，白菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有 种不同的摆放发方法（用数字作答）.
16.在平面直角坐标系中，已知三个点列，其中，满足向量与向量共线，且，则 .（用表示）
三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）
17.（本小题满分12分）
已知中，内角A,B,C的对边分别为，且，
（1）求；
（2）若，求.
18.（本小题满分12分）
某大学开设甲、乙、丙三门选修课供学生任意选修（也可不选），假设学生是否选修哪门课彼此互不影响.已知某学生只选修甲一门课的概率为，选修甲和乙两门课的概率为，至少选修一门的概率是.
（1）求该学生选修甲、乙、丙的概率分别是多少？
（2）用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积，求的分布列和数学期望.
19.（本小题满分12分）
如图，三棱锥的棱长均为，将平面沿旋转至平面，且使得AP//平面BCD.
（1）求二面角的余弦值.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的一个顶点，离心率，圆，从圆C上任意一点P向椭圆T引两条切线
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：
21.（本小题满分12分）
已知函数
（1）若函数在上有最大值，求取值范围；
（2）若，，且.
求证：①
②
（提示：）
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4——1；几何证明选讲
如图，已知圆内接四边形ABDC满足AC=BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点.
（1）求证：
（2）若，求BC的长.
23.（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程
平面直角坐标系中，直线的参数方程为 ( http: / / www.21cnjy.com )（为参数），圆C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线和圆的极坐标方程；
（2）设直线和圆相交于两点，求弦AB与其所对劣弧所围成的图形面积.
24. （本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲
设
（1）解不等式
（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
理科数学答案
一、选择题：A卷:CCADD ABAAC BB；
二、填空题：13、135 14、 15. 16 16、
三、解答题：
17、（Ⅰ）解:
---------------------------------------3分
根据余弦定理得：
----------------------7分
（Ⅱ） ，,
,，-----------------------------------------------------10分
又，
----------------------------------------12分
18、解：（1）设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z
由题意知 ( http: / / www.21cnjy.com ) ---------------------4分
解之得 ---------------------6分
（2）依题意知-------------------------------------------------------------7分
--------------------9分
所以
【或：仅仅选甲的概率为0.08，仅仅选乙概率为0.18，仅仅选丙的概率为0.12，合计为0.38，同样仅仅不选甲、仅仅不选乙、仅仅不选丙的概率和也为0.38，故-----------9分】
则的分布列为
0 2
P
∴的数学期望为 ---------------------12分
19、解：（Ⅰ）取CD中点E，连接AE，PE
三棱锥A-BCD各棱长均为
,,
为二面角A-CD-P的平面角. ---------------------2 分
又∵ ，
∥
-----------------------------------------4分
∴
∴
所以二面角A-CD-P的余弦值为 --------------------------------------------------6 分
(Ⅱ) 过A作AO,连接OP，由得AP∥BE,
因为BO=BE-EO=3-3
所以AP=BO
四边形ABOP为平行四边形，AB∥OP
为直线AB与平面PCD所成的角---------------------------------------------9 分
OP=AB=,PE=3,OE=1
----------------------------------------------10 分
直线AB与平面PCD所成的角的正弦值为. ------------- -------------------------12分
空间向量法
解：（Ⅰ）如图过A作平面BCD的垂线，垂足为O，过O作CD的平行线MN
以O为原点，以直线MN为x轴，直线OB 为y轴，直线OA为z轴，建立空间直角坐标系.
三棱锥A-BCD棱长均为，则,,,---------------3分
设平面ACD的法向量
,
令，则 --------- -------------------------5分
设平面PCD的法向量
,
令，则 ------------------ --------------7分
由图可知二面角A-CD-P为锐二面角
所以 二面角A-CD-P的余弦值为. ----------------------------------------8分
(Ⅱ),
又因为平面PCD的法向量
令直线AB与平面PCD所成的角为
直线AB与平面PCD所成的角的正弦值为. ------------------------- -------------------------12分
20、解：（Ⅰ） 由题意可知：，
椭圆方程为： --------------------------4分
（Ⅱ）法1：(1) 当P点横坐标为时，PM斜率不存在，PN斜率为0，----------5分
(2) 当P点横坐标不为时，设P,则,设
的方程为,联立方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )
消去y得： ------6分
依题意：
即 -------------------8分
化简得：
又为方程的两根
-------------------------12分
法2：(1) 当P点横坐标为时，PM斜率不存在，PN斜率为0，----------5分
(2) 当P点横坐标不为时，设P,切线方程为
( http: / / www.21cnjy.com )
联立得： ------6分
令
即 -------------------8分
化简得：
-------------------------12分
21、解：（1）
设
①时，，，在定义域内单调递增，在内无最大值 ----------------------------2分
②时，令，得 ，
，， ， -----------------------4分
为极大值点，当时，函数有最大值.
解之得：
时函数有最大值. -----------------------------5分
（Ⅱ）证明：①因为 ------7分
在单调递增.
，
所以
-----------------------------9分
②
=
=
=
-------------------------12分
22、证明（Ⅰ） -----------------------2分
又EC为圆的切线，, --------------------------5分
（Ⅱ）EC为圆的切线,,
由（Ⅰ）可得 -------------------------7分
∽ , ------------------------10分
23解：（Ⅰ）求直线l的普通方程为 （1） -----------------------1分
将代入（1）得
化简得直线l的方程为 ---------------------3分
圆C的极坐标方程为 ----------------------5分
（Ⅱ） ( http: / / www.21cnjy.com ) 解之得：A(2,0) , B(2,) ----------------------6分
, ----------------------8分
----------------------10分
24.解：（Ⅰ）（1）当时，原不等式可化为
解之得：
---------------------1分
（2）当时，原不等式可化为
解之得：
---------------------2分
（3）当时，原不等式可化为
不等式恒成立
---------------------3分
综上：不等式的解集为 ---------------------5分
（Ⅱ）解：当时， 恒成立， ---------------------6分
当时，原不等式可化为
---------------------8分
解之得： ---------------------10分
E
O
A
B
C
D
P
x
y
z
E
O
A
B
C
D
P