广东省清远市清新区四校联考2024-2025学年高二上学期12月期末模拟试题 数学（含答案）

1
清新区2024～2025学年高二12月期末四校联考
数学试题
满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、单选题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.）
1. 已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（ ）
A. B. C. －2 D. 2
2. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为12，则四边形面积的最大值为（）
A. B. C. D.
3. 已知直线：与抛物线相交于A、B两点，则的长为（）
A5 B. 6 C. 7 D. 8
4. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
6. 已知函数的图象在处的切线方程为，则（）
A. 的单调递减区间为，单调递增区间为
B. 的单调递减区间为，单调递增区间为
C. 的单调递减区间为，单调递增区间为
D. 的单调递减区间为，单调递增区间为
7. 已知点到点的距离与到直线相等，且点的纵坐标为12，则的值为（）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
8. 点在直线上，且点到直线的距离为，则点坐标为（）
A B.
C. 或 D. 或
二、多选题（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.每题至少两项是符合题目要求的.全部选对得6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9. （多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（　　）
A. B.
C. D.
10. 已知点P在圆C：上，点A（4，0），B（0，2），当∠PBA最小时，记直线PB斜率为k1，当∠PBA最大时，记直线PB的斜率为k2，则（）
A. B.
C. 三角形PAB的面积小于 D. 三角形PAB的面积大于
11. 下列说法正确的是（）
A. 过点且垂直于直线的直线方程为
B. 过点且在x、y轴截距相等的直线方程为
C. 曲线过点最短弦长为；
D. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，试用表示经过两点直线倾斜角_____．
13. 已知等比数列的前n项和为，，则数列的公比__________．
14. 若双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线方程是，则该双曲线的标准方程是__________.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
16. 已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点.
（1）求线段的中点的轨迹方程；
（2）经过点的另一条直线交抛物线于，两点，连接，设经过且平行于的直线交轴于点，求证：，，在同一条直线上.
17. 点F是抛物线焦点，O为坐标原点，过点F作垂直于x轴的直线l，与抛物线相交于A,B两点，，抛物线的准线与x轴交于点K．
（1）求抛物线的方程；
（2）设C,D是抛物线上异于A,B两点的两个不同的点，直线相交于点E，直线相交于点G，证明：E,G,K三点共线．
18. 如图，三棱锥中，平面平面，，点分别是棱的中点，点是的重心.
（1）证明：平面；
（2）若为正三角形，求平面与平面夹角的余弦值.
19. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为．
（1）求椭圆的方程：
（2）过点的直线（不过原点）与椭圆交于两点、，为线段的中点．求面积的最大值及此时的斜率．
清新区2024～2025学年高二12月期末四校联考
数学试题
一、单选题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.）
1.
【答案】B
2.
【答案】A
3.
【答案】D
4.
【答案】D
5.
【答案】D
6.
【答案】B
7.
【答案】D
8.
【答案】C
二、多选题（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.每题至少两项是符合题目要求的.全部选对得6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9.
【答案】AB
10.
【答案】ABC
11.
【答案】AC
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15.
【解析】
【分析】（1）取的中点G，连接，，利用线线平行证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面夹角正弦值.
【小问1详解】
证明：取的中点，连接，，
因为F，G分别为，的中点，
所以，，
又E为的中点，，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
解：在直三棱柱中，平面，
又平面，平面，
所以，，又，
故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则令得，，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成的角的正弦值为.
16.
【解析】
【分析】（1）令，联立抛物线并应用韦达定理求得、，写出线段的中点坐标，即可得轨迹方程；
（2）令，，同（1）求得，，根据点在抛物线上、点差法求得，
写出直线并求坐标，应用两点式并假设推出矛盾，即可证结论.
【小问1详解】
由题意，令，联立抛物线得，
若，则，，
所以，
而线段的中点坐标为，
所以中点的轨迹方程.
【小问2详解】
令，，同（1）可得，，
由且，则，即，
可设，令，则，即，
所以，，
若，即，
所以
所以，
，
，显然与矛盾，
综上，不成立，故，即，，在同一条直线上.
17.
【解析】
【分析】（1）根据题意易得，代入抛物线求得，即可得方程；
（2）由（1）得，准线为，，设应用点斜式分别写出直线AC,BD,AD,BC，求交点E,G坐标，利用斜率公式判断共线即可.
【小问1详解】
由题意，得，因为，轴，
不妨设，代入抛物线，得，
所以抛物线的方程为；
【小问2详解】
由（1）知：，准线为，，
设
直线AC为①，
直线BD为②，
联立①②，解得，即，
直线AD为③，
直线BC为④，
联立③④，解得，即，
直线EK的斜率，
直线GK的斜率，
则直线EK的斜率与直线GK的斜率相同，所以E、G、K三点共线.
18.
【解析】
【分析】（1）由面面平行的性质定理证明
（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解
小问1详解】
连接，连接并延长交于点，则点为的中点，
从而点分别是棱的中点，
又平面平面，
平面平面.
又平面，
平面平面，
又平面平面.
【小问2详解】
连接是的中点，，
平面平面，平面平面，
平面平面.
连接并延长交于点，则为的中点，
连接，则平面.
为正三角形
同理可得面，则如图建立空间直角坐标系
设.
，
则.
，
设平面的一个法向量为，
则，可取，
又平面的一个法向量为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19.
【解析】
【分析】（1）由题意列出关于方程，求出，进而求出椭圆方程；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，求出弦长，点到直线距离，表达出的面积，用基本不等式求出最大值及此时直线的斜率.
【小问1详解】
设椭圆上的点坐标为，，则点D到焦点距离为，当时，取得最大值，由题意知：
∴，∴椭圆C的方程为．
【小问2详解】
显然，直线的斜率存在，
设直线方程为，，，
联立直线与椭圆方程得：，
原点到直线的距离为，所以
，
令，．∴，
当且仅当时等号成立，此时，且满足，
∴面积的最大值是，此时的斜率为．
PAGE
第1页