山东省青岛市第二中学2024-2025学年高一上学期12月段考数学试卷（PDF版，含答案）

山东省青岛市第二中学 2024-2025 学年高一上学期 12 月段考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
7
1.下列与角 的终边相同的角的表达式中正确的是( )
6
7
A. 2 + ( ∈ ) B. 360° ( ∈ )
6 6
5
C. 360° 210°( ∈ ) D. + ( ∈ )
6
2.下列四组函数中，表示相同函数的一组是( )
A. ( ) = 22 与 ( ) = 2 2
4
B. ( ) = √ 3与 ( ) = √ 6
( 1)( +2)
C. ( ) = 与 ( ) = + 2( ≠ 1)
1
D. ( ) = √ 1 √ + 1与 ( ) = √ 2 1
1
3.函数 ( ) = √ 2 + 的定义域为( )
ln(6 ) 1
A. [2,6) B. { |2 ≤ < 6，且 ≠ 5}
C. { |2 ≤ < 6 } D. { |2 ≤ < 6，且 ≠ 6 }
2 ( + )
4.已知幂函数 ( ) = ( 2 4 + 4) 2 在区间(0, +∞)上单调递减，则函数 ( ) = log (0 < <
1)的图象过定点( )
A. (0, 1) B. (1,0) C. (2,1) D. (3, 1)
5.中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，
记 的长为 1 ， 的长为 2 = 12 ，若 1： 2 = 3：1， = 8 ，则扇
环的面积为( ) 2．
128 160
A. 128 B. C. D. 192
3 3
1
6.若 = log34，4
= 5， = 0.2 2，则 ， ， 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
7.已知函数 ( ) = |ln( 1)|，则( )
A. 函数 = ( + 1)的图象关于 轴对称 B. 函数 = ( )在(1, )上单调递减
C. 若 ( ) = ( )( ≠ )，则 = + D. 函数 = ( ) +1有两个零点
8.已知函数 = ( ) 1是定义在[ 1,1]上的奇函数， = ( ) 是定义在[ 1,1]上的为偶函数，(
为自然对数的底数， ≈ 2.71828 … )，则函数 ( ) = [ ( )]2 + ( 1)的值域为( )
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1 2 2
A. [5 + , 2 + 2 + 3] B. [ 22 + + 2, + 2 + 3]
2 2 1 1
C. [ 2 + + 2,5 + ] D. [5 + , +∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，其中错误的是( )
A. 已知 (√ 1) = + 1，则 ( ) = 2 + 2
B. 若角 为锐角，则角2 为钝角
C. 函数 = ln( 2 + + )的值域为 ，则实数 的取值范围是[0,1]
D. 正数 ， 满足 + 2 = 2，则(1 + log2 ) log2 的最大值为1
10.对于函数 = ( )，若在定义域内存在实数 ，满足 ( ) = ( )，则称 = ( )为“弱原点对称函数”.
[ 2( + 1)]
2 + 2 1( + 1) 3,1 ≤ < 7
已知函数 ( ) = { 2 是定义域内的“弱原点对称函数”，则实
2, 7 < ≤ 1
数 的可能取值有( )
5 4
A. 1 B. 0 C. D.
4 3
11.已知连续函数 = ( )满足：
① ， ∈ ，都有 ( + ) = ( ) + ( ) 1；
②当 > 0时，恒有 ( ) < 1；
③ (1) = 2．
则以下说法正确的是( )
A. (0) = 1
B. (6 ) = 6 ( ) 5
C. 函数 = ( )在区间[ 4,4]上的最大值为10
1
D. 不等式 (2 2) ≥ (3 ) + 2 ( ) + 4的解集为[ , 2]
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 = 9 + 3 +1 2， ∈ [0,1]的值域是______．
1
13.不等式log ( 21 2 ) ≥ log3 的解集为______． 27
3
1
5( ) + 1, > 0
14.已知函数 ( ) = { 2 ， ( ) = 2 2 + 6，若 = ( ( ))有6个零点，则实数 的取
| 2 + 6 + 8|, ≤ 0
值范围为______．
四、解答题：本题共 4 小题，共 47 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题10分)
3 1 √ 2
(1)计算√ √ 2 + 21+√ 2 × ( ) 3 + 22 4(1 √ 2)
2
+ 49 × 8的值； 2 8 3√ 2
(2)已知点( 1,0)在函数 = 2 ( 2) 3的图象上，求 ≥ 0的解集．
16.(本小题10分)
伴随着天气转凉，进入到秋冬季传染病高发期，学校购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒.已知在一
定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的消毒剂浓度 (单位：毫克/立方米)随着时间 (单位：小
8
1,0 ≤ ≤ 4
时)变化的关系如下： = {6 ，若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放
1
5 , 4 < ≤ 10
2
的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才
能起到杀灭空气中病毒的作用．
(1)若一次喷洒2个单位的消毒剂，则有效杀灭时间最长可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒 (1 ≤ ≤ 4)个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能
够持续有效消毒，试求 的最小值．
17.(本小题12分)
2 1
已知函数 ( ) = 是定义在 上的奇函数． 2 +1
(1)求实数 的值；
(2)判断函数 = ( )的单调性(无需证明)，并求函数 = ( )的值域；
(3)不等式 ( 4 1) + (2 4 × 2 ) < 0对 ∈ [ 1,1]恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题15分)
定义：若函数 = ( )对定义域内的每一个值 ，在其定义域内都有唯一的 0使 ( ) ( 0) = 1成立，则称该
函数 = ( )为“伴随函数”．
(1)若函数 ( ) = 2 3 + 2，判断函数 = ( )是否为“伴随函数”，并说明理由；
(2)若函数 ( ) = 2025 2在定义域[ , ]上为“伴随函数”，求 + 的值；
1 1
(3)已知函数 ( ) = ( )2( ≤ 3)在[ , 4]上为“伴随函数”，若 ∈ [ , 4]， ∈ (1, +∞)，恒有 ( ) ≤
4 4
4 + √ 2 +
2 2 ，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】[2,16]
13.【答案】{ |1 2√ 7 ≤ < 0或2 < ≤ 1 + 2√ 7}
7 7 35
14.【答案】(√ 6, ) ∪ ( , ]
2 2 8
3 1 √ 2 2
15.【答案】解：(1)√ √ 2 + 21+√ 2 × ( ) 3 + 22 4(1 √ 2) + 49 × √ 28 2 8 3
√ 3 2√ 2= + 21+√ 2 × 2 √ 2 + 2 2(3 2√ 2)
1
+ log23 × 2
3
2 √ 2 3
√ 2 1 3
= + 2 + 3 2√ 2 +
√ 2 √ 2
= 6 √ 2；
(2)因为点( 1,0)在函数 = 2 ( 2) 3的图象上，
所以 + 2 3 = 0，即 + = 5，
则 = 2 (3 ) 3 ≥ 0可化为( 3)( + 1) ≥ 0，
当 = 0时，解得 ≤ 1，
3
当 ≠ 0时， ( )( + 1) ≥ 0，

3
当 > 0时，解得 ≥ 或 ≤ 1，

3
当 < 0时，可化为( )( + 1) ≤ 0，

3
当 < 3时，解得 1 ≤ ≤ ，

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当 = 3时，解得 = 1，
3
当 3 < < 0时，解得 ≤ ≤ 1，

故 = 0时，解集为{ | ≤ 1}，
3
当 > 0时，解集为{ | ≥ 或 ≤ 1}，

3
当 < 3时，解集为{ | 1 ≤ ≤ }，

当 = 3时，解集为{ 1}，
3
当 3 < < 0时，解集为{ | ≤ ≤ 1}.

8
16.【答案】解：(1)当0 ≤ ≤ 4时， = 1为增函数，
6
1
当4 < ≤ 10时， = 5 为减函数，
2
当一次喷洒2个单位的消毒剂，
0 ≤ ≤ 4 4 < ≤ 10
设{ 8 或{ 1 ，
2( 1) ≥ 4 2(5 ) ≥ 4
6 2
10
解得： ≤ ≤ 4或4 < ≤ 6，
3
10
即 ≤ ≤ 6，
3
10 8
又6 = ，
3 3
8
即有效杀灭时间最长可达 小时；
3
(2)设从第一次喷洒起，经过 (6 ≤ ≤ 10)小时后浓度为：
1 8 8 8
( ) = 2(5 ) + [ 1] = 10 + = 12 + 2，
2 6 ( 6) 12 12
8
因为6 ≤ ≤ 10，所以12 > 0，所以12 + 2 ≥ 4√ 2 2，
12
8
即 ( ) ≥ 4√ 2 2，当且仅当12 = ，即 = 12 2√ 2 时取等号；
12
又因为0 ≤ ≤ 4，所以6 < 12 4√ 2 ≤ 12 4√ 2 ≤ 12 2√ 2 < 10，满足6 ≤ ≤ 10，等号成立；
2
所以4√ 2 2 ≥ 4，即 4√ 2 + 6 ≤ 0，设√ 2 = ，则 = ，
2
不等式化为 2 8 + 12 ≤ 0，解得2 ≤ ≤ 6，即2 ≤ √ 2 ≤ 6，解得2 ≤ ≤ 18；
综上， 的取值范围是[2,4]，即 的最小值是2．
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2 1
17.【答案】解：(1) ∵ ( ) = 是定义在 上的奇函数， 2 +1
2 1
∴ (0) = 0，得 = 1，经检验，当 = 1时， ( ) = 是定义在 上的奇函数，∴ = 1； 2 +1
(2) = ( )在 上单调递增，
2 1 2
由(1)知， ( ) = = 1 ， 2 +1 2 +1
∵ 2
2 2
∈ (0, +∞)，2 + 1 ∈ (1, +∞), ∈ (0,2),1 ∈ ( 1,1)， 2 +1 2 +1
∴ = ( )的值域为( 1,1)；
(3) ∵ ( )是奇函数，
∴ ( 4 1) + (2 4 × 2 ) < 0可化为 ( 4 1) < ( 2 + 4 × 2 )，
又 ( )单调递增，
∴ 4 1 < 2 + 4 × 2 对 ∈ [ 1,1]恒成立，
4×2 +1 1
即 < 对 ∈ [ 1,1]恒成立，令 = 2 ， ∈ [ , 2]， 4 +2 2
4 +1 4 +1
则 < 2 = +2 1 2 1 33， (4 +1) (4 +1)+
16 8 16
令 = 4 + 1， ∈ [3,9]，
1
则 < 33 1恒成立，
+
16 16 8
33 1
又 = + 在[3, √ 33]上单调递减，在[√ 33, 9]上单调递增，
16 16 8
3
故 = 3时， 取得最大值 ，
4
4
故 < ，
3
4
故 的范围为{ | < }.
3
18.【答案】解：(1) = ( )不是伴随函数，理由如下：
令 = 1， ( ) = (1) = 0，
所以不存在 0，使得 ( ) ( 0) = 1成立，
所以 = ( )不是伴随函数；
(2)因为函数 ( ) = 2025 2在定义域[ , ]上单调递增且为“伴随函数”，
则存在 1 ∈ [ , ]，使得 ( ) ( 1) = 1成立，
若 1 ∈ [ , )，则( ) ( 1) = 1 < ( ) ( )；
根据题意，存在 2 ∈ [ , ]，使得 ( ) ( 2) = 1成立，
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若 2 ∈ ( , ]，则( ) ( 2) = 1 > ( ) ( )，矛盾，
故 = ， = ， ( ) ( ) = 2025 21 2 2025
2 = 1，
所以 + 4 = 0， + = 4；
1
(3)若 ≤ ≤ 3，
4
1
则当 ∈ [ , 4]时， ( )
4
= ( ) = 0，
1
此时不存在 0 ∈ [ , 4]，使 ( ) ( 0) = 1成立， 4
即此时 ( )不是伴随函数．
1
所以 < ，
4
1
则 ( )在[ , 4]上单调递增，
4
1 1
( ) 2 2 = ( ) = ( ) ， ( ) = (4) = (4 ) ， 4 4
1
由(2)知( )2(4 )2 = 1，
4
1
又因为 < ，
4
1
所以( )(4 ) = 1，得 = 0．
4
1
所以 ( ) = 2， ∈ [ , 4]，
4
4 4
所以 4 + √ 2 = + ≥ 2√ = 4， ln√ 2 ln√ 2
4
当且仅当 = ，即 = 2时，等号成立，
ln√ 2
1
因为 ∈ [ , 4]， ∈ (1, +∞)恒有 ( ) ≤ 4 + + 2 √ 2 2 ， 4
所以 ( ) ≤ ( 2 4 + √ 2 ) + 2 ，
即 2 ≤ 4 + 2 2 ，
整理得( 1) 2 ≤ 4 2 ，
2 2
所以 ≤ [( )2 + 1] ，

2
令 = ，

1 1
因为 ∈ [ , 4]，所以 ∈ [ , 8]，
4 2
1 3 1
所以 = 2 + 1 = ( )2 + 在[ , 8]上单调递增，
2 4 2
第 7 页，共 8 页
1 3
所以当 = 8时，[( )2 + ] = 57， 2 4
所以 ≤ 57．
所以实数 的取值范围为( ∞, 57]．
第 8 页，共 8 页