2024-2025学年河南省顶级名校高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省顶级名校高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
3.下面命题正确的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，，则
4.“”是“”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.函数的图象( )
A. 关于原点对称 B. 关于直线对称
C. 关于轴对称 D. 关于轴对称
6.设定义在上的函数对任意实数，满足，且，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上的最大值为，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，已知，则函数的值可能为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知不等式的解集为，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 命题“，”的否定是“，”
C. ””是“”的必要条件
D. “”是“关于的方程有一正一负两个根”的充要条件
11.设正实数，满足，则( )
A. 的最大值是 B. 的最小值是
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知命题：，，若命题是假命题，则的取值范围为______．
13.已知，则 ______．
14.已知在上递减的函数，且对任意的，，总有，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求值：．
求值；．
已知集合，若，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数，求函数的定义域；
求的值域；
已知，求的解析式．
17.本小题分
已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．
求函数，的解析式；
写出函数的增区间直接写出结果，不必写出求解过程；
若函数，，求函数的最小值．
18.本小题分
已知定义域为的函数是奇函数．
求，的值；
判断在上的单调性，并证明；
若存在，使成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数，其中．
当时，求的值域；
函数能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数的范围；如果不能，则给出理由；
在其定义域上恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：原式；
原式；
集合，，，
则，
故的取值范围为．
16.解：函数，令，则，
所以，可得，解得，
所以的定义域为，
令，解得，
即函数的定义域为；
令，可得，
所以，，开口向上，对称轴，
所以当时，函数取到最小值，即，
可得函数的值域为；
因为，
所以，．
17.解：若，则，
当时，是偶函数且，
，
则，，
综上．
作出的图象如图：
则函数的增区间为和，
当时，即，
当时，即，，
当时，即，，
综上：．
18.解：因为定义域为的函数是奇函数，
所以，即，
因为恒成立，
所以，
即，
所以，即，
故，；
在上单调递减，证明如下：
由得，
任取，则，，，
则，
所以，
所以在上单调递减；
若存在，使成立，
则存在，使，
所以在上有解，
所以在上有解，
所以
根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值，
故
所以的取值范围为．
19.解：当时，，
则时，；当时，，
则的值域为，
若函数在定义域上单调，
当时，因在上函数单减，则单调递减，
则满足，解得，
当时，函数无单调性，不符合题意，
当时，因在上函数单增，则单调递增，
则满足，解得，
综上所述，若使函数为定义域上的单调函数，实数的范围为，
由在其定义域上恒成立，即，
化简得恒成立，
当时，由，
令，，
由对勾函数单调性知，函数在时，取最大值，则，
当时，满足，即，
综上所述，在其定义域上恒成立，实数的取值范围为．
第1页，共1页