湖南省岳阳市临湘市2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

湖南省岳阳市临湘市 2024-2025 学年高一上学期 12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,2}， = { 1,0,1,2,3}，则 ∩ =( )
A. {0,2} B. {1,2} C. {1} D. {2}
2.关于 的不等式 2 + 8 + 28 < 0的解集是{ | 7 < < 1}，则实数 的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.设 ： > √ 2， ： 2 > 2，则 是 成立的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3 +2
4.已知 > 0， > 0，且 = 1，则2 + 3 的最小值为( )

A. 25√ 6 B. 25 C. 19√ 6 D. 19
5.已知某扇形的半径为4 ，圆心角为2 ，则此扇形的面积为( )
A. 32 2 B. 16 2 C. 8 2 D. 4 2
+
6.已知关于 的不等式 2 + + ≥ 0的解集为[ 2,3]，则 ≥ 0的解集为( )

1 1
A. [ , ] B. [ 3,2]
3 2
1 1
C. ( ∞, 1) ∪ [ , +∞) D. ( 1, ]
6 6
7.若命题“存在 ∈ ， 2 2 = 0”是真命题，则实数 的取值范围是( )
A. ≤ 1 B. ≥ 1 C. 1 ≤ ≤ 1 D. > 1
2 2
8.设函数 ( )满足 (1 + ) = (1 )，且 ( )是(1, +∞)上的增函数，则 = (0.63)， = (0.73)， =
1
(0.73)的大小联系是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列不等式中正确的是( )
4
A. 2 + 2 ≥ 4 B. 若 > 0，则 + ≥ 4

1 4
C. 2 + 2 + 2 的最小值是2 D.
2 + ≥ 4
+2 2
10.函数 ( + 1) = 2 + 2 3| + 1| + 3，则下列函数的图象中关于 轴对称的函数有( )
A. ( ) B. ( 1) C. (| + 1|) D. (| |)
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11.二次函数 = 2 + + 的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. = 2
B. + + < 0
C. + <
D. < 0
12.定义在 上的函数 ( )若满足：①对任意 1、 2( 1 ≠ 2)，都有( 1 2)[ ( 1) ( 2)] < 0；②对任
意 ，都有 ( + ) + ( ) = 2 ，则称函数 ( )为“中心捺函数”，其中点( , )称为函数 ( )的中心．已
知函数 = ( 1)是以(1,0)为中心的“中心捺函数”，则使得不等式 ( 2 2 ) ≤ ( 4)成立的
的取值可能是( )
A. 2 B. 0 C. 2 D. 4
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.函数 = 1 + 3，( > 0，且 ≠ 1)恒过定点______．
14.若命题“ ∈ ， < 2 + 成立”是假命题，则实数 的取值范围是______．
15.已知角 的终边在图中阴影部分所表示的范围内(不包括边界)，则 的取值范围为______．
16.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西
方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够
通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点 在以 为
直径的半圆上， 为圆心，点 在半径 上(不与 点重合)，且 ⊥ .设
= ， = ，则 = ______(用 ， 表示)，由 > 可以得出的关于 ， 的不等式为______．
四、解答题：本题共 4 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题16分)
不用计算器求下列各式的值
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9 1 8 1
(1)( )2 ( 8.6)0 ( ) 3．
4 27
2
(2) 25 + 4 + 7 7 + 2 3√ 3．
18.(本小题18分)
已知 ( ) = log + log (4 )( > 0且 ≠ 1)，且 (2) = 2．
(1)求 的值及 ( )的定义域；
7
(2)求 ( )在[1, ]上的值域．
2
19.(本小题18分)
如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系，2024年上半年新能
源汽车销售469万辆，同比增长29.7%.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产 (千辆
75( 2 + 3),0 ≤ ≤ 2
)获利 ( )(万元)，关系如下： ( ) = {750 ，该公司预计2024年全年其他成本总投入为30
, 2 < ≤ 6
1+
万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为 ( )(单位：万元)．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由．
20.(本小题18分)
设 ( ) = log (2 + ) + log (4 )( > 0且 ≠ 1)．
(1)若 (2) = 3，求实数 的值及函数 ( )的定义域；
(2)若 > 1，求函数 ( )的值域．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】(1,4)
14.【答案】( ∞, 0] ∪ [4, +∞)
15.【答案】{ | 180° + 30° < < 180° + 150°, ∈ }
2
2+ +
16.【答案】 > ( )2
2 2 2
3 3 1
17.【答案】解：(1)原式= 1 ( ) 3×( )3 = 1．
2 2
(2)原式= 100 + 2 + 1 = 5．
18.【答案】解：(1)由题意得0 < < 4，
故函数的定义为(0,4)，
因为 (2) = log 2 + log 2 = 2，
所以 = 2；
(2) ( ) = log2 (4 )，
7
令 = (4 )，当1 ≤ ≤ 时，
2
7 7
根据二次函数的性质可知， = 2时，函数 取得最大值4，当 = 时， 取得最小值 ，
2 4
7 7
故 ( )在[1, ]上的值域为[log
2 2
, 2]．
4
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75( 2 + 3),0 ≤ ≤ 2
19.【答案】解：(1)因为 ( ) = {750 ，
, 2 < ≤ 6
1+
所以根据题意可得 ( ) = ( ) 30 ，
75( 2 + 3) 30 , 0 ≤ ≤ 2
所以 ( ) = {750 ；
30 , 2 < ≤ 6
1+
1 1
(2)当0 ≤ ≤ 2时， ( ) = 75 2 30 + 225，其在[0, ]上单调递减，在[ , 2]上单调递增，
5 5
所以当 = 2时， ( ) = (2) = 465；
750 750 25
当2 < ≤ 6时， ( ) = 30 = 750 30(1 + ) + 30 = 780 30[ + (1 + )]
1+ 1+ 1+
25 25
≤ 780 30 × 2√ (1 + ) = 480，当且仅当 = 1 + ，即 = 4时，等号成立，
1+ 1+
又465 < 480，
所以当 = 4时， ( ) = 480，
所以当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元．
20.【答案】解：(1) ( ) = log (2 + ) + log (4 )，
则 (2) = log 4 + log 2 = log 8 = 3
所以 = 2，此时 ( ) = log2(2 + ) + log2(4 )，
故 2 < < 4，
所以函数的定义域( 2,4)；
(2)当 > 1时， ( ) = log (2 + ) + log (4 ) = log (2 + )(4 )，
令 = (2 + )(4 ) = 2 + 2 + 8 = ( 1)2 + 9 ∈ (0,9]，
则 ( ) ≤ log 9，
故函数的值域为( ∞, log 9]．
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