河北省承德市双桥区卉原中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

河北省承德市双桥区卉原中学 2024-2025 学年高一上学期期中考试数
学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ ∈ ， 2 2 + 2 ≤ 0”的否定是( )
A. ∈ ， 2 2 + 2 ≥ 0 B. ∈ ， 2 2 + 2 > 0
C. ∈ ， 2 2 + 2 ≤ 0 D. ∈ ， 2 2 + 2 > 0
5
2.设集合 = { 2, 1,0,1,2}， = { |0 ≤ < }，则 ∩ =( )
2
A. {0,1,2} B. { 2, 1,0} C. {0,1} D. {1,2}
3.已知函数 ( ) = ( 2 4 + 5) ( ∈ )为幂函数，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
+ 3, ≤ 0
4.已知 ( ) = { ，若 ( 3) = ( + 2)，则 ( ) =( )
√ , > 0
A. 2 B. √ 2 C. 1 D. 0
2 + , < 1 ( ) ( )
5.若函数 ( ) = { 满足对任意实数 ≠ ，都有 1 21 2 > 0成立，则实数 的取值范(6 ) , ≥ 1 1 2
围是( )
7
A. ( ∞, 2] B. (1,2) C. [2,6) D. [2, ]
3
6.设集合 = {1, 2, 2}， = {2,4}，则“ ∩ = {4}”是“ = 2”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数 ( + 1)是偶函数， 1， 2 ∈ (1, +∞)，且 1 ≠ 2时，[ ( 1) ( 2)]( 1 2) < 0恒成立，设
1
= ( )， = (2)， = (3)，则 ， ， 的大小关系为( )
2
A. < < B. < < C. < < D. < <
2 1
8.若 > 0， > 0，且 + = 1， + 2 > 2 2 恒成立，则实数 的取值范围是( )

A. ( 2,4) B. ( ∞, 2) ∪ (4, +∞)
C. ( ∞, 4) ∪ (2, +∞) D. ( 4,2)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合 = { ∈ | 2 + 1 = 0}， = { }，则( )
A. = B. = C. ≠ D.
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10.已知 > > 0，则下列不等关系正确的是( )
2 2 + +2 2
A. < 1 B. < C. > D. < √
+ + 2 +2 +
11.已知奇函数 ( )与偶函数 ( )的定义域、值域均为 ，则( )
A. ( ) + ( )是奇函数 B. ( )| ( )|是奇函数
C. ( ) ( )是偶函数 D. ( ( ))是偶函数
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若函数 ( ) = 2 2( + 1) + 3在区间( ∞, 3]上是增函数，则实数 的取值范围是______．
13.某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电
等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入 与店面经营天数 的关系是
1
300 2, 0 ≤ < 300
( ) = { 2 ，则总利润最大时店面经营天数是______．
45000, ≥ 300
( 1)
14.已知 ( )是奇函数，且在(0, +∞)上是增函数，又 (2) = 0，则 < 0的解集为______．

四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合 = { | 3 < ≤ 4}，集合 = { | + 1 ≤ ≤ 2 1}．
(1)当 = 2时，求 ∪ ，( ) ∩ ；
(2)若 ∪ = ，求 的取值范围．
16.(本小题15分)
已知幂函数 ( )的图象过点(2,8)．
(1)求 ( 2)的值；
1
(2)求 ( )在区间[ 2, ]上的最大值；
2
(3)设函数 ( ) = ( ) ，判断 ( )的奇偶性．
17.(本小题15分)
已知关于 的一元二次方程 2 2 + + 2 = 0．
1 1
(1)当 = 5时，设方程的两个实根分别为 ， ，求代数式 + 的值；

(2)若该方程有两个异号实根，求实数 的取值范围．
18.(本小题17分)
二次函数 ( ) = 2 + + 满足对任意的 ∈ ， 1 ≤ ( ) ≤ 2 恒成立．
(1)求证： (1)为定值；
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1
(2)若 (0) = ，求二次函数 ( )的表达式；
4
(3)求 + 2 + 5 的取值范围．
19.(本小题17分)
若函数 ( )在定义域 上满足 ( ) + ( ) = ( + )，且 > 0时， ( ) > 0，定义域为[ 2,2]的 ( )为偶函
数．
(1)求证：(ⅰ)函数 ( )为奇函数；
(ⅱ)函数 ( )在定义域上单调递增；
(2)若在区间[ 1,1]上 ( ) + ( ) = 2 + + 1； ( )在[0,2]上的图象关于点(1,0)对称.求函数 ( )和函数
( )在区间[ 2,2]上的解析式．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】( ∞, 4]
13.【答案】200
14.【答案】( 1,0) ∪ (1,3)
15.【答案】解：(1)由题设 = {3}，则 ∪ = { | 3 < ≤ 4}，
= { | ≤ 3或 > 4}，则( ) ∩ = ．
(2)由 ∪ = ，
若 = 时， + 1 > 2 1 < 2，满足；
+ 1 ≤ 2 1
5
若 ≠ 时，{ + 1 > 3 2 ≤ ≤ ；
2
2 1 ≤ 4
5
综上， 的取值范围是( ∞, ].
2
16.【答案】解：(1)设幂函数 ( ) = ，∵ ( )的图象过点(2,8)，
∴ 2 = 8，∴ = 3. ∴ ( ) = 3. ∴ ( 2) = 8．
(2) ( ) = 3，
1
∴ ( )在区间[ 2, ]上单调递增．
2
1 1 1
∴ ( )在区间[ 2, ]上的最大值为 ( ) = ．
2 2 8
(3) ∵函数 ( ) = ( ) ，
∴ ( ) = 3 ．
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∵ ( )的定义域为 ，关于原点对称
∴ ( ) = ( )3 ( ) = 3 + = ( 3 ) = ( )．
∴ ( )为奇函数．
17【. 答案】解：(1)因为当 = 5时，方程 2 10 + 7 = 0的两个实根分别为 ， ，所以 + = 10， = 7，
1 1 + 10
所以 + = = ；
7
(2)因为方程的两个异号实根，则{ = ( 2 )
2 4( + 2) > 0，
+ 2 < 0
所以 < 2，
所以实数 的取值范围为( ∞, 2)．
18.【答案】解：(1)证明：对任意的 ∈ ， 1 ≤ ( ) ≤ 2 恒成立，则0 ≤ (1) ≤ 0，
所以 (1) = 0，为定值．
1 1 1 1 1
(2)由(1)知， + + = (1) = 0，由 (0) = ，得 = ，则 = ， ( ) = 2 + ( ) ，
4 4 4 4 4
1 1 3 3
不等式 1 ≤ ( )可化为 2 + ( ) ≥ 1，即 2 ( + ) + ≥ 0，
4 4 4 4
3 3 > 0
依题意，一元二次不等式 2 ( + ) + ≥ 0恒成立，则{ 3 ，
4 4 = ( + )2 3 ≤ 0
4
3
解得 = ，
4
3 1 1 1
此时 ( ) = 2 ， 2 ( ) = ( 1)2 ≥ 0恒成立，
4 2 4 4
3 1 1
所以 ( ) = 2 ．
4 2 4
(3)由(1)知， = ， ( ) = 2 ( + ) + = ( )( 1)，
不等式 1 ≤ ( )可化为( 1)( 1) ≥ 0，
依题意，一元二次不等式( 1)( 1) ≥ 0恒成立，则 > 0，且方程( 1)( 1) = 0有相等
的实数根，
因此 = 1， > 0，
不等式 ( ) ≤ 2 ( )( 1) ≤ 2 ( 1)[(1 ) + ] ≥ 0，
同理1 > 0，且方程( 1)[(1 ) + ] = 0有相等的实数根，
因此 = 1， < 1，
从而 = 1， = 1 2 ，0 < < 1， + 2 + 5 = + 2(1 2 ) + 5( 1) = 2 3 ∈ ( 3, 1)，
所以 + 2 + 5 的取值范围是( 3, 1)．
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19.【答案】解： ( )在定义域 上满足 ( ) + ( ) = ( + )，
> 0时， ( ) > 0，定义域为[ 2,2]的 ( )为偶函数，
(1)证明：( )令 = = 0，可得 (0) = 0，
令 = ，可得 ( ) + ( ) = (0) = 0，即 ( ) = ( )，
故函数 ( )为奇函数．
( )任取 1， 2 ∈ ，且 1 < 2，则 2 1 > 0，
因为 > 0时， ( ) > 0， ( 2 1) > 0，
由 ( 1) ( 2) = ( 1) ( 1 + 2 1)
= ( 1) [ ( 1) + ( 2 1)] = ( 2 1) < 0，
可得 ( 1) < ( 2)，
故函数 ( )在 上单调递增．
(2)因 ( )是定义在[ 2,2]上的偶函数，
由 ∈ [ 1,1]时， ( ) + ( ) = 2 + + 1①，
可得 ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = 2 + 1②，
由① ②，可得2 ( ) = 2 ，即 ( ) = ，
由① + ②，可得2 ( ) = 2 2 + 2，即 ( ) = 2 + 1，
因 ∈ [ 1,1]时， ( ) = ，则当 ∈ (1,2]时， 1 ∈ (0,1]，
由 ( ) + ( ) = ( + )可得 ( ) = ( 1) ( 1) = ( 1) + (1) = ，
当 ∈ [ 2, 1)时， ∈ (1,2]，故 ( ) = ( ) = ．
综上，可知当 ∈ [ 2,2]时，都有 ( ) = ．
又因 ∈ [ 1,1]时， ( ) = 2 + 1，且 ( )在[0,2]上的图象关于点(1,0)对称，
则当 ∈ (1,2]时，2 ∈ [0,1)， ( ) = (2 ) = [ (2 )2 + 1] = 2 4 + 3，
又 ( )是定义在[ 2,2]上的偶函数，
故 ∈ [ 2, 1)时， ∈ (1,2]， ( ) = ( ) = 2 + 4 + 3．
2 + 4 + 3, ∈ [ 2, 1)
综上， ( ) = { 2 + 1, ∈ [ 1,1] ．
2 4 + 3, ∈ (1,2]
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