贵州省遵义市2024-2025学年高二上学期12月联考数学试卷（PDF版，含答案）

贵州省遵义市 2024-2025 学年高二上学期 12 月联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
5
1.以下关于复数 = 的四个命题中，错误的是( )
3+4
A. | | = 1 B. 复数 在复平面内对应的点位于第四象限
3 4 4
C. 复数 的共轭复数 = D. 复数 的虚部为
5 5
2.在平面直角坐标系内，已知直线 的斜率为0，则直线 的倾斜角为( )

A. B. C. D. 0
2 4
3.命题“ ∈ ， ∈ ，使得 ≤ ”的否定是( )
A. ∈ ， ∈ ，使得 > B. ∈ ， ∈ ，使得 >
C. ∈ ， ∈ ，使得 > D. ∈ ， ∈ ，使得 >
4.如图，这是正四棱台被截去一个三棱锥后所留下的几何体，其中 = 1 = 4，
1 1 = 2，则该几何体的体积为( )
26√ 14
A.
3
26√ 15
B.
3
C. 26√ 15
D. 26√ 14
5.过点 ( 2,4)且以直线2 + 3 + 1 = 0的方向向量为法向量的直线方程为( )
A. 3 2 + 14 = 0 B. 3 2 8 = 0
C. 2 + 3 8 = 0 D. 2 + 3 + 14 = 0
6.经过点( 1,1)，且倾斜角是直线 2 + 1 = 0的倾斜角的2倍的直线方程为( )
A. = 1 B. 4 3 + 7 = 0 C. + 2 = 0 D. = 1
7.已知点 为圆 ： 21 +
2 8 + 12 = 0上的动点，点 为圆 2：
2 + 2 8 + 2 + 8 = 0上的动点，下
列说法正确的有( )
4
A. 两个圆心所在直线的斜率为
5
B. 两圆恰有3条公切线
C. 两圆公共弦所在直线的方程为4 5 + 2 = 0
D. | |的最小值为√ 41 5
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( 1) ( 2)8.已知函数 = ( )的定义域为 ，当 1 ≠ 2时， < 3，则 (2 1) (2) 6 + 9 < 0的解集 1 2
为( )
3 1
A. ( ∞, 3) B. (1, +∞) C. ( , +∞) D. ( , +∞)
2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = √ 3 ( > 0)的最小正周期为 ，则以下命题正确的有( )
A. = 2

B. 函数 ( )的图象关于直线 = 对称
6

C. 将函数 ( )的图象向右平移 个单位长度，得到的图象关于 轴对称
6
3 √ 3
D. 若方程 ( ) = 在(0, )上有两个不等实数根 1， 2，则cos( 1 + 2) = 4 2
10.已知 、 、 是三条不同的直线， 、 是两个不同的平面，下列选项正确的有( )
A. 若 // ， ， ∩ = ，则 //
B. 若 ⊥ ， ⊥ ， ， ，则 ⊥
C. 若 ⊥ ， ， ，则 ⊥
D. 若 与 不垂直，则 垂直于 内无数条直线
11.定义域为{ | ≠ 0}的函数 ( )对任意的非零实数 ， 都满足 ( ) = ( ) + ( ).当0 < < 1时， ( ) <
0.下列结论正确的是( )

A. ( ) = lg| | B. ( )满足 ( ) = ( ) ( )

C. ( 1) = 0 D. ( )在( ∞, 0)上单调递增
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (3,2)， = ( 1,2)， = (4,1)，若( + ) ⊥ ( 2 )，则 的值为______．
13.如图，在四面体 中， = = = 3，∠ = ∠ = ∠ = 60°，
点 ， 分别在 ， 上，且 = 2 ， = 2 ，则 = ______．
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14.如图，在三棱锥 中， = = = 2， = = √ 2， ⊥ ，
为 的中点，过 作平面 ，则平面 截三棱锥 外接球所得截面面积的最
小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线 经过直线2 3 + 8 = 0和 + 1 = 0的交点，且与直线3 2 + 18 = 0垂直，若直线 与直
线 关于点( 1,1)对称，求直线 的方程．
16.(本小题15分)
2021年9月24日，中国轻工业联合会、中国乐器协会授予正安县“吉他之都”称号.遵义市某中学的同学们
利用暑假到正安参加社会实践活动，对县城20至50岁的市民是否会弹吉他进行调查.若会弹吉他，则称为
“吉他达人”，否则称为“非吉他达人”.同学们随机抽取2800人进行调查，统计后发现“吉他达人”有
1000人，进一步对“吉他达人”各年龄段人数进行统计后，得到了各年龄段“吉他达人”人数的频率分布
直方图：
(1)根据直方图估计“吉他达人”年龄的平均数；
(2)若从年龄在[20,30)的“吉他达人”中采用分层抽样法抽取5人参加“吉他音乐节”表演，再从这5人中随
机选取2人作为领队，求2位领队来自同一组的概率．
17.(本小题15分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 + √ 3 = + ．
(1)求 ；
(2)若 = 2，求△ 面积的最大值．
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18.(本小题17分)
已知 (0,0)， ( 2,0)是圆 的一条直径的两个端点， 为圆 上任意一点，直线 + 2 = 0分别与 轴、
2
轴交于 ， 两点.角 的终边与单位圆 2 + 2 = 1交于点 ．
3
(1)求圆 在点 处的切线方程；
(2)求△ 面积的最大值；
(3)求| |2 + | |2的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， = 2 = 4， = 2√ 2， ⊥ ， // ．
(1)证明：平面 ⊥平面 ．

(2)若∠ = ，求点 到平面 的距离．
3
(3)求满足题设条件的所有几何体中， 与平面 所成角的正弦值的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
5
12.【答案】
6
13.【答案】√ 5
14.【答案】
2 3 + 8 = 0 = 1
15.【答案】解：由{ ，解得{ ，
+ 1 = 0 = 2
所以直线2 3 + 8 = 0和 + 1 = 0的交点是( 1,2)，
因为直线 与直线3 2 + 18 = 0垂直，所以设 ：2 + 3 + = 0，
将( 1,2)代入，可得 2 + 6 + = 0，解得 = 4，所以 ：2 + 3 4 = 0．
若直线 与直线 关于点( 1,1)对称，
则直线 、 互相平行，且点( 1,1)到它们的距离相等．
设经过点( 1,1)与 平行的直线为 ，则 到直线 、 的距离相等，
因此设 ：2 + 3 + = 0，结合直线 ：2( + 1) + 3( 1) = 0，即2 + 3 1 = 0，
| +1| | 4+1|
可得 = ，解得 = 2( = 4不符合题意，舍去)．
√ 4+9 √ 4+9
所以直线 的方程为2 + 3 + 2 = 0．
16.【答案】解：(1)根据直方图估计“吉他达人”年龄的平均数为：
22.5 × 0.2 + 27.5 × 0.3 + 32.5 × 0.2 + 37.5 × 0.15 + 42.5 × 0.1 + 47.5 × 0.05 = 31.5；
(2)由[20,25)，[25,30)的频率为0.2，0.3可得两组人数比为2：3，
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故5人中，来自[20,25)，[25,30)的人数分别为2和3，
2+ 2 2
所以从这5人中随机选取2人作为领队，这2位领队来自同一组的概率为 2 3 = ．
2 55
17.【答案】解：(1)在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 + √ 3 = + ，

因为 + √ 3 = + ，根据正弦定理 = = = 2 可得 + √ 3 =

+ ，
所以 + √ 3 = + sin( + )，所以√ 3 = + ，
因为 ∈ (0, )，所以 > 0，所以√ 3 = 1，
1
所以2 ( ) = 1，所以sin( ) = ，
6 6 2
5
因为( ) ∈ ( , )，所以 = ，所以 = ；
6 6 6 6 6 3
(2)因为 = 2，所以 2 = 2 + 2 2 2 + 2 = 4，
所以 2 + 2 = 4 + ≥ 2 ，所以 ≤ 4，
1 √ 3
所以 △ = = ≤ √ 3，当且仅当 = = 2时取等号， 2 4
所以△ 面积的最大值为√ 3．
18.【答案】解：(1)由题设 (0,0)， ( 2,0)是圆 的一条直径的两个端点，
∴ ( 1,0)且圆 的半径为1，则圆 ：( + 1)2 + 2 = 1，
2
为圆 上任意一点，直线 + 2 = 0分别与 轴、 轴交于 ， 两点．角 的终边与单位圆 2 + 2 = 1交
3
于点 ，
2 2
又 1 √ 3 (cos , sin )，即 ( , )，显然 点在圆 上，
3 3 2 2
√ 3
则 =
2
1 = √ 3，
+1
2
∴圆 在点 处的切线的斜率为 √ 3 √ 3 √ 3 1 ，所求切线为 = ( + )，
3 2 3 2
整理得 + √ 3 1 = 0．
∴圆 在点 处的切线方程： + √ 3 1 = 0．
(2)由题设， (2,0)， (0,2)，则| | = 2√ 2，
3 3
到 + 2 = 0的距离 = ，则 到 + 2 = 0最大距离为 + 1，
√ 2 √ 2
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1 3
∴△ 面积的最大值为 × 2√ 2 × ( + 1) = 3 + √ 2；
2 √ 2
△ 面积的最大值3 + √ 2．
(3)设 是 的中点，则 + = 2 ，且 (1,1)，故| | = √ 5，
由 = +
2 2 2
， = + ，且 = 1, = 9, = 5，
2 2 2 2 2 2
∴ = + + 2 ， = + + 2 ，
2 2 2 2 2
∴ + = 2 + + + 2 ( + ) = 16 + 4 ，
对于 ，当 , 同向共线时最大，反向共线时最小，
∴ ∈ [ √ 5, √ 5]，
综上，| |2 + | |2 ∈ [16 4√ 5, 16 + 4√ 5]．
19.【答案】解：(1)证明：由 ⊥平面 ， 平面 ，则 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = 都在面 内， ， 平面 ，
则 ⊥面 ，又 面 ，
所以平面 ⊥平面 ；

(2)由(1)可得： ⊥ ，又∠ = ，过 作 ⊥ 于 ，
3
由面 ⊥面 ，面 ∩面 = ， 面 ，
可得 ⊥面 ，过 作 // ，易知 ⊥ ，
故可构建如下图示空间直角坐标系，
又 = 2 = 4， = 2√ 2， // ，
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则 (0, 3,0), (√ 3, 0,0), (0,1,2√ 2), (0, 1,2√ 2)，
所以 = (√ 3, 3,0), = (0,2,2√ 2), = (0,2,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= √ 3 + 3 = 0
则由 ⊥ ， ⊥ ，可得{ ，
= 2 + 2√ 2 = 0
令 = 1，则 = ( √ 6, √ 2, 1)，
| | 2√ 2
所以点 到平面 的距离 = ；
| | 3
(3)同(2)构建空间直角坐标系，易知∠ 是 与面 所成角的平面角，
显然 在以 为直径的圆上，令 = ∈ (0,2]，
2 2 2
显然{ = ，可得{ = 2 + √ 4 或{ = 2 √ 4 ，
+ = 4 = 2 √ 4 2 = 2 + √ 4 2
{ = 2 + √ 4
2
当 时， (0, √ 4 2, 2√ 2)， ( , 0,0)，
= 2 √ 4 2
则 = √ 2 + 4 2 + 8 = 2√ 3，
1
所以sin∠ = = ，此时最大值为 ；
2√ 3 √ 3
当{ = 2 √ 4
2
时， (0, √ 4 2, 2√ 2)， ( , 0,0)，
= 2 + √ 4 2
则 = √ 2 + 4 2 + 8 = 2√ 3，
1
所以sin∠ = = ，此时最大值为 ；
2√ 3 √ 3
综上， 与平面 所成角的正弦值的最大值为√ 3．
3
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