云南省保山市腾冲市第八中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

云南省腾冲市第八中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 = { ∈ |1 ≤ < 5}，则集合 的真子集有( )个．
A. 63 B. 31 C. 15 D. 7
1
2.已知函数 ( ) = ，则下列说法正确的是( )

A. ( )在(0, +∞)上单调递减 B. ( )在 上单调递增
C. ( )是奇函数 D. ( )是偶函数
5
3.幂函数 ( ) = ( 2 + 2) 在区间(0, +∞)上单调递增，则下列说法正确的是( )
2
1 1
A. = B. = 或 = 2
2 2
1
C. = 2 D. = 或 = 2
2
4.已知条件 ：2 4 > 0，条件 ： 2 5 + 6 < 0，则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
( 3) + 7 + 2, < 1 ( 1) ( 2)
5.已知 ( ) = { 2 在( ∞, +∞)上满足 < 0，则实数 的取值范围为( ) + , ≥ 1 1 2
1 2 2
A. (0,3) B. [ , 3) C. [ , 3) D. ( , 3)
2 9 9
4
6.函数 = 2 的图象大致为( ) +1
A. B.
C. D.
7.设函数 ( )的定义域为 ， ( + 1)为奇函数， ( + 2)为偶函数，当 ∈ [1,2]时， ( ) = 2 + .若 (0) +
9
(3) = 6，则 ( ) =( )
2
9 3 7 5
A. B. C. D.
4 2 4 2
8.如果关于 的不等式( 2) 2 + 2( 2) 4 < 0对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 2] B. ( ∞, 2) C. ( 2,2] D. ( 2,2)
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若 2 > 2，则 >
2 1
B. 不等式 ≥ 1的解集是{ | ≤ }
3 +1 4
C. 命题“ ∈ ，1 < ( ) ≤ 2”的否定是“ ∈ ， ( ) ≤ 1或 ( ) > 2”
1 1
D. 已知集合 = { | 2 + 6 = 0}， = { | 1 = 0}，若 ，则实数 的集合为{ , }
2 3
10.若 < < 0，则下列不等式一定成立的是( )
1 1
A. ( ) > ( ) B. 2 < 2
1 1
C. > D. ln| | > ln| |
2 2
2
11.已知实数 ， 满足 + 2 = 1( ≠ 0)，下列判断正确的是( )
4
A. + 2 有最大值2√ 2 B. + 2 有最小值 2√ 2
C. 有最大值√ 2 D. 有最小值1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知幂函数 ( )的图象经过点(2,8)，则 ( ) = ．
13.若 ( ) = 2 2 + 1在[0, ]上的值域为[0,1]，则 的取值范围是______．
2.已知函数 ( ) = { + 2 3, ≤ 014 ，且方程 ( ) = ( < 0)的实数解个数为1，则 的取值范围为______．
2 + , > 0
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
1
已知函数 ( ) = + ．

(1)写出函数 ( )的定义域及奇偶性；
(2)请判断函数 ( )在(1, +∞)上的单调性，并用定义证明；
(3)当 ∈ [2,4]时， 2 + 1 ≥ 0恒成立，求实数 的取值范围．
16.(本小题12分)
81 1 64 2
(1)计算( ) 4 + 3 × ( )3 (3 + )0；
16 27
(2)计算2 2 + 25 2．
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17.(本小题12分)
随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗
器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技
术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产 台，需另投入成本 ( )万
2 2 + 60 , 0 < ≤ 40
元，且 ( ) = { 3600 ，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年
201 + 2100,40 < ≤ 100

内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)写出年利润 ( )万元关于年产量 台的函数解析式(利润=销售收入 成本)；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
18.(本小题12分)
已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，且当 > 0时， ( ) = 2 + 2 ．
(1)求 ( )在 上的解析式；
(2)判断 ( )的单调性，并解不等式 ( 2 2 ) + (3 2 2) < 0．
19.(本小题12分)

已知函数 ( ) = 3 + ．
| |+1
(1)证明：函数 ( )是奇函数；
(2)用定义证明：函数 ( )在(0, +∞)上是增函数；
(3)若关于 的不等式 ( 2 + 3 ) + (1 ) ≥ 0对于任意实数 恒成立，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 3
13.【答案】[1,2]
14.【答案】( ∞, 4)
1
15.【答案】解：(1)函数 ( ) = + 的定义域为( ∞, 0) ∪ (0, +∞)，

1
且 ( ) = = ( )，

∴ ( )为奇函数．
(2)函数 ( )在(1, +∞)上单调递增，证明：任取1 < 1 < 2，
1 1 1 1
( 1) ( 2) = 1 + ( 2 + ) = + 1 21 2 1 2
1 ( 1 )( 1)= ( 1 2)(1 ) =
2 1 2 ，
1 2 1 2
∵ 1 < 1 < 2，∴ 1 2 > 0， 1 2 < 0， 1 2 1 > 0，
( 1 2)( 1 2 1)
∴ < 0，即 ( 1) < ( 2)， 1 2
∴函数 ( )在(1,+∞)上单调递增．
1
(3) ∵ ∈ [2,4]， 2 + 1 ≥ 0变形为 + ≥ ，即 ( ) ≥ ，

5
由(2)知， ( )在(1, +∞)上单调递增，∴ ( ) = (2) = ， 2
5 5
∴ ≤ ，即 的取值范围是( ∞, ].
2 2
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3 1 4 2
16.【答案】解：(1)原式= [( )4] 4 + 3 × [( )3]3 1
2 3
3 1 4= ( ) + 3 × ( )2 1
2 3
2 16
= + 1 = 5．
3 3
(2)2 2 + 25 2 = 2 2 + 2 5 2
= 2 10 2 = 2 2 = 0．
17【. 答案】解：(1)由题意可得，当0 < ≤ 40时， ( ) = 200 400 (2 2 + 60 ) = 2 2 + 140 400，
3600 3600
当40 < ≤ 100时， ( ) = 200 400 (201 + 2100) = ( + ) + 1700，

2 2 + 140 400,0 < ≤ 40
所以 ( ) = { 3600 ；
( + ) + 1700,40 < ≤ 100

(2)当0 < ≤ 40时， ( ) = 2 2 + 140 400 = 2( 35)2 + 2050，
所以当 = 35时， ( ) = 2050，
3600 3600 3600
当40 < ≤ 100时， ( ) = ( + ) + 1700 ≤ 2√ + 1700 = 1580，当且仅当 = ，即 =

60时，等号成立，
即当 = 60时， ( ) = 1580，
因为2050 > 1580，
所以当该产品的年产量为35台时，公司所获利润最大，最大利润是2050万元．
18.【答案】解：(1) ∵函数 ( )是定义在 上的奇函数，∴ ( ) = ( )，
∴ ( 0) = (0)， (0) = (0)
∴ (0) = 0；
设 < 0，∴ > 0，
又当 > 0时， ( ) = 2 + 2 ．
∴ ( ) = ( )2 + 2( ) = 2 2 ，
∴ ( ) = 2 2 ，
∴ ( ) = 2 + 2 ，
∴当 < 0时， ( ) = 2 + 2 ，
2 + 2 , ≥ 0
∴ ( ) = { ；
2 + 2 , < 0
(2)由(1)可知，函数在 上单调递增，
∵ ( 2 2 ) + (3 2 2) < 0．
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∴ 2 2 + 3 2 2 < 0，
∴ 2 + 2 3 > 0，
∴ < 3或 > 1，
∴不等式的解集为{ | < 3或 > 1}．

19.【答案】解：(1)证明：由函数 ( ) = 3 + ，可得其定义域为 ，关于原点对称，
| |+1

又由 ( ) = 3 = (3 + ) = ( )，
| |+1 | +1
所以函数 ( )为定义域 上的奇函数；
(2)证明：当 ∈ (0, +∞)时，
1
( ) = 3 + = 3 + 1 ，
+1 +1
任取 1， 2 ∈ (0,+∞)，且 1 < 2，
1 1
可得 ( 1) ( 2) = 3 1 + 1 (3 + 1 ) +1 21 2+1
1 1
= 3( 1 2) + ( ) 2+1 1+1
1 2
= 3( 1 2) + ( 2+1)( 1+1)
1
= ( 1 2) [3 + ]， ( 2+1)( 1+1)
因为 1， 2 ∈ (0,+∞)，且 1 < 2，
可得 1 2 < 0，( 2 + 1)( 1 + 1) > 0，
所以 ( 1) ( 2) < 0，
即 ( 1) < ( 2)，
所以函数 ( )在(0,+∞)上是增函数；
(3)因为函数 ( )为定义域 上的奇函数，且在(0, +∞)上是增函数，
所以函数 ( )在( ∞, 0)上也是增函数，
又因为 (0) = 0，
所以函数 ( )在 上是增函数，
又由 ( 2 + 3 ) + (1 ) ≥ 0，
可得 ( 2 + 3 ) ≥ (1 ) = ( 1)，
因为不等式 ( 2 + 3 ) + (1 ) ≥ 0对于任意实数 恒成立，
即不等式 ( 2 + 3 ) ≥ ( 1)对于任意实数 恒成立，
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可得不等式 2 + 3 ≥ 1对于任意实数 恒成立，
即不等式 2 + 2 + 1 ≥ 0对于任意实数 恒成立，
当 = 0时，不等式即为1 ≥ 0恒成立，符合题意；
> 0
当 ≠ 0时，则满足{ = (2 )2 4 ≤ 0，
解得0 < ≤ 1，
综上可得，0 ≤ ≤ 1，
即实数 的取值范围[0,1]．
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