辽宁省沈阳市第十中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

辽宁省沈阳市第十中学 2024-2025 学年高一上学期 12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数 = √ 3(3 2)的定义域是( )
2 2
A. ( , +∞) B. [1, +∞) C. ( , 1) D. (0,1)
3 3
2.设集合 = { | = , ∈ }， = { | = + 1, > 0且 ≠ 1， ∈ }，若集合 ∩ 不是空集，则 的
取值范围是( )
A. ( ∞, 1] B. (1, 2) C. ( 1, 2) D. (1, +∞)
3.已知 = log 0.856， = log50.2， = 0.5 ，则 ， ， 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
1 ln| |
4.函数 ( ) = 3 的图象可能为( )
3
A. B.
C. D.
5.我们可以把(1 + 1%)365看作每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365；而把(1 1%)365看作每厌的
“落后”率都是1%，一年后是0.99365，大约经过 天后“进步”的是“落后”的10倍，则 的值为(参考数
据： 1.01 ≈ 0.0043，1 0.99 ≈ 0.0044)( )
A. 100 B. 115 C. 230 D. 345
1
6.已知函数 ( ) = log2( + )( > 0, > 0)恒过定点(2,0)，则 + 的最小值为( )
A. 2√ 2 + 1 B. 2√ 2 C. 3 D. √ 2 + 2
7.已知函数 ( ) = lg(| | 1) + 2023 + 2023 ，则使不等式 (3 ) < ( + 1)成立的 的取值范围是( )
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1 1
A. ( ∞, 1) ∪ (1, +∞) B. ( , )
4 2
1 1 1 1 1 1
C. ( , ) D. ( , ) ∪ ( , )
3 2 3 4 3 2
2019 +1+3
8.已知 > 0，设函数 ( ) = ( ∈ [ , ])的最大值为 ，最小值为 ，那么 + =( ) 2019 +1
A. 2025 B. 2022 C. 2020 D. 2019
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有下列几个命题，其中正确的是( )
+ ( )+ ( )
A. 给定幂函数 ( ) = √ ，则对任意 1， 2 ∈ [0, +∞)，都有 (
1 2) ≥ 1 2
2 2
B. 若函数 ( )的定义域为[0,2]，则函数 (2 )的定义域为[0,1]
C. 函数 = ( )与 = 10 互为反函数，则 = ( 2 2 )的单调递减区间为( ∞, 1)
2 3, > 0
D. 已知函数 ( ) = { ( ), < 0 是奇函数，则 ( ) = 2 + 3( < 0)
10.下列说法正确的是( )
A. 若 ( )的值域为[ 2,2]，则 ( 1)的值域为[ 3,1]
B. 函数 ( ) = 1 2( > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点(1, 2)
C. 函数 ( ) = √ 2
9 25
+ 16 + 的最小值为
√ 2+16 4
D. “ < 0”是“关于 的方程 2 2 + = 0有一正根和一负根”的充要条件
11.函数 ( ) = ln( 2 + 1) ，则( )
A. ( )的定义域为 B. ( )的值域为
C. ( )是偶函数 D. ( )在区间[0, +∞)上是增函数
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
16 3 1
12.( ) 4 0.5 2 √ (√ 2 3)2 = ．
81
13.已知函数 ( ) = log2 ( 1)
2，则不等式 ( ) < 0的解集为______．

14.若 + = 0， = 1，则 = ______．

四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2
已知函数 ( ) = 4 (实数 ∈ )的图象关于 轴对称，且 (2) > (3)．
(1)求 的值及函数 ( )的解析式；
(2)若 ( + 2) < (1 2 )，求实数 的取值范围．
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16.(本小题15分)
3 2
已知函数 ( ) =
3
, ∈ ．
+2
(1)若 ( )为奇函数，求 的值；
(2)在(1)的条件下，求 ( )的值域．
17.(本小题15分)
已知函数 ( ) = log3(1 + ) log3(1 )．
(1)解关于 的不等式 ( ) > 1；
1 1
(2)若对任意 ∈ [ , ], ∈ [ 3,3]，不等式 ( ) ≥ 2 + 16恒成立，求实数 的取值范围．
2 2
18.(本小题17分)
近来，流感病毒肆虐，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的
含药量 (毫克)与时间 (小时)成正比；药物释放完毕后， 与 的函数关系为 = ( > 0，且 ≠ 1).根据
图中提供的信息，求：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 (毫克)与时间 (小时)之间的函数关系式；
(2)为确保学生健康安全，药物释放过程中要求学生全部撤离，药物释放完毕后，空气中每立方米含药量不
超过0.15毫克时，学生方可进入教室.那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室. (
精确到0.1小时)(参考值： 2 ≈ 0.69， 3 ≈ 1.10， 5 ≈ 1.61)
19.(本小题17分)
1
已知函数 ( ) = 2
2
．
(1)求 ( 23) + ( 13)的值；
2
(2)根据函数单调性的定义证明 ( )在 上单调递增；
(3)设关于 的方程 (9 + ) + (1 4 3 ) = 0有两个不同的实根，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
3
12.【答案】
8
13.【答案】(0,1) ∪ (2, +∞)
14.【答案】
2
15.【答案】解：(1) ∵函数 ( ) = 4 (实数 ∈ )的图象关于 轴对称，且 (2) > (3)．
∴函数 ( )在区间(0,+∞)为减函数，
∴ 2 4 < 0，解得0 < < 4，
2
∵ ∈ ，函数 ( ) = 4 ( ∈ )的图象关于 轴对称，
∴ 2 4 为偶数，∴ = 2，
函数 ( )的解析式为： ( ) = 4．
(2)不等式 ( + 2) < (1 2 )，函数是偶函数，在区间(0, +∞)为减函数，
1
∴ |1 2 | < | + 2|，解得 ∈ ( , 3)，
3
又∵ 1 2 ≠ 0， + 2 ≠ 0，
1 1 1
∴实数 的取值范围是( , ) ∪ ( , 3)．
3 2 2
16.【答案】解：(1)因为 ( )为奇函数，所以 ( ) + ( ) = 0( ∈ )，

3 2 3 2 3 2 2 3 ( 1) (3 +2 )
即 + = + = = 0， 3 +2 3 +2 3 +2 3 +2 3 +2
所以 = 1．
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3
3
2 ( ) 1
(2) ( ) = = 2 3 ， 3 +2 ( ) +1
2
3 1 +1 2 2
令 = ( ) ，则 ( ) = = = 1 ，
2 +1 +1 +1
3 2
因为 = ( ) ∈ (0,+∞)，所以1 ∈ ( 1,1)，
2 +1
所以 ( )的值域( 1,1)．
1+
17.【答案】解：(1) ( ) = log3(1 + ) log3(1 ) > 1可得log3 > log 3， 1 3
1+
> 3
1 1
所以{1 + > 0，解得 < < 1， 2
1 > 0
1
故不等式的解集为{ | < < 1}；
2
1 1
(2)因为 = log3(1+ )和 = log3(1 )在[ , ]上分别是增函数和减函数， 2 2
1 1
所以 ( )在[ , ]上为增函数，
2 2
1 1 1
所以 ( )在[ , ]上的最小值为 ( ) = 1，
2 2 2
由题知 2 + 16 ≤ 1对 ∈ [ 3,3]恒成立，即 2 + 15 ≤ 0对 ∈ [ 3,3]恒成立，
9 3 15 ≤ 0
所以{ ，解得 2 ≤ ≤ 2，所以实数 的取值范围是[ 2,2]．
9 + 3 15 ≤ 0
1 1 1
18.【答案】解：(1)当0 ≤ ≤ 时，设 = ，将( , 2)代入得：2 = ，解得 = 4，所以 = 4 ，
2 2 2
1
1 1 1
当 > 时， = ，将( , 2)，(1,1)代入：{ 2 = 2，解得 = ， = 4，所以 = 41 ，
2 2 = 1 4
1
4 ,0 ≤ ≤
综上： = { 2；
1 14 , >
2
3 3
(2)令41 ≤ 0.15 = ，得1 ≤ log4 = 43 20， 20 20 4
化简得： ≥ 2 + log45 log43，
5 3
解得： ≥ 2 + ≈ 2.4，
4
所以从药物释放开始，至少经过2.4小时后学生才能进入教室．
19.【答案】解：(1)因为 ( 23) + ( 13)
2
13 13
= 2 23 2 23 + 2 2 2 2
1 1
= 3 + 3
3 3
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= 0；
(2)证明：任取 1， 2，使 1 < 2，
1 1
则 ( ) ( ) = 2 1 2 21 2 + 2 1 2 2
1 1
= 2 1 2 2 +
2 2 2 1
2 1 2
2
= 2 1 2 2 +
2 1+ 2
1
= (2 1 2 2 )(1 +
2 1+
)，
2
因为 < ，所以2 1 < 2 21 2 ，
所以2 1 2 2 < 0，
1
又因为1 + > 0，
2 1+ 2
所以(2 1 2
1
2 )(1 + ) < 0，
2 1 + 2
所以 ( 1) ( 2) < 0，
即 ( 1) < ( 2)，
所以函数 = ( )在 上单调递增；
(3)因为 ( ) = 2
1
， ∈ ， 2
所以 ( ) = 2
1 1 1
2
=
2
2 = (2 ) = ( )， 2
所以函数 = ( )是 上奇函数，
由(2)可知函数在 上单调递增，
所以 (9 + ) + (1 4 3 ) = 0，
即为 (9 + ) = (1 4 3 ) = (4 3 1)，
即9 + = 4 3 1，
所以 = 4 3 9 1有两个不同的解，
令 = 3 > 0，
则 = 2 + 4 1有两个不同的解，
即直线 = 与 ( ) = 2 + 4 1( > 0)有两个不同交点，
作出 ( ) = 2 + 4 1( > 0)的图象，如图所示：
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由此可得 1 < < 3，
所以实数 的取值范围为( 1,3)．
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