广东省惠州市华罗庚中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

广东省惠州市华罗庚中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 = {1,2,3,4,5}，集合 满足 = {1,3}，则( )
A. 2 ∈ B. 3 ∈ C. 4 D. 5
2.命题“ ≥ 0，2 = 1”的否定是( )
A. ≥ 0，2 ≠ 1 B. < 0，2 = 1
C. < 0，2 ≠ 1 D. ≥ 0，2 ≠ 1
3.下列四个函数中，在(0,+∞)上是增函数的是( )
1
A. ( ) = B. ( ) = 2 3 C. ( ) = 3 D. ( ) = | |
+1
4.已知4 2 + 2 = 6，则 的最大值为( )
3 3 5
A. B. C. D. 3
4 2 2
2 2 2
5.已知 = 43 , = 45 , = 53，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
√ 2
6.已知幂函数 ( ) = 的图象过点( , 2)，则下列说法中正确的是( )
2
A. ( )的定义域为 B. ( )的值域为[0,+∞)
C. ( )为偶函数 D. ( )为减函数
1 2
7.若两个正实数 ， 满足2 + = 1且存在这样的 ， 使不等式 + < 2 + 2 有解，则实数 的取值范

围是( )
A. { | < 4，或 > 2} B. { | 2 < < 4}
C. { | < 2，或 > 4} D. { | 4 < < 2}
8.某食品的保鲜时间 (单位：小时)与储存温度 (单位：° )满足函数关系 = + ( = 2.718…为自然对数
的底数， ， 为常数)，若该食品在0° 的保鲜时间是192小时，在22° 的保鲜时间是48小时，则该食品在33°
的保鲜时间是( )小时．
A. 22 B. 23 C. 24 D. 33
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1 1
9.下列四个选项能推出 < 的有( )

A. > 0 > B. > 0 > C. 0 > > D. > > 0
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10.下列说法正确的是( )
1 1

A. 若 2 + 2 = 3，则 + 1 = 7
2
B. 幂函数 ( ) = ( 2 1) + 3为奇函数
1
C. ( ) = 的单调减区间为( ∞,0) ∪ (0,+∞)

D. 函数 = ( )的图象与 轴的交点至多有1个
|2 1|, < 1
11.已知函数 ( ) = { 4 ，若存在实数 使得方程 ( ) = 有四个互不相等的实数根 ， ，
+ 4, ≥ 1 1 2 3
，

4( 1 > 2 > 3 > 4)，则下列叙述中正确的有( )
A. 1 + 4 < 0 B. 1 2 = 4
C. (3) < D. ( 3)+ 2有最小值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 3 ∈ {12, 2 + 4 , }，则实数 =______．
+
13.若函数是奇函数， ( ) = 2 ， ∈ ( , 2 + )，则 + = ______． 2 +1
( ) ( )
14.已知函数 ( )满足 ( ) + ( ) = 0，对任意的 1， 2 ∈ (0,+∞)都有
2 2 1 1 < 0恒成立，且 (1) =
1 2
0，则关于 的不等式 ( ) < 0的解集为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 100 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题20分)
求下列各式的值(式中字母均正数)，写出化简步骤．
6 2 1
(1)( )0 80.25 × 4√2+ 273 ( ) 2；
7 2
√ 3 4 (2) √ √1 ．
(6
5
√ ) 4
16.(本小题20分)
设集合 = ， = { |0 ≤ ≤ 3}， = { | 1 ≤ ≤ + 1}．
(1)若 = 3，求 ∩ ( )；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求 的取值范围．
17.(本小题20分)
如图，△ 是边长为2的正三角形，记△ 位于直线 = ( > 0)左侧的图形的面积为 ( ).试求函数 ( )
的解析式，并画出函数 = ( )的图象．
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18.(本小题20分)
已知函数 ( )对于任意实数 ， ∈ ，恒有 ( + ) = ( ) + ( )，且当 > 0时， ( ) > 0，又 (1) = 1．
(1)判断 ( )的奇偶性并证明；
(2)利用单调性求 ( )在区间[ 4,4]上的最小值．
19.(本小题20分)
若函数 在 ≤ ≤ ( < )上的最大值记为 ，最小值记为 ，且满足 = 1，则称函数
是在 ≤ ≤ 上的“美好函数”．
(1)函数① = + 1；② = |2 |；③ = 2，其中函数_____是在1 ≤ ≤ 2上的“美好函数”；(填序号)
(2)已知函数 ： = 2 2 3 ( ≠ 0)．
①函数 是在1 ≤ ≤ 2上的“美好函数”，求 的值；
②当 = 1时，函数 是在 ≤ ≤ + 1上的“美好函数”，请直接写出 的值；
(3)已知函数 ： = 2 2 3 ( > 0)，若函数 是在 +2 ≤ ≤ 2 + 1( 为整数)上的“美好函数”，

且存在整数 ，使得 = ，求 的值．

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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 1
13.【答案】 1
14.【答案】{ | 1 < < 0或 > 1}
6 2 1
15.【答案】解：(1)( )0 80.25 × 4√2+ 273 ( ) 2
7 2
1 1 2
= 1 (23)4× 24 + (33)3 22
3 1
= 1 2 +4 4 +32 22
= 4；
(2) √
3√ 4√
1
6 5( √ ) 4
1 1 1
+ +
2 3 4
= 5 1
+
6 4
13
12
= 13
12
= 1．
16.【答案】解：(1)由题意知当 = 3时， = { |2 ≤ ≤ 4}，故 = { | < 2或 > 4}，
而 = { |0 ≤ ≤ 3}，故 A∩ ( ) = { |0 ≤ < 2}；
(2)由“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，可得 ，
0 ≤ 1,
又 + 1 > 1，故需满足{ 且0 ≤ 1， +1 ≤ 3中等号不能同时取得，
+ 1 ≤ 3,
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解得：1 ≤ ≤ 2，
综上所述： 的取值范围为{ |1 ≤ ≤ 2}．
17.【答案】解：(1)当0 < ≤ 1时，
如图，设直线 = 与△ 分别交于 、 两点，则| | = ，

又 = = √ 3，∴ | | = 3 ，
√
1 1 √ 3
∴ ( ) = | | | | = √ 3 = 2
2 2 2
(2)当1 < ≤ 2时，
如图，设直线 = 与△ 分别交于 、 两点，则| | = 2 ，
| | | | √ 3
又 = = = √ 3，∴ | | = √ 3(2 )
| | | | 1
1 1 √ 3 √ 3
∴ ( ) = 2 √ 3 | | | | = √ 3 (2 )2 = 2 +2√ 3 √ 3
2 2 2 2
(3)当 > 2时， ( ) = √ 3
√ 3 2 ,0 < ≤ 1
2
综上所述 ( ) = √ 3 2 +2√ 3 √ 3, 1 < ≤ 2
2
{√ 3, > 2
18.【答案】解：(1) ( )为奇函数，现由如下：
由题意，函数 ( )的定义域为 ，关于原点对称，
∵恒有 ( + ) = ( ) + ( )
令 = = 0得 (0) = 2 (0)，解得 (0) = 0，
令 = 得 ( ) + ( ) = (0) = 0，
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∴ ( ) = ( )对任意 ∈ 恒成立，∴ ( )为奇函数．
(2)任取 1， 2 ∈ ，且 1 < 2，则 2 1 > 0．
∵当 > 0时， ( ) > 0，∴ ( 2 1) > 0，∵ ( )为奇函数．
( 2) ( 1) = ( 2)+ ( 1) = ( 2 1) > 0，
即 ( 1) < ( 2)，∴ ( )在 上单调递增，
∴ ( )在区间[ 4,4]的最小值为 ( 4)，
∵ (1) = 1，令 = = 1，得 (2) = (1) + (1) = 2，
令 = 2， = 2得 (4) = (2+ 2) = (2)+ (2) = 2 +2 = 4，
( )在区间[ 4,4]的最小值为 ( 4) = (4) = 4．
19.【答案】解：(1)对于① = + 1，
当 = 1时， = 2，当 = 2时， = 3，
∴ = 1，符合题意；
对于② = |2 |，
当 = 1时， = 2，当 = 2时， = 4，
∴ ≠ 1，不符合题意；
对于③ = 2，
当 = 1时， = 1，当 = 2时， 4，
∴ ≠ 1，不符合题意；
故答案为：①；
(2)①二次函数 ： = 2 2 3 ( ≠ 0)对称轴为直线 = 1，
当 = 1时， 1 = 4 ，当 = 2时， 2 = 3 ，
当 > 0时，则当1 ≤ ≤ 2时， 随 的增大而增大，
∴ 2 1 = 3 ( 4 ) = 1，
∴ = 1，
当 < 0时，则当1 ≤ ≤ 2时， 随 的增大而减小，
∴ 2 1 = 4 ( 3 ) = 1，
∴ = 1，
综上所述， = 1或 = 1；
②二次函数 ： = 2 2 3 ( ≠ 0)为 = 2 2 3，对称轴为直线 = 1，
当 = ， 21 = 2 3，
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当 = + 1时， 2 = ( + 1)
2 2( + 1) 3 = 2 4，
当 = 1时， 3 = 4．
若 > 1，则 2 22 1 = 4 ( 2 3) = 1，解得 = 1(舍去)；
1
若 ≤ ≤ 1，则 = 22 3 4 ( 4) = 1，解得 = 1(舍去)， = 1； 2
1
若0 ≤ < ，则 1 3 = (
2 2 3) ( 4) = 1，解得 = 0， = 2(舍去)；
2
若 < 0，则 2 21 2 = 2 3 ( 4) = 1，解得 = 0(舍去)．
综上所述， = 0或 = 1；
(3)由(2)可知，二次函数 ： = 2 2 3 ( ≠ 0)对称轴为直线 = 1，
又∵ + 2 ≤ ≤ 2 +1，
∴ > 1，
∴ 3 < + 2 ≤ ≤ 2 +1，
∴当 + 2 ≤ ≤ 2 +1时， 随 的增大而增大，
当 = 2 + 1时取得最大值， = + 2时取得最小值，
2 (2 +1) 2 (2 +1) 3 4 +4 8∴ = = 2 = = 4 ( +2) 2 ( +2) 3 +3 +3
∵ ， 为整数，且 > 1，
∴ + 3 = 8，即 的值为5，
又∵ = 1，
∴ (10+ 1)2 2 (10+ 1) 3 [ (5 + 2)2 2 (5 + 2) 3 ] = 1，
1
∴ = ．
64
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