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浙教版九年级上册期末试题调研名校模考卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列事件属于随机事件的是（ ）
A．标准大气压下，温度降到0℃以下时，自来水会结冰
B．随意打开一本书，书的页码是奇数页
C．任意一个五边形的外角和为
D．如果，那么
2．关于抛物线，下列说法不正确的是（ ）
A．图像开口向下 B．顶点坐标是
C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大
3．如图，是的直径，点B，C在上，若，，则的长为（ ）
A． B．20 C． D．
4．在平面直角坐标系中有E，F，G，H四个点，其中恰有三点在二次函数图象上，根据图中四点的位置，判断这四个点中在函数的图象上的三个点是（ ）
A．E，F，G B．E，F，H C．E，G，H D．F，G，H
5．如图，在等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．在同一平面直角坐标系中，函数和是常数，且的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图， 点 E 是线段 的中点， ， 下列结论中， 说法错误的是（ ）
A． 与 相似 B． 与 相似
C． D．
8．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示（实线部分）．若直线与新函数的图象有3个公共点，则b的值是（ ）
A．0 B．-3 C．-4 D．-5
9．如图，在矩形中，过点作对角线的垂线并延长，与的延长线交于点，与交于点，垂足为点，连接，且，则下列结论正确的有（ ）个：①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，AC，BD是⊙O的两条直径，∠AOD＝60°，点M是劣弧AB上任意一点，过点M作AC的垂线，交AC、BD所在直线于点E、G，过点M作BD的垂线，交BD、AC所在直线于点F、H，小明思考后提出如下说法，其中不正确的是（ ）
A．
B．∠EMF＝60°
C．当M平分弧AB时，四边形AMBO为菱形
D．当△MFG≌△BCD时，
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．一个圆形转盘的半径为2cm，现将这个转盘分成若干个扇形，并分别相间涂上红、黄两种颜色，转动转盘10000次，指针指向红色区域为250次，请问指针指向红色区域的概率的估计值是 ．
12．已知点P为平面内一点，若点P 到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O 的半径为 ．
13．如图，是的对角线，是边上的点，且，连接交于点．若的面积为2，则四边形的面积为 ．
14．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加 ．（结果可保留根号）
15．如图，电路图上有随机闭合开关、中的一个，能够让灯泡发光的概率为 ．
16．如图，在边长为7的等边△ABC中，D、E分别在边AC、BC上，AD＝2CD，CE＝2BE，连结AE、BD交于点P，则CP的长为 ．
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．（9分）已知函数（b，c为常数）的图像经过点，.
（1）求b，c的值；
（2）当时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值.
18．（9分）我市某电器商场代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现，在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）若某月空气净化器售价降低30元，则该月可售出多少台？
（2）试确定月销售量 （台）与售价 （元/台）之间的函数关系式，并求出售价 的范围．
（3）当售价 （元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润 （元）最大，最大利润是多少？
19．（9分）如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为（－1，－4）.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当－5＜x＜0时，y的取值范围为 ；
（3）直接写出该二次函数的图象经过怎样的平移恰好过点（3，4），且与x轴只有一个公共点.
20．（9分）某公司生产A型活动板房成本是每个425元.图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD=4米，宽AB=3米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米.
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用 表示.直接写出抛物线的函数表达式 .
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房.如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户每平方米的成本为50元.已知GM=2米，直接写出：每个B型活动板房的成本是 元.（每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场信息，这样的B型活动板房公司每月最多能生产 个，若以单价 元销售B型活动板房，每月能售出 个；若单价每降低 元，每月能多售出 个这样的B型活动板房.不考虑其他因素，公司将销售单价 （元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润 （元）最大？最大利润是多少？
21．（9分）如图，正方形 的边长为4，点 在 边上， ， 为 的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形 ，点 在线段 上运动（点 可与点 ，点 重合），作矩形 ，其中 ， 两点分别在 ， 边上．设 ，矩形 的面积为 ．
（1） （用含 的式子表示）， 的取值范围是 ；
（2）求 与 的函数关系式；
（3）要使矩形 的面积最大，点 应在何处？并求最大面积．
22．（9分）在中，，，D为平面内一点.
图1 图2
（1）当D在线段上时，将线段绕点A顺时针旋转至，连接，请你在图1中完成作图，并直接写出和的位置关系 ▲ ；
（2）在（1）的条件下，连接交于G，过点C作的垂线交延长线于点F，试判断线段与的数量关系并证明；
（3）如图2，点D位于上方，且，的面积为9，直接写出的长度 .
23．（12分）△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，将△ADE绕点A逆时针旋转一周，连接DB，将线段DB绕点D逆时针旋转90°得DF，连接EF．
（1）如图1，当D在AC边上时，线段CD与EF的关系是 ，
（2）如图2，当D在△ABC的内部时，（1）的结论是否成立？说明理由；
（3）当AB＝3，AD＝，∠DAC＝ 45°时，直接写出△DEF的面积．
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浙教版九年级上册期末试题调研名校模考卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列事件属于随机事件的是（ ）
A．标准大气压下，温度降到0℃以下时，自来水会结冰
B．随意打开一本书，书的页码是奇数页
C．任意一个五边形的外角和为
D．如果，那么
【答案】B
【解析】【解答】解：、通常温度降到以下，自来水会结冰，是必然事件，故不符合题意；
、随意翻到一本书，书的页码是奇数，是随机事件，符合题意；
、任意一个五边形的外角和等于，是必然事件，不符合题意；
、如果，那么，是必然事件，不符合题意；
故答案为：
【分析】根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义结合题意对选项进行判断即可求解。
2．关于抛物线，下列说法不正确的是（ ）
A．图像开口向下 B．顶点坐标是
C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大
【答案】D
【解析】【解答】解：A、在中，，则抛物线开口向下，A不符合题意；
B、，顶点坐标为（-1，4），B不符合题意；
C、，对称轴是直线，D不符合题意；
D、，当时，y随x的增大而减小，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据二次函数的图象与性质结合题意对选项逐一分析即可求解。
3．如图，是的直径，点B，C在上，若，，则的长为（ ）
A． B．20 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】连接BD，如图所示：
∵，，
∴∠BAD=∠BCD=45°，
∵是的直径，
∴∠ABD=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵，
∴AD=AB=，
故答案为：A.
【分析】利用圆周角的性质证出△ABD是等腰直角三角形，再结合求出AD=AB=即可.
4．在平面直角坐标系中有E，F，G，H四个点，其中恰有三点在二次函数图象上，根据图中四点的位置，判断这四个点中在函数的图象上的三个点是（ ）
A．E，F，G B．E，F，H C．E，G，H D．F，G，H
【答案】B
【解析】【解答】根据四点的位置可知，G、H的横坐标相同，
∴G、H不会同时在二次函数的图象上，
∵二次函数开口向下，
∴在函数的图象上的三个点是E、F、H，
故答案为：B.
【分析】先判断出G、H不会同时在二次函数的图象上，再结合二次函数开口向下，可得在函数的图象上的三个点是E、F、H，从而得解.
5．如图，在等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
解：将△BCD绕点B逆时针旋转60° ，得到△BAE
.BD=BE， CD=AE，∠DBE=60°
.OBDE是等边三角形
.DE=BD=BE=9
：△ABC是等边三角形
.BC=AC=10
： OADE的周长=AE+AD+DE=AD+CD+ DE=AC+BD
.OADE的周长=19
故答案为：D.
【分析】由旋转的性质可得BD=BE， CD=AE，∠DBE=60°，可得△BDE是等边三角形，即可求DE= BD=BE=9，根据△ADE的周长=AE+AD+DE=AE+CD+DE=AC+ BD，可求△ADE的周长.
6．在同一平面直角坐标系中，函数和是常数，且的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】A、由一次函数的图象可得：a<0，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴为直线x=，∴A不正确；
B、由一次函数的图象可得：a<0，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴为直线x=，∴B正确；
C、由一次函数的图象可得：a>0，此时二次函数的图象应该开口向下，∴C不正确；
D、由一次函数的图象可得：a<0，此时二次函数的图象应该开口向上，∴D不正确；
故答案为：B.
【分析】利用一次函数和二次函数的图象与系数的关系逐项分析判断即可.
7．如图， 点 E 是线段 的中点， ， 下列结论中， 说法错误的是（ ）
A． 与 相似 B． 与 相似
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，
又
故A选项不符合题意
为的中点
又
故B、C选项不符合题意
若
则
根据现有条件无法判断，故
故D选项符合题意
故答案为：D．
【分析】由，=∠C，求出∠BAE=∠DEC，
可证，可得，由E为的中点可得，即得，结合，可证，据此判断A、B、C；由可得，若，即得，根据等角对等边可得AE=DE，根据现有条件无法判断，据此判断D即可.
8．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示（实线部分）．若直线与新函数的图象有3个公共点，则b的值是（ ）
A．0 B．-3 C．-4 D．-5
【答案】C
【解析】【解答】解：原二次函数，
∴顶点，
翻折后点C对应的点为，
∴当直线与新函数的图象有3个公共点，直线过点D，此时．
故答案为：C.
【分析】根据图象知直线与新函数的图象有3个公共点，可得直线过点D，求出点D坐标再代入求出b值即可.
9．如图，在矩形中，过点作对角线的垂线并延长，与的延长线交于点，与交于点，垂足为点，连接，且，则下列结论正确的有（ ）个：①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：①由题意可得：，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，①符合题意；
②由题意可得：，
∴，
∴，即，
∴，即，②不符合题意；
③由题意可得：，
∴，
∴，即
又∵，
∴，③符合题意；
④过点作，交延长线于点，如下图：
由题意可得：，，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，④符合题意；
正确的个数为3，
故答案为：C
【分析】利用全等三角形的判定方法和性质，相似三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
10．如图，AC，BD是⊙O的两条直径，∠AOD＝60°，点M是劣弧AB上任意一点，过点M作AC的垂线，交AC、BD所在直线于点E、G，过点M作BD的垂线，交BD、AC所在直线于点F、H，小明思考后提出如下说法，其中不正确的是（ ）
A．
B．∠EMF＝60°
C．当M平分弧AB时，四边形AMBO为菱形
D．当△MFG≌△BCD时，
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵∠OFH＝＝∠OEG＝90°，∠FOH＝∠EOG，
∴∠MHE＝∠OGE，
∵∠MEH＝∠OEG＝90°，
∴△MEH∽△OEG，
∴ ，
故此选项正确，不符合题意；
B、∵△MEH∽△OEG，
∴∠EMH＝∠EOG，
∵∠AOD＝60°，
∴∠EMF＝60°，
故此选项正确，不符合题意；
C、连接OM，
当M平分弧AB时，则∠AOM＝∠BOM，
∵∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOM＝∠BOM＝60°，
∵OA＝OM＝OB，
∴△OAM和△OBM都是等边三角形，
∴OA＝OB＝OM＝AM，
∴四边形AMBO为菱形，
故此选项正确，不符合题意；
D、当△MFG≌△BCD时，则MF＝BC，
∵∠BOC＝∠AOD＝60°，OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC，
∴OB＝FM，
此时F、H则与点O重合，
∴∠MHE＝∠MOE＝30°，
设BC＝OB＝OM＝r，则ME＝ ，HE＝OE＝ r，
∴
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠DBC＝60°，
∴CD＝ ，
∴
∴ ，
故此选项错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】A、根据三角形内角和定理证明∠MHE＝∠OGE，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△MEH∽△OEG，由相似三角形的对应边成比例可判断A；
B、由相似三角形的对应角相等得∠EMH＝∠EOG，便可判断B；
C、连接OM，由等弧所对的圆心角相等得∠AOM＝∠BOM＝60°，再证明△OAM和△OBM都是等边三角形，得出OA＝OB＝AM＝BM，便可判断C；
D、当△MFG≌△BCD时，则MF＝BC，再证明△OBC为等边三角形，得OB＝BC＝FM，此时F、H则与点O重合，作出示意图，设圆的半径为r，用r表示△MEH与四边形ABCD的面积便可求得比值，从而判断D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．一个圆形转盘的半径为2cm，现将这个转盘分成若干个扇形，并分别相间涂上红、黄两种颜色，转动转盘10000次，指针指向红色区域为250次，请问指针指向红色区域的概率的估计值是 ．
【答案】2.5%
【解析】【解答】解： 概率的估计值是 ：。
故答案为：2.5%。
【分析】直接根据概率计算公式计算即可。
12．已知点P为平面内一点，若点P 到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O 的半径为 ．
【答案】2或3
【解析】【解答】①当点P在⊙O外时，如图：
∵点P 到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，
∴PB=5，PA=1，
∴AB=PB-PA=5-1=4，
∴⊙O的半径为：2.
②当点P在⊙O内时，如图：
∵点P 到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，
∴PB=5，PA=1，
∴AB=PA+PB=5+1=6，
∴⊙O的半径为：3.
故答案为：2或3.
【分析】分两种情况进行讨论：①当点P在⊙O外时，②当点P在⊙O内时，进行计算即可.
13．如图，是的对角线，是边上的点，且，连接交于点．若的面积为2，则四边形的面积为 ．
【答案】5.5
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DE//BC，AD=BC，
∴△EFD∽△CFB，
∴EF：CF=DE：BC，
∵AE=DE，
∴DE=AD=BC，
∵△DEF的面积为2，
∴△BFC的面积为4.5，
∵△DEF和△DFC中EF，CF边上的高相等，△DEF的面积为2，EF：CF=2：3，
∴△DFC的面积为3，
∴△BCD的面积=3+4.5=7.5，
∴△ABD的面积=7.5，
∴四边形ABFE的面积=7.5-2=5.5，
故答案为：5.5.
【分析】先证出△EFD∽△CFB，可得EF：CF=DE：BC，再结合AE=DE，求出DE=AD=BC，再结合△DEF和△DFC中EF，CF边上的高相等，△DEF的面积为2，EF：CF=2：3，求出△DFC的面积为3，再求出△ABD的面积=7.5，最后求出四边形ABFE的面积=7.5-2=5.5即可.
14．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加 ．（结果可保留根号）
【答案】
【解析】【解答】解：以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图
由已知可得抛物线顶点C坐标为(0，2).
设抛物线解析式为y=ax2+2，将A(-2，0)代入得：0=4a+2，
解得：a=-0.5，
∴抛物线解析式为y=-0.5x2+2
把y=-1代入抛物线解析式得出：-1=-0.5x2+2，
解得：
∴水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了米，
故答案为：
【分析】以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，由已知可得抛物线顶点C坐标为(0，2)，设抛物线解析式为y=ax2+2，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得抛物线解析式为y=-0.5x2+2，再将y=-1代入解析式即可求出答案.
15．如图，电路图上有随机闭合开关、中的一个，能够让灯泡发光的概率为 ．
【答案】
【解析】【解答】随机闭合开关有2种可能，灯泡发光的有一种，故发光的概率是.
故答案为：.
【分析】考查概率的求法：随机闭合若干一个事件有n种可能，而这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率是P(A)=
16．如图，在边长为7的等边△ABC中，D、E分别在边AC、BC上，AD＝2CD，CE＝2BE，连结AE、BD交于点P，则CP的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连结 DE，取CE的中点F，连结 DF. 则CE＝2CF＝2EF.
∵△ABC 是等边三角形，边长为7，
∴ AC=BC=7，∠ACB=60°.
∵AD＝2CD，AD+CD=AC，
∴AC＝3CD.
∵CE＝2BE，CE+BE=BC，
∴BC＝3BE.
∴CD = BE.
∴CE＝2CD.
∵CE＝2CF，
∵CF＝CD.
∴△CDF为等边三角形.
∴CF＝CD=DF.
∴∠CDE=90°.
∴DE=CD=AC=.
∴AE =
∵AB=BC，∠ABE=∠BCD，BE=CD，
∴△ABE△BCD.
∴∠BAE=∠CBD.
∴∠APD=∠BAE+∠ABP=∠CBD+∠ABP=∠ABC.
∴∠APD=∠ACE.
∵∠PAD=∠CAE，
∴△APD△ACE.
∴
∵∠PAC=∠DAE，
∴△APC△ADE.
∴
∴PC = .
故答案为：.
【分析】连结 DE，取CE的中点F，连结 DF. 先证△CDF为等边三角形，然后根据勾股定理，得出DE，AE的长，接着证明△APD△ACE，即可得出结论.
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．（9分）已知函数（b，c为常数）的图像经过点，.
（1）求b，c的值；
（2）当时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值.
【答案】（1）解：把，代入可得∶
，解得：
（2）解：由（1）得：该函数解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵
∴抛物线开口向上，
又∵，
∴当时，y有最小值为；时，y有最小值为3
∴y的最大值与最小值之差为
（3）解：∵
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
①当时，即
∴当时，y有最小值为，y有最大值为
∵
∴；
①当时，即
∴当时，y有最小值为
当时，y有最大值为
∴，解得
∵与矛盾
∴不符合题意.
综上，.
【解析】【分析】（1）将（0，3）、（6，3）代入y=x2+bx+c中进行计算可得b、c的值；
（2）根据b、c的值可得二次函数的解析式，则顶点坐标为（3，-6），开口向上，当x=3时，y取得最小值；当x=0时，y取得最大值，然后求差即可；
（3）根据二次函数的解析式可得当x≤3时，y随x的增大而减小；当x≥3时，y随x的增大而增大，①当k-4≤3≤k，即3≤k≤7时，在x=3处取得最小值，在x=k处取得最大值，然后根据最大值与最小值之差为8就可求出k的值；①当3≤k-4，即k≥7时，在x=k-4处取得最小值，在x=k处取得最大值，同理求解即可.
18．（9分）我市某电器商场代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现，在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）若某月空气净化器售价降低30元，则该月可售出多少台？
（2）试确定月销售量 （台）与售价 （元/台）之间的函数关系式，并求出售价 的范围．
（3）当售价 （元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润 （元）最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：由题意得： （台）
答：该月可售出350台
（2）解：由题意得：
由供货商对售价和销售量的规定得： ，即
解得：
答：所求的函数关系式为 ，售价 的范围为
（3）解：由题意和（2）可得：
整理得：
由二次函数的性质可知：当 时， 随x的增大而减小
则当 时， 取得最大值，最大值为 （元）
答：当售价定为330元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润最大，最大利润是71500元
【解析】【分析】（1）由“原销售量+5×降低的价格=实际销售量”列式计算即可；
（2）根据销售量=原销售量+降低的销售量即可得出y与x的关系式；
（3）由总利润=每台利润×数量即可得出w与x的关系式，由二次函数的性质即可得出结论。
19．（9分）如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为（－1，－4）.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当－5＜x＜0时，y的取值范围为 ；
（3）直接写出该二次函数的图象经过怎样的平移恰好过点（3，4），且与x轴只有一个公共点.
【答案】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为y＝a（x＋1） 2－4.
将（1，0）代入y＝a（x＋1） 2－4，得，
解得，a＝1，
∴y＝（x＋1） 2－4.
（2）4≤y＜12
（3）解：因此，该二次函数图象经过向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度或向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度恰好过点（3，4），且与x轴只有一个公共点.
【解析】【解答】解：（2）当x=-5时，y=（-5+1）2-4=12
∵抛物线的顶点坐标为（-1，-4）
∴当 时，y的最小值为-4，
∴当－5＜x＜0时，y的取值范围为－4≤y＜12
故答案为：4≤y＜12；
（3）解：∵抛物线与x轴只有一个公共点
∴该二次函数的图象向上平移了4个单位，
设平移后的二次函数解析式为
∵平移后的二次函数图象经过点（3，4）
∴
∴
因此，该二次函数图象经过向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度或向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度恰好过点（3，4），且与x轴只有一个公共点.
【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)2-4，将（1，0）代入求解可得a的值，据此可得二次函数的解析式；
（2）x=-5时，y=12，当x<0时，y的最小值为-4，据此可得y的取值范围；
（3）根据抛物线与x轴只有一个公共点可知该二次函数的图象向上平移了4个单位，设平移后的二次函数解析式为y=(x+1+h)2，将（3，4）代入可得h的值，据此解答.
20．（9分）某公司生产A型活动板房成本是每个425元.图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD=4米，宽AB=3米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米.
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用 表示.直接写出抛物线的函数表达式 .
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房.如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户每平方米的成本为50元.已知GM=2米，直接写出：每个B型活动板房的成本是 元.（每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场信息，这样的B型活动板房公司每月最多能生产 个，若以单价 元销售B型活动板房，每月能售出 个；若单价每降低 元，每月能多售出 个这样的B型活动板房.不考虑其他因素，公司将销售单价 （元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润 （元）最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）500
（3）解：根据题意，得
，
每月最多能生产 个B型活动板房，
，
解得 ，
，
时， 随 的增大而减小，
当 时， 有最大值，且最大值为
答：公司将销售单价 定为 元时，每月销售B型活动板房所获利润 最大，最大利润是 元.
【解析】【解答】解 ：（1） 长方形的长 ，宽 ，
抛物线的最高点E到BC的距离为
，
，
，
，
，
由题意知抛物线的函数表达式为
，把点
代入，
得
，
该抛物线的函数表达式为
.
故答案为：
（2）
，
，
当
时，
，
，
，
，
每个B型活动板房的成本是
（元）.
故答案为：500；
【分析】（1）易得抛物线的最高点E到BC的距离为4，则OH=AB=3，EO=EH-OH=1，得到点D、E的坐标，将点D的坐标代入y=ax2+1中求出a，据此可得抛物线的函数表达式；
（2） 易得OM=OG=1，将x=1代入抛物线解析式中求出y，可得点N的坐标，然后求出MN，根据矩形的面积公式求出矩形MNFG的面积，进而可得成本；
（3）由题意可得每个的利润为(n-500)元，当售价为n元时，降低的钱数为(650-n)，多售出的个数为
，表示出实际售出的个数，然后根据利润W=(售价-成本)×个数可得W与n的关系式，根据 每月最多能生产160个B型活动板房可得关于n的不等式，求出n的范围，然后利用二次函数的性质进行求解.
21．（9分）如图，正方形 的边长为4，点 在 边上， ， 为 的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形 ，点 在线段 上运动（点 可与点 ，点 重合），作矩形 ，其中 ， 两点分别在 ， 边上．设 ，矩形 的面积为 ．
（1） （用含 的式子表示）， 的取值范围是 ；
（2）求 与 的函数关系式；
（3）要使矩形 的面积最大，点 应在何处？并求最大面积．
【答案】（1）4-x；0≤x≤10
（2）解：如图，延长 交 于
正方形 的边长为4， 为 的中点，矩形 ， ， ，
．
，其中 ．
（3）解：
＜
此抛物线开口向下，对称轴为
当 时， 随 的增大而增大．
的取值范围为 ，
当 时，矩形 的面积最大，
此时点 与点 重合，此时最大面积为 12．
【解析】【解答】解：（1） 正方形 的边长为4，
，其中 ．
故答案为： ， ．
【分析】（1） 正方形 的边长为4， ，结合题意可知点M可与点C、D重合，从何得出X的取值范围；
（2） 如图，延长 交 于 证明 求解 从而可得出 ． 再根据矩形的民间故事列出函数关系式；
（3）由 可得该抛物线开口向下，对称轴是直线 从而得出 当 时， 随 的增大而增大． 再结合X的取值范围为 求得答案即可。
22．（9分）在中，，，D为平面内一点.
图1 图2
（1）当D在线段上时，将线段绕点A顺时针旋转至，连接，请你在图1中完成作图，并直接写出和的位置关系 ▲ ；
（2）在（1）的条件下，连接交于G，过点C作的垂线交延长线于点F，试判断线段与的数量关系并证明；
（3）如图2，点D位于上方，且，的面积为9，直接写出的长度 .
【答案】（1）解：补充作图如下：
（2）解：
证明如下：
如图，在线段上截取，连接；
∵，
∴；
由（1）知，
∴；
由（1）知，
∵，
∴，
∴，；
∵，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
（3）解：
【解析】【解答】解：（1）连接DE
∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=45°
∵线段绕点A顺时针旋转至
∴AE=AD，∠EAD=90°
∵∠BAC=90°
∴∠EAB=∠DAC
在△EAB和△DAC中
∴△EAB≌△DAC（SAS）
∴∠EBA=∠ACD=45°
∴∠EBC=∠EBA＋∠ABC=90°
∴EB⊥BC
故答案为：EB⊥BC
（3）过点A作AN⊥AD交CD于点N，连接BN
∵AN⊥AD
∴∠DAN=90°
∵∠ADC=45°
∴∠AND=∠ADC=45°
∴AD=AN
∵∠DAN=∠BAC=90°
∴∠DAC=∠NAB
∵AB=AC，AN=AD
∴△ABN≌△ACD(SAS)
∴BN=CD，∠ANB=∠ADC=45°
∴∠BND=∠ANB＋∠AND=90°
∵△BDC的面积为9
∴
解得：
【分析】（1）根据旋转性质作图即可，连接DE，根据等腰直角三角形性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据旋转性质可得AE=AD，∠EAD=90°，则∠EAB=∠DAC，根据全等三角形判定定理可得△EAB≌△DAC（SAS），则∠EBA=∠ACD=45°，即∠EBC=∠EBA＋∠ABC=90°，再根据垂直判定即可求出答案.
（2）在线段上截取，连接，根据等腰三角形性质可得，由（1）知，则，由（1）知，则，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）过点A作AN⊥AD交CD于点N，连接BN，根据三角形内角和定理可得∠AND=∠ADC=45°，则AD=AN，根据角之间的关系可得∠DAC=∠NAB，再根据全等三角形判定定理可得△ABN≌△ACD(SAS)，则BN=CD，∠ANB=∠ADC=45°，再根据角之间的关系可得∠BND=90°，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
23．△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，将△ADE绕点A逆时针旋转一周，连接DB，将线段DB绕点D逆时针旋转90°得DF，连接EF．
（1）如图1，当D在AC边上时，线段CD与EF的关系是 ，
（2）如图2，当D在△ABC的内部时，（1）的结论是否成立？说明理由；
（3）当AB＝3，AD＝，∠DAC＝ 45°时，直接写出△DEF的面积．
【答案】（1）CDEF；CD=EF
（2）解：结论成立，理由如下：
连接CE，延长BD交CE于点H，交AC于点G，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠DAB=∠EAC=90°-∠DAC，
∵AB=AC ，AD=AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD=CE ，∠DBA=∠ECA，
∵∠BGA+∠DBA=90°，∠BGA=∠CGH ，∠DBA=∠ECA，
∴∠CGH+∠ECA=90°，
∴∠DHE=90°，
由旋转的性质可得∠BDF=90°，BD=FD，
∴DF∥CE，
∵DF=BD，
∴DF∥CE，CD=CE，
∴四边形DCEF是平行四边形
∴CD∥EF，CD=EF；
（3）解：1或2
【解析】【解答】解：（1）CD∥EF ，CD=EF，理由如下：
如图所示，连接CE，延长BD交CE于H，
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AB=AC，AE=AD，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠CDH，
∴∠ACE+∠CDH=90°，
∴∠BHC=90°，
∴∠BHE=90°，
由旋转的性质可得∠BDF=90°，BD=FD，
∴∠BDF=∠BHE=90°，BD=CE，
∴DF∥CE，
∴四边形CDFE是平行四边形，
∴CD∥EF，CD=EF；
（3）如图3所示，当∠DAC=45°时，设AC与DE交于H，
∵∠ADE=90°，
∴∠EAC=∠ADC=45°，
又∵AD=AE，
∴，
∴；
∴，
由（2）可知四边形DFEC是平行四边形，
∴；
如图4所示，当∠DAC=45°时，
∴∠DAC=∠ADE=45°，
∴AC∥DE，
∴，
同理可证四边形CEFD是平行四边形，
∴，
综上所述，△DEF的面积为1或2．
【分析】（1）CD∥EF ，CD=EF，理由：连接CE，延长BD交CE于H，求出BD=CE，DF∥CE，
可证四边形CDFE是平行四边形，可得CD∥EF，CD=EF；
（2） 结论成立，理由：连接CE，延长BD交CE于点H，交AC于点G， 同（1）证法相同；
（3）分两种情况：①当点D在边AC的左侧，②当点D在边AC的右侧，可证四边形CEFD是平行四边形，利用平行四边形的性质分别求解即可.
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