天津市双菱中学2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试卷（PDF版，含答案）

天津市双菱中学 2024-2025 学年高二上学期第三次月考数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 3 分，共 27 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线过点(1,2)，(4,2 + √ 3)，则此直线的倾斜角是( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
2.圆 2 21： + + 4 4 + 7 = 0与圆 2：
2 + 2 4 + 10 + 13 = 0的公切线的条数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2 2 √ 2
3.“ = 8”是“椭圆 + = 1的离心率为 ”的( )
4 2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减
一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走252里路，第一天
健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则最后一天走了( )
A. 4里 B. 16里 C. 64里 D. 128里
5.已知直线 = + 2与圆 ： 2 + 2 = 2交于 ， 两点，且| | = 2，则 =( )
√ 3 √ 3
A. B. ± C. √ 3 D. ±√ 3
3 3
2 2
6.若双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线与直线 = 2 垂直，且直线3 + 6 = 0过双曲线的一
个焦点，则双曲线实轴长为( )
8√ 5 4√ 5
A. 2√ 2 B. 2√ 3 C. D.
5 5
1
7.设 是等差数列{ }的前 项和，若
3 = ，则 6 =( )
6 3 12
1 1 1 3
A. B. C. D.
3 8 9 10
2 2
8.双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左焦点为 ，过原点作一条直线分别交 的左右两支于 ， 两点，

若∠ = ，| | = 2| |，则此双曲线的离心率为( )
3
A. √ 2 B. √ 3 C. √ 7 D. 3
2 2 1
9.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)，其左、右焦点分别为 1， 2，离心率为 ，点 为该椭圆上一点，且 2

满足∠ 1 2 = ，若△ 1 2的内切圆的面积为 ，则该椭圆的方程为( ) 3
2 2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1
12 9 16 12 24 18 32 24
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二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。
1
10.抛物线 = 2的准线方程为______．
4
11.在等差数列{ }中， 1 + 9 = 2，则 4 + 4 5 + 6 =______．
12.过点 (1,2)作圆 2 + 2 = 1的切线，则切线方程为______．
13.已知数列{ }( ∈
)的前 项和 = 3
2 1，则{ }的通项公式是______．
14.直三棱柱 1 1 1中，∠ = 90°， 1， 1分别是 1 1， 1 1的中点， = = 1，则 1与
1所成角的余弦值为______．
2 2
15.若 1、 2是椭圆 ： + = 1的两个焦点，过 1的直线 与椭圆 交于 、 两点， 为坐标原点，则下列9 25
说法中正确的是______. (填序号)
4
①椭圆 的离心率为 ；
5
②存在点 使得 1 ⊥ 2；
③若| 2| + | 2| = 17，则| | = 3；
④ △ 1 2面积的最大值为12．
三、解答题：本题共 4 小题，共 49 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
2 2
已知椭圆 的与椭圆 ： + = 1有相同的焦点，且椭圆 过点(0,2)．
9 5
(1)求： 的标准方程；
(2)设直线 = + 2与 交于 ， 两点( 在 的右侧)， 为原点，求 ．
17.(本小题13分)
1
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ，∠ = 90°， = = = = 1，点 是
2
线段 中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求二面角 的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
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18.(本小题13分)
已知各项都为正数的等差数列{ }的前 项和为 ，且 9 = 45，且 1， 4 1， 8 + 1构成等比数列．
(1)求数列{ }的通项公式．
1
(2)设 = ，求：数列{ }的前 项和． +1
(3)若 = 4 ，求：数列{ }的前 项和．
19.(本小题13分)
2 2 √ 2 √ 3
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)经过点( , )，且短轴长为2． 2 2
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若过椭圆 的右焦点 且斜率不为0的直线 与椭圆 交于 ， 两点，点 与点 关于坐标原点 对称，求△
面积的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】 = 1
11.【答案】6
12.【答案】3 4 + 5 = 0或 = 1
2, = 1
13.【答案】 = { 6 3, ≥ 2
√ 30
14.【答案】
10
15.【答案】②③④
2 2
16.【答案】解：(1)因为椭圆 ： + = 1，
9 5
所以 = √ 9 5 = 2，
2 2
设椭圆 的标准方程为 2 + 2 = 1( > > 0)，
因为椭圆 过点(0,2)，
= 2
4
所以{ 2 = 1 ，

2 = 2 + 2
解得 = 2√ 2， = 2，
2 2
则椭圆 的标准方程为 + = 1；
8 4
= + 2
(2)联立{ 2 2 ，消去 并整理得3 2 + 8 = 0，
+ = 1
8 4
8
解得 1 = 0， 2 = ， 3
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8 2
所以 (0,2)， ( , ).
3 3
8 2 4
则 = 0 × ( ) + 2 × ( ) = ．
3 3 3
17.【答案】解：(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ，如图所示：
1
因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 // ， = ，
2
1
又因为 // ， = ，所以 // ， = ，
2
即四边形 为平行四边形，所以 // ．
因为 平面 ， 平面 ， // ，
所以 //平面 ．
(2)以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所示：
1
(0,0,0)， (1,1,0)， (0,2,0)， (0,0,1)， (0,1, )，
1
= (0,1, )， = (1,1,0)，
2 2
设平面 的法向量为 = ( , , )，

1
= + = 0
则{ 2 ，令 = 1，则 = 1， = 2，即 = (1, 1,2)，
= + = 0
平面 的法向量为 = (0,0,1)．
2 √ 6
所以cos , = = = ，
| | | | √ 6 3
因为二面角 的平面角为锐角，所以二面角 的余弦值为√ 6．
3
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(3)平面 的法向量为 = (1, 1,2)， = (0,0,1)，
| | 2 √ 6
设点 到平面 的距离为 ，则 = = = ．
| | √ 6 3
18.【答案】解：(1)设等差数列{ }的公差为 ， > 0，
9( 1+ 9) 9×2 ∵ 9 = 45，∴ 9 = =
5 = 9 = 45，解得 = 5，
2 2 5 5
∵ 1， 4 1， 8 + 1构成等比数列，
∴ ( 4 1)
2 = 1( 8 + 1)，即(5 1)
2 = (5 4 )(5 + 3 + 1)，
化简得(13 + 14)( 1) = 0，
14
解得 = (舍去)，或 = 1，
13
∴数列{ }的通项公式为 = ；
1 1 1 1
(2) = = = ， +1 ( +1) +1
1 1 1 1 1 1
可得数列{ }的前 项和为1 + +. . . + = 1 = ； 2 2 3 +1 +1 +1
(3)由(1)可知 = ， = 4 = 4 ，
则 = 1 4 + 2 4
2 + + ( 1) 4 1 + 4 ，①
4 = 1 4
2 + 2 43 + + ( 1) 4 + 4 +1，②
4(1 4 )
由① ②，得 3 2 = 4 + 4 + + 4 4
+1 = 4 +1，
1 4
1 4
∴ = ( )4
+1 + ．
3 9 9
√ 2 √ 3
19.【答案】解：(1)因为椭圆 经过点( , )，且短轴长为2，
2 2
√ 2 2 √ 3 2
( ) ( )
2 + 2 = 1
所以{
2 2 ，
2 = 2
2 = 2 + 2
解得 = √ 2， = 1， = 1，
2
则椭圆 的标准方程为 + 2 = 1；
2
(2)易知椭圆 的右焦点 (1,0)，
当直线 的斜率不存在时，
√ 2 √ 2 √ 2
此时 (1, )， (1, )， ( 1, )，
2 2 2
1
所以 △ = × 2 × √ 2 = √ 2； 2
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当直线 的斜率存在时，
设直线 的方程为 = ( 1)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= ( 1)
联立{ 2 ，消去 并整理得(2
2 + 1) 2 4 2 + 2 2 2 = 0，
+ 2 = 1
2
2 2
4 2 2
由韦达定理得 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，
2 +1 2 +1
2 2 2
2 2 2 √ 4 2 2 2 +1所以| | = √ 1 + √ ( 1 + 2) 4 1 2 = √ 1 + ( 2 ) 4 × 2 = 2√ 2 × 2 ，
2 +1 2 +1 2 +1
| |
又点 到直线 的距离 = ，
√ 2 +1
因为点 与点 关于坐标原点 对称，
所以点 是线段 的中点，
2| |
所以点 到直线 的距离为2 = ，
√ 2 +1
2
1 1 +1 |2 |
则 △ = × | | × 2 = × 2√ 2 × 2 × 2 2 2 +1 √ 2 +1
1 1
= 2√ 2 √ 2 2 < √ 2． 4 4(2 +1)
综上所述，△ 面积的最大值为√ 2．
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