四川省成都市石室中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

四川省成都市石室中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设 = ， = { | ≥ 1}， = { |0 < < 5}，则( ) ∩ =( )
A. { |0 < < 1} B. { |1 ≤ < 5} C. { |0 ≤ < 1} D. { |1 ≤ < 5}
1
2.函数 ( ) = lg(2 + ) + 的定义域为( )
√ 16 2
A. ( 2,4] B. ( 4, 2) C. ( 2,4) D. [ 4, 2)
3.小胡同学用二分法求函数 = ( )在 ∈ (1,2)内近似解的过程中，由计算可得 (1) < 0， (2) > 0，
(1.5) < 0，则小胡同学在下次应计算的函数值为( )
A. (0.5) B. (1.125) C. (1.25) D. (1.75)
2
4.幂函数 = 2 3( ∈ )的图象关于 轴对称，且在(0, +∞)上是减函数，则 的值是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.已知2 = 9
2 1
= 6，则 + =( )

A. log618 B. log65 C. 1 D. 2
6.设 ( )是定义域为 上的偶函数，且在(0, +∞)单调递增，则( )
1 3 2 1 2 3
A. ( 2 ) > (2 2) > (2

3) B. ( 2 ) > (2

3) > (2 2)
3 3
3 2 2 3
(2
1 1
C. 2) > (2 3) > ( 2 ) D. (2

3) > (2 2) > ( 2 ) 3 3
7.函数 ( ) = 2(
2 + + 2)在(1,2)上单调递减的必要不充分条件可以是( )
A. ∈ [0,2] B. ∈ [1,2) C. ∈ (1,2] D. ∈ [1,2]
( ) ( )
8.已知函数 ( )满足 ( 2 ) = ( 2 + )，对任意 1， 2 ∈ ( ∞, 2]，且 1 ≠ 2，都有
1 2 > 0成
1 2
立，且 (0) = 0，则( + 1) ( ) > 0的解集是( )
A. ( ∞, 4) ∪ (0, +∞) B. ( 2,2)
C. ( ∞, 4) ∪ ( 1,0) D. ( 4,0)
二、多选题：本题共 3 小题，共 104 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 = 1， > 0，且 ≠ 1，函数 = log ( )与 =
的图象可能是( )
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A. B.
C. D.
10.已知 > > 0， + = 1，则( )
1 1
A. < B. 2 + 2 > C. 2 < 2 D. log2( ) > 2 4 2
+ = 1
11.已知 1( 1, 1)与 2( 2, 2)是函数 ( )上两个不同的点，则关于 和 的方程组{
1 1 的解的情况
2 + 2 = 1
是( )
A. 若 ( ) = + 1( 为常数)，则无论 ， 1， 2如何，总有唯一解
B. 若 ( ) = ( 为常数)，则无论 ， 1， 2如何，总无解
C. 若 ( ) = ( > 0且 ≠ 1)，则存在 ， 1， 2，使之恰有两解
D. 若 ( ) = log ( > 0且 ≠ 1)，则存在 ， 1， 2，使之无解
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1 1
12.若 2 + 2 = 3，则 2 + 2 = ______．
2 + (4 3) + 3 , < 0
13.已知函数 ( ) = { ( > 0且 ≠ 1)在 上单调递减，则 的取值范围是 ．
( + 1) + 1, ≥ 0
2 2
+1
14.已知函数 ( ) = 2 + 5， ( ) = 11 + 4√ 6 + 1 ，若对任意的 1 ∈ [ 1,2]，总存在 2 ∈2 (2 )
2
( ∞, 1)，使得 ( 1) < ( 2)成立，则实数 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
计算下列各式的值：
(1)求值： 3 + √ 525 332 23 + √ ( 4)
2 + (2024)0；
(2)解关于 的不等式 ( 22 + 4) > 1．
16.(本小题12分)
已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，且当 ≤ 0时， ( ) = 2 + 2 + ．
(1)求出函数 ( )的解析式；
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(2)若关于 的方程 ( ) = 有3个不相等的实数根，求实数 的取值范围；
(3)求函数 = ( )在 ∈ (0, ]( > 0)时的值域．
17.(本小题12分)
海尔学校为更好的繁荣校园文化，展示阳光少年风采，举办了创意 展演活动.该活动得到了众多人士的
关注与肯定，并且随着活动的推进，也有越来越多的同学参与其中，已知前3周参与活动的同学人数如下表
所示：
活动举办第 周 1 2 3
参与活动同学人数 (人) 18 24 33
(1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算 ( ∈ )周后参与活动的同学人数 (人)，

并求出你选择模型的解析式：① = + ( > 0)，② = log + ( > 0且 ≠ 1)，③ =
+

( > 0且 ≠ 1)；
(2)已知海尔学校现有学生300名，请你计算几周后，全校将有超过一半的学生参与其中(参考数据： 2 ≈
0.301， 3 ≈ 0.477)．
18.(本小题12分)
定义在 上的函数 ( )，若对任意 ∈ ，存在常数 > 0，都有| ( )| ≤ 成立，则称 ( )是 上的有界函
1 2
数，其中 称为函数 ( )的上界.已知函数 ( ) = ( ≠ 1)． 1+2
(1)若 ( )是奇函数．
( )求 的值；
( )判断函数 ( )在 上是否为有界函数，并说明理由；
1
(2)若 ( )在[1,3]上是以 为上界的函数，求 的取值范围．
4
19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = log (5 + )， ( ) = log (5 )，其中 > 1．
(1)当 = 5时，求函数 ( ) = ( ) + ( )的定义域与值域：
(2)设集合 = { | ( ) > 2 ( )}，证明： ≠ ；
(3)已知矩形 的顶点 ， 在 = ( )的图象上，顶点 ， 在 = ( )的图象上 // 轴，若 = ，
且该矩形的中心为点 ( , )，求 + 的值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】47
1 3
13.【答案】[ , ]
3 4
10 7
14.【答案】( , )
3 3
15.【答案】解：(1)原式= 3 + 4√ 5(√ 5) 5 32 23 + | 4| + 1
2 3
= 3 + 4 √ 5(√ 5) 5 × + 4 + 1 3 2
= 3 + 4 5 + 4 + 1
= 7 ；
(2)由 2(
2 + 4) > 1，可得 2 + 4 > 2，
所以 2 + 2 > 0，
当 = ( )2 4 × 1 × 2 > 0，即 < 2√ 2或 > 2√ 2，
±√ 2 8
不等式对应方程 2 + 2 = 0两根为 = ，
2
√ 2 8 +√ 2 8
所以 2 + 2 > 0的解集为( ∞, ) ∪ ( , +∞)，
2 2
当 = ( )2 4 × 1 × 2 = 0，即 = 2√ 2或 = 2√ 2，
2 不等式对应方程 + 2 = 0根为 = ，
2

所以 2 + 2 > 0的解集为( ∞, ) ∪ ( , +∞)，
2 2
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当 = ( )2 4 × 1 × 2 < 0，即 2√ 2 < < 2√ 2，
所以 2 + 2 > 0的解集为 ，
√ 2 8 +√ 2 8
综上，当 ≤ 2√ 2或 ≥ 2√ 2时，不等式的解集为( ∞, ) ∪ ( , +∞)，
2 2
当 2√ 2 < < 2√ 2时，原不等式的解集为 ．
16.【答案】解：(1) ∵ ( )为 上的奇函数，∴ (0) = = 0，
∴当 ≤ 0时， ( ) = 2 + 2 ，
当 > 0时， < 0，又 ( ) = ( )，
∴ ( ) = ( ) = [( )2 + 2( )] = 2 + 2 ，
2 + 2 , ≤ 0
∴ ( ) = { ；
2 + 2 , > 0
2 + 2 = ( + 1)2 1, ≤ 0
(2)由(1)可知 ( ) = { ，
2 + 2 = ( 1)2 + 1, > 0
作出函数 = ( )的示意图如图所示：
∵关于 的方程 ( ) = 有3个不相等的实数根，
∴ = ( )与 = 有三个不同的交点，
数形结合可得 1 < < 1，
∴实数 的取值范围为( 1,1)；
(3)由(2)得 ( ) = 2 + 2 = ( 1)2 + 1( > 0)，
∴ ( )在(0,1]上单调递增，在[1, +∞)上单调递减，
当 ∈ (0,1]时， ( )在(0, ]上单调递增，0 < ( ) ≤ 2 + 2 ，
∴ ( )的值域为(0, 2 + 2 ]；
当 ∈ (1,2)时， ( )在(0,1]上单调递增，在[1, ]上单调递减， ( ) = 2 + 2 > 0，
∴ 0 < ( ) ≤ 1，∴ ( )的值域为(0,1]；
当 ∈ [2, +∞)时， ( )在(0,1]上单调递增，在[1, ]上单调递减， ( ) = 2 + 2 ≤ 0，
∴ 2 + 2 ≤ ( ) ≤ 1，∴ ( )的值域为[ 2 + 2 , 1]，
综合可得：当 ∈ (0,1]时， ( )值域为(0, 2 + 2 ]，
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当 ∈ [1,2)时， ( )值域为(0,1]，
当 ∈ [2, +∞)时， ( )值域为[ 2 + 2 , 1]．
17.【答案】解：(1)从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①，
且函数增长的速度越来越快，所以选择③ = + ( > 0且 ≠ 1)，
18 = + = 8
3
代入表格中的三个点可得{24 = 2 + ，解得{ = ，
2
33 = 3 + = 6
3
所以 = 8 × ( ) + 6， ∈ ．
2
3
(2)由(1)可知： = 8 × ( ) + 6， ∈ ，
2
3 1
令8 × ( ) + 6 ≥ × 300，
2 2
18 2+2 3 0.301+2×0.477
整理得 ≥ 318 = 3 = ≈ ≈ 7.131，
lg 3 2 0.477 0.3012 2
且 ∈ ，则 ≥ 8，
所以8周后，全校将有超过一半的学生参与其中．
18.【答案】解：(1)由奇函数性质可得 (0) = 1 = 0，
1 2
解得 = 1，经检验此时 ( ) = 为奇函数，
1+2
1 2 2 (1+2 ) 2
此时 ( ) = = = 1，
1+2 1+2 1+2
2
则 1 < 1 < 1， 1+2
故 1 < ( ) < 1，
所以函数 ( )为有界函数．
1
(2)若函数 ( )在[1,3]上是以 为上界的函数，
4
1 1 1 2 1
则有| ( )| ≤ 在[1,3]上恒成立，即 ≤ ≤ 恒成立， 4 4 1+2 4
1 11 2 ≤ + 2
1 3
( + )2 ≥
所以{ 4 4 ，即{ 4 4，
1 1 11 2 ≥ 2 ( )2
5
≤
4 4 4 4
3 1
≥ +2 4
由题可知，不等式组{ 2 在[1,3]上恒成立，
5 1
≤ +
2 +2 4
3 1 1
因为 = +2 在[1,3]上单调递减，当 = 1时，函数取得最大值为 ； 2 4 8
3 1 13
又 = +2 + 在[1,3]上单调递减，当 = 3时，函数取得最小值为 ， 2 4 32
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1 13
所以 ≤ ≤ ，
8 32
1 13
故 的取值范围为[ , ]．
8 32
19.【答案】解：(1) ∵当 = 5时， ( ) = log5(5 + )， ( ) = log5(5 )，
∴ ( ) = ( ) + ( ) = log5(5 + ) + log5(5 )，
5 + > 0
∴ { ，∴ 5 < < 5，
5 > 0
∴ ( )定义域为( 5,5)，
又 ( ) = ( ) + ( ) = (25 25 )，
∵ 0 < 25 2 < 25，∴ 25(25 ) < 5(25) = 2，
∴ ( )值域为( ∞, 2]；
(2)证明：∵ = { | ( ) > 2 ( )}，
∴ log (5 + ) > 2 (5 )，
∴ (5 + ) >
2
(5 ) ，
又 > 1，∴可得5 + > (5 )2，
∴要证明： ≠ 即证明5 + > (5 )2在( ∞, 5)上有解，
∴存在 ∈ ( ∞, 5)，使得5 + > (5 )2成立，
∴ 5 + > 25 10 + 2，即为 2 ( + 10) + 20 < 0，
不等式 2 ( + 10) + 20 < 0在( ∞, 5)上有解，
设 ( ) = 2 ( + 10) + 20，因此 ( ) = 0在( ∞, 5)上有解，
∴ (5) = 25 5(10 + ) + 20 < 0，解得 > 1，
∴ 5 + > (5 )2在( ∞, 5)上有解，
∴即可证明： ≠ ；
(3) ∵ ( ) = log (5 ) = ( ) ∴ ( )与 ( )关于 轴对称，
由题意可知，矩形 关于 轴对称，所以 = 0， = 1，
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∴设点 坐标( 0, log (5 + 0))( 0 > 0)，
∵矩形 且 // 轴，∴ // 轴，
∴点 坐标( 0, log (5 0))，
又矩形 关于 轴对称，
∴点 横坐标为 0，同理可得点 坐标( 0, log (5 0))，
∵ = ，且该矩形的中心为点 ( , )，

∴ {
(5 + 0) (5 0) = ，
(5 + 0) + (5 0) = 2
消去 得log (5 + 0) = 3 (5 0)，
∴ (5 + ) = (5 )30 0 ，
∴ 5 + = 125 + 15 20 0 75
3
0 0，
∴ 3 15 20 0 + 76 0 120 = 0，
∴ ( 0 3)(
2
0 12 0 + 40) = ( 0 3)[( 0 6)
2 + 4] = 0，∴ 0 = 3
∴ = log (5 + 0) log (5 0) = log 8 log 2 = log 4，
∴ + = 1 + 4 = 1 + 4 = 5．
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