广东省汕头市河溪中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

广东省汕头市河溪中学 2024-2025 学年高一上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.全集为实数集 ， = { | 2 ≤ ≤ 2}， = { | < 1}，则( ) ∩ =( )
A. { | < 2} B. { | 2 < < 1} C. { | < 1} D. { | 2 ≤ < 1}
1
2.设 ∈ ，则“ > 1”是“ < 1”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.命题“ ≥ 1， 2 1 ≤ 0”的否定是( )
A. < 1， 2 1 > 0 B. ≥ 1， 2 1 > 0
C. < 1， 2 1 ≤ 0 D. < 1， 2 1 > 0
4.设 = 3.7 0.3， = 3.70.3， = log3.70.3，则 ， ， 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
5.函数 ( ) = + 2的零点所在的区间是( )
A. ( 2, 1) B. ( 1,0) C. (0,1) D. (1,2)
1 1
6.设 ， ∈ (0,+∞)，且 + = 1，则 + 2 的最小值为( )

A. 3 + 2√ 2 B. 4√ 2 C. 5 D. 4
7.已知幂函数 ( )的图象过点(2,8)，若 (2 + 3) > (3)，则 的取值范围为( )
A. (2,+∞) B. (1,+∞) C. ( 1,+∞) D. (0,+∞)
2 2 + 5, ≤ 1
8.已知函数 ( ) = { 是 上的减函数，则实数 的取值范围是( )
, > 1

A. > 0 B. 0 < ≤ 1 C. 1 ≤ < 2 D. 1 ≤ ≤ 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知四组函数，其中是同一个函数的是( )
A. ( ) = (√ )2, ( ) =
3
B. ( ) = ， ( ) = √ 3
C. ( ) = 2 2 ， ( ) = 2 2
D. ( ) = 2 1( ∈ )， ( ) = 2 + 1( ∈ )
10. ( )是定义在 上的偶函数，当 ≥ 0时， ( ) = 4 2，则下列说法中错误的是( )
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A. ( )的单调递增区间为( ∞, 2] ∪ [0,2]
B. ( ) < (5)
C. ( )的最大值为4
D. ( ) > 0的解集为( 4,4)
11.已知不等式 2 + 6 < 0的解集为{ | 3 < < 2}，下列说法正确的是( )
A. < 0
B. 3，2是方程 2 + 6 = 0的两个实数根
C. = 1
D. 不等式 2 2 ≥ 0的解集为{ | ≤ 1或 ≥ 2}
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 ( ) = √ 3 1 + ln(2 )的定义域为______．
2 , > 0 √ 2
13.已知函数 ( ) = { 1
( ) 1
，则 ( ( )) = ______．
, ≤ 0 2
4
, ≤
14.已知对任意两个实数 ， ，定义 { , } = { ，对任意的实数 ，记 ( ) = {2 2, }， ( )
, >
的最大值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
求值：
2 1
5 1 4
(1)√32 + 83 + ( )0 + ( )

2；
2 9
(2)log354 log32 + log23 log34.
16.(本小题12分)
已知集合 = { | 1 ≤ ≤ 2 + 3}， = { | 2 ≤ ≤ 4}，全集 = ．
(1)当 = 2时，求( ) ∩ ( )；
(2)若 ∈ 是 ∈ 成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
17.(本小题12分)
某租赁公司有750辆电动汽车供租赁使用，管理这些电动汽车的费用是每日1700元.根据调查发现，若每辆
电动汽车的日租金不超过90元，则电动汽车可以全部租出；若超过90元，则每超过1元，租不出去的电动汽
车就增加3辆.设每辆电动汽车的日租金为 元(60 ≤ ≤ 300, ∈ )，用 (单位：元)表示出租电动汽车的日
净收入. (日净收入等于日出租电动汽车的总收入减去日管理费用)
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(1)求 关于 的函数解析式；
(2)试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时？才能使日净收入最多，并求出日净收入的最大值．
18.(本小题12分)
2 + 2
已知 ( ) = ( ∈ )是奇函数． 2 +1
(1)求实数 的值；
(2)判断函数 ( )的单调性，并用定义证明之；
(3)解关于 的不等式 ( 2 3) + (2 ) < 0．
19.(本小题12分)
已知函数 ( )为二次函数，不等式 ( ) < 0的解集是(0,5)，且 ( )在区间[ 1,4]上的最大值为12．
(1)求 ( )的解析式；
(2)设函数 ( )在[ , + 1]上的最小值为 ( )，求 ( )的表达式及 ( )的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】{ | ≤ < 2}
3
13.【答案】8
14.【答案】1
3 17
15.【答案】解：(1)原式= 2 + 4 + 1 + = ，
2 2
54
(2)原式= 3 + 24 = 5 2
16.【答案】解：(1)由题知，当 = 2时， = { |1 ≤ ≤ 7}，
所以 = { | < 1或 > 7}，
因为 = { | 2 ≤ ≤ 4}，
所以 = { | < 2或 > 4}，
所以( ) ∩ ( ) = { | < 2或 > 7}；
(2)由题知 ∈ 是 ∈ 成立的充分不必要条件，
故 A 是 的真子集，
①当 = 时， 1 > 2 + 3，
解得 < 4，
②当 ≠ 时，
1 ≥ 2 1 > 2
即{2 + 3 < 4 或{2 + 3 ≤ 4 ，
1 ≤ 2 + 3 1 ≤ 2 + 3
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1 1
解得： 1 ≤ < 或 1 < ≤ ，
2 2
1
综上： 的范围为{ | < 4或 1 ≤ ≤ }.
2
17.【答案】解：(1)当60 ≤ ≤ 90时， = 750 1700， ∈ ；
当90 < ≤ 300时， = [750 3( 90)] 1700 = 3 2 + 1020 1700， ∈ ．
750 1700,60 ≤ ≤ 90, ∈
故 关于 的函数解析式为 = { ；
3 2 + 1020 1700,90 < ≤ 300, ∈
(2)由(1)可知，当60 ≤ ≤ 90时， = 750 1700为增函数，
故当 = 90时，函数取得最大值 = 750 × 90 1700 = 65800；
1020
当90 < ≤ 300时， = 3 2 + 1020 1700为二次函数，对称轴为 = = 170，
2×3
故当 = 170时，函数取最大值 = 3 × 170
2 + 1020 × 170 1700 = 85000，
因为85000 > 65800，
故当每辆电动汽车的日租金为170元时，才能使日净收入最多为85000元．
2 + 2 2
18.【答案】解：(1)由题知 ( ) = = 2 +1 2 ， +1
2 2
由 ( ) = ( )得
2
= + ，
+1 2 +1
所以 (2 + 1) 2 2 = (2 + 1) + 2，
所以2 (1 + 2 ) = 2(1 + 2 )恒成立，
解得 = 1．
所以实数 的值为1．
2
(2)由(1)知： ( ) = 1 ，
2 +1
2
因为函数 ( ) = 1 在(0,+∞)上是增函数；

又因为函数 ( ) = 2 + 1在 上也是增函数，值域为(1,+∞)，
所以函数 ( ) = ( ( ))在 上是增函数．
证明如下：在 上任取 1， 2，且 1 < 2，
则0 < 2 1 < 2 2，2 1 2 2 < 0, 2 1 + 1 > 0, 2 2 + 1 > 0，
2 2 2(2 1 2 2)
所以 ( 1) ( 2) = (1 ) (1 ) = < 0， 2 1+1 2 2+1 (2 1+1)(2 2+1)
所以 ( 1) ( 2) < 0，
即 ( 1) < ( 2).
所以 ( )是 上的增函数．
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(3)由(1)(2)知，函数 ( )是 上的增函数，且为奇函数，
所以， ( 2 3) + (2 ) < 0 ( 2 3) < (2 ) = ( 2 )，
所以， 2 3 < 2 ，即 2 + 2 3 < 0，解得 3 < < 1，
所以，关于 的不等式 ( 2 3) + (2 ) < 0的解集为{ | 3 < < 1}．
19.【答案】解：(1) ( )是二次函数，且 ( ) < 0的解集是(0,5)，
∴可设 ( ) = ( 5)( > 0)，
5 5
可得在区间 ( )在区间[ 1, ]上函数是减函数，区间[ , 4]上函数是增函数
2 2
∵ ( 1) = 6 ， (4) = 4 ， ( 1) > (4)
∴ ( )在区间[ 1,4]上的最大值是 ( 1) = 6 = 12，得 = 2．
因此，函数的表达式为 ( ) = 2 ( 5) = 2 2 10 ( ∈ )．
5 25 5
(2)由(1)得 ( ) = 2( )2 ，函数图象的开口向上，对称轴为 =
2 2 2
5 3
①当 + 1 ≤ 时，即 ≤ 时， ( )在[ , + 1]上单调递减，
2 2
此时 ( )的最小值 ( ) = ( + 1) = 2( + 1)2 10( + 1) = 2 2 6 8；
5
②当 ≥ 时， ( )在[ , + 1]上单调递增，
2
此时 ( )的最小值 ( ) = ( ) = 2 2 10 ；
3 5
③当 < < 时，函数 = ( )在对称轴处取得最小值
2 2
5 25
此时， ( ) = ( ) =
2 2
2 2
3
6 8, ≤
225 3 5
综上所述，得 ( )的表达式为： ( ) = , < < ，
2 2 2
5
{2
2 10 , ≥
2
3 5 25
当 ≤ ≤ 时， ( )取最小值 ．
2 2 2
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