人教版八年级数学下册试题 第十八章 平行四边形 单元测试卷（含详解）

第十八章《平行四边形》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是正方形
D．菱形的面积为两条对角线长度乘积的一半
2．如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
3．如图，在平行四边形ABCD中，，，于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，中，过点作，取边中点，连结．若，，则长为（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线，相交于点．下列说法不一定正确的是（ ）

A．若，则□ABCD是菱形 B．若，则□ABCD是正方形
C．若，则□ABCD是矩形 D．若，则□ABCD是矩形
6．如图，两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后测出的中点．若的长为18米，则间的距离是（ ）

A．9米 B．18米 C．27米 D．36米
7．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则点A到的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．剪纸不仅是我国传统艺术，还隐藏了不少数学知识．数学活动课上，小强将一张正方形纸片沿对角线对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，如图所示，则剪下的三角形展开后得到的平面图形是（ ）
A．三角形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
9．如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．已知，的面积为5，则的长为（　　　）
A．2 B． C． D．3
10．我们常常在建筑中看到四边形的元素．如图，墙面上砌出的菱形窗户的边长为1米（边框宽度忽略不计），其中较小的内角为，则该菱形窗户的采光面积为（ ）平方米
A．4 B． C．1 D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，中，，是的中点，，则 ．
12．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O．请你添加一个适当的条件________，使其成为菱形．
13．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O．若，，则BC的长为 ．
14．如图所示，点O是的对称中心，，，是边的三等分点；G，H是边的三等分点．若，分别表示和的面积则与之间的关系是 ．
15．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为 ．
16．如图，在边长为的菱形中，，连接，P为图中任意线段上一点，若，则的长为 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．如图，四边形中，，为上一点，与交于点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
18．如图，四边形是矩形，对角线，相交于点O，交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
19．如图，在中，D、E分别是、的中点，，延长DE到点F，使得，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
20．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法（所画图形不全等）．
(1)在图①中，以线段为边画平行四边形．
(2)在图②中，以线段为边画菱形．
(3)在图③中，以线段为边画正方形．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求四边形的面积．
22．如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作，与的延长线相交于点F，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)填空：将下列命题填完整，并使命题成立（图中不再添加其它的点和线）
①当满足条件时，四边形是______形；
②当满足条件______时，四边形是正方形．
23．【感知】
（1）如图1，在中，分别是边的中点．则和的位置关系为______，数量关系为______．
【应用】
（2）如图2，在四边形中，分别是边的中点，若，，求的度数．
【拓展】
（3）如图3，在四边形中，与相交于点分别为的中点，分别交于点．求证：．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．如图，矩形中，，点在边上，且不与点重合，直线与的延长线交于点．
(1)如图1，当点是的中点时，求证：；
(2)将沿战线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交于点．
①如图1，证明，并求出在（1）条件下的值；
②如图2，交于点，点是的中点，当时，试探究与的数量关系，并说明理由．
25．四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接．过点E作，交射线于点F．
(1)如图1，若点F在边上，求证：；
(2)以为邻边作矩形，连接．
①如图2，若，求的长度；
②当线段与正方形一边的夹角是时，直接写出的度数．
答案
一、选择题
1．D
【分析】此题主要考查特殊平行四边形的判定以及菱形的性质，解题的关键是熟知特殊平行四边形的判定方法；
利用菱形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的性质定理及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】A、等腰梯形的对角线相等，但它不是矩形，故该选项不符合题意；
B、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，故该选项不符合题意；
C、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
D、菱形的面积为两条对角线长度乘积的一半，符合题意；
故选：D
2．A
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由三角形的中位线定理可得，然后根据菱形的性质即可求解．
【详解】解：∵E、F分别是的中点，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的周长，
故选：A．
3．D
【分析】此题考查了平行四边形的性质，等边对等角求角度，直角三角形两锐角互余的性质；根据等边对等角求出，得到，根据平行四边形的对边平行得到，再根据直角三角形两锐角互余求出度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查的是勾股定理及直角三角形的性质．先根据题意得出的长，再由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：，
是直角三角形，
点为边的中点，，
，
，
．
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，据此逐项分析即可作答，解题的关键是明确它们各自的判定方法．
【详解】解：、当时，是菱形，该说法正确，不合题意；
、当时，□ABCD不一定是正方形，该说法不一定正确，符合题意；
、当时，□ABCD是矩形，该说法正确，不合题意；
、当时，□ABCD是矩形，该说法正确，不合题意；
故选：．
6．D
【分析】本题主要考查三角形中位线的运用，理解并掌握中位线的性质是解题的关键，根据点是的中点，可得，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，是的中位线，
∴，
∴（米），
故选：．
7．C
【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理的应用，根据面积等式求线段的长度等知识与方法，根据勾股定理求出菱形的边长是解题的关键．先由菱形的性质求得，，，再根据勾股定理求得，设点到的距离是h，由，得，即可得到问题的答案．
【详解】解：四边形是菱形，，，
，，，
，
设点到的距离是h，
，
，
，
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定方法、剪纸问题；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．由矩形、菱形、正方形的判定方法即可得出结论．
【详解】解：由剪法可知，所得四边形的四条边相等，对角线不一定相等，
∵四边相等的四边形是菱形，
∴展开后得到的平面图形是菱形；
故选：B．
9．D
【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．连接，由题意可得为对角线的垂直平分线，可得，，由三角形的面积则可求得的长，然后由勾股定理求得答案．
【详解】解：连接，如图所示：

由题意可得，为对角线的垂直平分线，
，，
．
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
故选：D．
10．B
【分析】本题主要考查菱形的性质，以及菱形面积的计算方法，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．画出图形，根据勾股定理求出对角线的值即可求出面积．
【详解】解：菱形，
，且，
，
是等边三角形，
，
，
在中，
，
该菱形窗户的采光面积为．
故选B．
二、填空题
11．10
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握该性质即可解题．
【详解】解：在中，，是的中点，
线段是斜边上的中线；
又，
．
故答案为：．
12．AB＝BC，AC⊥BD（答案不唯一）．
【详解】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可添加条件AC⊥BD；根据邻边相等的平行四边形是菱形，可添加条件AB＝BC．
AC⊥BD（答案不唯一）
要判断一个平行四边形是菱形，可从邻边相等或对角线互相垂直着手．
13．
【分析】由矩形的性质可得为等边三角形，则可求得AC的长，再由勾股定理即可求得BC的长．
14．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据三等分点可得，；再结合点O是的对称中心可得 ，即可求解．
【详解】解：连接，则必过点，如图所示：
∵，是边的三等分点，
∴，
∵G，H是边的三等分点，
∴，
∵点O是的对称中心，
∴
∴
故答案为：
15．
【分析】本题考查的是平移的性质、正方形的性质、勾股定理，根据平移的性质求出是解题的关键．根据正方形的性质、勾股定理求出，根据平移的性质求出，计算即可．
【详解】解：∵四边形为边长为的正方形，
∴，
由平移的性质可知，，
∴，
故答案为：．
16．6或或
【分析】由题意知，如图，分三种情况求解：当时，；，则，由勾股定理得，，计算求解即可；当时，如图，作于，由勾股定理得，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，如图，分三种情况求解：
当时，；
∵菱形中，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
由勾股定理得，；
当时，如图，作于，
∴，
∴，
∴，，
由勾股定理得，
∴；
综上所述，的长为6或或；
故答案为：6或或．
三、
17．（1）证明：
在和中，
又
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过点作于点，则，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的长为．
18．（1）证明：四边形为矩形，
∴，．
∵，
四边形为平行四边形，
，
∴．
（2）解：∵四边形为平行四边形，四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∴．
19．（1）证明：∵D、E分别是、的中点，
∴且，
又∵，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
如图，过点E作于点G，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴．
∴菱形的面积为．
20．（1）解：如图所示，
∴四边形即为所求图形；
（2）解：如图所示，
∴四边形即为所求图形；
（3）解：如图所示，
∴四边形即为所求图形．
四、
21．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，即，，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴．
在中，，，
∴，
∴
∴四边形的面积是：．
22．（1）证明：∵E为的中点，D为中点，
∴，，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵
∴四边形为平行四边形；
（2）解：①当满足条件时，四边形是菱形，理由为：
∵E为的中点，D为中点，
∴，，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵
∴四边形为平行四边形；
∵，D是的中点，
∴
∵四边形为平行四边形，；
∴四边形为菱形；
②当满足条件，时，四边形是正方形，理由为：
由①知当满足条件时，四边形是菱形，
∵，为中点，
∴为边上的中线，
∴，即，
∵四边形是菱形，
∴四边形为正方形；
23．（1）∵点分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴；
故答案为：．
（2）如图1，连接．
分别是边的中点，
，
．
，
，
，
，
．
（3）证明：如图2，取的中点，连接．
分别是的中点，
且，
同理可得且．
，
，
，
，
．
五、
24．（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∵点P是的中点，
∴，
∴；
（2）解：①∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
矩形中，，，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
由折叠得，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得，即；
②与HG的数量关系是．
理由：如图，由折叠可知，
过点作，交于点，

∴，
∴，
∴，
∴点H是中点，
∵，即，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵点G为中点，点H是中点，
∴．
∴．
∴．
∴．
25．（1）证明：连接，如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形是正方形，
，
（2）解：①∵四边形为矩形，，
∴四边形为正方形，
∴，
∵四边形为正方形，
②当时，如图，
当时，如图，
∵，
综上，或．