2025年中考数学复习---点的动态问题 方法讲解及巩固练习（含解析）

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点的动态问题
典例精析
【题1】★★★已知数轴上A、B 两点对应的数分别为-2和4，P为数轴上一动点，对应的数为x.
(1)若 P 为线段 AB 的三等分点,求 P 对应的数；
(2)数轴上是否存在点 P，使P 点到A点、B点距离和为10 若存在，求出x值，若不存在，请说明理由.
(3)若A、B 两点和 P 点(P 点在原点)同时向左运动，它们的运动速度分别为1、2、1个单位长度/分，则第几分钟时，P为线段AB 的中点 第几分钟时P到A 和B 的距离相等
【题2】★★★已知数轴上顺次有A、B、C 三点,分别表示数 a、b、c,并且满足 b.与c互为相反数.甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为2个单位/秒，乙的速度为3个单位/秒.
(1)求A、B、C三点分别表示的数，并在数轴上表示A、B、C三点.
(2)运动多少秒时，甲、乙到点 B 的距离相等
(3)当点 B 以每分钟一个单位长度的速度向左运动时，点A 以每分钟5个单位长度向左运动，点C 以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后 B 点到点 A、点C的距离相等
【题3】★★★如图,已知A、B、C 是数轴上三点，O为原点，点C 表示的数为6，BC=4,AB=12.
(1)写出数轴上点A、B表示的数；
(2)动点 P、Q 分别从A、C 同时出发,点 P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q 以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为 AP 的中点，点N 在线段CQ 上,且 设运动时间为t(t>0)秒. t为何值时,OM=2BN.
【题4】★★★如图，A 是数轴上表示-30 的点，B是数轴上表示10 的点，C 是数轴上表示18的点，点A、B、C在数轴上同时向数轴的正方向运动，点A运动的速度是6个单位长度每秒，点B 和C 运动的速度是3个单位长度每秒. 设三个点运动的时间为t(秒).
(1)当t为何值时,线段AC=6(单位长度)
(2)t≠5时,设线段OA 的中点为 P,线段OB 的中点为M,线段OC 的中点为 N,求2PM-PN=2时t的值.
【题5】★★★如图①，已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P 为数轴上的一动点，其对应的数为x.
(1)如果点 P 是 AB 的中点,则 x = ;
(2)如图②，点 P 以1个单位长度/s的速度从点O 向右运动，同时点A 以5个单位/s的速度向左运动，点B 以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、OB 的中点，问： 的值是否发生变化 请说明理由.
【题6】、★★★如图，在射线OM 上有三点A、B、C,满足OA=20cm,AB=60cm,BC=10cm,点 P 从点 O 出发,沿OM 方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q 从点 C 出发在线段 CO上向点O匀速运动，两点同时出发.
(1)当PA=2PB时,点Q 运动到的位置恰好是线段AB 的三等分点，求点 Q 的速度；
(2)若点 Q 运动速度为3cm/s,经过多长时间 P、Q 两点相距70cm
(3)当点 P 运动到线段 AB 上时，分别取OP 和AB的中点E,F,求 的值.
【题7】★★★★已知数轴上A、B两点对应的数分别为a、b,且a、b满足|a+20|=-(b-13) ,点C 对应的数为16，点D 对应的数为-13.
(1)求a、b的值;
(2)点A、B沿数轴同时出发相向匀速运动，点A 的速度为6个单位/秒，点B 的速度为2个单位/秒，若t秒时点 A 到原点的距离和点B到原点的距离相等，求t的值；
(3)在(2)的条件下，点A、B从起始位置同时出发.当A 点运动到点 C时，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点 C 运动. B点运动至 D 点后停止运动，当B 停止运动时点A 也停止运动.求在此过程中，A、B两点同时到达的点在数轴上对应的数.
【题8】★★★★已知a、b满足|4a- a、b分别对应着数轴上的A、B两点.
(1)a= ,b= ,并在数轴上画出A、B两点；
(2)若点 P从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P 到点A 的距离是点 P 到点 B 的距离的2倍；
(3)数轴上还有一点 C 的坐标为30.若点P 和点 Q 同时从点 A 和点 B 出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向 C点运动. P点到达 C 点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点 A.求点 P 和点 Q 运动多少秒时，P，Q两点之间的距离为4，并求此时点Q 对应的数.
1.【思路分析】从题目条件分析.数形结合，画图.
(1)注意分类讨论，P点对应的数分别和A、B点对应数的差=AB 长度的1/3.
(2)表示出线段PA和PB的长度，根据题中的等量关系 PA + PB = 10 列方程,并解方程.
(3)设未知数，分别表示出点A、B和点P，根据题中的等量关系列方程，并解方程.
【答案解析】解:(1)∵点 P 为线段AB 的三等分点，
或
①当 时,得到x+2=2,得x=0.
②当 时,得到4-x=2,得x=2.
∴P 对应的数为0或2.
(2)假设存在点 P,则 PA=|x+2|,
PB=|x-4|,
∴|x+2|+|x-4|=10,
解得,x=-4或x=6.因此存在点 P,使点P到点A,点 B 的距离和为10.
(3)①设经过t分钟后,P为AB 的中点,
则A 表示的数为-2-t，B表示的数为4-2t,P表示的数为-t,
则由题意得，
得到t=2.
②设经过x 分钟后，P 到A 和 B 的距离相等.
则A表示的数为-2-x，B表示的数为4-2x,P表示的数为-x,
∴PA=|-2-x+x|=2,
PB=|4-2x+x|=|4-x|
∴|4-x|=2 解得x=2或x=6.
2.【思路分析】
(1)根据非负数之和=0求解.
(2)设未知数，分别表示出甲和乙；根据题中的等量关系列方程，并解方程.
(3)设未知数，分别表示出A、B和C；根据题中的等量关系列方程，并解方程.
【答案解析】解： =0,∴a+12=0,b+5=0,
解得a=-12,b= - 5.
又∵b与c互为相反数,∴c=5,∴A、B、C三点分别表示的数是-12，-5，5.
表示在数轴上是：
(2)设运动x秒时，甲、乙到点B的距离相等.则甲所表示的数为-12+2x，乙所表示的数为5-3x,则依题意,得|7-2x|=|10-3x|,解得x=3或
答：运动3s或者 时，甲、乙两点到点B的距离相等.
(3)设t分钟后点 B 到点A 和点 C 的距离相等.则点A 所表示的数为-12-5t，点B 所表示的数为-5-t,点 C 所表示的数为5-20t.则由题意得,|5-20t+5+t| = |-5-t+12+5t| ,解得： 或者 .所以 或 分钟后，点 B到点A 和点 C的距离相算.
3.【答案解析】解:(1)∵C 表示的数为6,BC=4,∴OB=6-4=2,∴B点表示2.
∵AB=12,∴AO=12-2=10,∴A点表示-10;
(2)由题意得,点 P 表示的数为-10+6t,点Q 表示的数为6-3t,
则点 M 表示的数为 +3t,又∵ ∴点N表示的数为6-t，由 题 意 可 得 |-10+3t| = 2 |4+t|, 即|-10+3t|=|8-2t|,解得 或t=2.
这里详细描述：N的表示.
∵ CQ 即Q 表示的数—C 表示的数.
∴CQ=6-3t-6=-3t
∵ CN为N表示的数—C 表示的数，
∴N-6=-t
∴N为6-t.
4.【答案解析】
解:(1)A表示的数为-30 +6t,B 表示的数为10+3t,C表示的数为18+3t,AC=|48-3t|=6,解得t=18或t=14.故当t为14 或18秒时,线段AC=6.
(2)P 表示的数为-15+3t,M 表示的数为 N表示的数为
则
由题意得,2PM - PN = |3t - 40 | - 解得 或
5.【答案解析】解:(1)x=1;
的值不发生变化.
由题意，O为原点，设运动时间为 t分钟.
则 P 表示的数为t,A 表示的数为-1-5t,B 表示的数为 20t +3,则 M 表示的数为 N表示的数为
则AB =25t+4,OP =t,MN =12t +2,.则 为定值.
6.【答案解析】解：(1)设O 为原点，则A 表示的数为20，B 表示的数为80，C 表示的数为90,设经过时间t秒后,PA=2PB.
则 P 表示的数为t,PA = |20-t|,PB =|t-80|,∴|20-t|=2|t-80|,可得t=60 或t=140.
当t=60s时,可得Q 的速度为50÷60 = 或者
当t=140s 时,可得 Q 的速度为50÷140 或者
(2)设经过 ts,P、Q 两点相距70cm,则 P表示的数为t,Q 表示的数为90-3t,∴PQ =|90-4t|=70,解得t=5或t=40.
∴t =5 或 t =40 时,满足 P、Q 两点相距70cm.
(3)P 表示的数为t，E 表示的数为 ,F表示的数为50，EF 的长度为 OB=80,AP=t-20,所以
7.【答案解析】解:(1)a=-20;b=13;
运动t秒之后,A对应的数为:-20+6t,
B对应的数为:13-2t,AO=|-20+6t|=BO=|13-2t|,
解得 或
依题意知，总的运动时间为 13,运动t秒 B对应的数为:13-2t,
当0∴ - 20+6t=13-2t,解得 此时数轴上对应的数为
当6∴16-6(t-6)=13-2t解得 此时数轴上对应的数为
当12解得 (不合题意舍去)
综上所述，A、B两点同时到达的点在数轴上所对应的数为
8.【答案解析】解:(1)a=4,b=16;
(2)设运动时间为t 秒，则点 P 对应的数为4+3t,
∴AP=3t,BP=|3t+4-16|=|3t-12|,∴3t=2|3t-12|,解得 或t=8,
故当运动时间为8秒或者 秒时，点P到点A 的距离是点 P 到点 B 的距离的2倍；
(3)点P 从点 A 运动到点 C 的运动时间为 秒，
点 Q 从点 B 运动到点 C 的运动时间为 秒，
所以分点 P 运动到点 C 之前、点P 运动到点 C后向终点A返回过程中两种情况：
①在点 P 运动到点 C 之前时，点P 表示数为:3t+4,点Q 表示数为t+16,
∴ PQ =|3t+4-(t+16)|=|2t-12| =4,解得t=4或t=8,此时点 Q 对应的数为20或24;
②在点 P 运动到点 C 后向终点 A 返回过程中,点 P 表示数为:56-3t,点 Q 表示数为:t+16,
∴ PQ =|56-3t-(t+16)| =|40-4t| =4,解得t=9或t=11,此时点Q 对应的数为25或27.
综上所述，点P 和点 Q 运动4或8或9或11 秒时，P、Q 两点之间的距离为4，此时点 Q表示的数为20,24,25,27.