2025年中考数学复习--线段有关的动点 方法讲解及典例精析（含解析）

线段有关的动点
类型一：线段和差的最值
动点最值问题的基础就是线段和差问题。线段和差问题是一个贯穿整个初中数学的问题，是一个难点问题.解决这类问题，在于找出两个“量”：一是定点，二是动点或不定点所在的定直线；进而利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形的三边关系”等几何原理来求解；或者转化为函数关系，利用函数最值来求解.其中“垂线段最短”和“两点间线段最短”是根本依据，“三点共线”“轴对称”“旋转”则是利用作图来实现“垂线段最短”和“两点间线段最短”的变换方式；而通过函数表达式，进而利用函数最值来求线段和差的最大值或最小值，则是数形结合的体现.
【方法技巧】关于线段和差中的动点问题，我们从5个方面来学习.
(1)利用垂线段最短的性质解决最大(小)值的问题.
(2)利用三点共线的特征解决最大(小)值的问题.
(3)利用轴对称变换解决最大(小)值的问题.
(4)利用旋转变换解决最大(小)值的问题(旋转章节会介绍).
(5)利用二次函数的最值性质解决最大(小)值的问题.
本质是根据“两点之间线段最短”，通过做轴对称点求线段之和最小值；根据“两点之间线段最短”，通过构造三角形利用三角形三边关系求运动中某一条线段最值；求最值的实质都是几条线段共线时得到最大值或最小值。
1.常见类型
(1)已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P，使得AP+PB最小.
作法：如图，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，与直线l的交点 P 就是所求的点.
(2)已知:在直线l同侧有A,B两点,在l上找一点 P,使得|AP-PB|最小.
作法：如图，连接AB，作线段AB的垂直平分线，与直线l的交点 P 就是所求的点.
(3)已知:在直线l同侧有A,B两点,在l上找一点 P,使得|AP-PB|最大.
作法：如图，连接BA并延长，与直线l的交点 P 就是所求的点.
(4)已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找两点C，D(其中 CD的长度固定，等于所给线段d),使得AC+CD+DB 最小.
作法：如图，先将点A向右平移a个单位长度到点A'，使AA'=CD=a，作A'关于直线l的对称点A"，连接A"B，与直线l的交点D 就是所求的点.连接A'D，过点A作AC∥A'D，交直线l于点C，则此时AC+CD+DB最小.
(5)已知:在∠MON内有一点P,在边ON,OM上分别找点Q,R,使得PQ+QR+RP最小.
作法:如图,分别作点 P 关于射线ON,OM 的对称点 P'、P",连接P'P"与射线ON、OM 的交点Q、R就是所求的点.
(6)已知:在∠MON内有一点 P,在边OM,ON上分别找点R,Q,使得PR+QR 最小.
作法：如图，作点P关于射线OM 的对称点P'，作P'Q⊥ON，垂足为Q，P'Q与射线OM 的交点R，与ON的交点 Q 就是所求的点.
(7)已知:在∠MON内有两点P,Q,在边OM,ON上分别找点R,S,使得PR+RS+SQ最小.
作法：如图，作点P关于射线OM 的对称点P'，作点Q 关于射线ON的对称点 Q'，连接P'Q'，与射线 OM，ON的交点 R、S就是所求的点.
(8)其他非基本图形类线段和差最值问题.
①求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差.
②在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线.
③线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决长
典例精析
【典型题1】★★如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,P 为BC 边上一动点,PE⊥AB 于点 E,PF⊥AC 于点 F,点 M 为EF 的中点，则线段AM 的最小值为 .
【思路分析】利用垂线段最短求线段最小值.易证四边形AEPF 是矩形，连接AP，由矩形的性质可知，AP 经过点M, 所以当AP⊥BC 时,AP 的最小值 ，AM的最小值：
【典型题2】★★如图,在 ABCD 中,AD=7,AB=2 ,∠B=60°. E 是边 BC 上任意一点,沿AE 剪开,将△ABE 沿 BC 方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD 周长的最小值为 .
【思路分析】从结论入手分析，四边形AEFD 的周长等于2AD+2AE,AD 长度固定,只有让AE取最小值，因此当AE⊥BC 时，四边形AEFD的周长最小，利用直角三角形的性质解答即可.
【答案解析】解：当AE⊥BC 时，四边形AEFD 的周长最小.
BE= ,∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置,∴EF=BC=AD=7,∴四边形 AEFD 周长的最小值为:14+6=20,故答案为20.
【规律总结】线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决.
【典型题3】★★如图,已知直线l ∥l ,l 、l 之间的距离为8，点 P 到直线l 的距离为6,点 Q 到直线l 的距离为4, 在直线l 上有一动点A，直线l 上有一动点 B，满足AB⊥l ,」且 PA +AB +BQ 最小,此时 PA +BQ= .
【思路分析】从题目条件入手分析，进行PA和BQ的等量代换.作PE⊥l 于E 交 l 于F,在PF上截取PC=8,连接QC交l 于 B,作BA⊥l 于A,此时PA+AB+BQ 最短.作 QD⊥PF 于D.首先证明四边形ABCP 是平行四边形,PA+BQ=CB+BQ=QC,利用勾股定理即可解决问题.
【答案解析】解:作 PE⊥l 于 E 交 l 于F,在PF上截取PC=8,连接QC交l 于 B,作BA⊥l 于A,此时PA+AB +BQ 最短.作 QD⊥PF于 D.
在Rt△PQD 中,∵∠D=90°,PQ =4
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∵AB=PC =8,AB∥PC,∴四边形 ABCP是平行四边形,∴PA =BC,∴PA +BQ =CB +
【典型题4】★★如图，在等边三角形ABC中,BC边上的高AD =6,E 是高AD 上的一个动点，F是边AB上的中点，在点 E 运动的过程中，存在 EB +EF 的最小值，则这个最小值是
【思路分析】此题先从结论入手分析，明显不能直接得出EB+EF 的最小值，因此需要将其中1条或者2条线段等量转化为其他线段.再从题目条件分析，显然 B 和 C 关于AD对称，连接CE ，此时求EB +EF 的最小值就转化为求EC+EF 的最小值,故当点E 为 FC 与AD 的交点时(即当 F 、E 、C 三点共线时) ,EC+EF 的最小值为 FC ，所求问题可解.
【答案解析】如图，连接CF.
∵等边△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,∴AD 是BC边上的高线,即AD 垂直平分BC,∴EB=EC,当B、F、E三点共线时,EF+EC=EF+BE=CF,∵等边△ABC 中,F 是AB 边的中点,∴ AD = CF =6,∴ EF + BE 的最小值为6.
【典型题5】★★★如图,在正方形ABCD中,E,F 分别为 AD,BC 的中点,P 为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP 最小值的是( )
A. AB B. DE C. BD D. AF
【思路分析】从结论入手分析，明显不能直接得出AP+EP 的最小值，因此需要将其中1条或者2条线段等量转化为其他线段.再从题目条件分析，点E关于BD 的对称点 E'在线段CD上,可得 E'为 CD 中点,连接AE',它与BD的交点即为点 P，PA+PE的最小值就是线段AE'的长度(同理，也可取A关于BD的对称点C,连接EC 即可).
【答案解析】过点 E 作关于 BD 的对称点E',连接AE',交 BD 于点 P,PA + PE 的最小值AE'.
∵E 为AD 的中点,∴E'为 CD 的中点,∵四边形 ABCD 是正方形,∴ 易证△ABF≌△AD E',∴AE'=AF.故选 D.
【规律总结】利用轴对称解决最短路线问题.
【典型题6】★★★如图,Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=3,AC=6 点D，E分别是,.边BC,AC上的动点,则 DA +DE 的最小值为
【思路分析】从结论入手分析，明显不能直接得出 DA+DE的最小值，因此需要将其中1条或者2条线段等量转化为其他线段.再从题目条件分析，如下图，作A关于BC的对称点A',连接AA',交BC 于F,过A'作A'E⊥AC 于点E,交BC于点D,则AD=A'D,此时AD+DE的值最小，就是A'E的长.
【答案解析】解：作A 关于 BC 的对称点A',连接AA',交 BC 于 F,过A'作 A'E⊥AC 于E,交BC于D,则AD=A'D,此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；
Rt△ABC 中,∠BAC =90°,AB =3,AC =6 ∠A'DF=∠CDE,∴∠A'=∠C,
∵ ∠AEA' = ∠BAC = 90°,∴ △AEA'∽ ，即AD+DE的最小值是
【典型题7】★★★如图,在△ABC 中,AB=2,∠ABC =60°,∠ACB =45°,D 是 BC 的中点,直线l经过点 D,AE⊥l,BF⊥l,垂足分别为E,F,则AE+BF 的最大值为 .
【思路分析】此题先从结论入手分析，明显不能直接得出AE+BF 的最大值，因此需要将其中1条或者2条线段等量转化为其他线段.再从题目条件分析，做如下图的辅助线，将BF 转化为CK,延长AE,过点 C 作 CN⊥AE 于点N,可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,此时求AE+BF的最大值就转化为求AN的最大值.
【答案解析】解：如图，过点 C 作CK⊥l于点K,过点A作AH⊥BC于点H,
在 Rt△AHB 中,
∵ ∠ABC =60°,AB =2,∴ BH =1,AH = ,在 Rt △AHC 中, ∠ACB = 45°,∴ AC =
∵点D为BC中点,∴BD=CD,
在△BFD与△CKD中,
∴△BFD≌△CKD(AAS),∴BF=CK,
延长AE,过点 C 作 CN⊥AE 于点 N,可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,
在 Rt△ACN 中,AN 综上所述，AE+BF 的最大值为
【规律总结】求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差.
【典型题8】★★如图,点 P 是∠AOB 内任意一点,OP=5cm,点M 和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，△PMN周长的最小值是5cm,则∠AOB 的度数是( ).
A.25° B.30°C.35°D.40°
【思路分析】此题从题目条件入手分析，抓住“△PMN 周长的最小值”，MN 不变，需要将 PN和OM根据对称轴性质进行等量代换.分别作点P关于OA、OB 的对称点 C、D，连接CD,分别交 OA、OB 于点 M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,由对称的性质得出 PM=CM,OP=OC,∠COA = ∠POA;PN = DN,OP = OD,∠DOB=∠POB,得出 证出△OCD是等边三角形,得出∠COD =60°,即可得出结果.
【答案解析】解:分别作点 P 关于 OA、OB的对称点 C、D,连接CD,
分别交 OA、OB 于点 M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,如图所示:
∵点 P 关于 OB 的对称点为 C,关于 OA的对称点为D,∴PM=CM,OP=OC,∠COA=∠POA;∵点 P 关于 OB 的对称点为 D,∴ PN=DN,OP=OD,∠DOB =∠POB,∴OC =OP 周长的最小值是5cm,∴PM+PN+MN=5,∴CM+DN+MN=5,即 CD =5 =OP,∴ OC = OD =CD,即△OCD 是等边三角形,∴∠COD=60°,∴∠AOB=30°.
【典型题9】、★★★如图,正方形ABCD 的边长为4,E 在 CD 上,DE =1,点 M,N 在 BC上，且MN=2，求四边形AMNE 周长的最小值.
【思路分析】四边形 AMNE 的边长AE 和MN 是定值,于是转化为求 AM + EN 的最小值.
【答案解析】如图，在AD 上取一点 A'，使得AA'=MN=2,作A'关于 BC 的对称点A",连接A"E 交 BC 于 N.
四边形AMNE 的周长 =AM +MN +EN +AE,其中 AM E为AM+EN 的最小值, 四边形AMNE 的周长的最小值为
【规律总结】求四边形周长的最值，或者求三条线段和的最值，两动点间距离一定，另两点为定点，将两动点进行平移，再作一定点的对称点，将问题转化成两线段和的问题，然后求解.
【典型题10】★★★如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E为直线BC上一点.
(1)如图①,当E 在线段 BC 上,且 DE =AD时,求BE 的长;
(2)如图②，当E为BC边延长线上一点，且BD=BE时,连接DE,M为DE的中点,连接AM,CM.求证:AM⊥CM;
(3)如图③,在(2)的条件下,点P,Q为AD边上的两个动点，且 连接PB,MQ,则四边形 PBMQ 周长的最小值为 .
【思路分析】(3)四边形PBMQ 的边长PQ和MB 是定值，于是转化为求 PB +QM 的最小值.
【答案解析】(1)DE= AD,ABCD 为矩形,AD= BC=4= DE,DC=AB=3,
在 Rt△DCE 中,
(2)如图,连接BM.
∵BD=BE,M为DE的中点,∴△DBE为等腰三角形,∴BM⊥DE,∴∠BMD=90°,
易证△ADM≌△BCM(SAS)(这里略去证明过程)∴∠AMD=∠BMC,
∴ ∠AMD +∠AMB = ∠BMC +∠AMB =∠BMD=90°,∴AM⊥CM.
(3)四边形 PBMQ 的周长 = PB +BM + (此处略去求解过程).PBMQ 的周长最小时,PB+QM值最小.
如图,作MN∥PQ,且MN=PQ,作点B关于AD对称点 B',连接B'N交于AD 于 P.
则 PN = QM, PB' =PB,PB +QM = PB' 此处略去求解过程).
∴ 四边形 PBMQ 周长的最小值为
【典型题11】★★★如图,菱形 ABCD 的边长为1,∠ABC=60°,点 E 是边 AB上任意一点(端点除外)，线段 CE 的垂直平分线交 BD，CE分别于点 F,G,AE,EF 的中点分别为M,N.
(1)求证:AF=EF;
(2)求MN+NG的最小值;
(3)当点 E 在 AB 上运动时,∠CEF 的大小是否变化 为什么
【思路分析】(1)连接CF,可得CF=EF,又由菱形的对称性可得和CF =AF，通过等量代换即可证明AF=EF.
(2)要求出 MN+NG的最小值，根据题目条件，MN和NG均为三角形中位线，因此等量代换为求AF+CF的最小值.连接CF,当A、F、C三点共线时，AF+CF有最小值.
(3) ∠CEF 不变. 这道题有多种思路解法.
解法1“延长EF,交 DC 于 H”,利用外角的性质推导证明.
解法2∵ △FGE 为直角三角形,点 N 为EF 中点,∴GN=FN=EN.
∵AF = CF =EF,N 为 EF 中点,∴ MN =GN=FN =EN,∴ F、M、E、G 四点在以 N 为圆心、EF 为直径的圆上.∵圆周角∠EFG 和∠GME对着同一条圆弧,∴∠EFG=∠GME.
又可得出∠GME =∠CAB=60°,∴ ∠EFG=60°,∴∠CEF =∠FGE--∠EFG=90°-60°=30°(为定值).
【答案解析】(1)如图连接CF.
∵ FG垂直平分 CE,∴ CF=EF,∵四边形ABCD 为菱形,∴点 A 和点 C 关于对角线 BD对称,∴CF=AF,∴AF=EF;
(2)如图,连接AC、CF.
∵M 和N分别是 AE 和 EF 的中点,点 G为CE中点， 即 MN 当点 F 与菱形ABCD对角线交点O 重合时，AF+CF 最小，即此时MN+NG最小,∵菱形ABCD 边长为1,∠ABC =60°,∴△ABC 为等边三角形,AC =AB =1,即MN+NG 的最小值为
(3)不变,理由是:延长EF,交 DC 于 H.
∵ ∠CFH = ∠FCE + ∠FEC,∠AFH =∠FAE+∠FEA,∴ ∠AFC =∠FCE +∠FEC +∠FAE+∠FEA,∵ 点 F 在菱形 ABCD 对角线BD 上，根据菱形的对称性可得：∠AFD =∠CFD= ∠AFC,∵AF=CF=EF,∴∠FAE=∠FEA,∠FEC =∠FCE,∴ ∠AFD =∠FAE+ ∠ABF = ∠FAE + ∠CEF,∴ ∠ABF =∠CEF,∵ ∠ABC =60°,∴ ∠ABF = ∠CEF =30°为定值.
【说明】本节重点是本题第(1)(2)小题，第(3)小题的外接圆后面会继续介绍.
【典型题12】★★★★如图,正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，△MBE 为等边三角形,过点 E 作 ME 的垂线分别与边 AD、BC相交于点 F、G,点 P、Q 分别在线段 EF、BC 上运动,且满足∠PMQ=60°,连接 PQ.
(1)求证:△MEP≌△MBQ.
(2)当点 Q 在线段GC上时,试判断 PF+GQ 的值是否变化 如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由.
(3)设∠QMB =α,点 B 关于 QM 的对称点为 B',若点 B'落在△MPQ 的内部,试写出α的范围，并说明理由.
【思路分析】(2)PF 和 GQ 不在同一条线段上，但是PF 在线段 FG上，通过作辅助线求得 FG,再利用第(1)小题结论,△MEP △MBQ,可得 PE = BG +GQ,使得 PF 和 GQ“取得联系”，再作辅助线将 BG 转换成 FD 上的线段GE.
(3)点B 关于QM的对称点为 B',寻求B'的边界点，依题意画出示意图，按照B'落在PQ上时和当点B'落在MP 上时分别求解，得出α的范围.
【答案解析】证明:(1)∵正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，
∴∠A=∠ABC=90°,AB=BC=6,
AM=BM=3,∵△MBE 是等边三角形,
∴MB=ME=BE,∠BME=∠PMQ =60°,
∴∠BMQ =∠PME,
又∵∠ABC=∠MEP =90°,
∴△MBQ △MEP(ASA).
(2)PF+GQ 的值不变,理由如下:如图,连接MG,过点 F作 FH⊥BC于 H,
∵ME=MB,MG=MG,
∴Rt△MBG Rt△MEG(HL),
∴BG=GE,∠BMG=∠EMG=30°,
∠BGM=∠EGM=60°,∴GE=
∠FGH=60°,
∵FH=CD=6,
∴FG=4 ,∵△MBQ △MEP,
∴BQ=PE,∴PE=BQ=BG+GQ,
∵ FG=EG +PE +FP = EG +BG +GQ +
(3)如图,当点B'落在PQ 上时,
∵△MBQ≌△MEP,
∴MQ=MP,∵∠QMP=60°,
∴ △MPQ 是等边三角形,当点 B'落在 PQ上时,点B 关于 QM 的对称点为 B',
∴△MBQ △MB'Q,
∴∠MBQ=∠MB'Q=90°
∴ ∠QME=30°.
∴点 B'与点 E 重合,点 Q 与点 G 重合,
如图，当点 B'落在MP上时，
同理可求：
∴当30°<α<60°时,点 B'落在△MPQ 的内部.
类型二：线段的最值
典例精析
【典型题1】★★如图,在 Rt△AOB中,OB=2 ,∠A=30°,⊙O 的半径为1,点 P 是AB边上的动点，过点 P 作⊙O 的一条切线 PQ(其中点 Q 为切点)，则线段 PQ 长度的最小值为
【思路分析】 根据垂线段最短得到当 OP⊥AB 时,OP 最小.
【答案解析】如图,连接OP、OQ,作OP'⊥AB 于 P',
∵ PQ 是⊙O 的切线,∴OQ⊥PQ,
当OP 最小时，线段 PQ 长度最小，
当OP⊥AB时,OP 最小,
在Rt△AOB中,∠A=30°,
在 Rt△AOP'中,∠A=30°,
∴线段 PQ 长度的最小值
【典型题2】★★★如图,在 ABCD 中,∠B=60°,AB=10,BC=8,点 E 为边 AB 上的一个动点，连接ED 并延长至点 F，使得 DF = DE,以 EC、EF 为邻边构造□EFGC,连接EG,则EG的最小值为 .
【思路分析】利用垂线段最短求最值.如解析中图，EG的最小值即 EP 的最小值，当 EP⊥CD 时,EP 取得最小值.
【答案解析】解:如图,作 CH⊥AB 于点H,EG与CD交于点 P.
∵在 ABCD中,∠B=60°,BC=8,
∵四边形 ECGF 是平行四边形，
∴EF∥CG,
当 EP 取得最小值时，EG 即可取得最小值，
当EP⊥CD时,EP 取得最小值,
∴EG的最小值是9
【典型题3】★★★如图，已知直线y= 与x、y轴交于A、B 两点,⊙O 的半径为1,P 为AB上一动点,PQ 切⊙O 于 Q 点.当线段 PQ 长取最小值时，直线 PQ 交 y轴于M点，a为过点 M 的一条直线，则点 P 到直线a的距离的最大值为 .
【思路分析】当 OP 最小时 PQ 长取最小值，此时OP⊥AB，若使点P到直线a的距离最大，则最大值为 PM，且M位于x轴下方.
【答案解析】解：如图，
在直线 上,x=0时,y=4,当y=0时, 由 PQ切⊙O 于Q点可知:OQ⊥PQ,
∴当OP 最小时 PQ 长取最小值，此时OP
此时 即∠OPQ=30°,
若使点 P 到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，
过点P作PE⊥y轴于点 E,
∴OE=4-3=1,
∵OE= OP,∴∠OPE=30°,
即∠EMP=30°,∴PM=2EP=2
【典型题4】★★★如图，边长为6的等边△ABC，点 E 是对称轴AD上的一个动点，连接EC,将线段 EC 绕点 C 逆时针旋转 60°得到FC,连接DF,则在点 E 的运动过程中,求 DF的最小值.
【思路分析】本题采用两种方法，相同之处是构造全等三角形，将DF 转化为另一条线段.其本质是利用垂线段最短求最值.
【答案解析】方法1：取AC 的中点 F'，连接EF'.
易证△F'CE≌△DCF(这里略去证明过程),∴F'E=DF,
∵ F'E 是△ADC 的中位线时,F'E 最小,
∴当F'E∥BC 时,F'E 最小,此时 F'E =
方法2:连接BF,易证△AEC≌△BFC(这里略去证明过程)，
∴∠CBF=∠DAC=30°,
作DH⊥BF 于点 H,由垂线段最短 DF≥DH,
∴DF的最小值
【典型题5】★★★如图,∠ACB=90°,BC=8,AC=6,点P 为AC上一动点,连接BP,CM⊥BP 于点M,求AM 的最小值.
【思路分析】已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线(见辅助线章节).因此连接直角三角形斜边中线求最值.取BC的中点O，则MO，AO为定值.其本质是利用三角形的三边关系求最值.
【答案解析】解：如图，取CB 中点O，连接AO,MO.
∵AM+MO≥AO,
∴AM 的最小值为
【典型题6】如图，在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E,F分别为AB,CD 边的中点.动点 P 从点 E 出发沿 EA 向点 A 运动,同时,动点 Q 从点 F 出发沿 FC 向点 C 运动,连接PQ,过点 B作BH⊥PQ 于点H,连接DH.若点 P 的速度是点 Q 速度的2倍，在点 P 从点 E运动至点A 的过程中，线段 PQ 长度的最大值为 ，线段 DH 长度的最小值为 .
【思路分析】连接EF 交 PQ 于 M,连接BM,取BM的中点O,连接OH,OD,过点O 作ON⊥CD 于 N.当点P 与A重合时,PQ 的值最大；要求线段DH的最小值，将DH放在△ODH中，利用三角形的三边关系求最值.求出 OD，OH 即可解决问题.
【答案解析】解:连接 EF 交 PQ 于 M,连接BM,取BM的中点O,连接OH,OD,过点O作ON⊥CD 于 N.
∵四边形 ABCD 是矩形,DF =CF,AE =EB,∴四边形ADFE 是矩形,∴EF=AD =3,
∵FQ∥PE,∴△MFQ∽△MEP,∴MF=FPPE,
∵PE=2FQ,∴EM=2MF,
∴EM=2,FM=1,
当点 P 与A 重合时，PQ 的值最大，此时
∵MF∥ON∥BC,MO=OB,
∴FN=CN=1,DN=DF+FN=3,
∵BH⊥PQ,∴∠BHM=90°,
∵OM=OB,
∵DH≥OD-OH,∴DH≥ -
∴DH 的最小值为
【典型题7】★★★如图,在矩形 ABCD中,AB=4,AD=6,E 是AB 边的中点,F 是线段BC 上的动点,将△EBF 沿 EF 所在直线折叠得到△EB'F,连接B'D,则B'D 的最小值是( ).
B.6
D.4
【思路分析】当∠BFE =∠DEF,点 B'在DE上时，此时B'D的值最小，根据勾股定理求出 DE,根据折叠的性质可知B'E=BE=2,DE-B'E 即为所求.
【答案解析】解:如图,当∠BFE=∠DEF,点 B'在 DE 上时,此时B'D 的值最小.
根据折叠的性质,△EBF≌△EB'F,
∴FB'⊥ED,∴EB'=EB,
∵E是AB边的中点,AB =4,
【规律总结】翻折变换，两点之间线段最短的综合运用，确定点 B'在何位置时，B'D的值最小，是解决问题的关键.
【典型题8】★★★如图,△ABC 是等边三角形,AB=4,E 是AC 的中点,D 是直线BC 上一动点，线段 ED 绕点 E 逆时针旋转90°，得到线段 EF，当点 D 运动时，求AF的最小值.
【思路分析】构造全等三角形，设未知数，根据勾股定理列方程，利用二次函数性质求最值.注意D 是直线 BC 上的动点.
【答案解析】如图,作 DM⊥AC 于 M,FN⊥AC于N.设DM=x.
在△CDM中, 则EM =
∵易证△EDM≌△FEN(证明过程略),
AN=2+x.
在 Rt△AFN 中,
此时.AF 没有最小值.
当D在BC的延长线上时，设DM=EN=y,
(此时可理解为y=-x)
∴在 Rt△AFN 中, 当 时，AF 有最小值 AF 的最小值 =
【规律总结】设未知数，根据题目条件列方程，利用二次函数性质求最值.此方法在第三部分会重点讲解，是解压轴题的基本方法.
【典型题9】★★★如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁 B 处的最短距离为 cm(杯壁厚度不计).
【思路分析】平面展开——最短路径问题.将圆柱体侧面展开，过B作BQ⊥EF 于Q，作A关于EH的对称点A',连接A'B 交EH 于P,连接AP,则 AP +PB 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A'Q，BQ，根据勾股定理求出A'B 即可.
【答案解析】解：如图，沿过A 的圆柱形的高剪开,得到矩形 EFGH,过 B 作 BQ⊥EF 于Q,作A 关于 EH 的对称点 A',连接A'B 交 EH于 P,连接AP,则AP +PB 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离.
∵AE=A'E,A'P=AP,
∴AP+PB=A'P+PB=A'B,
A'Q=14-5+3=12cm.
在 Rt△A'QB 中,由勾股定理得:
【规律总结】本题是平面展开——最短路径问题.将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.
【典型题10】★★★我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何 ”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3 尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处，则问题中葛藤的最短长度是 尺.
【思路分析】根据题意画出平面展开示意图.
【答案解析】解：如图，一条直角边(即枯木的高)长20尺，
另一条直角边长5×3=15(尺),
因此葛藤长为 (尺).
【典型题11】★★★如图,已知∠MON=90°,OT 是∠MON 的平分线,A 是射线 OM 上一点,OA =8cm.动点 P 从点 A 出发,以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q 从点 O 出发,也以1cm/s的速度沿 ON竖直向上作匀速运动.连接PQ，交OT 于点 B.经过O、P、Q 三点作圆,交 OT 于点 C,连接PC、QC.设运动时间为t(s),其中0(1)求OP +OQ 的值;
(2)是否存在实数t，使得线段OB 的长度最大 若存在，求出 t 的值，若不存在，说明理由；
(3)求四边形OPCQ 的面积.
【思路分析】(1)用含有t的代数式表示出OP、OQ 即可.
(2)如图,过点B 作BD⊥OP,垂足为 D,则BD∥OQ.设未知数，根据平行成比例列方程求解.利用二次函数最值的性质得出答案.
(3)四边形 OPCQ 的面积 S△PCQ.关键是证明△PCQ 是等腰直角三角形.
【答案解析】(1)由题意可得,OP =8-t,OQ=t,∴OP+OQ=8-t+t=8(cm).
(2)当t=4时,线段OB 的长度最大.
如图,过点B作BD⊥OP,垂足为D,则BD∥OQ.
∵OT 平分∠MON,∴∠BOD =∠OBD =45°,∴BD=OD,OB= BD.
设线段BD 的长为x,则BD=OD=x,
2
当t=4时，线段OB 的长度最大，最大为2 cm.
(3)∵∠POQ=90°,∴PQ 是圆的直径.
∴∠PCQ=90°.
∵ ∠PQC =∠POC =45°,∴ △PCQ 是等腰直角三角形.
在 Rt△POQ 中,
∴ 四边形 OPCQ 的面积
=16.
∴ 四边形 OPCQ 的面积为16cm .