2025年中考数学复习---截长补短 方法讲解及巩固练习（含解析）

截长补短
典例精析
【典型题1】★★如图,已知在△ABC 中,∠C=2∠B,∠1=∠2. 求证:AB=AC+CD.
【思路分析】从结论入手分析，显然没有直接关系能证明AB=AC+CD，必须进行“等量转化”.需要将AB、AC和CD 中的1到2条线段转化成其他线段.因此需要做辅助线来实现.
我们可通过添加辅助线，在AB 上“构造”一条线段AE使其为求证中的一条线段AC，再证BE和CD 相等；或者通过添加辅助线，延长短线段AC，再证明延长后的线段和AB 相等。其本质还是通过构造全等三角形来实现.
【答案解析】
证法一，截长法.
如图①,在AB上取一点 E,使AE=AC,连接DE.
∵AE=AC,∠1=∠2,AD=AD,
∴△ACD≌△AED ,∴CD=DE,∠C=∠3.
∵∠C=2∠B,∴∠3=2∠B=∠4+∠B ,
∴∠4=∠B ,∴DE=BE ,∴CD=BE.
∵AB=AE+BE,∴AB=AC+CD.
证法二，补短法.
如图②,延长AC 到点E,使CE=CD,连接DE.
∵CE=CD,∴∠4=∠E.
∵∠3=∠4+∠E,∴∠3=2∠E.
∵∠3=2∠B,∴∠E=∠B.
∵∠1=∠2,AD=AD,
∴△EAD≌△BAD,∴AE=AB.
又∵AE=AC+CE,
∴AB =AC+CD.
【规律总结】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线段中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线段延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.
截长补短
如图①，若证明线段AB、CD、EF 之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法.
截长法：如图②，在 EF 上截 取 EG =AB,再证明GF=CD 即可.
补短法：如图③，延长AB 至 H 点，使BH=CD,再证明AH=EF 即可.
【典型题2】★★已知在△ABC 中,∠A =2∠B,CD是∠ACB 的平分线,AC=16,AD =8,求线段BC 的长.
【思路分析】正向推导，从题目条件进行分析，根据已知“CD 是∠ACB 的平分线”，在BC边上截取CE=AC，构造全等三角形，将BC等代转化为CE +EB，为后续计算提供便利条件.
【答案解析】
解:如图在 BC 边上截取 CE =AC,连接DE,易证 △ACD ≌ △ECD (SAS)(证明过程略.)
∴AD=DE ,∠A=∠1 ,∵∠A=2∠B,
∴∠1=2∠B,可得∴∠B=∠EDB,
∴EB=ED ,∴EB=DA=8,
BC=EC+BE=AC+DA=16+8=24.
【规律总结】当已知条件中出现如本题图CD 为∠ACB 的平分线、AD 不具备特殊位置时，辅助线的作法一般为在BC边上截取CE=AC，连接 DE 即可构造全等三角形，利用全等条件解决问题.
【典型题3】★★★如图,Rt△ACB 中,AC=BC,AD平分∠BAC 交BC 于点 D,CE⊥AD 交AD 于点 F,交AB 于点 E.求证:AD=2DF+CE.
【思路分析】从结论分析，显然没有直接关系证明 AD =2DF +CE,必须进行“等量转化”.必须将AD、DF 和 CE 中的1 到2 条线段转化成其他线段.因此需要做辅助线来实现.根据上题思路，我们用截长法解此题.
在AD上取一点G,使AG=CE,连接CG ,要证明结论,必然有 DF =GF,要证明 DF =GF，必定有∠4 =∠2，根据题目条件分析证明即可.
【答案解析】解：在AD上取一点 G，使AG=CE,连接CG.
∵CE⊥AD,∴∠AFC=90°,∠1+∠ACF=90°.
∵∠2+∠ACF=90°,∴∠1 =∠2.
∵AC=BC,AG=CE,
∴△ACG≌△CBE,∴∠3=∠B=45°,
∴∠2+∠4=90°-∠3=45°.
∴∠4=45°-∠2=22.5°,
∴ ∠4=∠2=22.5°.
又∵CF=CF,DG⊥CF,
∴△CDF≌△CGF,∴DF=GF.
∵AD=AG+DG,∴AD=CE+2DF.
【规律总结】截长补短法其实也属于角平分线相关辅助线的一种，同学们做题时应该注重思路分析，采用哪种方法都是殊途同归。同时这两种方法本质上都是构造全等三角形或者特殊三角形，需要深刻理解.
【典型题4】★★★(1)如图①所示,在△ABC 中,AD 是△BAC 的外角平分线,P 是AD 上异于点A 的任意一点,试比较 PB +PC与AB+AC 的大小，并说明理由.
(2)如图②所示,AD 是△ABC的内角平分线,其他条件不变,试比较 PC-PB 与AC-AB的大小，并说明理由.
【思路分析】本题从结论入手分析，证明线段和差的不等式，文章开头我们就总结到：“在证明线段和(或差)的不等式时，总是把各有关线段“等量转化”在一个或几个三角形中，然后利用三角形三边关系定理来解决”因此需要作辅助线进行线段的等量转化.辅助线作法如上题：截取线段，构造全等三角形.
【答案解析】解：
(1)PB+PC>AB+AC
证明:在 BA 的延长线上取点 E, 使AE =AC,连接PE.
∵AD 平分∠CAM
∴∠CAD=∠EAD,
在△AEP与△ACP中,
∵AE=AC,∠CAD=∠EAD,
AP=AP,∴△AEP≌△ACP (SAS),
∴ PE=PC
∵在△PBE中:PB+PE>BE,
BE=AB+AE=AB+AC,
∴PB+PC>AB+AC
(2)AC-AB>PC-PB
证明:在△ABC中, 在AC 上取一点 E,使AE=AB ,连接PE,∴AC-AE=AC-AB=EC,
∵AD平分∠BAC ,∴ ∠EAP=∠BAP,
∵AE=AB,AP=AD,
∴ △AEP≌△ABP (SAS) ,∴ PE =PB ,
∵在△CPE中
CE>CP-PE ,∴AC-AB>PC-PB.
【规律总结】①在证明线段和(或差)的不等式时，总是把各有关线段“等量转化”在一个或几个三角形中，然后利用三角形三边关系定理来解决；②辅助线作法：截取线段，构造全等三角形.
如图，P是∠MON的平分线上的一点，点A 是射线OM 上任意一点,在ON 上截取OB =OA,连接PB,则△OPB≌△OPA.
【典型题5】★★ 如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 E.过点 E 作MN∥BC交AB于M点,交AC 于N点,若BM+CN=9,则线段 MN 的长为 .
【思路分析】根据题目已知条件推导即可.注意可将求 MN 转化为求 ME + EN 的长度.
【答案解析】解:∵∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 E，
∴MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB.
∵MN//BC,∴∠EBC=∠MEB,∠NEC=∠ECB.
∴∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN.
∴BM=ME,EN=CN.
∴MN=ME+EN,即MN=BM+CN.
∵BM+CN=9,∴MN=9.
【典型题6】如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,点E在CD上,且AE平分∠BAD. BE平分∠ABC.求证:AD=AB-BC.
【思路分析】从结论分析，显然没有直接关系证明 AD =AB - BC,必须进行“等量转化”,将AD、AB和 BC 中的1 到2 条线段转化成其他线段，因此需要作辅助线来实现.碰见角平分线，我们还可以在角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形.
【答案解析】证明:延长AD、BE 交于点 F.
∵AD∥BC,∴∠2=∠F. ∵∠1 =∠2,
∴∠1=∠F.∴AB=AF.
∵AE平分∠BAD ∴BE=EF.
∵∠DEF=∠CEB,∴△DEF≌△CEB.
∴DF=BC.∴AD=AF-DF=AB-BC.
【规律总结】有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件.体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系.
巩固练习
【巩固练习1】☆
如图,在五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE = CD,∠B + ∠E = 180°,求证:AD 平分∠CDE.
【巩固练习2】
已知四边形 ABCD 中,∠ABC +∠ADC =180°,AB =BC,如图,点 P,Q 分别在线段AD,DC上,满足 PQ =AP+CQ,求证:∠PBQ=90°
【巩固练习3】★★
四边形ABCD中,BD>AB,AD=DC,DE⊥BC,BD平分∠ABC.
(1) 证明:∠BAD+∠BCD=180°
(2) DE=3,BE =6,求四边形ABCD 的面积.
【巩固练习4】
如图,在△ABC 中,∠A =60°,BD,CE 分别平分∠ABC 和∠ACB,BD、CE 交于点 O,试判断BE、CD、BC 的数量关系，并加以证明.
【巩固练习5】
如图,△ABC中,BD⊥AC 于点 D,CE⊥AB于点 E,且 BD、CE 交于点 F,点 G 是线段 CD上一点,连接AF,GF,若AF=GF,BD =CD.求∠CAF 的度数,判断线段 FG 与 BC 的位置关系，并说明理由.
【巩固练习6】
如图,BE 是△ABC 的中线,点 F 在 BE上,延长AF 交BC 于点 D.若BF=3FE,则 = .
【巩固练习7】
如图，在边长为4 的正方形 ABCD 中，点 E是BC的中点,点 F在CD 上,且 CF=3DF,AE、BF 相交于点 G,则△AGF 的面积为 .
【巩固练习8】
在△ABC中,∠BAC 为锐角,AB>AC,AD平分∠BAC 交BC 于点 D.
(1)如图①，若△ABC 是等腰直角三角形，判断线段AC，CD，AB 之间的数量关系并说明理由；
(2) BC 的垂直平分线交 AD 的延长线于点 E,交 BC 于点 F,连接CE、BE.
①如图②,若∠ABE =60°,判断AC,CE,AB 之间有怎样的数量关系并加以证明；
②如图③，若 求∠BAC的度数.
【巩固练习9】
[证明体验]
(1)如图①,AD 为△ABC 的角平分线,∠ADC=60°,点 E 在AB 上,AE =AC.求证:DE平分∠ADB.
[思考探究]
(2)如图②,在(1)的条件下,F 为AB 上一点,连接FC 交AD 于点 G.若 2,CD=3,求BD 的长.
[拓展延伸]
(3)如图③,在四边形 ABCD 中,对角线AC 平分 点 E 在 AC上,∠EDC=∠ABC.若. 2AE,求AC 的长.
1.证明: 如图, 连接 AC , 将△ABC 绕点 A旋转∠BAE的度数至△AEF的位置.∵AB=AE, ∴AB与AE重合.
∵∠ABC+∠AED=180°, 且∠AEF=∠ABC,
∴∠AEF+∠AED=180°
∴D, E , F三点在同一直线上, AC=AF, BC=EF.
在△ADC和△ADF中,
DF=DE+EF=DE+BC=CD,
AF=AC, AD=AD,
∴△ADC≌△ADF(SSS)
∴∠ADC=∠ADF, 即 AD平方∠CDE.
2.证明: 如图2, 延长QC到K, 使得CK = AP, 连接BK,
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∵∠BCD+∠BCK=180°,
∴∠BAD=∠BCK,
在△BPA和△BKC中,
∴△BPA≌△BKC(SAS),
∴∠1=∠2, BP=BK,
∵PQ =AP+CQ,
∴PQ=QK,
在△PBQ和△KBQ中,
∴△PBQ≌△KBQ(SSS),
∴∠PBQ=∠KBQ,
∴△BPA≌△BKC(SAS),
∴∠1=∠2, BP=BK,
∵PQ =AP+CQ,
∴PQ=QK,
在△PBQ和△KBQ中,
∴△PBQ≌△KBQ(SSS),
∴∠PBQ=∠KBQ,
∴∠PBQ=∠2+∠CBQ=∠1+∠CBQ,
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABC=180°-∠ADC,
4.(1) 过点D作DE⊥BA, 交BA的延长线于点E
∵BD平分∠ABC, DE⊥BA,DF⊥BC
∴DE = DF
在Rt△ADE和Rt△CDF中
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)
∴∠BCD =∠DAE
∵∠DAE+∠BAD =180°
∴∠BAD+∠BCD=180°
(2) 在Rt△EBD和Rt△FBD中
∴Rt△EBD≌Rt△FBD
=18
5. BC=BE+CD.证明:在 BC上截取BF=BE,连接OF.∵BD平分∠ABC,∴∠EBO=∠FBO.又∵OB=OB,∴△EBO≌△FBO.∴∠EOB=∠FOB.
∵∠A=60°,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠EOB=∠DOC=60°.∴∠BOF=60°,∠FOC=∠DOC= 60°.
∵ CE 平 分∠DCB, ∴ ∠DCO =∠FCO.又∵OC=OC,∴△DCO≌△FCO.∴CD=CF.∴BC=BF+CF=BE+CD.
6. (1)∵BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BEF =∠CDF =90°,
∵∠EFB=∠DFC,
∴∠EBF=∠FCD,
∵BD=CD, ∠ADB=∠CDF,
∴△ABD≌△FCD,
∴AD=DF,
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠CAF =45°;
(2)FG∥BC, 理由是:
∵AF=FG,
∴∠FGA=∠CAF=45°,
∵BD⊥AC, BD=CD,
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=45°,
∴∠FGA=∠DCB,
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∴FG∥BC.
解析:如图.∵B E是 的中线，∴点 E 是AC的中点， 过点 E 作 交 AD 于点 G,易得 易得
一题多解
如图，过点 C 作 交 AD 的延长线于点 M，易得
8.过点F作 ，垂足为M，过点G作 垂足为G,
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形MBCF是矩形，
∵点E是BC的中点，
∴设.
的面积= 的面积- 的面积
’的面积为
9.. 解:(
套路千万条，本题就一条.先截相等边，再证三角形全等.
理由如下:如解图①,过点 D 作DE⊥AB 于点 E,
∵AD平分∠BAC,DC⊥AC,
∴CD=DE,
在Rt△ACD 和Rt△AED中,
∴ Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴AC=AE,
∵ △ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=45°,即△BDE为等腰直角三角形,
∴CD=DE=EB,
则AB=AE+EB=AC+CD;
(2)①AB=AC+CE.
证明：如解图②，在线段AB 上
截取AH=AC,连接EH,
∵AD平分∠BAC,
∴ ∠CAE=∠BAE,
在△ACE 和△AHE中,
∴△ACE≌△AHE(SAS),
∴CE=HE,
∵EF垂直平分BC,
∴HE=BE,
又∵ ∠ABE=60°,
∴ △EHB 是等边三角形,
∴HB=HE,
∴AB=AH+HB=AC+CE;
②如解图③,在线段AB上截取AH=AC,连接EH,过点E作EM⊥AB 于点 M.
同理可得△ACE≌△AHE,
∴CE=HE,
又∵EF垂直平分BC,
∴CE=BE,
∴ △EHB 是等腰三角形,
∴HM=BM,
∴AC+AB=AH+AB=AM-HM+AM+MB=2AM,
在 Rt△AEM中,
∴ ∠EAB=30°.∴∠BAC=2∠EAB=60°.
9.【详解】解: (1) ∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠CAD,
∵AE=AC,AD=AD,
∴△EAD≌△CAD(SAS),
∴∠ADE=∠ADC=60°,
∴∠EDB=180°-∠ADE-∠ADC=60°,
∴∠BDE=∠ADE, 即DE平分∠ADB;
(2)∵FB=FC,
∴∠EBD=∠GCD,
∵∠BDE=∠GDC=60°,
∵△EAD≌△CAD,
∴DE=DC=3.
∵DG=2,
(3) 如图, 在AB上取一点F, 使得AF =AD, 连结CF .
∵AC平分∠BAD,
∴∠FAC=∠DAC
∵AC=AC,
∴△AFC≌△ADC(SAS),
∴CF =CD,∠ACF =∠ACD,∠AFC=∠ADC.
∵∠ACF+∠BCF =∠ACB=2∠ACD,
∴∠DCE=∠BCF .
∵∠EDC=∠FBC,
∴CE=4.
∵∠AED=180°-∠CED=180°-∠BFC=∠AFC=∠ADC,又∵∠EAD=∠DAC,
∴AC=4AE,