2025年中考数学复习---角平分线的辅助线 方法讲解及巩固练习（含解析）

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角平分线的辅助线
典例精析
【典型题1】★★如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD 平分∠ABC,若CD=3cm,求AD的长度.
【思路分析】本题采用正向推导法.根据已知“BD 平分∠ABC ”过点 D 作 DE⊥AB 于E，根据角平分线的性质可以得出 DE =CD =3cm,在 Rt△AED 有∠A =30°,所以AD=2DE=6cm.
【规律总结】辅助线作法：角平分线向两边作垂线.
如图，P是∠MON 的平分线上一点，过点P 作 PA⊥OM 于点 A,PB⊥ON 于点 B,则 PB=PA.
【典型题2】★★如图,在四边形 ABCD中,BC>AB,AD =DC,BD 平分∠ABC ,求证:∠BAD+∠BCD=180°.
【思路分析】本题采用综合法.要使得∠BAD+∠BCD =180°,我们可想办法将两个角放到一个平角中去分析，于是根据已知“AD=DC,BD 平分∠ABC”作DE⊥BC 于E,作DF⊥BA的延长线于F，构造出全等三角形，将∠BCD 转化为∠FAD.
【答案解析】解:如图,作 DE⊥BC 于 E,作DF⊥BA,交 BA 的延长线于 F,
∴∠F=∠DEC=90°,
∵BD平分∠ABC,∴DF=DE,
又∵AD=DC,∴△DFA≌DEC,
∴∠FAD=∠C,
∵∠FAD+∠BAD=180°,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
【规律总结】辅助线作法：角平分线向两边作垂线.角平分线上的点到角两边的距离相等，构造特殊三角形，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口.
【典型题3】★★★如图,△ABC 的外角∠ACD 的角平分线 CP 与内角∠ABC 的平分线 BP 相交于点 P,若∠BPC =40°,则∠CAP= .
【思路分析】本题采用正向推导法.根据上题的规律总结，我们做角平分线的垂线为辅助线(本题关键)，再结合三角形外角定理分析题目.
注：出现三角形内外角时一定要有用三角形外角定理的意识.
【答案解析】解：如图所示，作 PN⊥BD 于N,作 PE⊥BA,交 BA 延长线于 E,作 PM⊥AC于 M.
∵ BP、CP 分别是∠CBA 和∠DCA 的角平分线，
∴∠ABP=∠CBP,∠DCP=∠ACP,
PE=PN=PM,
∵∠BAC=∠ACD--∠ABC,
∠BPC=∠PCD--∠PBC(三角形外角定理)
∴ ∠BAC = 2 ∠PCD - 2 ∠PBC =2(∠PCD-∠PBC)=2∠BPC=80°
∴∠CAE=180°-∠BAC=100°,
∵PE=PM,
∴AP是∠EAC 的角平分线,
∴∠CAP =∠PAE=50°.
【典型题4】 ★★如图,在Rt△ABC 中,∠ACB =90°,CD⊥AB,垂足为 D,AF 平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为( )
A.
B.
C.
D.
【思路分析】这道题从题目条件直接推导.根据题目条件“CD⊥AB,AF 平分∠CAB”,因此辅助线为过点F 作 FG⊥AB 于点 G，可得FC=FG.
注：这道题也可用后面破解压轴题的基本思路方法：“作垂线、正相似、成比例”.这里先提出，后面的章节会进行详细的讲解.
【答案解析】解:过点 F 作 FG⊥AB 于点 G.
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠CDA=90°,
∴∠CAF+∠CFA=90°,
∠FAD+∠AED=90°,
∵AF平分∠CAB,∴∠CAF=∠FAD,
∴∠CFA=∠AED=∠CEF,
∴CE=CF,
∵AF平分∠CAB,
∠ACF=∠AGF=90°,
∴FC=FG,
∵∠B=∠B,∠FGB =∠ACB=90°,
∴△BFG∽△BAC,∴BFAB=FC,
∵AC=3,AB=5,∠ACB=90°,
∴BC=4,
解得： ，即CE 的长为 .选A.
【典型题5】★★★如图在△ABC 中,BE是角平分线. AD ⊥ BE.垂足为 D.求证:∠2 =∠1+∠C.
【思路分析】本题从结论入手逆向分析，要证明∠2=∠1+∠C，需将它们放到能发生关联的三角形中(本题型如外角定理的形式)，因此需作辅助线，将∠1 和∠C 放到同一个三角形中，再通过等量代换证明∠2 等于它们之和即可.
【答案解析】解:如图,延长 AD 交 BC 于F,∵AD⊥BE,且∠ABD=∠FBD,
∴ △ABF 是等腰三角形∴ ∠2=∠BFD.
∵∠BFD=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C.
【规律总结】辅助线作法：已知条件中出现如本题BE 为角平分线，且 BE⊥AD 时，辅助线的作法一般为延长 AD 交 BC 于点 F 即可.即构造出△ABF 是等腰三角形、BD 是三线等.
如图,P是∠MON 的平分线上一点,AP⊥OP 于 P 点,延长AP 交 ON 于点 B,则构造出等腰三角形△AOB.
【典型题6】★如图，已知等腰直角三角形 ABC 中,∠A =90°, AB =AC, BD 平分∠ABC,CE⊥BD,垂足为E.求证:BD=2CE.
【思路分析】从题目结论入手分析，BD要等于2CE，需将它们放到能发生关联的三角形中，因此需做辅助线，根据上题规律总结，题目条件中有“BD 平分∠ABC, CE⊥BD”,因此可构造等腰三角形，再通过等代转化证明结论.
【答案解析】解：如图，延长 CE、BA 交于点 F.
∵CE⊥BD于E,∠BAC=90°,
∴∠BAD =∠CED.∴∠ABD=∠ACF.
又∵AB=AC,∠BAD =∠CAF=90°,
∴△ABD≌△ACF.∴ BD=CF.
∵BD平分∠ABC,∴∠CBE=∠FBE.
又∵ BE=BE,∠BEC=∠BEF=90°,
∴△BCE≌△BFE.
∴CE=EF. ∴BD=CF=2CE.
巩固练习
【巩固练习1】
如图,AB∥CD,BP 和CP 分别平分∠ABC和∠DCB,AD 过点 P 且与AB 垂直.若AD=8,求点 P到BC 的距离.
【巩固练习2】
如图, ∠ABN = ∠CBN,P 为 BN 上的一点,并且 PD⊥BC 于点 D,AB +BC =2BD,求证:∠BAP+∠BCP=180°.
【巩固练习3】
如图,在△ABC 中,CD 是∠ACB 的平分线,AD⊥CD 于点D,DE//BC 交AB 于点 E,求证:EA=EB.
【巩固练习4】★
如图,点 D 是△ABC 内一点, CD 平分∠ACB,BD⊥CD,∠A =∠ABD,若 BD =1,BC=3,求AC 的长.
【巩固练习5】
已知:如图,AB=2AC,∠BAD=∠CAD,DA=DB,求证:DC⊥AC.
【巩固练习6】
如图,AB//CD,AE、DE 分别平分∠BAD和∠ADC.探究：在线段AD 上是否存在点 M，使得AD=2EM.
【巩固练习7】
已知△ABC 的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC 的平分线与线段AC 交于点D.若△ABC 的一条边长为6，则点 D 到直线AB 的距离为 .
1.过P点作 于E, 如图,
∵BP和CP分别平分. 和
2.证明:如图,过点 P 作 PE⊥AB 于点E.
∵PE⊥AB,PD⊥BC,且∠ABP=∠CBP,
∴PE=PD.
在 Rt△PBE和Rt△PBD中,
∴Rt△PBE≌Rt△PBD(HL),
∴BE=BD.
∵AB+BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE--AE,
∴AE=CD.
在△PAE和△PCD中,
∴△PAE≌△PCD(SAS),
∴∠EAP=∠BCP.
∵∠BAP+∠EAP=180°,
∴∠BAP+∠BCP=180°.
3.证明:延长AD交BC于点 F,
∵ CD 是 的平分线， 于点 D,
在 与 中，
4.解: 翻译过来就是可以构造等腰三角形.
如解图，延长 BD 交AC 于点 E,
∵ CD 平分 BD
5.证明：如图所示 ，
作 于E ,
∵AB=2A AC=AE .
在 和 中 ,
AE、DE分别平分. 和
过点E作 交AD边于点F。
(两直线平行，内错角相等)
在 中 为等腰三角形
在 中 为等腰三角形
又
∴点F即为所求点M
∴AD上存在点M，使得
或
【解析】 由题意知 是等腰直角三角形.①当点A 是直角顶点时，如图(1)，过点D作 '于点E,设 则 当 时， 解得 当 时， 解得x= 故此时点 D 到直线 AB 的距离为 或 ②当点B 是直角顶点时，易得点 D 为AC 的中点，如图(2)，过点 D 作DF⊥AB 于点 F,则. .当AB =BC=6时, 当AC=6时, 故此时点 D 到AB 的距离为3或 ③当点 C为直角顶点时，过点 D 作 于点 G,如图(3)，易知DG的长与图(1)中AD的长相等.综上所述，点D到直线AB 的距离为 或