初中数学几何解题方法归纳
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初中数学几何解题方法归纳
一、基本解题思路方法
1.正向推导法
从题目的已知条件出发，根据我们学过的概念、定理等，直接进行推理与判断，会得出一个新的结论，然后用这个新的结论，去印证题目要求的结果或者结论。如果不符，再将新的结论和题目已知条件相结合，又会得出一个新的结论。这样一直继续下去，直到得出的最新结论就是我们想要的结论为止.
正向推导法即从已知条件，步步为营，最终推导题目所求结果的逻辑思维方法.
2.逆向分析法
从题目要求的结论出发，列出这个结论成立所需的条件，然后将这些条件和题目所给条件进行对比，如果都不是结论所需，我们就将刚找到的那些条件作为新的结论，去寻找新结论成立所需的其他条件，一直这样下去，直到找出的最新条件和题目的已知条件相符为止。逆向分析法即从结论出发，反向而行，环环紧扣，最终推到已知条件的逻辑思维方法.
3.综合法
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综合法是对题目的综合正向推导和逆向分析同步并举，两面齐凑的思维方法。在较复杂题目中，往往需要进行综合分析.我们用实例进行说明.
典例精析
【典型题1】★★★如图,AD 是△ABC 的中线，求证：
【思路分析】我们用逆向分析法分析这道题.
结论要证明 根据不等式的基本性质，该不等式两边同时乘以2，
即要证明 2AD+2BD>AB +AC.∵此题中AD是△ABC的中线,∴易得BD=DC.
∴我们可以将上述结论，转化为要证明：AD+AD+BD+DC>AB+AC.
在△ABD和△ADC中，由三角形的三边关系定理可得:AD+BD>AB,AD+DC>AC.
到此，本题思路分析完成，同学们可自行写出证明过程，鼓励同学们尝试其他思路进行分析.
【典型题2】★★★ 如图,P为△ABC 内任一点，求证：
【思路分析】我们用和正向推导和逆向分析结合的综合法分析这道题.
逆向分析：结论要证明 (AB+BC+AC),
根据不等式的基本性质，该不等式两边同时乘以2,即要证明2PA+2PB+2PC >AB +BC+AC.
正向推导：由题目隐含的已知条件易得：
我们将上面三式的左右
各自相加,可得:2PA +2PB +2PC >AB +BC+AC.
注：仅第二步得出的这个不等式两边同时除以2，可直接得出所证结论，这就是完整的正向推导法.这里为演示综合法，才进行逆向分析.上述分析过程第一步和第二步顺序可改变.
正向推导和逆向分析的结论顺利汇合，综合法分析到此为止.同学们可自行写出证明过程，鼓励同学们尝试其他思路进行分析.
【规律总结】
(1)三角形的三边关系定理，在这类线段和差相关题目中广泛应用.
(2)更重要的是，我们有了在题目中寻求等量关系的意识(例1中BD=DC)，由此自然而然的，运用了数学中的重要思想之——转化思想.在证明线段和(或差)的不等式时，总是把各有关线段“等量代换”在一个或几个三角形中，然后利用三角形三边关系定理来解决.
(3)在探索证(解)题途径的过程中，当停滞不前时，一旦能找到等量可代，总是使审题发生转折性的变化，从而大大前进一步，称为“等量代换”这是具有普遍性的规则，它是探索较复杂命题的证(解)题途径的一个非常重要的不可缺少的有力工具和手段，希望同学们要特别注意掌握和灵活应用.
二、辅助线的应用
为了证(解)题的需要，在原图上所添画的线叫辅助线.在平面几何里的辅助线通常要画成虚线.它的作用是：把题中分散的条件集中起来，把隐含的条件显现出来，以便于为应用公理、定理或等量转化等创造必要的条件.这样辅助线便起了一个牵线搭桥的作用.
常见三角形问题添加辅助线的方法：
(1)含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题.
(2)结论是两线段相等的题目，常作辅助线构造全等三角形，或利用关于平分线段的相关定理.
(3)结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段.
(4)中点、中位线及其延长线，平行线.如遇条件中有中点、中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或构造全等的目的。
(5)垂线、分角线、翻转全等线.如遇条件中有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，分开并借助其他条件，旋转180°，得到全等形，这时辅助线的作法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线.
(6)边边若相等，旋转做实验.如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的作法仍会应运而生.其对称中心，因题而异，有时没有中心.故可分“有心”和“无心”旋转两种.
(7)造角、平、相似，和、差、积、商见.如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关.在构造两个三角形相似时，一般有两种方法：①构造一个辅助角等于已知角；②把三角形中的某一线段进行平移.故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见.”
(8)面积找底高，多边变三边.如遇求面积(在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积)，往往作底或高的辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键.如遇多边形，想办法割补成三角形；反之，亦成立.
另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的作法，即“割补”法有两百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”.
(9)找全等三角形的方法：
1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段(或角)分别在哪两个可能全等的三角形中.
2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等.
3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等.
4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形.
一、基本解题思路方法
1.正向推导法
从题目的已知条件出发，根据我们学过的概念、定理等，直接进行推理与判断，会得出一个新的结论，然后用这个新的结论，去印证题目要求的结果或者结论。如果不符，再将新的结论和题目已知条件相结合，又会得出一个新的结论。这样一直继续下去，直到得出的最新结论就是我们想要的结论为止.
正向推导法即从已知条件，步步为营，最终推导题目所求结果的逻辑思维方法.
2.逆向分析法
从题目要求的结论出发，列出这个结论成立所需的条件，然后将这些条件和题目所给条件进行对比，如果都不是结论所需，我们就将刚找到的那些条件作为新的结论，去寻找新结论成立所需的其他条件，一直这样下去，直到找出的最新条件和题目的已知条件相符为止。逆向分析法即从结论出发，反向而行，环环紧扣，最终推到已知条件的逻辑思维方法.
3.综合法
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综合法是对题目的综合正向推导和逆向分析同步并举，两面齐凑的思维方法。在较复杂题目中，往往需要进行综合分析.我们用实例进行说明.
典例精析
【典型题1】★★★如图,AD 是△ABC 的中线，求证：
【思路分析】我们用逆向分析法分析这道题.
结论要证明 根据不等式的基本性质，该不等式两边同时乘以2，
即要证明 2AD+2BD>AB +AC.∵此题中AD是△ABC的中线,∴易得BD=DC.
∴我们可以将上述结论，转化为要证明：AD+AD+BD+DC>AB+AC.
在△ABD和△ADC中，由三角形的三边关系定理可得:AD+BD>AB,AD+DC>AC.
到此，本题思路分析完成，同学们可自行写出证明过程，鼓励同学们尝试其他思路进行分析.
【典型题2】★★★ 如图,P为△ABC 内任一点，求证：
【思路分析】我们用和正向推导和逆向分析结合的综合法分析这道题.
逆向分析：结论要证明 (AB+BC+AC),
根据不等式的基本性质，该不等式两边同时乘以2,即要证明2PA+2PB+2PC >AB +BC+AC.
正向推导：由题目隐含的已知条件易得：
我们将上面三式的左右
各自相加,可得:2PA +2PB +2PC >AB +BC+AC.
注：仅第二步得出的这个不等式两边同时除以2，可直接得出所证结论，这就是完整的正向推导法.这里为演示综合法，才进行逆向分析.上述分析过程第一步和第二步顺序可改变.
正向推导和逆向分析的结论顺利汇合，综合法分析到此为止.同学们可自行写出证明过程，鼓励同学们尝试其他思路进行分析.
【规律总结】
(1)三角形的三边关系定理，在这类线段和差相关题目中广泛应用.
(2)更重要的是，我们有了在题目中寻求等量关系的意识(例1中BD=DC)，由此自然而然的，运用了数学中的重要思想之——转化思想.在证明线段和(或差)的不等式时，总是把各有关线段“等量代换”在一个或几个三角形中，然后利用三角形三边关系定理来解决.
(3)在探索证(解)题途径的过程中，当停滞不前时，一旦能找到等量可代，总是使审题发生转折性的变化，从而大大前进一步，称为“等量代换”这是具有普遍性的规则，它是探索较复杂命题的证(解)题途径的一个非常重要的不可缺少的有力工具和手段，希望同学们要特别注意掌握和灵活应用.
二、辅助线的应用
为了证(解)题的需要，在原图上所添画的线叫辅助线.在平面几何里的辅助线通常要画成虚线.它的作用是：把题中分散的条件集中起来，把隐含的条件显现出来，以便于为应用公理、定理或等量转化等创造必要的条件.这样辅助线便起了一个牵线搭桥的作用.
常见三角形问题添加辅助线的方法：
(1)含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题.
(2)结论是两线段相等的题目，常作辅助线构造全等三角形，或利用关于平分线段的相关定理.
(3)结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段.
(4)中点、中位线及其延长线，平行线.如遇条件中有中点、中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或构造全等的目的。
(5)垂线、分角线、翻转全等线.如遇条件中有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，分开并借助其他条件，旋转180°，得到全等形，这时辅助线的作法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线.
(6)边边若相等，旋转做实验.如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的作法仍会应运而生.其对称中心，因题而异，有时没有中心.故可分“有心”和“无心”旋转两种.
(7)造角、平、相似，和、差、积、商见.如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关.在构造两个三角形相似时，一般有两种方法：①构造一个辅助角等于已知角；②把三角形中的某一线段进行平移.故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见.”
(8)面积找底高，多边变三边.如遇求面积(在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积)，往往作底或高的辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键.如遇多边形，想办法割补成三角形；反之，亦成立.
另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的作法，即“割补”法有两百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”.
(9)找全等三角形的方法：
1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段(或角)分别在哪两个可能全等的三角形中.
2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等.
3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等.
4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形.
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