第八讲 一元二次方程
1.已知关于x的一元二次方程x2+5x-m=0的一个根是2,则另一个根是( )
A.-7 B.7 C.3 D.-3
2.关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情况是( )
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.实数根的个数与实数a的取值有关
3.用配方法解方程x2-2x=2时,配方后正确的是( )
A.(x+1)2=3 B.(x+1)2=6
C.(x-1)2=3 D.(x-1)2=6
4.(2024·内江)某市2021年底森林覆盖率为64%,为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,该市大力发展植树造林活动,2023年底森林覆盖率已达到69%.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x,则符合题意的方程是( )
A.0.64(1+x)=0.69
B.0.64(1+x)2=0.69
C.0.64(1+2x)=0.69
D.0.64(1+2x)2=0.69
5.若关于x的方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根,则c的值是( )
A.36 B.-36
C.9 D.-9
6.若x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根,则( )
A.x1+x2=6 B.x1+x2=-6
C.x1x2= D.x1x2=7
7.若x=1是方程x2-2x+a=0的根,则a= .
8.若关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有实数根,则实数k的取值范围是 .
9.解方程:
(1)2x2-5x+3=0.
(2)x2+2x-2=0.
(3)3x2=4-2x.
10.(2024·青海)(1)解一元二次方程:x2-4x+3=0;
(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根,求第三边的长.
11.若一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是( )
A.a<1 B.a≤1
C.a≤1且a≠0 D.a<1且a≠0
12.已知一元二次方程x2-3x+1=0的两根为x1,x2,则-5x1-2x2的值为( )
A.-7 B.-3 C.2 D.5
13.如图,在长为100 m,宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路,若余下的部分全部种上花卉,且花圃的面积是3 600 m2,则小路的宽是( )
A.5 m B.70 m
C.5 m或70 m D.10 m
14.若实数a,b分别满足a2-4a+3=0,b2-4b+3=0,且a≠b,则+的值为 .
15.已知m,n是一元二次方程x2-3x-2=0的两个根,则+= .
16.(2024·南充)已知x1,x2是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)若k<5,且k,x1,x2都是整数,求k的值.
17.(2024·凉山州)阅读下面材料,并解决相关问题:
如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点,…,第n行有n个点…,容易发现,三角点阵中前4行的点数之和为10.
(1)探索:三角点阵中前8行的点数之和为 ,前15行的点数之和为 ,那么,前n行的点数之和为 .
(2)体验:三角点阵中前n行的点数之和 (填“能”或“不能”)为500.
(3)运用:某广场要摆放若干种造型的盆景,其中一种造型要用420盆同样规格的花,按照第一排2盆,第二排4盆,第三排6盆,…,第n排2n盆的规律摆放而成,则一共能摆放多少排 第八讲 一元二次方程
1.已知关于x的一元二次方程x2+5x-m=0的一个根是2,则另一个根是(A)
A.-7 B.7 C.3 D.-3
2.关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情况是(C)
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.实数根的个数与实数a的取值有关
3.用配方法解方程x2-2x=2时,配方后正确的是(C)
A.(x+1)2=3 B.(x+1)2=6
C.(x-1)2=3 D.(x-1)2=6
4.(2024·内江)某市2021年底森林覆盖率为64%,为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,该市大力发展植树造林活动,2023年底森林覆盖率已达到69%.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x,则符合题意的方程是(B)
A.0.64(1+x)=0.69
B.0.64(1+x)2=0.69
C.0.64(1+2x)=0.69
D.0.64(1+2x)2=0.69
5.若关于x的方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根,则c的值是(C)
A.36 B.-36
C.9 D.-9
6.若x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根,则(A)
A.x1+x2=6 B.x1+x2=-6
C.x1x2= D.x1x2=7
7.若x=1是方程x2-2x+a=0的根,则a= 1 .
8.若关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有实数根,则实数k的取值范围是 k≤1 .
9.解方程:
(1)2x2-5x+3=0.
(2)x2+2x-2=0.
(3)3x2=4-2x.
【解析】(1)2x2-5x+3=0,(2x-3)(x-1)=0,
∴2x-3=0或x-1=0,解得x1=,x2=1.
(2)原方程化为:x2+2x=2,
x2+2x+1=3,
(x+1)2=3,
x+1=±,
x1=-1+,x2=-1-.
(3)方程化为3x2+2x-4=0,
b2-4ac=22-4×3×(-4)=52,
x=,
x1=,x2=.
10.(2024·青海)(1)解一元二次方程:x2-4x+3=0;
(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根,求第三边的长.
【解析】(1)x2-4x+3=0,
(x-1)(x-3)=0,
x=1或x=3;
(2)当两条直角边分别为3和1时,
根据勾股定理得,第三边的长为=;
当一条直角边为1,斜边为3时,
根据勾股定理得,第三边的长为=2.
答:第三边的长是或2.
11.若一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是(D)
A.a<1 B.a≤1
C.a≤1且a≠0 D.a<1且a≠0
12.已知一元二次方程x2-3x+1=0的两根为x1,x2,则-5x1-2x2的值为(A)
A.-7 B.-3 C.2 D.5
13.如图,在长为100 m,宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路,若余下的部分全部种上花卉,且花圃的面积是3 600 m2,则小路的宽是(A)
A.5 m B.70 m
C.5 m或70 m D.10 m
14.若实数a,b分别满足a2-4a+3=0,b2-4b+3=0,且a≠b,则+的值为 .
15.已知m,n是一元二次方程x2-3x-2=0的两个根,则+= - .
16.(2024·南充)已知x1,x2是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)若k<5,且k,x1,x2都是整数,求k的值.
【解析】(1)∵原方程有两个不相等的实数根,
∴b2-4ac>0,
∴b2-4ac=(-2k)2-4×1×(k2-k+1)=4k2-4k2+4k-4=4k-4>0,
解得k>1.
(2)∵1∴整数k的值为2,3,4,
当k=2时,方程为x2-4x+3=0,
解得x1=1,x2=3,
当k=3或4时,此时方程解不为整数.
综上所述,k的值为2.
17.(2024·凉山州)阅读下面材料,并解决相关问题:
如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点,…,第n行有n个点…,容易发现,三角点阵中前4行的点数之和为10.
(1)探索:三角点阵中前8行的点数之和为 ,前15行的点数之和为 ,那么,前n行的点数之和为 .
(2)体验:三角点阵中前n行的点数之和 (填“能”或“不能”)为500.
(3)运用:某广场要摆放若干种造型的盆景,其中一种造型要用420盆同样规格的花,按照第一排2盆,第二排4盆,第三排6盆,…,第n排2n盆的规律摆放而成,则一共能摆放多少排
【解析】(1)由题知,
三角点阵中前1行的点数之和为1;
三角点阵中前2行的点数之和为1+2;
三角点阵中前3行的点数之和为1+2+3;
三角点阵中前4行的点数之和为1+2+3+4;
…,
所以三角点阵中前n行的点数之和为1+2+3+…+n=.
当n=8时,=36,
即三角点阵中前8行的点数之和为36.
当n=15时,=120,
即三角点阵中前15行的点数之和为120.
答案:36 120
(2)不能.令=500得,
解得n=,
因为n为正整数,所以三角点阵中前n行的点数之和不能为500.
答案:不能
(3)由题知,
前n排盆景的总数可表示为n(n+1),
令n(n+1)=420,解得n1=-21,n2=20.
因为n为正整数,
所以n=20,即一共能摆20排.
