第二讲 整式、因式分解
1.(2024·广安)下列对代数式-3x的意义表述正确的是( )
A.-3与x的和 B.-3与x的差
C.-3与x的积 D.-3与x的商
2.下列计算正确的是( )
A.a3+a=a4 B.a6÷a2=a3
C.(a2)3=a5 D.a3·a=a4
3.(2024·宿迁)下列运算正确的是( )
A.a2+a3=2a5 B.a4·a2=a6
C.a3÷a=a3 D.(ab2)3=a3b5
4.下列各式从左到右的变形,因式分解正确的是( )
A.(a+3)2=a2+6a+9
B.a2-4a+4=a(a-4)+4
C.5ax2-5ay2=5a(x+y)(x-y)
D.a2-2a-8=(a-2)(a+4)
5.(2024·广西)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为( )
A.0 B.1 C.4 D.9
6.已知y2-my+1是完全平方式,则m的值是 .
7.计算:(x-y)2+x(x+2y).
8.如图①是一个长为4a,宽为b的长方形(b>a),沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图②).
(1)图②中的阴影部分的面积为____________;
(2)观察图②请你写出(a+b)2,(a-b)2,ab之间的等量关系是__________________;
(3)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式.如图③,你发现的等式是
______________________;
(4)根据(2)中的结论,若a+b=8,ab=12,求b-a的值.
9.先化简,再求值:(a-2)(a+2)-(a+2)2,
其中a=-.
10.下列计算错误的是( )
A.a3·a5=a8 B.(a2b)3=a6b3
C.3+2=5 D.(a+b)2=a2+b2
11.计算:(a3b)-2=( )
A. B.a6b2 C. D.-2a3b
12.下列因式分解正确的是( )
A.ax+ay=a(x+y)+1
B.3a+3b=3(a+b)
C.a2+4a+4=(a+4)2
D.a2+b=a(a+b)
13.若x=+1,则代数式x2-2x+2的值为( )
A.7 B.4
C.3 D.3-2
14.(2024·德阳)若一个多项式加上y2+3xy-4,结果是3xy+2y2-5,则这个多项式为
.
15.若m+n=10,mn=5,则m2+n2的值为 .
16.已知a2+a-3=0,则a3+3a2-a+4的值为 .
17.若x+y=3,xy=2,则x2y+xy2的值是 .
18.计算:(x+y)2-y(2x+y).
19.(2024·无锡)计算:a(a-2b)+(a+b)2.
20.先化简,再求值:(2x+y)2-(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中x=()2 023,y=22 022.
21.已知a2-2a+1=0,求代数式a(a-4)+(a+1)(a-1)+1的值.
22.观察下面的等式:32-12=8×1,52-32=8×2,72-52=8×3,92-72=8×4,….
(1)写出192-172的结果;
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示,n为正整数);
(3)请运用有关知识,推理说明这个结论是正确的.
23.如图,分别以a,b,m,n为边长作正方形,已知m>n且满足am-bn=2,an+bm=4.
(1)若a=3,b=4,则图1阴影部分的面积是 ;
(2)若图1阴影部分的面积为3,图2四边形ABCD的面积为5,则图2阴影部分的面积是 . 第二讲 整式、因式分解
1.(2024·广安)下列对代数式-3x的意义表述正确的是(C)
A.-3与x的和 B.-3与x的差
C.-3与x的积 D.-3与x的商
2.下列计算正确的是(D)
A.a3+a=a4 B.a6÷a2=a3
C.(a2)3=a5 D.a3·a=a4
3.(2024·宿迁)下列运算正确的是(B)
A.a2+a3=2a5 B.a4·a2=a6
C.a3÷a=a3 D.(ab2)3=a3b5
4.下列各式从左到右的变形,因式分解正确的是(C)
A.(a+3)2=a2+6a+9
B.a2-4a+4=a(a-4)+4
C.5ax2-5ay2=5a(x+y)(x-y)
D.a2-2a-8=(a-2)(a+4)
5.(2024·广西)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为(D)
A.0 B.1 C.4 D.9
6.已知y2-my+1是完全平方式,则m的值是 ±2 .
7.计算:(x-y)2+x(x+2y).
【解析】原式=x2-2xy+y2+x2+2xy
=2x2+y2.
8.如图①是一个长为4a,宽为b的长方形(b>a),沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图②).
(1)图②中的阴影部分的面积为____________;
(2)观察图②请你写出(a+b)2,(a-b)2,ab之间的等量关系是__________________;
(3)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式.如图③,你发现的等式是
______________________;
(4)根据(2)中的结论,若a+b=8,ab=12,求b-a的值.
【解析】(1)(b-a)2;
(2)(a+b)2-(a-b)2=4ab;
(3) (a+b)·(3a+b)=3a2+4ab+b2;
(4)∵a+b=8,ab=12,
(a-b)2=(a+b)2-4ab=82-4×12=16,
∵b>a,∴a-b=-4.则b-a=4.
9.先化简,再求值:(a-2)(a+2)-(a+2)2,
其中a=-.
【解析】(a-2)(a+2)-(a+2)2=a2-4-a2-4a-4=-4a-8,
当a=-时,原式=-4×(-)-8=-2.
10.下列计算错误的是(D)
A.a3·a5=a8 B.(a2b)3=a6b3
C.3+2=5 D.(a+b)2=a2+b2
11.计算:(a3b)-2=(A)
A. B.a6b2 C. D.-2a3b
12.下列因式分解正确的是(B)
A.ax+ay=a(x+y)+1
B.3a+3b=3(a+b)
C.a2+4a+4=(a+4)2
D.a2+b=a(a+b)
13.若x=+1,则代数式x2-2x+2的值为(C)
A.7 B.4
C.3 D.3-2
14.(2024·德阳)若一个多项式加上y2+3xy-4,结果是3xy+2y2-5,则这个多项式为
y2-1 .
15.若m+n=10,mn=5,则m2+n2的值为 90 .
16.已知a2+a-3=0,则a3+3a2-a+4的值为 10 .
17.若x+y=3,xy=2,则x2y+xy2的值是 6 .
18.计算:(x+y)2-y(2x+y).
【解析】(x+y)2-y(2x+y)=x2+2xy+y2-2xy-y2=x2.
19.(2024·无锡)计算:a(a-2b)+(a+b)2.
【解析】a(a-2b)+(a+b)2
=a2-2ab+a2+2ab+b2
=2a2+b2.
20.先化简,再求值:(2x+y)2-(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中x=()2 023,y=22 022.
【解析】(2x+y)2-(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)=4x2+4xy+y2-4x2+y2-2xy-2y2
=2xy,
当x=()2 023,y=22 022时,
原式=2×()2 023×22 022=2××()2 022×22 022=2××(×2)2 022=2××12 022=2××1=1.
21.已知a2-2a+1=0,求代数式a(a-4)+(a+1)(a-1)+1的值.
【解析】原式=a2-4a+a2-1+1=2a2-4a=2(a2-2a),
∵a2-2a+1=0,∴a2-2a=-1,
∴原式=2×(-1)=-2.
22.观察下面的等式:32-12=8×1,52-32=8×2,72-52=8×3,92-72=8×4,….
(1)写出192-172的结果;
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示,n为正整数);
(3)请运用有关知识,推理说明这个结论是正确的.
【解析】(1)∵17=2×9-1,
∴192-172=8×9=72;
(2)由题意可得,(2n+1)2-(2n-1)2=8n;
(3)∵(2n+1)2-(2n-1)2=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1) =4n×2=8n,
∴(2n+1)2-(2n-1)2=8n正确.
23.如图,分别以a,b,m,n为边长作正方形,已知m>n且满足am-bn=2,an+bm=4.
(1)若a=3,b=4,则图1阴影部分的面积是 25 ;
(2)若图1阴影部分的面积为3,图2四边形ABCD的面积为5,则图2阴影部分的面积是 .
