第二十二讲 多边形与平行四边形
1.正七边形的内角和是( )
A.360° B.540°
C.720° D.900°
2.如图,在 ABCD中,分别以B,D为圆心,大于BD的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线交BD于点O,交AD,BC于点E,F,下列结论不正确的是( )
A.AE=CF B.DE=BF
C.OE=OF D.DE=DC
3.如图,一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上,若∠1=44°,则∠2的度数为( )
A.14° B.16° C.24° D.26°
4.(2024·广州)如图, ABCD中,BC=2,点E在DA的延长线上,BE=3,若BA平分∠EBC,则DE= .
5.如图, ABCO的顶点O,A,C的坐标分别是(0,0),(3,0),(1,2).则顶点B的坐标是 .
6.如图,正八边形的边长为2,对角线AB,CD相交于点E.
则线段BE的长为 .
7.(2024·泸州)如图,在 ABCD中,E,F是对角线BD上的点,且DE=BF.
求证:∠1=∠2.
8.(2024·湖南)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上, .
请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形;
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
9.第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案,小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB=15°,算出这个正多边形的边数是( )
A.9 B.10 C.11 D.12
10.(2024·成都)在 ABCD中,按以下步骤作图:①以点B为圆心,以适当长为半径作弧,分别交BA,BC于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧在∠ABC内交于点O;③作射线BO,交AD于点E,交CD延长线于点F.若CD=3,DE=2,下列结论错误的是( )
A.∠ABE=∠CBE B.BC=5
C.DE=DF D.=
11.如图,在 ABCD中,BC的垂直平分线EO交AD于点E,交BC于点O,连接BE,CE,过点C作CF∥BE,交EO的延长线于点F,连接BF.若AD=8,CE=5,则四边形BFCE的面积为 .
12.(2024·宜宾)如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=4,E,F分别是边CD,AD上的动点,且CE=DF.当AE+CF的值最小时,则CE= .
13.(2024·达州)在学习特殊的平行四边形时,我们发现正方形的对角线等于边长的倍,某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现,具体如下:如图1,
(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO,
∴AB2=AO2+BO2.
又∵AC=2AO,BD=2BO,
∴AB2= + ,
化简整理得AC2+BD2= .
【类比探究】
(2)如图2,若四边形ABCD是平行四边形,请说明边长与对角线的数量关系.
【拓展应用】
(3)如图3,四边形ABCD为平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,点E为AO的中点,点F为BC的中点,连接EF,若AB=8,BD=8,AC=12,直接写出EF的长度.第二十二讲 多边形与平行四边形
1.正七边形的内角和是(D)
A.360° B.540°
C.720° D.900°
2.如图,在 ABCD中,分别以B,D为圆心,大于BD的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线交BD于点O,交AD,BC于点E,F,下列结论不正确的是(D)
A.AE=CF B.DE=BF
C.OE=OF D.DE=DC
3.如图,一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上,若∠1=44°,则∠2的度数为(B)
A.14° B.16° C.24° D.26°
4.(2024·广州)如图, ABCD中,BC=2,点E在DA的延长线上,BE=3,若BA平分∠EBC,则DE= 5 .
5.如图, ABCO的顶点O,A,C的坐标分别是(0,0),(3,0),(1,2).则顶点B的坐标是 (4,2) .
6.如图,正八边形的边长为2,对角线AB,CD相交于点E.
则线段BE的长为 2+2 .
7.(2024·泸州)如图,在 ABCD中,E,F是对角线BD上的点,且DE=BF.
求证:∠1=∠2.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠ADE=∠CBF.
在△ADE和△CBF中,,
∴△ADE≌△CBF(SAS),
∴∠1=∠2.
8.(2024·湖南)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上, .
请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形;
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
【解析】(1)选择①或②,证明如下:
选择①,∵∠B=∠AED,
∴BC∥DE.
∵AB∥CD,
∴四边形BCDE为平行四边形;
选择②,∵AE=BE,AE=CD,
∴BE=CD.
∵AB∥CD,
∴四边形BCDE为平行四边形.
答案:①或②
(2)由(1)可知,四边形BCDE为平行四边形,
∴DE=BC=10.
∵AD⊥AB,
∴∠A=90°,
∴AE===6.
9.第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案,小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB=15°,算出这个正多边形的边数是(D)
A.9 B.10 C.11 D.12
10.(2024·成都)在 ABCD中,按以下步骤作图:①以点B为圆心,以适当长为半径作弧,分别交BA,BC于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧在∠ABC内交于点O;③作射线BO,交AD于点E,交CD延长线于点F.若CD=3,DE=2,下列结论错误的是(D)
A.∠ABE=∠CBE B.BC=5
C.DE=DF D.=
11.如图,在 ABCD中,BC的垂直平分线EO交AD于点E,交BC于点O,连接BE,CE,过点C作CF∥BE,交EO的延长线于点F,连接BF.若AD=8,CE=5,则四边形BFCE的面积为 24 .
12.(2024·宜宾)如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=4,E,F分别是边CD,AD上的动点,且CE=DF.当AE+CF的值最小时,则CE= .
13.(2024·达州)在学习特殊的平行四边形时,我们发现正方形的对角线等于边长的倍,某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现,具体如下:如图1,
(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO,
∴AB2=AO2+BO2.
又∵AC=2AO,BD=2BO,
∴AB2= + ,
化简整理得AC2+BD2= .
【类比探究】
(2)如图2,若四边形ABCD是平行四边形,请说明边长与对角线的数量关系.
【拓展应用】
(3)如图3,四边形ABCD为平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,点E为AO的中点,点F为BC的中点,连接EF,若AB=8,BD=8,AC=12,直接写出EF的长度.
【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO,
∴AB2=AO2+BO2.
又∵AC=2AO,BD=2BO,
∴AB2=AC2+BD2,
化简整理得AC2+BD2=4AB2.
(2)AC2+BD2=2AB2+2AD2.
如图,过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F,
∴∠DEA=∠DEB=∠CFB=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD∥BC,AD=BC,
∴∠DAE=∠CBF.
在△DAE和△CBF中,
∴△DAE≌△CBF(AAS),
∴AE=BF,DE=CF.
在Rt△DBE中,DB2=DE2+BE2=DE2+(AB-AE)2,
在Rt△CAF中,AC2=CF2+AF2=CF2+(AB+BF)2,
∴AC2+BD2=DE2+(AB-AE)2+CF2+(AB+BF)2
=2DE2+AB2-2AB·AE+AE2+AB2+2AB·AE+AE2
=2(DE2+AE2)+2AB2
=2AD2+2AB2.
(3)∵四边形ABCD是平行四边形,AB=8,BD=8,AC=12,
由(2)可得AC2+BD2=2AB2+2AD2,
∴122+82=2×82+2AD2,
解得AD=2(负值已舍去).
∵四边形ABCD是平行四边形,AC=12,BD=8,
∴BC=AD=2,OA=OC=6,OB=OD=BD=4.
如图所示,过点E,O分别作BC的垂线,垂足分别为M,G,连接OF,
∵O,F分别为AC,BC的中点,
∴OF=AB=4=OB=BD.
∵OG⊥BF,
∴BG=GF=BF=××2=,
∴CG=BC-BG=.
在Rt△OGC中,OG⊥BC,
∴OG===.
∵E为AO的中点,
∴OE=OA.
∵AO=OC,
∴OE=OC,
∴=,=.
∵EM⊥BC,OG⊥BC,
∴EM∥OG,
∴==,
∴MG=CG=,
∴MF=MG+GF=+=.
∵EM∥OG,
∴△COG∽△CEM,
∴EM=OG=,
在Rt△EMF中,EF===.
