第二十讲 直角三角形
1.下列命题正确的是( )
A.正方形的对角线相等且互相平分
B.对角互补的四边形是平行四边形
C.矩形的对角线互相垂直
D.一组邻边相等的四边形是菱形
2.Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,则∠A=( )
A.60° B.30° C.50° D.40°
3.如图,在△AOB中,AO=1,BO=AB=.将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°,得到△A'OB',连接AA'.则线段AA'的长为( )
A.1 B. C. D.
4.如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=α,则∠ABE等于( )
A.180°-α B.180°-2α
C.90°+α D.90°+2α
5.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,点D为BC的中点,且AC=6,AD=5,
则AB的长为 .
6.如图,已知锐角三角形ABC,用尺规作图法在BC上作一点P,
使得∠B+∠PAB=90°.(保留作图痕迹,不写作法)
7.图①、图②、图③均是5×5的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.点A,B均在格点上,只用无刻度的直尺,分别在给定的网格中按下列要求作△ABC,点C在格点上.
(1)在图①中,△ABC的面积为;
(2)在图②中,△ABC的面积为5;
(3)在图③中,△ABC是面积为的钝角三角形.
8.我们知道实数与数轴上的点一一对应,如图,正方形的边长为1,以数轴上表示数1的点为圆心,正方形的对角线长为半径画弧,与数轴负半轴交于点P,则点P表示的实数为( )
A.- B.--1
C.-1 D.1-
9.(2024·南充)如图,已知线段AB,按以下步骤作图:①过点B作BC⊥AB,使BC=AB,连接AC;②以点C为圆心,以BC长为半径画弧,交AC于点D;③以点A为圆心,以AD长为半径画弧,交AB于点E.若AE=mAB,则m的值为( )
A. B.
C.-1 D.-2
10.如图,在四边形ABCD中,AB⊥AD,AB=3,BC=12,CD=13,AD=4,则阴影部分的面积为 .
11.如图,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则BC边上的高长为 .
12.如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(6,0),点B坐标为(2,-2),直线AB与y轴交于点C.
(1)求直线AB的函数表达式及线段AC的长;
(2)点B关于y轴的对称点为点D.
①点D的坐标为 ;
②在直线BD上找点E,使△ACE是直角三角形,则点E的横坐标为 .
13.(2024·齐齐哈尔)已知矩形纸片ABCD,AB=5,BC=4,点P在边BC上,连接AP,将△ABP沿AP所在的直线折叠,点B的对应点为B',把纸片展平,连接BB',CB',当△BCB'为直角三角形时,线段CP的长为 . 第二十讲 直角三角形
1.下列命题正确的是(A)
A.正方形的对角线相等且互相平分
B.对角互补的四边形是平行四边形
C.矩形的对角线互相垂直
D.一组邻边相等的四边形是菱形
2.Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,则∠A=(C)
A.60° B.30° C.50° D.40°
3.如图,在△AOB中,AO=1,BO=AB=.将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°,得到△A'OB',连接AA'.则线段AA'的长为(B)
A.1 B. C. D.
4.如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=α,则∠ABE等于(C)
A.180°-α B.180°-2α
C.90°+α D.90°+2α
5.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,点D为BC的中点,且AC=6,AD=5,
则AB的长为 8 .
6.如图,已知锐角三角形ABC,用尺规作图法在BC上作一点P,
使得∠B+∠PAB=90°.(保留作图痕迹,不写作法)
【解析】如图,点P即为所求.
理由:∵AP⊥BC,∴∠APB=90°,
∴∠B+∠PAB=90°.
7.图①、图②、图③均是5×5的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.点A,B均在格点上,只用无刻度的直尺,分别在给定的网格中按下列要求作△ABC,点C在格点上.
(1)在图①中,△ABC的面积为;
(2)在图②中,△ABC的面积为5;
(3)在图③中,△ABC是面积为的钝角三角形.
【解析】(1)如图所示,
以AB=3为底,设AB边上的高为h,
依题意得:S△ABC=AB·h=,解得h=3,
即点C在AB上方且到AB距离为3个单位长度的线段上的格点即可,
答案不唯一;
(2)由图可知,AB==
以AB=为底,设AB边上的高为h,
依题意得:S△ABC=AB·h=5,
解得h=,将AB绕A或B旋转90°,过线段的另一个端点作AB的平行线,与网格格点的交点即为点C,答案不唯一;
(3)如图所示,作BD=AB=,过点D作CD∥AB,交于格点C,
由网格可知,BD=AB==,AD=,
∴△ABD是直角三角形,且AB⊥BD
∵CD∥AB,∴S△ABC=AB·BD=.
8.我们知道实数与数轴上的点一一对应,如图,正方形的边长为1,以数轴上表示数1的点为圆心,正方形的对角线长为半径画弧,与数轴负半轴交于点P,则点P表示的实数为(D)
A.- B.--1
C.-1 D.1-
9.(2024·南充)如图,已知线段AB,按以下步骤作图:①过点B作BC⊥AB,使BC=AB,连接AC;②以点C为圆心,以BC长为半径画弧,交AC于点D;③以点A为圆心,以AD长为半径画弧,交AB于点E.若AE=mAB,则m的值为(A)
A. B.
C.-1 D.-2
10.如图,在四边形ABCD中,AB⊥AD,AB=3,BC=12,CD=13,AD=4,则阴影部分的面积为 24 .
11.如图,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则BC边上的高长为 2 .
12.如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(6,0),点B坐标为(2,-2),直线AB与y轴交于点C.
(1)求直线AB的函数表达式及线段AC的长;
(2)点B关于y轴的对称点为点D.
①点D的坐标为 ;
②在直线BD上找点E,使△ACE是直角三角形,则点E的横坐标为 .
【解析】(1)设直线AB的函数表达式为y=kx+b,
∵点A坐标为(6,0),点B坐标为(2,-2),
∴,解得,即直线AB的函数表达式为y=x-3,
∴直线AB与y轴交于点C(0,-3),
∴AC==3;
(2)①点B(2,-2)关于y轴的对称点为点D(-2,-2),
答案:(2,-2)
②如图所示,分三种情况,利用勾股定理讨论:
(i)过C作AC的垂线,交BD于E,
∵直线BD的表达式为y=-2,可设E(m,-2),
∵A(6,0),C(0,-3),在Rt△ACE中,∠ACE=90°,则AE2=CE2+AC2,
即(m-6)2+(-2-0)2=m2+[-2-(-3)]2+(0-6)2+(-3-0)2,
整理得12m=-6,解得m=-,即E(-,-2);
(ii)过A作AC的垂线,交BD于E,
∵直线BD的表达式为y=-2,可设E(n,-2),
∵A(6,0),C(0,-3),
在Rt△ACE中,∠CAE=90°,则CE2=AE2+AC2,
即n2+[-2-(-3)]2=(n-6)2+(-2-0)2+(0-6)2+(-3-0)2,
整理得12n=84,解得n=7,即E(7,-2);
(iii)以AC为直径作圆,交直线BD于点E,则AE⊥CE,
∵直线BD的表达式为y=-2,
设E(p,-2),∵A(6,0),C(0,-3),
在Rt△ACE中,∠CEA=90°,
则AC2=CE2+AE2,即(0-6)2+(-3-0)2=p2+[-2-(-3)]2+(p-6)2+(-2-0)2,
整理得p2-6p-2=0,
解得p=3-或p=3+,
即E(3-,-2)或(3+,-2),
综上所述,E的横坐标为3-或-或7或3+.
答案:3-或-或7或3+
13.(2024·齐齐哈尔)已知矩形纸片ABCD,AB=5,BC=4,点P在边BC上,连接AP,将△ABP沿AP所在的直线折叠,点B的对应点为B',把纸片展平,连接BB',CB',当△BCB'为直角三角形时,线段CP的长为 2或 .
