第二十九讲 旋转
1.(2024·山西)1949年,伴随着新中国的诞生,中国科学院(简称“中科院”)成立.下列是中科院部分研究所的图标,其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
2.(2024·齐齐哈尔)下列美术字中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
3.如图,将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C',点B'恰好落在CA的延长线上,∠B=30°,∠C=90°,则∠BAC'为( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
4.如图,△ABC中,∠BAC=55°,将△ABC逆时针旋转α(0°<α<55°),得到△ADE,DE交AC于F.当α=40°时,点D恰好落在BC上,此时∠AFE等于( )
A.80° B.85° C.90° D.95°
5. (2024·自贡)如图,在平面直角坐标系中,D(4,-2),将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB位置.则点B坐标为( )
A.(2,4) B.(4,2)
C.(-4,-2) D.(-2,4)
6.如图,AO为∠BAC的平分线,且∠BAC=50°,将四边形ABOC绕点A逆时针方向
旋转后,得到四边形AB'O'C',且∠OAC'=100°,则四边形ABOC旋转的角度是
.
7.如图,M是正方形ABCD边CD的中点,P是正方形内一点,连接BP,线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ,连接MQ.若AB=4,MP=1,则MQ的最小值为
.
8.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,-1),B(2,-5),C(5,-4).
(1)将△ABC先向左平移6个单位,再向上平移4个单位,得到△A1B1C1,画出两次平移后的△A1B1C1,并写出点A1的坐标;
(2)画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C1,并写出点A2的坐标;
(3)在(2)的条件下,求点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长(结果保留π).
9.(2024·武汉)如图,小好同学用计算机软件绘制函数y=x3-3x2+3x-1的图像,发现它关于点(1,0)中心对称.若点A1(0.1,y1),A2(0.2,y2),A3(0.3,y3),…,A19(1.9,y19),A20(2,y20)都在函数图像上,这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1,则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是( )
A.-1 B.-0.729 C.0 D.1
10.如图,在平面直角坐标系中,△OAB为等腰三角形,OA=AB=5,点B到x轴的距离为4,若将△OAB绕点O逆时针旋转90°,得到△OA'B',则点B'的坐标为 .
11.如图,在矩形ABCD中,AC=2AB,将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB'C'D',使点B的对应点B'落在AC上,B'C'交AD于点E,在B'C'上取点F,使B'F=AB.
(1)求证:AE=C'E.
(2)求∠FBB'的度数.
(3)已知AB=2,求BF的长.
12.(2024·牡丹江)数学老师在课堂上给出了一个问题,让同学们探究.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,点D在直线BC上,将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,过点E作EF∥BC,交直线AB于点F.
(1)当点D在线段BC上时,如图①,求证:BD+EF=AB.
分析问题:某同学在思考这道题时,想利用AD=AE构造全等三角形,便尝试着在AB上截取AM=EF,连接DM,通过证明两个三角形全等,最终证出结论.
推理证明:写出图①的证明过程.
探究问题:
(2)当点D在线段BC的延长线上时,如图②;当点D在线段CB的延长线上时,如图③.请判断并直接写出线段BD,EF,AB之间的数量关系.
拓展思考:
(3)在(1)(2)的条件下,若AC=6,CD=2BD,则EF= . 第二十九讲 旋转
1.(2024·山西)1949年,伴随着新中国的诞生,中国科学院(简称“中科院”)成立.下列是中科院部分研究所的图标,其文字上方的图案是中心对称图形的是(A)
2.(2024·齐齐哈尔)下列美术字中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(D)
3.如图,将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C',点B'恰好落在CA的延长线上,∠B=30°,∠C=90°,则∠BAC'为(B)
A.90° B.60° C.45° D.30°
4.如图,△ABC中,∠BAC=55°,将△ABC逆时针旋转α(0°<α<55°),得到△ADE,DE交AC于F.当α=40°时,点D恰好落在BC上,此时∠AFE等于(B)
A.80° B.85° C.90° D.95°
5. (2024·自贡)如图,在平面直角坐标系中,D(4,-2),将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB位置.则点B坐标为(A)
A.(2,4) B.(4,2)
C.(-4,-2) D.(-2,4)
6.如图,AO为∠BAC的平分线,且∠BAC=50°,将四边形ABOC绕点A逆时针方向
旋转后,得到四边形AB'O'C',且∠OAC'=100°,则四边形ABOC旋转的角度是
75° .
7.如图,M是正方形ABCD边CD的中点,P是正方形内一点,连接BP,线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ,连接MQ.若AB=4,MP=1,则MQ的最小值为
2-1 .
8.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,-1),B(2,-5),C(5,-4).
(1)将△ABC先向左平移6个单位,再向上平移4个单位,得到△A1B1C1,画出两次平移后的△A1B1C1,并写出点A1的坐标;
(2)画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C1,并写出点A2的坐标;
(3)在(2)的条件下,求点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长(结果保留π).
【解析】(1)如图,△A1B1C1即为所求,点A1的坐标为(-5,3);
(2)如图,△A2B2C1即为所求,点A2的坐标为(2,4);
(3)∵A1C1==5,
∴点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长为=.
9.(2024·武汉)如图,小好同学用计算机软件绘制函数y=x3-3x2+3x-1的图像,发现它关于点(1,0)中心对称.若点A1(0.1,y1),A2(0.2,y2),A3(0.3,y3),…,A19(1.9,y19),A20(2,y20)都在函数图像上,这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1,则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是(D)
A.-1 B.-0.729 C.0 D.1
10.如图,在平面直角坐标系中,△OAB为等腰三角形,OA=AB=5,点B到x轴的距离为4,若将△OAB绕点O逆时针旋转90°,得到△OA'B',则点B'的坐标为 (-4,8) .
11.如图,在矩形ABCD中,AC=2AB,将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB'C'D',使点B的对应点B'落在AC上,B'C'交AD于点E,在B'C'上取点F,使B'F=AB.
(1)求证:AE=C'E.
(2)求∠FBB'的度数.
(3)已知AB=2,求BF的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD为矩形,
∴△ABC为直角三角形.
又∵AC=2AB,cos∠BAC==,
∴∠CAB=60°.
∴∠ACB=∠DAC=30°,∴∠B'AC'=60°.
∴∠C'AD=30°=∠AC'B'.∴AE=C'E.
(2)∵∠BAC=60°,又AB=AB',∴△ABB'为等边三角形.
∴BB'=AB,∠AB'B=60°,
又∵∠AB'F=90°,∴∠BB'F=150°.
∵B'F=AB=BB',
∴∠FBB'=∠BFB'=15°.
(3)连接AF,过A作AM⊥BF于点M.
由(2)可知△AB'F是等腰直角三角形,△ABB'是等边三角形.
∴∠AFB'=45°,∴∠AFM=30°,∠ABF=45°.
在Rt△ABM中,AM=BM=AB·cos∠ABM=2×=.
在Rt△AMF中,MF===.
∴BF=+.
12.(2024·牡丹江)数学老师在课堂上给出了一个问题,让同学们探究.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,点D在直线BC上,将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,过点E作EF∥BC,交直线AB于点F.
(1)当点D在线段BC上时,如图①,求证:BD+EF=AB.
分析问题:某同学在思考这道题时,想利用AD=AE构造全等三角形,便尝试着在AB上截取AM=EF,连接DM,通过证明两个三角形全等,最终证出结论.
推理证明:写出图①的证明过程.
探究问题:
(2)当点D在线段BC的延长线上时,如图②;当点D在线段CB的延长线上时,如图③.请判断并直接写出线段BD,EF,AB之间的数量关系.
拓展思考:
(3)在(1)(2)的条件下,若AC=6,CD=2BD,则EF= .
【解析】(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,
点D在直线BC上,将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,
过点E作EF∥BC,交直线AB于点F.在AB边上截取AM=EF,连接DM.
∴∠B=90°-∠BAC=90°-30°=60°.
∵EF∥BC,
∴∠EFB=∠B=60°.
又∵∠EAD=60°,
∴∠EFB=∠EAD.
又∵∠BAD=∠EAD-∠EAF,
∠AEF=∠EFB-∠EAF,
∴∠BAD=∠AEF.
又∵AD=AE,AM=EF,
∴△DAM≌△AEF(SAS),
∴AF=DM.
∴∠AMD=∠EFA=180°-∠EFB=180°-60°=120°.
∴∠BMD=180°-∠AMD=180°-120°=60°.
∵∠B=60°,
∴∠BMD=∠B=∠BDM,
∴△BMD是等边三角形,
∴BD=BM=DM,
∵AB=AM+BM,
∴AB=EF+BD;
(2)题图②:AB=BD-EF,证明如下:
如图所示,在BD上取点H,使BH=AB,连接AH并延长到点G使AG=AF,连接DG,
∵∠ABC=60°,
∴△ABH是等边三角形,
∴∠BAH=60°,
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,
∴∠DAE=60°,AE=AD,
∴∠BAH=∠DAE,
∴∠BAH-∠EAH=∠DAE-∠EAH,即∠BAE=∠HAD,
又∵AG=AF,
∴△FAE≌△GAD(SAS),
∴EF=DG,∠AFE=∠G,
∵BD∥EF,
∴∠ABC=∠F=∠G=60°,
∵∠DHG=∠AHB=60°,
∴△DHG是等边三角形,
∴DH=DG=EF,
∴AB=BH=BD-DH=BD-EF.
题图③:AB=EF-BD,证明如下:
如图所示,在EF上取点H使AH=AF,
∵EF∥BC,
∴∠F=∠ABC=60°,
∵AH=AF,
∴△AHF是等边三角形,
∴∠AHF=∠HAF=60°,
∴∠AHE=120°,
∵将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,
∴AD=AE,∠DAE=60°,
∴∠DAB+∠EAH=180°-∠EAD-∠HAF=60°,
∵∠D+∠DAB=∠ABC=60°,
∴∠D=∠EAH,
∵∠DBA=180°-∠ABC=120°=∠EHA,
又∵AD=AE,
∴△EAH≌△ADB(AAS),
∴BD=AH,AB=EH,
∵AH=FH,∴BD=HF,
∴AB=EH=EF-FH=EF-BD.
(3)如图所示,
∵∠BAC=30°,∠C=90°,
∴AB=2BC,AB2=BC2+AC2,
∴(2BC)2=BC2+(6)2,
∴BC=6,∴AB=2BC=12,
∵CD=2BD,BC=BD+CD,
∴BD=BC=2,
由(1)可知,BD+EF=AB,
∴EF=AB-BD=12-2=10;
如图所示,当点D在线段BC的延长线上时,
∵CD∴不符合题意;
如图所示,当点D在线段CB的延长线上时,
∵CD=2BD=BD+BC,BC=6,
∴BD=BC=6,
由(2)可知,AB=EF-BD,
∵AB=2BC=12,
∴EF=AB+BD=12+6=18.
综上所述,EF=10或18.
答案:10或18
